2018红对勾高三一轮复习课时作业8高三数学
2018高考数学(文)(人教版)一轮复习构想检测第八章 解析几何课时作业(五十三). Word版含解析
课时作业(五十三) 最值、范围、证明问题．(·浙江卷)已知椭圆＋＝上两个不同的点，关于直线＝＋对称．()求实数的取值范围；()求△面积的最大值(为坐标原点)．解析：()由题意知≠，可设直线的方程为＝－＋.由(\\(()＋＝，＝－()＋，))消去，得－＋－＝.因为直线＝－＋与椭圆＋＝有两个不同的交点，所以Δ＝－＋＋＞，①将线段中点，代入直线方程＝＋解得＝－.②由①②得＜－或＞.()令＝∈∪，则＝·，且到直线的距离＝.设△的面积为()，所以()＝·＝≤，当且仅当＝时，等号成立．故△面积的最大值为.．已知定圆：(＋)＋＝，动圆过点(，)且与圆相切，记圆心的轨迹为.()求轨迹的方程；()设点，，在上运动，与关于原点对称，且＝，当△的面积最小时，求直线的方程．解析：()易知点(，)在圆：(＋)＋＝内，∴圆内切于圆，又圆的半径为，∴＋＝，又＝＜，∴点的轨迹为椭圆，且＝，＝，所以＝，所以轨迹的方程为＋＝.()(ⅰ)当为椭圆的长轴(或短轴)时，依题意知，点可为椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)，此时△＝××＝.(ⅱ)当直线的斜率存在且不为时，设其为，则直线的方程为＝，由(\\((\())＋\()＝，＝))解得＝，＝，所以＝＋＝.由＝知，△为等腰三角形，又为的中点，所以⊥，所以直线的方程为＝－，由(\\((\())＋\()＝，＝－()))解得＝，＝，∴＝，∴△＝△＝×＝·＝，由于≤＝，所以△≥，当且仅当＋＝＋，即＝±时等号成立，此时△面积取最小值，是.因为＞，所以△面积的最小值为，此时直线的方程为＝或＝－.．(·江苏，分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线：－－＝，抛物线：＝(＞)．()若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；()已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.①求证：线段的中点坐标为(－，－)；②求的取值范围．解析：()抛物线：＝(>)的焦点为，由点在直线：－－＝上，得－－＝，即＝.所以抛物线的方程为＝.()设(，)，(，)，线段的中点(，)．因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，于是直线的斜率为－，则可设其方程为＝－＋.①由(\\(＝，＝－＋))消去得＋－＝.(*)因为和是抛物线上的相异两点，所以≠，从而Δ＝()－×(－)>，化简得＋>.方程(*)的两根为＝－±，从而＝＝－.因为(，)在直线上，所以＝－.因此，线段的中点坐标为(－，－)．②因为(－，－)在直线＝－＋上，所以－＝－(－)＋，即＝－.由①知＋>，于是＋(－)>，所以<.因此，的取值范围是.．(·山东，分)平面直角坐标系中，椭圆：＋＝(＞＞)的离心率是，抛物线：＝的焦点是的一个顶点．()求椭圆的方程；()设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为.直线与过且垂直于轴的直线交于点.(ⅰ)求证：点在定直线上；(ⅱ)直线与轴交于点，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．解析：()由题意知＝，可得＝.因为抛物线的焦点为的坐标为，所以＝，所以＝.所以椭圆的方程为＋＝.()(ⅰ)设(＞)．由＝，可得′＝，所以直线的斜率为.因此直线的方程为－＝(－)，即＝－.设(，)，(，)，(，)，联立(\\(＋＝，＝－()，))。
2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第八章 解析几何 五十五 含解析 精品
即 所以1＜k＜ .
(2)由①得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∴|AB|＝ ·
＝2 ＝6 ，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝ 或k2＝ .
又1＜k＜ ，∴k＝ .
12．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2 ，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3 7.
课时作业
[授课提示：对应学生用书第266页]
一、选择题
1．若双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝()
A. B.
C．2 D．4
解析：双曲线方程可化为x2－ ＝1，
∴实轴长为2，虚轴长为2 ，
∴2＝2 ，解得m＝4.
答案：D
2．焦点为(0,6)且与双曲线 －y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是()
答案：
8．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5 3，则双曲线的标准方程是__________．
解析：可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为 － ＝1.
