(新课标版)备战2018高考高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量测试卷文

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2018年高考数学(文)二轮复习讲练测专题1.3 三角函数与平面向量(讲) 含解析

2018年高考数学（文）二轮复习讲练测【高考改编☆回顾基础】1．【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知4sin cos3αα-=，则sin2α= .A．B．29-C．29D．79【答案】7 9 -【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.2.【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=13，则sinβ=_________．【答案】1 3【解析】3.【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．【解析】【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.学网（1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C 点坐标为 .【趁热打铁】已知角α的张终边经过点(2P m ， 2sin 3α=且α为第二象限．（1）求m 的值；（2）若tan 2β=()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin sin παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值．【答案】（1）1m =-；（2）211【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】002cos10sin20sin70-的值是（）A.12B. 3223【答案】D 【解析】故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知2παπ<<， 7sin22cos αα=，则11πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】437-【方法总结☆全面提升】(1)巧记六组诱导公式对于“απ±2k ，Z k ∈的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．(2)几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握. ⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--. 【规范示例☆避免陷阱】【典例】若函数1cos 2()sin cos()224sin()2xx xf x a x ππ+=--+的最大值为2，试确定常数a 的值．【规范解答】∵22cos 11()sin cos cos sin )4cos 2222x x x f x a x a x x x ϕ=+=+=+，1tan a ϕ=，由已知得214154a a +=⇒=【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【误区警示】已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x 的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.考向二三角函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】1．【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ω= ，ϕ= . 【答案】23ω=，12ϕπ=2. 【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数32cos 2y x x =+ 最小正周期为 .【答案】π 【解析】试题分析：因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,3 . 【三角函数图象的变换】【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】4. 【两角和差的三角函数、三角函数的最值】【2017课标3改编】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为 . 【答案】65【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.5. 【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）．求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】【命题预测☆看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档.三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.预测:三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主, 通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.【典例分析☆提升能力】【例1】已知函数()()sin ,f x x ωϕ=+其中0ω>， π2ϕ<, （1）若π3πcoscos sin sin 0,44ϕϕ-=求ϕ的值；（2）在（1）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数. 【答案】（1）4πϕ=；（2）12m π=.函数()f x 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为()()sin 34g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， ()g x 是偶函数当且仅当()342m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=.【趁热打铁】为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象 A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度【答案】B【解析】因为ππ2ππsin 2=cos 2cos 2cos262633y x x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以可以将函数cos2y x =的图象向右平移π3个单位长度. 【例2】【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】（Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以)(x f 的最小正周期是π由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【趁热打铁】已知函数()2211sin 3sin cos cos 22f x x x x x =-．（1）求函数()y f x =在[]0,π上的单调递增区间．（2）若π7π,312α⎛⎫∈⎪⎝⎭且()35f α=，求π12f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；（2334-【例3】【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（） A. ()f x 的一个周期为π- B. ()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C. 2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为3x π=-D. ()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】D【解析】()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为T=k π,所以A 对；当23x π=时， 2?,3x cos πππ-= =-1,所以B 对； 3x π=-时， 2?cos 21033x x πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，，所以C 错； ,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 22333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，y=cosx 在233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，所以D 对；故选C.【趁热打铁】已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【方法总结☆全面提升】1.利用待定系数法求解析式.若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),可按以下规律来确定A,ω,φ：（1）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T等”来确定T.(3)代入点的坐标,通过先解三角方程,再结合图象确定φ.特别提醒:求y=Asin(ωx+φ)的解析式,最难的是求φ,第一零点常常用来求φ,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出φ.若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.2.图象变换理论:(1)平移变换①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 (纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒:对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要先将系数提出来再判断.3.三角函数的综合性问题,常将三角函数与三角形及向量结合在一起,需要综合运用三角函数的性质,运用各种三角函数公式、三角恒等变换以及三角形的有关知识等方法求解.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】解答本题易出错之处有，一是不能正确的进行三角恒等变换；二是利用x 的范围进一步确定23x π+的范围，并根据三角函数图象，正确对待三角函数的范围.考向三解三角形【高考改编☆回顾基础】1．【余弦定理的应用】【2017·山东卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3, A ＝3π4，S △ABC ＝3，则a ＝________．【答案】29【解析】因为A ＝3π4，b ＝3，S △ABC ＝12bcsin A ＝3，所以c ＝22，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29. 2.【正弦、余弦定理定理的应用】【2017·天津卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asin A ＝4bsin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则cos A 的值为________．【答案】－553.【三角恒等变换、正弦定理】【2016·四川卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos Aa ＋cos B b ＝sin Cc，则sin Asin B 与sin C 的大小关系是________．