威布尔分布专题
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数技术专攻
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择“显示公式”和“显示R2值”； ⑶ EXCEL自动绘制回归直线，并把结果显示在图上，结果如图3 所示。其中斜率1.8486 即为形状参数m
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( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
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=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1
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i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
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E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
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模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。 设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿命数据
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失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( )
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]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]
![威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]](https://img.taocdn.com/s3/m/73c36d6243323968011c928c.png)
1
m --形狀參數 η--尺度參數
m
標准Weibull分布 f t mtm 1e t
❖在Weibull分布數,形狀參數m是一個很重要的指標,
當產品進行壽命試驗時, m與樣本數量有直接的聯系.
专业知识
3
➢2. 形狀參數m數值的确定:
一般可由經驗确定, 如經驗無法确定, 則可 采用如下方法:
❖a. 選取少量樣本, 例如5~8個;
专业知识
12
選擇可靠性,并輸入 “0.90”, 時間項輸入 “500”
分布選擇 “Weibull”
輸入 “8.55”
专业知识
允許的最大失效數 項輸入 “0”
每個單元的檢驗次 數項輸入 “600”
13
結果分析
所需測試的樣本數量是6 個,這6個樣本在600小時 測試時間內不能失效,該 試驗計划的實際置信水
威布爾(Weibull)分布的可靠 性/壽命試驗方法
专业知识
1
在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
专业知识
2
➢1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f
t
m
t
m
1
e
t
mHale Waihona Puke ,失效率tm
t
m
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
4
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
威布尔分布专题
6
3
4 5
16
Minitab中的威布尔分析
Probability Plot for Life of CSA (Days)
Weibull - 70% CI Censoring Column in CSA Status(A=Active, C=Cancel) - LSXY Estimates
99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1
100
1000
Life (Hours)
12
三参数威布尔分布
三参数威布尔分布引言在统计学和概率论中，分布函数是描述随机变量的概率分布的函数。
三参数威布尔分布是一种常见的概率分布，它被广泛应用于可靠性工程和生物学领域。
本文将详细介绍三参数威布尔分布的定义、特性、参数估计方法以及在实际问题中的应用。
定义和性质三参数威布尔分布是一种连续分布，它由三个参数所决定：形状参数（shape parameter ）k 、尺度参数（scale parameter ）λ和位置参数（locationparameter ）δ。
其概率密度函数（Probability Density Function ，简称PDF ）可以表示为：f (x;k,λ,δ)={k λ(x −δλ)k−1exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ,其中，k >0表示形状参数，λ>0表示尺度参数，δ表示位置参数。