答案： － ＝1
9．(2017·韶关调研)已知双曲线的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向，则双曲线的离心率为__________．
答案：
三、解答题
10．(2016·天津改编)已知双曲线 － ＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，求双曲线的方程．
解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有 ⇒ 则xy＝ · ＝ ⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为 － ＝1.
2018年高三最新 高三数学全程复习(一轮)-课时2018反函数(第二章函数) 精品
高三数学全程复习（一轮）课时18 反函数【考点指津】 1．了解反函数的概念及其表示方法；会求一些简单函数的反函数．从映射观点看，设函数y =f (x )的定义域是A ，值域是B ，若映射f ：A →B 是一一映射，则函数f (x )必存在反函数，并记作y =f -1(x )，其中x ∈B ，y ∈A ． “映射f ：A →B 是一一映射”是函数y =f (x )存在反函数的充要条件．设函数y =f (x )存在反函数y =f –1(x )，则函数y =f –1(x )的反函数是y =f (x )，也就是它们互为反函数，从而，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域．2．理解互为反函数的图象间的关系，并会简单应用．互为反函数的实质是x 与y 的交换，又因为点（x ，y ）与点（y ，x ）关于直线y =x 对称，所以，互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x 对称． 【知识在线】1．函数y =x -(x ≤0)的反函数是 （ ） A ．y =x 2 B ．y = -x 2 C ．y = -x 2 (x ≤0) D ．y = -x 2 (x ≥0)2．函数y = ax +b 与它的反函数是同一函数，则系数a ，b 满足条件 （ ） A ．a =1 ，b = 0 B ．a = -1 ，b =0C ．a = ±1，b = 0D ．a =1，b =0或a = -1，b ∈R3．已知函数f (x )的反函数是f -1 (x )，则在同一坐标系中，下列说法错误的是 （ ）A ．y = f (x )与x = f -1 (y )的图象相同B ．y = f (x )与y = f -1 (x )的图象关于直线y =x 对称C ．y = f -1 (x )与x = f -1 (y )的图象相同D ．y = f -1 (x )与x = f -1 (y )的图象关于直线y =x 对称 4．函数y =322+--x x (-3≤x ≤-1)的反函数的定义域是 ． 5．函数f (x )=c x b ax ++（a ，b ，c 是常数）的反函数是f －1 (x ) = 213+-x x ，则a ，b ，c 的值依次是 ． 【讲练平台】例1（1994年全国高考试题） 设函数211)(x x f --=（-1≤x ≤0），则函数y = f –1(x )的图象是 （ ）分析 因互为反函数的图象关于直线y = x 对称，故只须考察原函数的图象即可得出所求反函数的图象．解 由211)(x x f --=，得 x 2+( y -1)2 =1其轨迹为圆的一部分，且圆心的坐标为（0，1），从而反函数的图象所在圆的圆心为（1，0），对照选择支，答案只有选B ．点评 （1）这是一道关于反函数的图象的选择题，无须求出反函数，我们把这种方法可称为“设而不求”；（2）利用原函数的定义域，即反函数的值域[-1，0]，可排除A 、C ．另在原函数的图象上取点（52,54-），则反函数的图象上有点（54,52-），显然D 不合，选B ． 变题1 已知f (x )=lg(x 2+x +8) (x ≤-1)，则f –1(1)= -2 ．变题2 已知函数321)(-+=x x f 有反函数，且点（a ，b ）既在已知函数f (x )的图象上，又在其反函数的图象上，试求a 与b 的值． 提示：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=．321 321b a ，a b 解得a = 2，b = 2．例2 函数f (x )=x 2+2x +2(x ≤-2)的反函数是 （ ）A ．f -1(x )=11---x (x ≥1) B ．f -1(x )= 11---x (x ≥2) C ．f -1(x )= 11-+-x (x ≥1) D ．f -1(x )= -11-+x (x ≥2)分析 本题检测对反函数的概念的理解及其如何求出一个函数的反函数，可根据求反函数的步骤进行求解．解 解法一 由y =x 2+2x +2= (x +1)2+1得 (x +1)2=y -1．因x ≤-2，故x +1≤-1＜0，于是 x +1=1--y ，即x = -11--y 且y ≥2．从而，f -1(x )= -11--x （x ≥2），答案选B ．解法二 由函数f (x )的定义域是（-∞，-2]知：反函数的值域为（-∞，-2]，从而可排除A 、C 、D ，故答案选B ．（注：A 中函数的值域为（-∞，-1） ．）点评 （1）求函数的反函数时，通常先由给定的函数表达式y =f (x )中解出x =f –1(y )，再把x 与y 交换，即得到所求反函数的表达式；（2）由(x +1)2=y -1得到x +1=1-±y ，取正还是取负，应由f (x )的定义域确定，否则将误选D ；不能根据f -1(x )的解析式来求反函数的定义域，而应由原函数的值域得到；（3）审题时必须认真仔细，所提供的选项从形式上看很相似，不要轻易落笔作答，以造成误选．例3 若函数f (x )=ax x ++12的图象关于直线y =x 对称，则实数a = ． 分析 由已知f (x )与自身互为反函数，即f (x )=f -1(x )，从而可确定a 的值．解 解法一 由y =a x x ++12 得，(y -2)x =1-ay ． 若y =2，则1-2a =0，a =21．此时，y =2，图象不关于直线y = x 对称．于是，21--=y ayx (y ≠2)． 从而， f -1(x )=21--x ax(x ≠2)．由f (x )=f -1(x )，得 a x x ++12=21--x ax ． 整理得 (a +2)x 2+(a 2-4)x - (a +2)=0． 于是，a +2=0且a 2-4=0，解得a = -2．解法二 由已知得，函数f (x )的定义域是{x ∣x ≠ -a ，且x ∈R }，值域是{y ∣y ≠2，且y ∈R }．因函数f (x )的图象关于直线y = x 对称，故f (x )=f -1(x )，于是f (x )的定义域、值域相同，从而a = -2．解法三 依题意得，f (x )=f -1(x )．因为f (x )与f -1(x )图象关于直线y =x 对称，所以，若点（a ，b ）在f (x )的图象上，则点(b ，a )必在f -1(x )的图象上，从而点(b ，a )也在f (x )的图象上．因f (x )的图象过点(21-，0)，故点(0，21-)也在f (x )的图象上，于是 f (0)=⇒-=211a a = -2．点评 （1）以上解法一，求出了函数的反函数，是一个常规解法；解法二~三都回避了求函数的反函数，其中解法二用了互为反函数的定义域与值域的关系，解法三用了互为反函数的图象的关系；（2）一个多项式恒为零的充要条件是：其系数全为零（包括常数项）； （3）在解题过程中，y ≠2必须用反证法证明，否则推理不严密． 变题 给定实数a （a ≠0且a ≠1），设函数11--=ax x y (x ∈R ，且x ≠a1)．证明： （1）经过这个图象上任意两点的直线不平行于x 轴； （2）这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．提示：（1）可转化为任何平行于x 轴的直线y = t （t ∈R ，t 为定值，且t ≠a1）与函数11--=ax x y (x ∈R 且x ≠a1)的图象的交点不超过一个，即证方程t ax x =--11只有唯一解；也可转化为证明11111122-----ax x ax x ≠0（其中x 1≠x 2)；（2）证明函数的反函数是它自身． 例4 设f (x )是一次函数，且f (1)=1，f [ f (2)]= 2f –1(4)，试求f (x )的解析式． 分析 用待定系数法求解．解 依题意，可设所求函数为f (x ) = kx +b ，其中k 、b 为待定常数且k ≠0．则f –1(x ) =kbx -，f [f (2)]= f (2k +b ) = k (2k +b )+b ． 由f (1) = 1，可得k +b = 1． ① 由f [f (2)]= 2f –1(4)，可得k (2k +b )+b = 2·kb-4． ② 联立①②得k 3 –k –6 = 0．故 (k –2)(k 2+2k +3) = 0． 解得 k = 2，b = -1． 于是，f (x ) = 2x –1．点评 这里出现了三次方程，其解法往往是采用观察法，先“看”出一个根，然后利用因式分解的方法，将三次因式分解为一个一次因式与一个二次因式的积，进而求出全部的解． 