上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高二期中数学试题(详解)

交大附中高二期中数学试卷

2020.05

一. 填空题

1. 平面上有5个不同的点，其中有且只有一组三点共线，则由这些点可确定直线的条数是 （数字作答）

2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的对角线所在直线中，与直线1AD 异面且所成角为60°的直线的条数是

3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与对角面11ACC A 所在平面所成的角的大小是

4. 在四面体ABCD 中，6AB CD ==且棱AB 与CD 所成角为60°，点M 、N 分别为棱BC 、

AD 的中点，则MN =

5. 半径为9的地球仪的北纬60度圈上有两点A 和B ，且线段AB 为此纬度圈的一条直径，则点A 和B 在此地球仪上的球面距离是

6. 一个半径为1的圆柱被一个平面截去一部分，如图所示，剩下这部分的母线的最大长度为2，最小长度为1，则剩下这部分的体积是

第6题 第7题

7. 如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

8. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确命题的序号） ① 能构成矩形；② 能构成不是矩形的平行四边形；

③ 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④ 能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：

9. 已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212

l ，则此圆锥底面半

径r 与母线长l 的比

r

l

的取值范围是 10. 空间直角坐标中，点O 为坐标原点，点(,,)P x y z 满足{(,,)|,,{1,2,3}}x y z x y z ∈，

且直线OP 与x 轴的夹角不超过60°，满足条件的点P 的个数是

11. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为三角形1D AC 内部任意一点（包含边界）点E 到平面ABCD 、平面11ADD A 及平面11DCC D 的距离的平方和为m ，则m 的最小值为

12. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖，当一正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分就是牟合方盖。结合祖暅原理以及球的体积的推导办法，利用所学几何体的体积，可推得棱长为2的正方体内的牟合方盖的体积是

二. 选择题

13. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8,)i P i =⋅⋅⋅

是上底面上其余的八个点，则(1

,2,,8,)i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

14. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A. 8

B. 12

C. 16

D. 24

15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是直线1AB 上的动点，点P 是△11AB D 所在平面 的动点，记直线1A P 与直线1D M 所成角为θ，若θ的最小值为

3

π

，则P 点轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

16. 如图，O 为平面ABC 外一点，则平面ABC 内任意一点P 均可唯一表示为

OP xOA =+uu u r uu r yOB zOC +uu u r uuu r

，且1x y z ++=，若点P 落在区域Ⅳ内（不含边界)，则 (,,)x y z 的正负为（ )

A. (,,)+-+

B. (,,)--+

C. (,,)++-

D. (,,)-++

三. 解答题

17. 8本不同的教科书排成一排放在书架上.

（1）其中数字书3本、外语书2本、物理书3本，如果3本数学书要排在一起，2本外语书不要排在一起，那么有多少种不同的排列方法？

（2）其中书甲不能排在首位，书乙不能排在末位，那么有多少种不同的排法？

18. 如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为棱1BB 、AB 的中点，

O 是正方形11BCC B 的中心，过点O 作直线AM 交于点P ，与CN 交于点Q .

（1）分别作出此正方体过点O 与直线AM 的截面和过点O 与直线CN 的截面，并据此作出点P 与点Q ；（请保留作图痕迹，并写出必要的作图步骤）

（2）请求出截面AMO 、截面CNO 与过点B 的正方体的三个表面所围成的几何体的体积.

19. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四点重合于图中的点P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，点E 、F 在线段AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE BF xcm ==.

（1）设广告商要求包装盒侧面积S （2cm ）最大，试问x 应取何值？并求S 的最大值； （2）若广告商要求包装盒容积V （3cm ）最大，试问x 应取何值？并求出包装盒的高与底面边长.（提示：对于正数a 、b 、c 恒有3

()3

a b c abc ++≤成立，当且仅当a b c ==时等号成立）

20. 长方体1111ABCD A B C D -中，棱长3AB =，11AA =，截面11AB C D 为正方形. （1）求异面直线1BC 与AD 所成角的大小； （2）求点1B 到平面1DBC 的距离； （3）求二面角11B C D B --的大小.