三参数威布尔分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，简称CDF ）可以表示为：F (x;k,λ,δ)={1−exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ.三参数威布尔分布具有以下性质：1. 分布函数单调递增：对于任意两个取值x 1<x 2，若x 1≥δ且x 2≥δ，则F (x 1)≤F (x 2)；2. 形状参数的取值对分布形态的影响：当k >1时，分布函数右偏，而当0<k <1时，分布函数左偏；3. 尺度参数的取值对分布的定位和尺度的变动起到作用：当λ增大时，分布函数向右平移，且尖峰逐渐变宽；4. 位置参数的取值决定了分布函数的起点。
参数估计方法在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计三参数威布尔分布的参数。
常用的估计方法包括最大似然估计法和矩估计法。
最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值。
对于三参数威布尔分布，最大似然估计法的步骤如下：1.假设样本X1,X2,...,X n是独立同分布的三参数威布尔分布随机变量；2.构建似然函数L(k,λ,δ)，即样本的联合概率密度函数；3.对似然函数取对数得到对数似然函数l(k,λ,δ)；4.求解对数似然函数的一阶偏导数，令其为零，解得参数的最大似然估计值。
威布尔概率分布及应用
威布尔概率分布及应用威布尔概率分布是一种常用的统计分布模型，适用于描述正向偏斜的连续随机变量的概率分布。
在工程学中，威布尔分布经常用来模拟和分析可靠性和寿命数据。
下面将详细介绍威布尔概率分布及其应用。
1. 威布尔概率分布的定义与特性：威布尔概率密度函数的表达式为：f(x) = (a/b)((x/b)^(a-1)) * exp(-(x/b)^a)其中，a和b均为正实数，是概率分布的参数。
该概率密度函数主要用来描述随机变量X的寿命分布。
威布尔分布的累积分布函数为：F(x) = 1 - exp(-(x/b)^a)威布尔分布具有如下特性：(1) 当a=1时，威布尔分布退化为指数分布。
(2) 当a>1时，威布尔分布具有右偏斜的特性。
(3) 威布尔分布的均值为b * Γ(1 + 1/a)，其中Γ表示伽玛函数。
(4) 威布尔分布的方差为b^2 * （Γ(1 + 2/a) - (Γ(1 + 1/a))^2）。
2. 威布尔概率分布的应用：(1) 可靠性分析：威布尔分布常用于可靠性分析中，可以通过威布尔分布来描述产品的寿命分布。
通过分析得到的威布尔分布，可以计算产品在某个时间点的可靠性，确定其在给定时间段内的失效概率，并进一步寻找改进措施，提高产品的可靠性。
(2) 寿命数据分析：威布尔分布也广泛应用于对某些机械设备、材料或系统的寿命数据进行建模与分析。
通过对实际寿命数据进行威布尔分布拟合，可以更准确地预测设备或系统在未来某个时间段内的失效概率，帮助制定相应的维修和更换计划。
(3) 临床试验：在医学和生物学中，临床试验数据经常具有右偏性，且描述的是某种事件或现象的寿命。
因此，威布尔分布在临床试验数据分析中的应用十分常见。
通过拟合试验数据得到的威布尔分布可以为研究人员提供反映疾病发展或治疗效果的信息，从而指导临床实践和决策。
(4) 金融风险管理：在金融领域，威布尔分布可以用来对风险事件的发生概率进行建模，如市场波动、信用违约等。
.4.16weibullcalculation共23页文档
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
需要完整的风速观测资料； 大量统计工作； 用累积分布函数拟合威布尔分布曲线。
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
3、参数估计的方法
（2）平均风速和标准差估计法
需完整测风资料； 大量统计工作；
1、直观观察拟合精度； 2、用拟合出的3种概率分布与实测风数据的分布频率
进行相关性分析。
5、总结
1、双参数Weibull分布是一种形式简单且拟合效果较 好的模型；给定参数k和c，风速分布形式即确定；
2、便于风能资源的评估和比较，在风电场设计过程 中得到广泛的应用；
3、常用的有三种威布尔参数估计方法：
根据大量的观测，中国地区k值通常在1.0-2.6之间。
2、威布尔分布的原理
2、威布尔分布的原理
参数变化对线形的影响
尺度参数c控制平均风速的分布：
随着尺度参数c的增大，曲线峰值降低，线形扁平。
c=0.5 c=1 c=3
3、参数估计的方法
参数估计方法
最小二乘法 平均风速和标准差估计法 平均风速和最大风速估计法
3、参数估计的方法
（2）平均风速和标准差估计法
3、参数估计的方法
（2）平均风速和标准差估计法
参数估计的方法
（3）平均风速和最大风速估计法
无需完整风数据； 从常规气象资料获取平均风速和最大风速。
3、参数估计的方法
（3）平均风速和最大风速估计法
4、练习
根据实际测风数据（EXCEL文件），使用常用的三种 威布尔参数计算方法，分别计算不同高度的威布尔参 数，并比较各种方法的计算精度。
韦布尔分布专题知识
设t1,t2,t3,…,tn为某随机变量t旳一组观察值，则为布尔分 布拟合旳环节如下：
1. 计算t旳样本均值m和方差s^2，并用下式计算样本分 布旳偏倚系数Cs计算出参数α。