【答案】sin Asin B ＝sin C 【解析】根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k(k>0)，则a ＝ksin A ，b ＝ksin B ，c ＝ksin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A ksin A ＋cos B ksin B ＝sin C ksin C，变形可得 sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，所以sin Asin B ＝sin C.4.【正弦定理、三角形面积】【2015·浙江卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知tan A ＝13，B ＝π4，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【答案】9【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:①边和角的计算;②三角形形状的判断;③面积的计算;④有关的范围问题.（1）预计2018年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；（2）结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数()22sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角A 满足()1f A =， 3a =ABC ∆的面积为32，求b c +的值. 【答案】(1) ,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈；(2) 3b c +=.【趁热打铁】【2018届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数()()()21cos 3sin cos 2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C ，的对边分别为a ， b ， c ，已知()1f A =-， 2a =， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（23. 【解析】试题分析：（Ⅰ）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得()sin 26f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，求减区间，只需222262kx x kx πππ-≤-≤+即可，结合[]0,π求交集即可；（Ⅱ）由()s i n 216f A A π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，结合锐角ABC ∆， 02A π<<，可得3A π=，由正弦定理将sin sin b C a A =转化为24bc a ==，进而可求面积. 试题解析：【例2】【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】【趁热打铁】如图，在中，，点在边上，为垂足，（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（I）；（II）.（Ⅱ）方法1：因为．由正弦定理知：，且，得，解得，．所以角的大小为．方法2：由正弦定理得，得．又，则，得，．所以角的大小为．【方法总结☆全面提升】利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===”,若要把“角”化为“边”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等.(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如222(b c a bc λλ+-=为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢. (3)余弦定理与完全平方式相联系可有:()()2222221a b c bccosA b c bc cosA =+-=+-+.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由222b c bc +≥,得()22222221a b c bccosA bc bccosA bc cosA =+-≥-=-,可探求边或角的范围问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知△ABC 三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos C+csin A-b-c=0,(1)求角A 的值;(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间的值域.【规范解答】(1)因为acos C +csin A-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+sin Csin A-sin B-sin C=0,即sin Csin A-cos Asin C-sin C=0;——3分因为sin C≠0,得sin A-cos A=1,所以sin .所以A-或A-(舍去),解得A=.————6分(2)由(1)得sin A=,所以f(x)=cos 2x+4sin Asin x=1-2sin 2x+2sin x=-2.————9分因为x ∈,所以sin x ∈.故函数f(x)的值域为.————12分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】特别提醒：在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.考向四平面向量的数量积及其应用【高考改编☆回顾基础】1．【平面向量基本定理、平面向量的坐标运算】【2017课标3改编】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为 .【答案】3【解析】如图所示，建立平面直角坐标系故填3.2. 【平面向量的数量积、夹角】【2017山东，理12】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221212112233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()2222212112221e e e e e e e e λλλλλ+=+=+⋅+=+2221cos601λλλ=+=+，解得：33λ=． 3. 【平面向量的线性运算、平面向量的数量积】【2017天津，文理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.4. 【平面向量的坐标运算】【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.【命题预测☆看准方向】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,有时也以向量为工具在解答题中研究三角函数或圆锥曲线的性质,从近几年的高考试题来看,向量的线性运算、共线问题和平面向量的数量积、几何意义、模与夹角、垂直等问题是考查的重点,紧扣定义,理解其运算和性质的几何背景,学会应用是复习的重点.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届高三期末复习备考之精准复习模拟题】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 平行，则k 的值为（） A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】A【趁热打铁】已知向量()1,1m λ=+， ()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（） A. 4- B. 3- C. 2- D. 1- 【答案】B 【解析】()()m n m n +⊥-， ()()2222==+1+1-+2-4=0m n m n m n λλ∴+⋅--（）（），解得=-3.λ【例2】【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【趁热打铁】【2018届浙江省台州中学高三上第三次统练】如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记()2•1,2,,10i i m AB AP i ==，则1210m m m +++的值为（）A. B. 45 C. 603 D. 180 【答案】D【解析】因为2AB 与33B C 垂直,设垂足为C ，所以i AP 在2AB 投影为AC ，22·233318i i m AB AP AB AC ==⨯== ，从而1210m m m +++的值为1810180.⨯= 选D.【例3】【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为3-.【趁热打铁】【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知向量()()()sin ,cos ,2cos ,2cos a x x b x x π=-=，函数()1f x a b =⋅+.（1）求()f x 的对称中心；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出x 相应的值. 【答案】（1）(),028kx k Z π⎛⎫+∈⎪⎝⎭；（221-. 【解析】试题分析：（1）由()12sin 24f x a b x π⎛⎫=⋅+=- ⎪⎝⎭，令2?4x k k Z ππ-=∈，即可得对称中心；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而根据正弦函数的图象即可得最值. 试题解析：（1）因为()()212sin cos cos 2cos 2sin cos 2cos 1f x a b x x x x x x x π=⋅+=+-⋅=-+【方法总结☆全面提升】1.对于平面向量的线性运算问题,要注意其与数的运算法则的联系与区别,两者不能混淆.要灵活运用向量的几何表示,在图形中发现向量关系.同时要注意两个定理的运用:(1)平面向量基本定理:设a ,b 是两个不共线向量,c 是平面上任意一个向量,则存在一组实数x,y,使得c =x a +y b ,当c ≠0时,这样的x,y 是唯一的; (2)向量共线定理:设=x+y,则A,B,C 三点共线,当且仅当x+y=1.解决向量问题的常用方法有:一是基于“形”,通过作出向量,结合几何图形分析;二是基于“数”,借助向量的坐标形式,转化为解析几何问题.2.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义(投影).3.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.4.在数量积的运算中,以下恒等式是常用的:[()2-()2]=,其中C 是AB 中点.此恒等式也称之为极化恒等式.5. 在平面向量与三角函数、平面几何相结合的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数和几何图形中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述几何图形条件,利用向量的模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数和平面几何的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,要根据题目的具体要求,在向量和三角函数、几何图形之间建立起联系,就可以解决问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知向量(1,2),(,1)a b x →→==，且向量a 与b 夹角为锐角，求x 的范围. 【规范解答】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 当x =1时，a 与b 同向，故x 的范围为11(2,)(,)-⋃+∞. 同向的情况．。