【知能集成】1．求反函数的一般步骤是：①从原函数y =f (x )的表达式中反解出x =f -1(y )；②互换x 、y ，得到y =f -1(x )；③求出反函数的定义域，即原函数的值域．2．由互为反函数的两个函数的图象关系可以知道，证明两个函数的图象关于直线y =x对称，就是证明这两个函数互为反函数；证明一个函数的图象关于直线y =x 对称，就是证明它与自身互为反函数．3．设函数f (x )的反函数是f -1(x )，则由图象关系可知：①若f (x )是奇函数，则f -1(x )也是奇函数；②f (x )与f -1(x )具有相同的单调性．【训练反馈】1．若函数y =f (x )的反函数是y =g (x )，f (a )=b ，ab ≠0，则g (b )= （ ） A ．a B ．b C ．a 1 D ．b12．函数f (x )= x 2+2 (x ≤0)的反函数的图象是 （ ） 3．已知函数y =31x +m 的反函数是y = nx -6，则m = ，n = ． 4．函数f (x )的图象经过第三、四象限，则f -1 (x )的图象一定经过 （ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、三象限 5．若函数f (x )的图象过点(2，4)，则函数f (2x +2)的反函数的图象必过点 （ ）） A ．（0，4） B ．（4，0） C ．（-1，4） D ．（4，-1） 6．已知点（1，2）既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则a = ，b = ． 7．已知f (x )=)1(122-<-x x，则方程f -1(x )=2-的解是x = ． 8．写出使函数y = x 2 – 4x +2具有反函数的一个充分条件是 ．9．若f (x )=⎩⎨⎧<-≥-)0(12)0(12x x x x ，求f －1 (x )．10．已知)0)(1(21)(22<-=x xx x f ． （1）求f－1(22-)；（2）解方程f－1(x )= -3．11．已知函数mx x x f +-=25)(的图象关于直线y =x 对称，求实数m 的值．12．已知函数251)(2+-=ax x f （-5≤x ≤0），点P （-2，-4）在它的反函数的图象上．（1）求反函数；（2）证明（1）中求得的函数在它的定义域上是减函数．13．求函数123)(22+-=x x x f （x ≥0）的值域．参考答案： 【知识在线】1．D 2．D 3．C 4． {x |0≤x ≤2} 5． -2，-1，-3 【训练反馈】1．A 2．C 3．2 ，3 4．B 5．B 提示：f (2·0+2) = 4，故函数y = f (2x +2)的图象过点（0，4），而其反函数的图象过点（4，0）． 6．-3 ，7 7． -2 8． x ∈（-2，2） 注：填写集合[2，+∞）或（-∞，2]的任何一个子集均满足题意．9． f －1(x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x +1，(x ≥-1)，12(x +1)，(x ＜-1)． 10．（1）由方程22)1(2122-=-x x （x ＜0），解得x= f －1 (22-)=21-；（2）x = f (-3) = 940． 11．m = -1 ．12．（1）a = -1，21)1(25)(x x f---=-（-4≤x ≤1）；（2）利用单调性的定义及分子有理化进行证明． 13．提示：yyx -+=322≥0，值域为[-2，3）．。
创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业18 含解析
课时活页作业（十八）[基础训练组]1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12[解析] 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.[答案] D2．(2016·济南质检)α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45B.45C.35D ．－35[解析] 因为α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.[答案] B3．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos(8π＋π3)＝cos π3＝12.[答案] A4．(2016·皖北模拟)若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝( )A ．－35B.35C.45D ．－45[解析] cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35，故选B.[答案] B5．(2016·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.[答案] C6．(2016·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．[解析] sin(π－α)＝sin α＝log 814 ＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.[答案]2557．(2015·辽宁五校第二次联考)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈(3π2，2π)，则tanx ＝________.[解析] 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，得m ＝0或m ＝8.又x ∈(3π2，2π)，∴sin x <0，cos x >0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sin x ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.[答案] －348．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是________．[解析] cos(5π6＋θ)＝cos[π－(π6－θ)]＝－cos(π6－θ)＝－a .sin(2π3－θ)＝sin[π2＋(π6－θ)]＝cos(π6－θ)＝a ，∴cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)＝0.[答案] 09．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ. (1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ； (2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值． [解] (1)由t ＝sin θ－cos θ， 得t 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ.∴sin 2θ＝1－t 2，∴P ＝1－t 2＋t ＝－t 2＋t ＋1. (2)t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)∵0≤θ≤π，∴－π4≤θ－π4≤3π4.∴－12≤sin(θ－π4)≤1.即t 的取值范围是－1≤t ≤ 2. 令P (t )＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，从而P (t )在[－1，12]内是增函数，在(12，2]内是减函数．又P (－1)＝－1，P (12)＝54，P (2)＝2－1，∴P (－1)＜P (2)＜P (12)．∴P 的最大值是54，最小值是－1.[能力提升组]11．(2016·厦门模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2[解析] sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin31°＝1－a 2.[答案] B12．(2016·太原二模)已知sin α＋cos α＝2，α∈(－π2，π2)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1[解析] 把sin α＋cos α＝2①，两边平方，得(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝2，∴2sin αcos α＝1，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝0，即sin α－cos α＝0②，①＋②得：2sin α＝2，即sin α＝cos α＝22，∴tan α＝1，故选D. [答案] D13．(2016·海淀模拟)已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．0[解析] 因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2.即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4. [答案] B14．(2016·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________.[解析] 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案] 015．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .[解] (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32. ∴A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2 B ＝0. ∵cos B ≠0，∴tan 2 B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2 B －sin 2B ＝0，舍去． 故tan B ＝2.。