3. 计算参数β、γ旳估计值。
β=m+S*A(α),γ=β-S*B(α) 将参数α、β、γ代入式（4-51），即能够求得韦布尔分布。
一 基本公式
韦布尔分布
式中βͺγͺα为分布参数，取正值且β>γ。γ称为起点参 数，α称为形状参数，β称为尺度参数。显然负指数分布 和移位负指数分布是韦布尔分布旳特例。
韦布尔分布旳概率密度函数为
图4-12是γ=0ͺβ=1旳为布尔分布旳概 率密度曲线，曲线旳形状伴随参数α旳 大小而变化，可见为布尔分布旳合用 范围是比较广泛旳。当α=1时即为负 指数分布，α=3或2时，与正态分布没 有多少差别。
三 合用条件 四 应用举例
威布尔分布下复杂系统可靠性与全寿命周期费用综合建模
威布尔分布下复杂系统可靠性与全寿命周期费用综合建模一、开篇随着社会的发展，人们对产品和服务的质量和可靠性的要求越来越高。
而在现代经济中，复杂系统可靠性和全寿命周期成本是一项重要的经济指标。
在对于复杂系统的可靠性建模方面，威布尔分布是一种被广泛应用的概率分布，能够很好地描述产品或系统的寿命分布特性。
本文将围绕威布尔分布下的复杂系统可靠性与全寿命周期费用综合建模进行探讨，提出五个主题，包括：威布尔分布概述、威布尔分布建模、复杂系统可靠性建模、全寿命周期费用建模以及综合建模分析。
二、威布尔分布概述威布尔分布是一种常见的概率分布，被广泛应用于描述复杂系统的寿命分布特征。
其密度函数为：$$f(t) = \frac{\gamma}{\beta}(\frac{t-\mu}{\beta})^{\gamma-1}e^{-(\frac{t-\mu}{\beta})^\gamma}$$其中，$\mu$ 是位置参数，$\beta$ 是尺度参数， $\gamma$ 是形状参数。
在描述复杂系统的可靠性时，通常使用的是威布尔分布的累积分布函数：$$F(t) = 1 - e^{-(\frac{t-\mu}{\beta})^\gamma}$$这个函数能够描述系统在经过 $t$ 时间后仍然正常运行的概率。
三、威布尔分布建模在实际应用中，可以通过对系统的寿命数据进行威布尔分布拟合，来推断出系统的寿命特征。
比如，对于某一型号的产品，可以通过测量若干台设备的使用寿命，然后进行威布尔分布拟合，得到该型号设备的寿命分布特性。
从而可以预测出未来产品或系统的使用寿命，为制定产品或系统的维修计划和调整资产管理策略提供依据。
四、复杂系统可靠性建模复杂系统可靠性建模是指根据系统的失效信息，利用可靠性理论、统计学和计算机技术等技术手段，对系统的失效概率、失效时间、失效原因等进行分析和预测，以提高系统的运行可靠性。
威布尔分布可以用于对复杂系统的失效时间进行建模。
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99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1
Table of Statistics Shape 1.72135 Scale 1102.39 Mean 982.789 StDev 588.346 Median 890.970 IQR 798.175 Failure 15 Censor 4 AD* 17.702 Correlation 0.980
8
耐久性测量： B-寿命
• B10寿命是时间（年龄、小时、里程数，等） 总体中的10% 在该时间失效 • B-寿命适用于任何百分比，如 B50是总体的50%失效的时间 • B-寿命可以用作设计要求或基线
总体的%
50%
Байду номын сангаас失效
10% 1,000 2,000 3,000
B10
工作小时数
B-寿命实例
Number Deceased (thousands)
– X0仅用于当产品的寿命以某些指定的工作小时数开始时，例如与 仅用于当产品的寿命以某些指定的 作小时数 始时 例如与 疲劳相关的数据 – 而当寿命起始点为零时则不用，并且极大地简化了威布尔分布的 使用
威布尔参数——形状
• 形状参数
– 描述了分布的形状，并且又显示出总体中固有的问题类型
小于1意味着失效率是递减 等于1意味着失效率是一个常数 大于1意味着失效率是递增的
应用实例
• 一位买主打算购买一辆行驶了60,000 英里的旧车，他想知 道这辆车的变速箱发生故障的可能性 • 一位产品支持工程师想知道某一现场问题的可能的根本原 因是什么 • 零件销售部门想知道某一产品的可靠性问题，这样便于未 来几个月的定购 • 一名黑带希望知道在控制已经到位后问题是否得到了解决 。
Weibull
99
• •
可以按照 种直线关系在专用的威布 可以按照一种直线关系在专用的威布 尔纸上绘出威布尔累积密度函数 读懂威布尔图是进行威布尔分析的关 键环节
Percent
90 80 70 60 50 40 30 20
10
x x0 F ( x ) 1 exp[ ( ) ]
5 3 2 1
可靠性“浴缸型”曲线
使用期
7
可靠性“浴缸型”曲线
期望的
希望的
Quality
耐久性 可靠性
可靠性： 失效原因
• 早期失效区域 – 制造误差 – 组装误差 – 劣质原材料 • 使用期区域 – 工程误差 – 产品研制误差 – 产品应用误差 • 耗损期区域 – 耗损： 磨损、疲劳、老化等 – 工程设计局限 – 不当的保养和修理习惯
300 250 200 150 100 50 0 10 20 30 40 50 60 70
50 20 20 40 70
280
总体为1,000,000人的B10 是多少？
总共1,000K
130
220
150
B10 = ?