专题03 三角函数与平面向量文-2018年高考题和高考模拟题数学分项版汇编 Word版含解析

3．三角函数与平面向量1．【2018年新课标I卷文】已知函数，则A. 的最小正周期为π，最大值为3B. 的最小正周期为π，最大值为4C. 的最小正周期为，最大值为3D. 的最小正周期为，最大值为4【答案】B点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.4．【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

2018年高考题和高考模拟题数学(理科)分类汇编：三角函数与平面向量(含答案)

三角函数与平面向量1．【2018年理数全国卷II】在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项. 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】 3点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．【2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】【解析】分析：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.详解：因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为. 点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.5．【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

专题1-3 三角函数与平面向量测-2018年高考数学文二轮

2018高三二轮复习之讲练测之测案【新课标版文科数学】总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届陕西省宝鸡市金台区高三上期中】已知()()1,1,,3AB BC x ==-，若AC AB ⊥，则x = ( ) A. 3 B. 1 C. 3-或2 D. 4-或1 【答案】B【解析】AC = ()()()1,1,31,2x x +-=+-，由AC AB ⊥得120,1x x +-== ，选B. 2．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（） A. 195-B. 519-C. 3117-D. 1731- 【答案】D3．在ABC ∆中， ()223b c a bc -=-，则角A 等于（）A.56π B. 23π C. 3π D. 6π 【答案】B【解析】()223b c a bc -=-即22223b bc c a bc -+=-所以()22212cos 0,23b c a bc A A A ππ+-=-∴=-∈∴=故选B.4．【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于（）A.14 B. 14- C. 4 D. 4- 【答案】A5．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ππ-≤≤的值域为( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. [－1,1]C. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 12⎡-⎢⎣⎦【答案】C【解析】由－π≤x ≤π，可知－2π≤2x ≤2π，－ 23π≤2x －6π≤3π，函数y ＝cosx 在区间2[3π-,0]内单调递增，在区间[0, ]3π内单调递减，且cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－12，cos 3π＝12，cos 0＝1，因此所求值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C.6．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T， φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.7．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】因为把2y sin x =的图象向右平移12π个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移12π个单位长度故选D.8．在ABC ∆中，若30a b A ===︒，则边c 的长度等于( )A. 以上都不对【答案】C9．【2018届广西玉林市陆川中学高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,10．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的图形关于直线8x π=对称 C. ()f x 的一个零点为8x π=-D. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】D11．若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（） A.23π B. 3π C. 43π D. 23π- 【答案】A【解析】()a b a +⊥ ()204a b a a a b a b ⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=-，412cos ,,,2423a b a b a b a b π⋅-===-∴=⨯,12．如图，在直角坐标系xoy 中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP λAB μBC =+，其中λ,μR ∈，则4λμ- 的取值范围是（）A. [2,3+44] 【答案】B【解析】则12{32ff⎛⎫≤⎪⎝⎭⎛⎫≤⎪⎝⎭，解得2≤t≤∴4x﹣y的取值范围是[2，．故选：B．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省济宁市高三上学期期末】已知cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin2α=________.【答案】1125-【解析】cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=)6cos sin cos sin 255αααα-=-= 平方得36111sin2sin22525αα-=∴=- 故答案为1125-14．已知向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，则m =__________．【答案】1±15．【2018届四省名校（南宁二中等）高三上第一次大联考】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin c B C =， 45A =︒，则B =__________.