2018届高三数学一轮复习： 第8章 第9节 课时分层训练53
课时分层训练(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B.2 C ．1或2D.0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D.0B [由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.]3．(2017·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)． 由题设k OM ＝y 0x 0＝32.由⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32， 所以a b ＝32.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B.x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1D.x 245＋y 236＝1A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________.【导学号：01772344】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.] 8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________.【导学号：01772345】2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．【导学号：01772346】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12，3分 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.10分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.12分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． [解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1.5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.8分设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，10分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t ＋2， 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴S ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D.1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(2017·青岛质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )， 化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图8-9-3(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：01772347】[解](1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2.10分 由|AB ||CD |＝534得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.12分。
【小初高学习]2018届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时作业51 直线与圆、圆与圆的位置
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课时作业51 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.答案：B2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．4 6解析：依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.答案：C3．已知直线l 经过点M (2,3)，当圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长时，直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．3x ＋4y －18＝0C ．y ＋3＝0D ．x －2＝0解析：∵圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2,3)，∴直线l 的方程为x －2＝0.答案：D4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．4＋15B ．4＋ 5C ．4±15D ．4± 5解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形．故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为 3.则|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.答案：C5．过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：如图所示，由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.答案：A6．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案：A 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25558．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 解析：由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示．∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.答案：3210．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2，－3)为圆心且与直线2mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________________．解析：由2mx －y －2m －1＝0，得2m(x －1)－(y ＋1)＝0，所以直线过定点(1，－1)，所以圆心到直线的最大距离为－2＋－3＋2＝5，所以半径最大时的半径r ＝5，所以半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题11．已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心C(1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C(1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， 所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离 d ＝|k －2＋1－3k|k 2＋1＝r ＝2， 解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC|＝－2＋－2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为 |MC|2－r 2＝5－4＝1.12．