20
80
90 100
100%
AGE
% De eceased
如果数据已经标在百分比的累计图 上，那么寿命是很容易确定的
99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1
Table of Statistics Shape 1.31199 Scale 8279.35 Mean 7632.68 StDev 5869.89 Median 6261.43 IQR 7416.68 Failure 10 Censor 10 AD* 68.130 Correlation 0.975
11
威布尔参数——特征寿命
• 特征参数
– 是63.2%的总体的寿命，可能是小时数或英里数或强度数等 的总体的寿命 能是小时数或英里数或强度数等. – 是分布曲线的中心点，并且对于任何值或值的改变它都是分布 曲线的中心点 – 类似于正态分布的均值
威布尔图
Probability Plot for Life (Hours)
Minitab中的威布尔分析
1. 打开文件CSA.MTW 2. 选择 Stat>Reliability/Survival> Distribution Analysis(Right Censoring)> Parametric Distribution Analysis
2
15
Minitab中的威布尔分析
Table of Statistics Shape Scale Corr F C 1.31199 8279.35 0.975 10 10 1.72135 1102.39 0.980 15 4
Percent
后
前
10
100
1000
10000
100000
Life (hrs)
技术性定义
• 可靠性是指设备在某一特定的工作条件下、在某一特定的 时期内圆满完成其规定功能（没出现故障）的概率
100
1000
Life (Hours)
12
带有参数的威布尔图
Probability Plot for Life (Hours)
Weibull
99 90
63. 2
Percent
80 70 60 50 40 30 20
10 5 3 2
X0
1
100
1000
Life (Hours)
威布尔图和B-寿命
2
10, 000米高空俯瞰
Probability Plot for Life (hrs)
Weibull - 95% CI Censoring Column in Type - LSXY Estimates
99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1 When After Before
威布尔分布专题
P Presented t d by: b 杨振宇 (Mik young) (Mike )
学习目的
• 学习可靠性的基本概念 • 理解威布尔在可靠性范畴的作用 • 学习威布尔如何用于保证基线
1
我该了解什么？
• 理解威布尔分布的特性 • 学习如何对改善进行量化 • 学习如何用威布尔分析建立保修基线
2
4 5
6
Minitab中的威布尔分析
1 1. 点击“Estimate”（估计）按钮 2. 选择“Least Squares”（最小平方）估计 法 3. 在“Estimate survival probabilities for these times”（估计幸存概率时间）输入 “365” 4. 设置置信度 = “70.0” 5. 点击“OK” 6. 点击“OK” 2
• 耐久性是指设备需要大修或更换的时间（寿命）
3
实用定义
• 可靠性是指满足客户期望的产品设计和制造的卓越特性
• 可靠性和耐久性经常交替使用
可靠性“浴缸型”曲线
4
可靠性“浴缸型”曲线
浴缸型曲线是三种不同的失效 分布的组合
“浴缸型”曲线区域I
在产品早期，随着工作小时数的增长，产品失效率下降。 产品失效通常是由组装或加工不当引起的，并且能很快被发 现
5
“浴缸型”曲线区域II
在使用期，失效率相对保持不变。 产品失效是由工程设计局限 引起的。 零件断裂是由于它们强度不够。
使用期
“浴缸型”曲线区域III
在耗损期，失效率上升。 产品失效是由工程设计和客户保养步 骤以及对产品进行改造双重原因引起的。
使用期
6
失效模式的潜在根源
组装 办理
工程部
维护
使用期
X0 = 0 = 1.72 q = 1,102.4小时 （63.2% 的总体失效 时间为1,102.4 小时）
Percent
B10 = 298.2 小时
100 1000 10000
10
Life (Hours)
威布尔实例： 后
Probability Plot for Life-Hours
Weibull - 95% CI Censoring Column in After - LSXY Estimates
X0 = 0 = 1.31 = 8,279.4 q = 8,279.4小时 （63.2% 的总体失效 时间为8,279.4 小时）
Percent
B10 = 1,489.7 小时
100 1000 10000 100000
Life-Hours
14
Minitab中的威布尔分析
重型建筑机械代理商的一位服务经理想知道他们与客户签署的服务合同 能维持多长时间。 来自销售经理的最新反馈表明大约20%的服务合同在 第1年内即被取消。 服务经理希望验证销售经理的估计具有70%的置信度。 他收集了29份客 户服务合同以检验取消率。 数据在CSA.MTW中。 使用这些数据来确定销售经理的估计是否准确。
威布尔分布
• 累积密度函数（CDF）
F ( x ) 1 exp[ (
x x0 ) ], x x0
• 概率密度函数（PDF）
f ( x)
x x0 ( x x0 ) 1 exp[ ( ) ], x x0
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威布尔参数——位置
• 位置参数X0
平均 取消 时间=764天 在样本数据中： 14份被取消 15份有效
B10 = 260.5 260 5天
100 1000
Life of CSA (Days)
Minitab对话框输出
分布： 威布尔 参数估计 标准 参数 形状 比例 估计 1.88270 860.981 误差 0.343250 113.015 70.0% 低 1.55854 751.468 高 2.27429 986.455 正态 CI