二元一次不等式(组)和可行域

1 高中数学-二元一次不等式（组）与平面区域

（一）二元一次不等式和二元一次不等式组的定义:

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（二）二元一次不等式和二元一次不等式组的解集:

1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x ，y ）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。

2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。

（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法:

在平面直角坐标系中x-y=6即y= x-6，是直线方程，画出直线，直线上点的坐标（x ，y ）满足方程x-y=6。

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

（1） （2）

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图（2）直线x-y=6叫做这两个区域的边界。 结论：二元一次不等式Ax+By+C

＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断二元一次不等式平面区域的方法：直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C 所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区

域，C≠0

时，常把原点作为特殊点。

典例: 例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点（0，0），代入x +4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,

∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。 变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。

变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。 例2 用平面区域表示.不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式1、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

B(-52,52

)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0

x-y+5=0063

x y