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P.(1)求圆A 的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R.由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN.∵|MN|＝219， ∴|AQ|＝20－19＝1， 则由|AQ|＝|k －2|k 2＋1＝1， 得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2017·福建福州一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，32]解析：由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d<r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a|12＋12＝|a|2<3，解得a∈(－32，32)，故选A .答案：A2．(2017·山东德州一模)已知点A(－2,0)，B(2,0)，若圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r>0)上存在点P(不同于点A ，B)使得PA⊥PB，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5]解析：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB 为直径的圆和圆(x －3)2＋y2＝r 2(r>0)有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心距为3，所以|r －2|<3<|r ＋2|，解得1<r<5，故选A .答案：A3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB|＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos 30°＝4.答案：44．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x－y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋(BC 2)2，所以25＝＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第八章 立体
课时规范训练(时间：45分钟)1．已知a，b，c为三条不同的直线，且a 平面α，b 平面β，α∩β＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2.2．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( )A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：选D.对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.3．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.4.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析：选C.∵M是AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.6．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号为________．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．解析：①x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x 平面y.又∵x平面y，故x∥y，①成立；②x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y，③成立；④x，y，z均为直线，则x与y可平行，可异面，也可相交，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面，所以x∥y，⑤成立．答案：①③⑤7.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A 在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案：①②③8.点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1 平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，VAD1PC＝VPAD1C，所以体积不变．故①正确；连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P 平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正确；因为直线AC⊥平面DB1，DB1 平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1 平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.答案：①②④9．如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC.(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.证明：(1)∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥EB.又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.又∵AE 平面ABE，∴CB⊥AE.∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.又∵EC 平面CBE，∴AE⊥EC.(2)∵CD∥AB，AB 平面ABE，∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE∩平面ABE＝EF，∴CD∥EF.又∵CD∥AB，∴EF∥AB.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA ⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD 平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由(2)知BE∥平面PAD，∴BE⊥CD，又EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.又∵CD 平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.(时间：30分钟)11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m α，n β，则α⊥βD．若α∥β，m α，n β，则m∥n解析：选B.对A，分别位于两垂直平面内的两直线还可能平行或异面，故A错；对B，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又n∥β，∴α⊥β，B正确；对C，α与β可能平行、相交或垂直，故C错；对D，m与n还可能异面，故D错误．12.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：选A.∵∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AC ， 又AC ⊥BC 1，BC 1∩AB ＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1， 又AC 平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ABC 1. ∵平面ABC 1∩平面ABC ＝AB ，∴点C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上，故选A.