【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有： sin sin cos C B B C =，sin 0,tan 60B C C ≠∴=，三角形内角和为180，则180456075B =--=. 16．如图所示， 23BAC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),AP xAD yAE x y R =+∈，则x y +的取值范围是__________．【答案】44⎡-+⎣【解析】三、解答题（共6道小题，共70分）17. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且bsin A a sin 2B =. (1)求角B 的大小；(2)若的面积的最大值.【答案】(1) πB 3=;（2 【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得1cos B 2=，则πB 3= .(2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得ac 7≤ ，结合面积公式可知ABC S 试题解析：(1)∵bsin A a sin 2B =,18．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –x cos x （x ∈R ）.（1）求f （2π3）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）π, ,,36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为-2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得f （x ）的最19．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟】已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的三个内角A ， B ， C 的对边，且sin 2cos C c c A =+．（1）求角A ；（2）若a = ABC ∆b ， c ．【答案】(1) 23A π=;(2) 2b c ==. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边转角，消去sin C 后，利用辅助角公式化为关于角A 的三角方程，根据角的范围求出角A ；（2）利用余弦定理得出关于b,c 关系式，再利用三角形面积公式得出b,c 关系，联立方程组解出b 和c.试题解析：（1sin 2cos C c c A =+及正弦定理，sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，② 由①②解得2b c ==．20．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线， 1cos 7B =， AD =，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）ABC S ∆=则()11sin sin 2727C A B =+=+⨯ 14=，由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222?cos AD AB BD AB BD B =+-，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，故1sin 2ABC S ac B ∆== 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.21．【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()()32sin πsin π2f x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3f A a ==,求ABC ∆周长的最大值．【答案】(1) π, 对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z (2) ΔABC 周长的最大值为9(2)由(1)可得()π2cos 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即πcos 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为π02A <<,所以ππ7π2666A <+<, 所以π5π266A +=, 所以π3A =．由余弦定理可知2a =222cos b c bc A +-= 22b c bc +-=()()222332b c b c bc b c +⎛⎫+-≥+- ⎪⎝⎭=()24b c +, 当且仅当b c =时等号成立.于是26b c a +≤=.故ΔABC 周长的最大值为9.22．已知向量()1,sin a x =， (cos b x =，⑴ 若a b ⊥，求tan2x 的值；⑵ 令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】(1) ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.()g x ∴的单调增区间是()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。

2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量课件

b2的a·b夹＋角b2为)，( 即C4a)·b＝a2＋b2，因为|a|＝|b|，所以a·b＝
1 2
a2，所以
ACco．．s θ36＝00°°|aa|··b|b|＝12，θ＝60BD°，．．选4152C°0°.
优解：由|a|＝|b|，且|a＋b|＝ 3 |a－b|可构
造边长为|a|＝|b|＝1的菱形，如图，则|a＋
专题二三角函数、平面向量
第三讲平面向量
平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.
年份卷别
Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷
Ⅲ卷
Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷
Ⅲ卷
2019
Ⅰ卷 Ⅱ卷
考查角度及命题位置向量垂直的应用·T13 向量加减法的几何意义·T4 向量垂直的应用·T13 平面向量垂直求参数·T13 平面向量共线求参数·T13 向量的夹角公式·T3 平面向量的坐标运算·T2 平面向量数量积的坐标运算·T4
8－4cos θ＋2 3sin θ＝ 8－2 7sinθ＋φ，其中tan φ＝233，所以|O→A＋O→B＋O→P|的最小值为 8－2 7＝ 7－1. 答案： 7－1
误区警示
1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3) 平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.
解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－ 1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.

