高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)

函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。

（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。

解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。

解：令()210f x ax a =++=①若()01a f x =⇒=显然不符题意②若212110111,3a a a x a a a ----⎛⎫≠⇒=⇒-<<⇒∈-- ⎪⎝⎭ ∴综上所述，11,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭例3：已知函数()()10xf x tx t t-=+>，()g t 为()f x 在[]0,1上的最小值，求函数()g t 的最大值并画出()g t 的图象。

解：()11f x t x t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭①10t t ->即1t >时，()f x 在[]0,1上递增()()10g t f t⇒==②10t t-=即1t =时，()()11f x g t =⇒=③10t t -<即01t <<时，()f x 在[]0,1上递减()()1g t f t ⇒==∴综上所述，(),011,11,1t t g t t t t⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪>⎩图象如图5-1所示，由图象可知()max 1g t = 例4：根据下列条件，求实数a 的值。

（1）函数221y x ax a =-++-在区间[]0,1上有最大值2；图5-1（2）函数243y ax ax =++在区间[]4,2-上有最大值7； （3）函数()2211y ax a x =+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最大值3。

解：（1）()222211y x ax a x a a a =-++-=--+-+①若0a <则()max 0121y f a a ==-=⇒=-符合题意 ②若01a ≤≤则()2max 12y f a a a a ==-+=⇒=均不符题意（舍） ③若1a >则()max 112133y f a a a ==-++-=⇒=符合题意 ∴综上所述，1a =-或3a =（2）()2243234y ax ax a x a =++=++- ①若0a =则3y =不符题意（舍）②若0a >则()max 12163473y f a a a ==+-=⇒=符合题意③若0a <则()max 23471y f a a =-=-=⇒=-符合题意∴综上所述，1a =-或13a =（3）()()2222121211124a a y ax a x a x a a --⎛⎫=+-+=++-⎪⎝⎭①若max 39323132423y f a a a ⎛⎫=-=-++=⇒=- ⎪⎝⎭此时对称轴74x =-符合题意②若()max 12442132y f a a a ==+-+=⇒=此时对称轴0x =符合题意③若()2max2121113242a a y f a a a --⎛⎫=-=-=⇒=- ⎪⎝⎭此时对称轴2x =-不符题意 ∴综上所述，23a =-或12a =例5：已知函数()23344f x x x =-+在区间[],a b 上的值域为[],a b ，求实数a 、b 的值。

解：()()2233342144f x x x x =-+=-+ ①区间[],a b 在直线2x =左侧时，()f x 在[],a b 上递减 则223344433344a ab a b b b a⎧-+=⎪⎪⇒==⎨⎪-+=⎪⎩（舍）②区间[],a b 在直线2x =右侧时，()f x 在[],a b 上递增 则22343424334344a a a ab b b a ⎧-+=⎧⎪=<⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩（舍） ③直线2x =落在区间[],a b 内()()()()2114413421274a f b f b b b a b a f b f a b ︒︒⎧⎧==⎪⎪⎨⎪=⇒==⎪⎪=⎧⎪⎩⇒⎨⎨===⎧⎩⎪⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎪⎩⎩（舍）或（舍） ∴综上所述，1a =、4b =例6：对于函数()()f x x D ∈若同时满足以下条件：①()f x 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是[],a b ，则称函数()()f x x D ∈为“闭函数”。

（1）求“闭函数”3y x =-符合条件②的区间[],a b ；（2）函数2lg y x x =-是不是“闭函数”？若是，请求出区间[],a b ；若不是，请说明理由；（3）若函数y k =是“闭函数”，求实数k 的取值范围。

解：（1）3y x =-在D 上单调递减，则3311a ba b a b a b⎧-==-⎪⎧-=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩即区间[],a b 为[]1,1-（2）()()1 2.02100122lg 1019f f y x x f ⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⇒=-⎬⎪=⎪⎪⎭不是单调函数，故不是“闭函数”（3）由题意知方程x k =有两个不同的实数解 ()22944142049,20422k k k k k x k k x k x ⎫⇒∆=++-->⇒>-⎪⎪⎛⎤⇒∈--⎬⎥⎫-=⇒≤⎪⎝⎦⎪⇒≤-⎬⎪≥-⎪⎭⎭又例7：已知a 为实数，函数()()21f x x x a x =+-+∈R 。

（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值。

解：（1）当0a =时()()()f x f x f x ⇒-=⇒为偶函数当0a ≠时()2f a a a ⇒=+，()()()221f a a a f a f x -=++≠⇒不具有奇偶性 ①当x a ≤时()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭若12a ≤，则()f x 在(],a -∞上单调递减()()2min 1f x f a a ⇒==+ 若12a >，则()()min 1324f x f a f a ⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭②当x a ≥时()2213124f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭若12a ≤-，则()()min 1324f x f a f a ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭若12a >-，则()f x 在[),a +∞上单调递增()()2min 1f x f a a ⇒==+∴综上所述，()2min31,42111,2231,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩【一讲一练】一、填空题（每空格4分，共40分） 1、求下列函数的值域：（1）[]()21,12xy x x-=∈-+ ； （2）2212x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）y =（4）()2log log 2x y x x =+ ；（5）22221x x y x -+=+ 。

2、函数()221f x x ax a =-++-在[]0,1x ∈时有最大值2，则a = 。

3、已知函数223y x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为3、最小值为2，则实数m 的取值范围是 。

4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数()221f x x =+，且值域为{}19,3的“孪生函数”共有 个。

5、若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 。

6、若函数()(2log 1f x ax b x =++在(),0-∞上有最小值3-（a 、b 为非零常数），则函数()f x 在()0,+∞上的最大值为 。

二、选择题（每小题4分，共16分）7、若函数()f x 的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）(A)38,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (B)102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)102,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，则()g x 的值域是（ ） (A)(][),11,-∞-+∞ (B)(][),10,-∞-+∞ (C)[)0,+∞ (D)[)1,+∞9、对,a b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}()max 1,2f x x x x =+-∈R 的最小值是（ ）(A)0 (B)12 (C)32(D)3 10、若函数()25f x x ax =++对于任意t 都有()()4f t f t =--，且在区间[],0m 上有最大值5、最小值1，则实数m 的取值范围是（ ）(A)(],2-∞- (B)[]2,0- (C)[]4,2-- (D)[]4,0- 三、解答题（共44分）11、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题4分，共8分）已知函数()()2lg 43f x mx x m =-+-。