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：可采用两个极端位置法，即F 移到C 点，t ＝1，对于F 位于DC 的中点时， ∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，又CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ，则有t ＝12，因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114.如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB . 又因为VB平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB ，又OC 平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB ，(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 15．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P －ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P －BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ， ∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO 平面POA ，PO 平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA . (2)如图，设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD . ∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF 平面BFED ，BO 平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ， 又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P －BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业51 Word版含答案.doc
课时作业51 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a|5＝5，即a ＝±5.答案：B2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．4 6解析：依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r2－d2＝2，故弦长为4.答案：C3．已知直线l 经过点M (2,3)，当圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长时，直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．3x ＋4y －18＝0C ．y ＋3＝0D ．x －2＝0解析：∵圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2,3)，∴直线l 的方程为x －2＝0.答案：D4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．4＋15B ．4＋ 5C ．4±15D ．4± 5解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形．故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为 3.则|a ＋a －2|a2＋1＝3，解得a ＝4±15.答案：C5．过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：如图所示，由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.答案：A6．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案：A 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25558．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 解析：由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示．∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.答案：3210．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2，－3)为圆心且与直线2mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________________．解析：由2mx －y －2m －1＝0，得2m(x －1)－(y ＋1)＝0，所以直线过定点(1，－1)，所以圆心到直线的最大距离为－＋－3＋＝5，所以半径最大时的半径r ＝5，所以半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题11．已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心C(1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1kPC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C(1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， 所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离 d ＝|k －2＋1－3k|k2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC|＝－＋－＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为 |MC|2－r2＝5－4＝1.12．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P.(1)求圆A 的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R.由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN.∵|MN|＝219， ∴|AQ|＝20－19＝1， 则由|AQ|＝|k －2|k2＋1＝1， 得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2017·福建福州一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，32]解析：由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d<r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a|12＋12＝|a|2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A .答案：A2．(2017·山东德州一模)已知点A(－2,0)，B(2,0)，若圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r>0)上存在点P(不同于点A ，B)使得PA ⊥PB ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5]解析：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB 为直径的圆和圆(x －3)2＋y2＝r 2(r>0)有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心距为3，所以|r －2|<3<|r ＋2|，解得1<r<5，故选A .答案：A3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos30°＝4. 答案：44．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x－y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋(BC 2)2，所以25＝＋5＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2018年高三最新 高三数学全程复习(一轮)-课时2018逻辑