2018年高考数学(理二轮复习讲学案考前专题三三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量(含答案解析)

第3讲平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)，所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →，则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1C ．1 D ．4 答案 B解析因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152 D. －2答案 A解析因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 B解析向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析方法一由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．答案 C解析因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( )A.14B.38C.32D.34押题依据平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°，故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．答案－116解析因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4答案 D解析如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析由正弦定理得ACsin B＝ABsin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1C.3－22D.3＋12答案 A解析因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ，故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1，故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________．答案 [－2,1]解析由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0，OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1，所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β，当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2.(2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。

2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分专题二

专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913 D.139 解析：由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝3.答案：B2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3 解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：C3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么β＝( )(导学号 54850106)A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，得sin α＝45，又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，得sin(α－β)＝210，则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22，由0＜β＜π2，得β＝π4.答案：C4．(2017·韶关调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A ．－19 B.19 C.53 D ．－53解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2(x －π3)＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝53. 答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：因为2sin A cos C ＋cos A sin C ＝s in A ·cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sinB .所以等式左边去括号，得sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＝sin A cos C ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理变形，得a ＝2b . 答案：A 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cosC ＋c cos A ，则B ＝________．解析：由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A ·cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．所以2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.答案：π37．(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________．(导学号 54850107)解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α；又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：2238．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．解析：由已知，cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14.所以cos ∠CBD ＝－14，所以sin ∠CBD ＝1－cos 2∠CBD ＝154，所以S △ABC ＝12×BD ×BC ×sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又BC ＝BD ＝2，且∠ABC ＝2∠BDC ，则cos ∠ABC ＝14＝2cos 2∠BDC －1.解得cos ∠BDC ＝104或－104(舍去)．答案：152104三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0得tan A ＝－3，又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos2π3. 则c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4或－6(舍去)． (2)由题设AD ⊥AC ，知∠CAD ＝π2. 所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝23π－π2＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．解：(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 11．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m (m ∈R)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－1.(导学号 54850108)(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f (C )＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BC ＝BD ，且AD ＝5，求△ACD 的面积．解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＋m＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝ 3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6得 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6min ＝－1. 所以f (x )＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，且f (C )＝1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，因为C ∈(0，π)，得2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3.如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ，在△ACB 中，由余弦定理，得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x ，解得x ＝32.所以cos A ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－32＝1314，得sin A ＝1－cos 2A ＝77.所以S △ACD ＝12AC ·AD sin A ＝12×5×4×77＝1077.。

(江苏专版)2018版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.答案－32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.解析如图，设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210，又由余弦定理知⎩⎨⎧m 2＝n 2＋（2）2－22n cos 45°，n 2＝m 2＋（2）2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ， ② ①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0，解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(不合题意，舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n＝54＋74＝3. 答案 33.(2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.解析设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4. 又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ， AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.答案 784.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面向量的有关运算 [命题角度1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.(2)法一如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC→2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2. 法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 答案 (1)311(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解. [命题角度2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2017·江苏冲刺卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1).若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析 (1)由题意可得a ＋λb ＝(2，1－λ)，则(a ＋λb )·a ＝(2，1－λ)·(2，1)＝5－λ＝0，解得λ＝5.(2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)5 (2)30°探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷. [命题角度3] 平面向量的数量积【例1－3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2017·佛山二模)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.解析 (1)|a ＋2b |2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.答案 (1)2 3 (2)2918探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷改编)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ). 所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值为－32. (2)法一以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(以射线AB ，AD 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向)，则B (2，0)，E (2，1).设F (x ，2)，则AF →＝(x ，2)，又AB →＝(2，0)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，∴x ＝1，∴F (1，2)，∴AE →·BF →＝ 2. 法二 ∵AB →·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，|AB →|＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF →|＝1，∴|CF →|＝2－1，∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 答案 (1)－32(2) 2热点二平面向量与三角的交汇【例2】 (2017·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝（cos α＋sin α）－（cos α－sin α）2＝35，所以t ＝sin 2α＝925.(2)因为t ＝1，且a ·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2017·苏北四市模拟)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .(1)求B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c . 解 (1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即sin 2B －cos 2B ＋2sin 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. (2)由(1)得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝3，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、填空题1.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解之得λ＝33. 答案332.(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________. 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －163.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.解析由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°. 答案 90°4.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心. 答案重心5.(2017·苏、锡、常、镇调研)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.解析由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝π2.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1. 答案－14或1 6.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.解析由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →. ∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案 227.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析 ∵AB →2＝4|a |2＝4，∴|a |＝1，故①正确；∵BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|b |＝2，故②错误；∵b ＝AC →－AB →，∴a·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误； ∵BC →＝b ，故④正确；∵(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.答案 ①④⑤8.如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →) ＝13CB →2＝3. 答案 3二、解答题9.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝12. 10.(2017·镇江模拟)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值. 解 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，故sin α＝255，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－35. (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4. 11.(2017·南师附中调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案

