三个最大公约数的求法
最大公约数
基本概念
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系， 不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在 数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。
程序实现
PASCAL
C语言
【递归算法】
递归算法
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短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有 的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移 下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数 的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。
常用结论
在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论： （1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。 （2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两 个数的最小公倍数。 例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。 （3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。 例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。 （4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。 （5）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a与b的最大公约数是最 小的a与b的正线性组合,即对于方程xa+yb=c来说,若x,a,y,b都为整数,那么c的最小正根为gcd(a,b).
C语言实现求最大公约数的三种方法
C语⾔实现求最⼤公约数的三种⽅法⽬录题⽬描述问题分析代码实现⽅法⼀：穷举法⽅法⼆：辗转相除法⽅法三：更相减损法题⽬描述求任意两个正整数的最⼤公约数问题分析最⼤公因数，也称最⼤公约数、最⼤公因⼦，指两个或多个整数共有约数中最⼤的⼀个。
a，b的最⼤公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最⼤公约数记为（a，b，c），多个整数的最⼤公约数也有同样的记号。
求最⼤公约数有多种⽅法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
与最⼤公约数相对应的概念是最⼩公倍数，a，b的最⼩公倍数记为[a，b]。
——百度百科最⼤公因数的求法有不少，本⽂我将采⽤穷举法、辗转相除法、更相减损法三种⽅法，求两个正整数的最⼤公约数（最⼤公因数）。
代码实现⽅法⼀：穷举法穷举法（列举法），是最简单最直观的⼀种⽅法。
具体步骤为：先求出两个数的最⼩值min（最⼤公约数⼀定⼩于等于两个数的最⼩值），接着从最⼩值min递减遍历（循环结束条件为i > 0），如果遇到⼀个数同时为这两个整数的因数，则使⽤break退出遍历（退出循环），这时的遍历值i即为两个正整数的最⼤公约数。
#include <stdio.h>/*** @brief 获取两个正整数的最⼤公因数（穷举法）* @param num1 第⼀个正整数* @param num2 第⼆个正整数* @return 最⼤公因数*/int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2){int i = 0;//获取两个整数的最⼩值int min = num1 < num2 ? num1 : num2;//从两个数的最⼩值开始递减遍历for(i = min; i > 0; i--){//i为num1和num2的公倍数if(num1 % i == 0 && num2 % i == 0)break;}return i;}int main(){int num1 = 0, num2 = 0;puts("请输⼊两个正整数.");scanf("%d%d", &num1, &num2);printf("最⼤公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));运⾏结果⽅法⼆：辗转相除法辗转相除法⼜称欧⼏⾥得算法，是指⽤于计算两个⾮负整数a，b的最⼤公约数。
辗转法求最大公约数
辗转法求最大公约数
辗转相除法求最大公约数的方法：用所得的剩余除去除数，直至最终的剩余为0。
1.辗转相除法求最大公约数的方法：先用小的数除大的数，得余数。
再用所得的余数除小的数，得第二个余数。
然后用第二个余数除第一个余数，得到第三余数，如此依次用后一位数除去前面的余数，直至其为0。
最后一个除数就是所求的最大公约数。
2.欧几里德算法也被称为翻转相除，它是用来求出两个非负数的最大公约数。
它的应用范围包括数学和电脑。
计算公式gcd (a, b)= gcd (b,
a modb).