高三数学全程复习（一轮）课时18 逻辑联结词和四种命题【考点指津】理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；正确区分简单命题与复合命题，会判断简单命题与复合命题的真假；掌握四种命题的构成及其内在关系，会用反证法证明简单的数学问题．【知识在线】１．下列命题中为简单命题的是 （ ）A ．8或6是30的约数B ．菱形的对角线垂直平分C D ．方程210x x -+=没有实数根２．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则0||||=+y x ”的逆命题；③“若a>b ，则a+c>b+c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ３．已知命题p ：若实数x 、y 满足,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若11,.a b a b><则 给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③ ⌝ p ，④ ⌝ q .其中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4４．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（ ）（A ）1或2或3或4 （B ）0或2或4（C ）1或3 （D ）0或4５．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．【讲练平台】例 1 已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根, 命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析 先分别求满足命题p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解 由已知p ，q 中有且仅有一为真，一为假．⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>⇒<-=+>∆01200:2121x x m m x x p ． 310:<<⇒<∆m q ．（1）若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩； （２）若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或． 综上所述：(][)+∞⋃∈,32,1m ．点评 本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算．例２ 分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直．解 （1）p 或q ：3是9的约数或18的约数．此为真命题；p 且q ：3是9的约数且是18的约数．此为真命题；非p ：3不是9的约数．此为假命题．（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相垂直．此为真命题；p 且q ：矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；非p ：矩形的对角线不相等．此为真命题．点评 由p ，q 的真假，判断“p 或q ”的真值时，可简称为“有真即真”；判断“p 且q ”的真值时，可简称为“有假则假”．例３ 已知命题p ：无穷数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若｛a n ｝是等差数列，则点列｛（n ，S n ）｝在一条抛物线上；命题q ：若实数m ＞1，则mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞），对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是 （ ）A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题分析 对于命题p ，当｛a n ｝为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞）的m 不存在，故命题命题q 的逆命题r 是假命题，于是应选（Ｃ）．例４．已知函数f (x )满足下列条件：（1）1()12f =；（2）()()()f xy f x f y =+；（3）()f x 的值域为［－1,1］．试证：14不在f (x )的定义域内． 分析 用反证法．证明 假设14在f (x )的定义域内，则1()4f 有意义，且1()[1,1]4f ∈-． 又由题设，得1()4f ＝[]1111()()()21,12222f f f ⋅=+=∉-，此与1()[1,1]4f ∈-矛盾． 故假设不成立，从而14不在f (x )的定义域内． 点评 运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”⇒“不在”；“是”⇒“不是”；“都是”⇒“不都是”；“大于”⇒“不大于”；“所有的…”⇒“至少有一个不…”；“至少一个” ⇒“一个也没有”；“任意一个”⇒“存在某个不…”，等等．变题 若三条抛物线()2222443,1,22y x ax a y x a x a y x ax a =+-+=+-+=+-中至少有一条与x 轴有公共点，求a 的取值范围.分析 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单.由 ()()()()2122223444301404420a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎪⎩解之，得312a -<<-，记3,,12I R A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则所求a 的范围是 [)3,1,2R A ⎛⎤=-∞--+∞ ⎥⎝⎦ð. 【知能集成】１．领会逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，是正确判断复合命题的真假的前提，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．２．判断复合命题真假的基本程序是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题）；（2）判断各个简单命题的真假；（3）结合真值表推断复合命题的真假．３．四种命题反映了命题之间的内在联系 ，应结合具体问题理解其关系产生的过程，尤其是两个等价关系．在判定四种命题形式的真假时，应熟记以下结论：（1） 原命题为真，其逆命题可真可假；（2） 原命题为真，其否命题可真可假；（3） 原命题为真，其逆否命题必为真；（４）互为逆否命题同真同假，同一命题的逆命题与否命题也同真同假．具体判断所给命题真假时，除可直接判定外，也可等价转化为互为逆否的命题的等价性进行判断．４．反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法．当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，常可考虑运用反证法．【训练反馈】1．设方程（x －1）（y +2）= 0的实数解集为M ，方程（x －2）2 +（y +2）2 = 0的实数解集为N ，则下列各式中正确的是（ ）A ．M = NB ．M ∩N = {1，－2}C ．N = {1，－2}D ．M ∩N =∅ ２．有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是（ ） A ．（1） B ．（2） C ．（3） D ．（4）３．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ）A ．逆命题B ．逆否命题C ．否命题D ．以上判断都不对４．下面三个命题：（1）“若3=b ，则92=b ”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题．其中真命题的个数是 （ ）A ． 0B ． 1C ． 2 D.．3５． 已知直线l 1 ,l 2与平面α，有下列命题：①若1l ∥α，1l ∥l 2 ，则l 2∥α；②若2121,,,l l A l l 则=⋂⊂αα为异面直线； ③若1l ⊥l 2 ，1l ∥α，则l 2∥α；④若1l ⊥α，l 2⊥α，则1l ∥l 2其中真命题有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个６．（2001年高考新课程卷）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).7．命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号）．８．关于x 的不等式22:(1)0p x a x a +-+>与指数函数2()(2),x f x a a =-若命题“p 的解集为(,)-∞+∞ 或()f x 在(,)-∞+∞ 内是增函数”是真命题，求实数a 的取值范围．