π个单位长度，得到 12
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的曲线 C2
1 倍，纵坐标不变，再把得到的 2
曲线向右平移 π个单位长度，得到 6
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 2
π个单位长度，得到 12
曲线 C2
【答案】 D
2 ．【 2017 课标 3，理 6】设函数 f ( x)= cos( x+ ) ，则下列结论错误的是 3
( 表中 k∈ Z)
y＝ sin x
y＝ cos x
图象
增区间
π
－＋ 2kπ 2
，
π 2 ＋2kπ
减区间
π 2＋
2kπ，
3π 2 ＋2kπ
对称轴
π x＝ kπ＋ 2
对称中心
( kπ， 0)
2. 三角函数的两种常见变换
[ －π＋ 2kπ， 2kπ]
[ 2kπ，π＋ 2kπ]
x＝ kπ π 2 ＋ kπ， 0
向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数
量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件
.
【命题规律】
(1) 高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解
析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．
15
.
17
（ 2）由 cos B
15 得 sin B
8
1
，故 S△ABC = ac sin B
4 ac . 又 S△ ABC =2 ，则 ac
17
. 由余弦定理及

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专题1.3 三角函数与平面向量（一）选择题（12*5=60分）1．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A （非坐标原点O ），直线l 上有一点()00cos130,sin 50P ，且030APO ∠=，则α等于（）A ．100° B．160° C．100°或160° D．130° 【答案】C【解析】因为()()0000cos130,sin 50cos130,sin130P P =，所以0130POx ∠=，因此1303013030α=+-或，即160100α=或，选C.2． 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（）A ．13 B ．2324 D ．2425 【答案】D3．【2018广西贺州桂梧联考】若函数()f x 与()g x 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与()212f x x x =-互为同轴函数的是（） A. ()()cos 21g x x =- B. ()sin g x x π= C. ()tan g x x = D. ()cos g x x π= 【答案】D【解析】由题意可得， ()212f x x x =-的图象都关于直线1x =对称，所以()cos g x x π=与()212f x x x =-的图象都关于直线1x =对称.选D.4．已知向量(1,2)a =，(3,2)b =-，若()//(3)ka b a b +-，则实数k 的值为（） A ．13-B ．13C ．3-D ．3 【答案】A【解析】1()//(3)(3,22)//(10,4)10(22)4(3)3ka b a b k k k k k +-⇒-+-⇒+=--⇒=-r r r r ，选A5．【2018广西贺州桂梧联考】设向量a ， b 满足1a =， 2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 在向量2a b+方向上的投影为（）A. C. 113- D. 113【答案】A6．已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，522,,33AB OC OA OB ==-.若M 是线段AB 的中点，则⋅的值为（）．A ．3B ．．2 D ．-3 【答案】A【解析】因为点M 是线段AB 的中点，所以()OB OA OM +=21,2===AB OB OA ,所以ABC ∆是等边三角形，即060,>=<,260cos 220=⨯⨯=⋅OB OA⋅+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅2131652121323522322123126522=⨯+⨯-⨯=，故选A. 7．已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】A8．【2018全国名校联考】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， (),60a c b c --=︒，则c 的最大值等于（）【答案】A【解析】因为2a b ==， 2a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-,,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-,CB b c =-,120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=.所以23AB =,由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆M的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时， c 取得最大值4.故选A.9．设向量(cos ,sin )a x x =-，(cos(),cos )2b x x π=--，且a tb =，0t ≠，则sin 2x 的值等于（）A ．1B ．1-C ．1±D ．0 【答案】C【解析】因为(cos(),cos )(sin ,cos )2b x x x x π=--=-,a tb =，所以()()cos cos sin sin 0x x x x ---=，即22cos sin 0x x -=，所以2tan 1,tan 1x x ==±，()24k x k Z ππ=+∈， 2()2x k k Z ππ=+∈，sin 21x =±，故选C.10．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos =（）A.55-B.55C.552-D.552 【答案】C11．