初中数学二次函数与一元二次方程PPT

2
C
).
3个 Ｄ．
（2）.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与 x轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
(5)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
( 6)关于x的一元二次方程 x x n 0没有实数根, 则
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝32 －4× （－ 2）×（ －9） ＜ 0 ∴函数与x轴没有交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（3） ∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
(1)证明 : 令y 0, 得2 x m x m 0 (m) 4 2 m 9m 0
2 2 2 2 2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 (2)有一个交点 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点, 则 b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y
△＜0
△=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
图象
y
O
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2 有两个相等的 解 b x1=x2=
y＝x2－x－3 y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
用图象法求一元二次方程的近 似解
练习：根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09
2 y x 2 x 3 的顶点坐标, 写出二次函数
对称轴,并画出它的图象. x y
…
…
(1,-4)
2 3 -3 0 4 7
…
…
-2 7
-1 0 1 0 -3 -4
观察
当x为何时,y=0?
N M
x=-1, x=3
x 2x 3 0
2
x=-1, x= 3 2
1
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
b2-4ac＞0
x y
b2-4ac=0
O
2a
x y
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0 ∴函数与x轴有两个交点
（2、20）
t
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到 0.1）.
y
方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x =-1.3，x =2.3。
1
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
?
交流总结
同学们， 通过这节课的学习，你收获了什么？
结论三： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给 我们什么样的结论？ （1）b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点 （2）b2－4ac＝0 函数与x轴有一个交点 （3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
∴函数与x轴有一个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（4） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）×（ －b） ＝（ a － b）2 ≥0 ∴函数与x轴有一个或两个交点
-0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x C 的范围是( ) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 <X< 3.25
D
3.25 <X< 3.26
(1)抛物线y x 2 x 3与x轴的交点个数有( A.0 B.1个 2个 Ｃ．
2 2 2 2 2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为 (2,0)
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?
观察二
y x2 6x 9
y x2 6x 9 y x2 2x 3
3 0
观 察 二 次 函 数
y x2 2x 3
探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元
二次方程的解有关系吗？
结论二： 函数与x轴有两个交点 方程有两不相等根 函数与x轴有一个交点 方程有两相等根 函数与x轴没有交点 方程没有根 方程的根的情况是由什么决定的？ 判别式b2－4ac的符号
二次函数与一元二次方程
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 （ －2 ，0 ） －2 一元一次方程x＋2＝0的根为________ （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为 （ 2， 0 ） 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的根
例题精讲
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标 解：令y＝0 则x2＋4x－5 ＝0 解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ X1，0 ）， B（ X2，0 ） 思考：函数y＝－x2＋6x－9和y＝2x2＋3x＋5与x轴的 交点坐标是什么？试试看！
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为 （－1，0）（3，0） 方程x2－2x－3 ＝0的两根是 x1＝ －1 ,x2 ＝ 3 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐 标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的 根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程去解决
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）解方程 15=20t-5t² t² -4t+3=0 t 1 =1， t 2 =3. 当球飞行1s和2s时， 它的高度为15m。 （2）解方程 20=20t-5t² t² -4t+4=0 t 1 = t2 =2. 当球飞行2s时， 它的高度为20m。
（3）解方程 h 20.5=20t-5t² t² -4t+4.1=0 ∵（-4）² -4*4.1＜0， ∴方程无实数根 （4）解方程 0=20t-5t² t² -4t=0 t 1 =0， t 2 =4. 当球飞行0s和4s时， 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
例题精讲 3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b 有一个公共点（即相切），求出b的值. 解：由题意，得
抛物线y x x n的顶点在( A.第一象限
2
2
A
).
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(7)抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为 （ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、无法确定
5、已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴 总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1、0），求B点坐标。