９．若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．参考答案：【知识在线】１．Ｃ 提示 简单命题是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题，选择支A 、B 、D 中分别含有逻辑连结词“或”、“且”、“非”． ２．Ｂ ３．Ｂ 提示 ②、③为真命题． ４．Ｂ 提示 结合命题的等价关系进行判断． ５．提示 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……．【训练反馈】1．Ｄ 提示 Ｍ中涉及逻辑联结词“或”，Ｎ中涉及逻辑联结词“且”． ２．Ｃ ３． B 提示： 由4种命题的相互关系，可知否命题与逆命题是逆否命题． ４．Ｂ ５． Ｂ ６．② 7．①④⑤⑥ 8.提示 设使p 的解集为(,)-∞+∞ 的a 的集合为A ，使()f x 在(,)-∞+∞ 内是增函数的a 的集合为B ，则本题即求,A B 答案为11(,)(,)23-∞-+∞ ． ９．证明 （用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤． 而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾．故假设错误，从而原命题正确．说明 本题亦可直接转化为证明等价命题：0a b c ++>．。
2018年高考数学一轮温习第八章解析几何课时达标53曲线与方程理
解析： ＝(x,1)， ＝(x，－2)， ＝(x＋ ，y)， ＝(x－ ，y)．
∵λ2 · ＝ · ，∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，
2018年高考数学一轮温习 第八章 解析几何 课时达标53 曲线与方程 理
[解密考纲]求曲线的轨迹方程，常常通过概念法或直接法，在解答题的第(1)问中显现．
一、选择题
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若是动点P知足|PA|＝2|PB|，那么动点P的轨迹是( B )
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
解析：设P(x，y)，那么
＝2 ，整理得x2＋y2－4x＝0，
又D2＋E2－4F＝16>0，因此动点P的轨迹是圆．
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，那么Q点的轨迹方程是( D )A．2xy＋1＝0B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0
解析：设Q(x，y)，那么P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内必然点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，那么M的轨迹方程为( D )
又所引的两条切线彼此垂直，设两切线的斜率别离为k1，k2，于是有k1k2＝－1，即 ＝－1，
即x ＋y ＝13(x0≠±3)．
假设两切线中有一条斜率不存在，
那么易患 或 或
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课时作业8 指数与指数函数一、选择题1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选项B 正确．答案：B2．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)解析：∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)． 答案：D3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c解析：a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1， ∴a >b >c . 答案：D 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19得a 2＝19.所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.答案：B5．(2017·兰州模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：C6．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点，①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.(1) (2)②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 答案：D 二、填空题7．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x 的值域为________． 解析：由1－e x ≥0，e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0,0≤1－e x <1，函数f (x )的值域为[0,1)．答案：[0,1)8．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数．又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知a ＝ 3. 答案： 39．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1，由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) 二、填空题10．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2，即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1，∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数． 在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a .f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2，∴a (2a －1)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝12，∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32.11．(2017·上海松江区模拟)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎨⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.1．若函数y＝a x＋b的图象如图，则函数y＝1x＋a＋b＋1的图象大致为()解析：由图可知0<a<1，－2<b<－1.又函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象是由y ＝1x 向左平移a 个单位，再向下平移|b ＋1|个单位而得到的．结合四个选项可知C 正确．答案：C2．(2017·河南郑州质检)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.答案：A3．(2017·辽宁鞍山模拟)当x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以不等式1＋2x ＋4x·a a 2－a ＋1>0恒成立转化为1＋2x＋4x·a >0恒成立．由1＋2x＋4x·a >0，得－a <14x ＋2x4x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，1]上是减函数，所以当x ＝1时，y min ＝14＋12＝34，所以－a <34，解得a >－34，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ 4．(2017·山东济南模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m 2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.此时f (x )＝2x －2－x 是奇函数．(2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法1：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 方法2：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．。