3.在数学上，辗转相除法是一种求解最大公约数的方法。
它的算法步骤如下：
a、b相除；
向a分配b;
向b分配剩余；
如果b是0, a是最大的，否则，步骤1-3直到b是0为止。
扩展：公约数，亦称“公因数”。
这是一个可以同时整除多个整数的数。
如果一个整数是若干个约数，则称其为其“公约数”；最大的则称为最大公约数（H. C. M. G. C. D）求两个数的最大公约数：倍数关系，若更大数是更小数的倍数，则最小数即为其最大共数。
最大公约数在实际生活中的应用
求“最大公约数”的方法在实际中的应用
，在我们的实际生活中应用非常广泛。
下面举一个例子说明：
“一张长方形的纸板，长75厘米、宽60厘米。
现在要把它切割成若干块小正方形，要求正方形的边长为整厘米数，请问共有几种切割法？如果要使切割的正方形面积是最大的，共可以切成多少块？”
解决这个问题，可以用求“公约数”和“最大公约数”的方法。
因为切割的正方形边长必须能同时整除75厘米和60厘米，这就是求75和60的“公约数”的问题；要使切割成的小正方形面积最大，也就是要使它的边长最大，这就是求75和60的“最大公约数”的问题。
解题：
1、用“分解质因数法”求出75和60的“公约数”：
75=3×25=3×5×5；60=2×30=2×2×15=2×2×3×5
75和60的“公约数为：1、3、5、15，所以，有4种不同的切割方法。
2、用“短除法”求出75和60的“最大公约数”：
3|75、 60
5|25、20
5 4
所以，75和60的“最大公约数”是：3×5=15
要使切割成的小正方形面积最大，可以切割的块数是：
（75 ÷15）×（60÷15）=5×4=20（块）
由此可以看出，我们现在所学的各种知识，都是和社会和现实生活密切相关的。
1.学校有两根绳子，一根长25米，一根长30米，为了组织学生在大课间跳长绳活动，需要剪成相等长的小段，而且没有浪费。
最长每段多少米？一共可以剪成多少段？。
C++丨常见的四种求最大公约数方法！赶紧收藏！
C++⼁常见的四种求最⼤公约数⽅法！赶紧收藏！为了更好的了解算法的概念，今天会分享⼀些C++求最⼤公约数⼏种常见的算法。
第⼀种：穷举法之⼀穷举法，也叫枚举法，求最⼤公约数时从两者中较⼩的数开始，由⼤到⼩列举，直到找到第⼀个公约数为⽌。
解释：拿其中⼀个数出来，⽤⼀个临时变量（tem）保存，每次都把那两个数除以这个临时变量。
如果能除断，直接返回tem；如果不能除断，tem- -，直到都能除断，再返回tem。
tem就是它们的最⼤公约数。
#include <iostream>using namespace std;int CommFactor1(int m, int n); //函数的声明int main(){int a, b;cin >> a >> b;cout << "这两个数的最⼤公约数为：" << CommFactor1(a,b)<< endl;return 0;}int CommFactor1(int m,int n){int tem;for (tem = m;; tem--){if (m % tem == 0 && n % tem == 0){break;}}return tem;}第⼆种：穷举法之⼆解释：求出两数的所有公因⼦，再把公因⼦累乘得到最⼤公约数。
#include <iostream>using namespace std;int CommFactor2(int m, int n); //函数的声明int main(){int a, b;cin >> a >> b;cout << "这两个数的最⼤公约数为：" << CommFactor2(a,b)<< endl;return 0;}int CommFactor2(int m,int n){int i;int factor = 1;for (i=2;i<=m&&i<<n;i++){while(m % i == 0 && n % i == 0) //这⾥不能⽤if语句，因为可能会有重复的公因⼦{factor = factor * i;m = m / i;n = n / i;}}return factor;}第三种：辗转相除法辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法。
求最大公约数的原理及算法实现
1.辗转相除法GCD算法的根本原理DCD - Greatest mon Divisor欧几里得定理：假设a = b * r + q，那么GCD(a,b) = GCD(b,q)。
证明：假设c = GCD(a,b)那么存在m使得a = m * c,b = n * c;因为a = b * r + q,那么q = a - b * r = m * c - n * c * r = (m - n * r) * c;因为b = n * c , q = (m - n * r) * c故要证明GCD(a,b) = GCD(b,q)，即证明n 与m - n * r互质下面证明m-n×r与n互质：假设不互质，那么存在公约数k使得m - n * r = x * k, n = y * k.那么:a= m * c = (n * r + x * k) * c = (y * k * r + x * k) * c = (y * r + x) * k * c b = n * c = y * c * k那么GCD(a,b) = k * c,与c=gcd(a, b) 矛盾2.辗转相除法算法的实现2.1递归实现2.2迭代实现3.更相减损法更相减损术，是出自"九章算术"的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