【2018全国名校联考】某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=︒，75BCD ∠=︒， 40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =（）A. ()1米 B. ()1米 C. ()1米 D. ()1米【答案】A【解析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，则BC,BF CE 1EF ===米，30AEF ∠=︒，在BDC 中，由正弦定理得： 406020645CD sin BDC sin BC sin CBD sin ∠︒===∠︒.在Rt AEF 中，3AF EF tan AEF =∠==.所以1AB AF BF =+=+，符合设计要求.故选A.12．【2018安徽阜阳一中二模】已知，则下列结论中正确的是（）A. 函数的周期为B. 将的图像向左平移个单位后得到的图像C. 函数的最大值为D. 的一个对称中心是【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10cm ，则旗杆的高CD 的长是__________m ．【答案】(103-【解析】由题意得4530DEA ADE ∠=∠=，,所以sin 452sin 30cos15AE ABAD ==,因此10sin 602sin 6010(33)CD AD ===-14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且3 3DC DE BC BF ==，，若AC mAE nAF =+，其中 m n R ∈，，则m n += ．【答案】3215．【2018河南天一联考】在中，角所对的边分别为，若，且，记为边上的高，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由得，所以，16．【河南省长葛市一中2018届12月月考】若函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象相邻的两个对称中心为51,0,,066⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到()g x 的图象，则()g x =_________. 【答案】sin 26x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭.（三）解答题（10+5*12=70分）17．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【解析】(1)由图得：2=A ．由213165424=-==ωπT ，解得πω=．由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ，又2πϕ<，可得6πϕ=，∴)6sin(2)(ππ+=x x f ．(2)由(1)知34)6sin(2)(=+=παπαf ，∴32)6sin(=+πα，由α∈(0，3π)，得6πα+∈(6π，2π)，∴35)32(1)6cos(2=-=+πα．∴ ]6)6cos[(cos ππαα-+==6sin )6sin(6cos )6cos(ππαππα+++=21322335⨯+⨯=6215+． 18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ；（2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.19．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b A ，cos c A 成等差数列．（1）求角A 的大小；（2）若3a =，1()2AD AB AC =+，求||AD 的最大值．【解析】（1）由题意知2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，即sin()sin 2sin cos A C B B A +==，又sin 0B ≠，故1cos 2A =，∴3A π=．（2）由1()2AD AB AC =+，得2221(2)4AD AB AB AC AC =+⋅+221(2cos )4c b cb A =++221()4c b cb =+-，又由余弦定理得222222cos 9a c b cb A c b cb =+-=+-=，故221||(92)4AD AD cb ==+，由2292c b cb cb cb cb +-=≥-=，当且仅当c b =时取等号，故2127||(918)44AD ≤+=，∴||AD 20．【2018安徽阜阳一中二模】若的最小值为.（1）求的表达式；（2）求能使的值，并求当取此值时，的最大值.21．已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(ππ（R b a ∈,，且均为常数）.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在区间]0,3[π-上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值.【解析】（1）b x a x b x a x x x f ++=++-++=cos 6cossin 2cos )6sin()6sin()(πππb x a b x a x +++=++=)sin(3cos sin 32θ（其中3tan a=θ），所以函数)(x f 的最小正周期为π2.（2）由（1）可知，)(x f 的最小值为b a ++-32，所以232=++-b a ① 另外，由)(x f 在区间)0,3(π-上单调递增，可知)(x f 在区间)0,3(π-上的最小值为)3(π-f ，所以2)3(=-πf ，得72=+b a ②，联立①②解得4,1=-=b a .22．【辽宁省沈阳市2018质监（三）】已知函数()()2sin 2()2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（Ⅰ）求φ值及图中0x 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中， A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c = ()2f C =-， sin 2sin B A =，求a 的值．。