二元一次不等式(组)和平面区域讲课教案

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
董燕
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】
从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式
（组）表示的平面区域。

【教学难点】
如何确定不等式0(
Ax By C
++>或<0)表示0
Ax By C
++=的哪一侧区域.
【教学过程】
一．创设情境，引出问题
在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。

数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。

前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。

（板书课题）
现看一个实际例子：
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？
问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？
教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？
2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？
3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？
把实际问题转化数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。

（把文字语言转化符号语言）
（资金总数为25 000 000元）⇒25000000
x y
+≤
（1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x+(10%)y30000
≥即12103000000
x y
+≥
（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0
x y
≥≥
（3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
25000000
12103000000
0,0
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥≥
⎩
二．新课解读
（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义:
问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？
教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集:
1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。

也就是直角坐标系内的点构成的集合。

2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。

（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法:
1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？
是数轴上的区间。

2.探究:
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？
我们先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

问题4：在平面直角坐标系中，x-y=6表示什么图形？
教师引导：x-y=6即y= x-6，是直线方程，画出直线，直线上点的坐标（x，y）满足方程x-y=6。

问题5：二元一次不等式x-y<6即y> x-6的解集与y= x-6的解集有什么关系？满足x-y<6的点在哪个区域呢？满足x-y>6的点在哪个区域呢？
教师引导：取几个特殊点代入
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式
x-y<6，请同学们完成下面的表格：
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵坐标
1
y
点A的纵坐标
2
y
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，归纳总结：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

（1）（2）
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图（2）
直线x-y=6叫做这两个区域的边界。

由特殊例子推广到一般情况：
3结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
问题6：你能归纳出判断二元一次不等式表示平面区域的方法吗？试试看
4．方法：判断二元一次不等式表示平面区域的方法：
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x
,y
),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。

三．典例教学，巩固新知
例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

（让学生按照总结的方法，在坐标系中画出不等式x+4y<4表示的平面区域，教师检查学生画图的情况。

）
师启发：“你们是怎么画出图像的？谁能总结一下画图的过程？”
解：先画直线44
x y
+=（画成虚线）.
取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44
x y
+<表示的平面区域内，不等式44
x y
+<表示的区域
如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

特殊地，当0
≠
C时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式12
3
4≤
-y
x所表示的平面区域。

变式2、画出不等式1
≥
x所表示的平面区域。

例2 用平面区域表示.不等式组
312
2
y x
x y
<-+
⎧
⎨
<
⎩
的解集。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线
2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组
的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-300
5x y x y x 表示的平面区域。

变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）
四．课堂小结
（让学习自己总结：学到了什么知识？掌握了什么方法？还有什么问题？教师再指导补充。

） 1、小结：
（1）二元一次不等式表示平面区域： 是直线某一侧所有点组成的平面区域。

（2）二元一次不等式组表示平面区域： 是各个不等式所表示平面区域的公共部分 （3）判断方法：直线定界，特殊点定域。

五．作业布置
布置作业：课本P 练习1、2、 3
B(-52,52)C(3,-3)
A(3,8)
x=3
x+y=0
x-y+5=0
6
3x
y。