"九章算术"是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术〞可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
〞翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
假设是，那么用2约简；假设不是那么执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比拟，并以大数减去小数。
继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
那么第一步中约掉的假设干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
找最大公约数的简便方法
找最大公约数的简便方法最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
在数学中，求最大公约数是一项基本而重要的运算，它在算法设计、数论证明以及其他应用领域中有着广泛的应用。
求最大公约数的方法有很多种，如暴力法、辗转相除法、质因数分解法等等。
本文将介绍其中简便的方法——辗转相除法和更相减损法。
一、辗转相除法辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种求最大公约数的快速且简便的方法。
它基于以下的原理：-若两个整数a和b，其中a>b，则a和b的最大公约数等于b和a%b的最大公约数。
-若a%b等于0，则b为a和b的最大公约数。
这样不断求出a和b的余数，直到余数为0为止，最后的除数即为最大公约数。
下面给出使用辗转相除法求最大公约数的步骤：1.将两个整数a和b中较大的一个赋值给变量m，较小的一个赋值给变量n。
2.计算m除以n的余数，将余数赋值给变量r。
3.如果r等于0，则n即为最大公约数。
如果r不等于0，则将n 的值赋给m，将r的值赋给n，然后跳转到第二步。
4.结束，输出n。
辗转相除法的原理简单易懂，而且它的效率较高，尤其适用于大整数的计算。
使用这种方法，只需要进行有限次的除法运算即可求得最大公约数，省去了质因数分解等繁琐的步骤。
二、更相减损法更相减损法是一种古老的求最大公约数的方法，它的思路是通过两个整数的差值来逐渐减小它们直到相等为止，然后这个相等的数即为最大公约数。
具体的步骤如下：1.将两个整数a和b中较大的一个赋值给变量m，较小的一个赋值给变量n。
2.如果m等于n，则n即为最大公约数。
3.如果m不等于n，则将m减去n的结果，赋值给变量m。
4.重复执行步骤2和步骤3，直到m等于n为止。
5.结束，输出n。
和辗转相除法相比，更相减损法的计算过程中没有取余运算的步骤，因此更适合于计算机或者编程语言中对整数的操作，避免了运算过程中可能出现的误差。
然而，更相减损法的缺点是在处理较大的整数时效率较低，比辗转相除法慢。
三个数辗转相除法求最大公约数
三个数辗转相除法求最大公约数
摘要：
一、介绍辗转相除法
二、讲解三个数辗转相除法的原理
三、举例说明三个数辗转相除法的应用
四、总结最大公约数的求解方法
正文：
辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法，该方法基于数学定理，可以通过一系列的除法运算得出最大公约数。
当涉及到三个数时，我们可以采用类似的方法，通过辗转相除法求出它们的最大公约数。
原理如下：
设三个数A、B、C，不妨设A <= B <= C。
1.先用B 除A，得余数R1；
2.若R1 为0，则最大公约数为A；否则，用R1 替换A，继续用B 除R1，得余数R2；
3.重复步骤2，直到某次计算得到的余数为0。
此时，用B 除上一次的余数Rn-1，得到的最大公约数即为A、B、C 的最大公约数。
举个例子，我们来求解三个数12、15、21 的最大公约数：
1.12 ÷ 15 = 0 余12；
2.12 ÷ 12 = 1 余0；
3.15 ÷ 12 = 1 余3；
4.12 ÷ 3 = 4 余0。
因此，12、15、21 的最大公约数为3。
总结一下，当我们需要求解三个数的最大公约数时，可以采用辗转相除法。
首先设定两个数，然后根据辗转相除法的原理进行计算，直到得到最大公约数。
小学数学五年级讲义13-最大公约数、最小公倍数
最大公约数与最小公倍数一、最大公约数定义如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。
几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。
一般地我们用（a，b）表示a，b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）＝6，如果（a，b）＝1，则称a，b两数互质。
二、求最大公约数一般有以下几种方法：1、短除法：求两个（或几个）数的最大公约数一般采用短除法。
例1：有三根铁丝，长度分别120厘米、180厘米和300厘米，现在要把他们截成相等地小段，每根无剩余。
