2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷1(三)(全国Ⅱ卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷1（三）（全国Ⅱ卷）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合U={0,1，2，3，4，5}，A={0,2}，B={x∈N∗||x|<4}，则(∁U A)∩(∁U B)=()
A. {4}
B. {5}
C. {4,5}
D. {3,4，5}
2.若复数z满足(1−i)⋅z=1+3i(i是虚数单位)，则|z|等于()
A. √6
2
B. √6
C. 2
D. √5
3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半
轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()
A. x2
12+y2=1 B. x2
4
+y2
3
=1 C. x2
3
+y2
4
=1 D. x2
16
+y2
3
=1
4.小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内
的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为()
A. 25
36B. 11
36
C. 4
9
D. 5
9
5.为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19∘7′方向上，塔顶T处的仰角
为30∘，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79∘7′方向上．塔顶T处的仰角为60∘，则铁塔OT的高度为()．
A. 20√7米
B. 25√7米
C. 20√21米
D. 25√21米
6.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
,x∈R)在一个周期内的图象如图所示，则y= f(x)的解析式是()
A. f(x)=sin(2x−π
6) B. f(x)=sin(2x+π
3
)
C. f(x)=sin(2x+π
6) D. f(x)=sin(x+π
3
)
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长
度之比是()
A. √2
2
B. √2
3
C. √2
4
D. 1
3
8.函数f(x)=(1−x2)log3|x|的图象大致是()
A. B.
C. D.
9.已知实数a，b满足a−13>b−13>1，则log a b，log b a，log a2的大小关系是()
A. log a2<log b a<log a b
B. log a b<log b a<log a2
C. log a b<log a2<log b a
D. log a2<log a b<log b a
10.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x值为()
A. 0
B. 1
C. 16
D. 32
11.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则异
面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
12.已知f(x)=2f(−x)+x2+3x，则函数f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为
A. y=−x+1
B. y=x+1
C. y=−x−1
D. y=x−1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(t,−6)，且a ⃗⃗⃗ ，b⃗ 共线，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为________．
14.已知tan(α−π
4)=−1
7
,α∈(0,π
2
)，则sin(α+π
6
)的值是_______．
15.曲线在点(−1,3)处的切线方程为_________．
16.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx.若对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1<x2，f(x1)+2x1<
f(x2)+2x2恒成立，则a的取值范围为___________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知函数，数列的前项和为，点均在函数
的图象上．
(I)求数列的通项公式；
(II)令，证明：．
18.某网上论坛从关注某事件的跟贴中，随机抽取了100名网友进行调査统计，先分别统计他们在
跟贴中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表：
一般关注强烈关注合计男45
女1055
合计100
性别有关；
(2)现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2
人中至少有1名女性的概率．
参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2
，n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k0)0.0500.010
k0 3.841 6.635
19.如图，△PAD中，∠PDA=90°，DP=DA=2，B，C分别是PA，PD的中点，将△PBC沿BC
折起，连结PA，PD，得到多面体PABCD．
(1)证明：在多面体PABCD中，BC⊥PD；
(2)在多面体PABCD中，当PA=√6时，求点B到平面PAD的距离．
20.已知直线l的方程是y=x−1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设
切点分别为A，B，
(Ⅰ)求证：直线AB恒过定点．
(Ⅱ)求△PAB面积的最小值．
21.已知f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=−2时，都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈[−3,2]都有f(x)>4
c −1
2
恒成立，求c的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =tcosα
y =2√33
+tsinα(t 为参数).在以坐标原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．
(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； (2)求MN 中点P 轨迹的参数方程．
23. 已知函数f(x)=|x −m|−|2x +3m|(m >0)．
(1)当m =1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x ，t ，不等式f(x)<|2+t|+|t −1|恒成立，求m 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查的是交集与补集的有关知识，先根据题意求出∁U A ={1,3,4,5}，∁U B ={0,4,5}，然后利用交集的定义进行求解即可． 【解答】
解：∵B ={x ∈N ∗||x|<4}={1,2，3}， 又集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={0,2}， ∴∁U A ={1,3,4,5}，∁U B ={0,4,5}， ∴(∁U A)∩(∁U B)={4,5}． 故选C ．
2.答案：D
解析：由(1−i)⋅z =1+3i ， 得z =
1+3i 1−i
=(1+3i)(1+i)
2
=−1+2i ，
∴|z|=√5． 故选：D ．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.答案：B
解析：解：由题意可得{abπ=2√3π
2b =2√3，解得a =2，b =√3，
因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为x 24
+
y 23
=1．
故选：B ．
利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a ，b ，得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
4.答案：B。