问每段最长多少厘米？一共可截得多少段？解：因为所以（120，180，300）＝30×2＝60120÷60＝2 180÷60＝3 300÷60＝5因此，每段最长60厘米，一共有2＋3＋5＝10（段）答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。
2、分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。
例2：将693311555化成最简分数。
解：因为6933＝3×2311 11555＝5×2311所以69333 1155553、将较小数缩小倍数法：当所求两数（或几个数）较小时经常用例3：（1）求12，36和48的最大公约数。
较小数是12，12是36的约数，12也是48的约数，（12，36，48）＝12（2）求18，24和36的最大公约数。
较小数是18，可是18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9也不是24和36的公约数；再将18缩小3倍是6，6是24和36的公约数，所以（18，24，36）＝6三、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；几个自然数的公倍数（除0以外）中，最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。
一般地，我们用[a，b]表示自然数a，b的最小公倍数，如[12，18] ＝36。
四、最小公倍数的求法：1、分解质因数：例1：在总站1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆和5路车每隔20分钟发一辆。
最大公倍数和最小公因数概念
最大公约数和最小公倍数一、最大公约数1. 最大公约数的定义：最大公约数，也被称为最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
例如，12和15的最大公约数是3。
2. 最大公约数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果gcd(a, b)存在，那么gcd(a, b)是唯一的。
（2）如果a和b都是合数，那么gcd(a, b)可能大于1。
（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
即：a ×b = gcd(a, b) ×lcm(a, b)。
3. 最大公约数的求法：（1）辗转相除法：这是求最大公约数的一种常用方法。
它是通过不断将较大的数除以较小的数，同时记录余数，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
例如，用辗转相除法求12和15的最大公约数：15÷12=1…3，12÷3=4…0，所以最大公约数是3。
（2）欧几里得算法：这是一种基于辗转相除法的更高效的算法，可以在对数时间内计算出最大公约数。
它的基本思想是：对于任意两个非负整数a和b，如果b是0，那么a就是最大公约数；否则，最大公约数就是a对b的余数和b的最大公约数。
例如，用欧几里得算法求12和15的最大公约数：gcd(12, 15)=gcd(15, 12%15)=gcd(15,3)=gcd(3, 0)=3。
二、最小公倍数1. 最小公倍数的定义：最小公倍数，也被称为最小公因数，是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。
例如，6和9的最小公倍数是18。
2. 最小公倍数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果lcm(a, b)存在，那么lcm(a, b)是唯一的。
（2）如果a和b都是合数，那么lcm(a, b)可能大于它们的最大公约数。
（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
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三个最大公约数的求法
最大公约数是指两个或多个数中最大的能够同时整除它们的数，下面介绍三个最大公约数的求法。
1. 辗转相除法
辗转相除法，也叫欧几里得算法，是求最大公约数的常用方法。
假设有两个正整数a和b，其中a>b。
那么，我们可以将a除以b，得到余数r，然后再用b除以r得到余数r1，以此类推，直到余数为0为止，此时的b即为a和b的最大公约数。
2. 分解质因数法
分解质因数法是指将两个数分别分解质因数，然后求它们公共的质因数，再将这些质因数相乘就得到最大公约数了。
例如，求48和60的最大公约数，它们分别可以分解为：48=2^4×3，60=2^2×3×5，它们公共的质因数是2和3，因此它们的最大公约数为2^2×3=12。
3. 更相减损法
更相减损法，又称辗转相减法，是古代中国最早使用的求最大公约数的方法。
假设有两个正整数a和b，其中a>b。
我们可以不断用较大数减去较小数，直到它们相等为止。
如果此时它们的值不为0，那么它们就是a和b的最大公约数。
但如果它们的值为0，那么它们没有最大公约数。
以上是三种常用的求最大公约数的方法，需要根据实际情况选择合适的方法来求解。
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