非线性泛函——Brouwer度的应用
非线性泛函分析与优化理论
非线性泛函分析与优化理论引言：非线性泛函分析与优化理论是数学中的一个重要分支，它在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
通过研究非线性函数的性质和优化方法，我们可以解决许多实际问题。
本文将介绍非线性泛函分析与优化理论的基本概念、方法和应用。
一、非线性泛函分析基础概念1.1 泛函在函数空间中，函数本身也可以被视为一个变量。
泛函就是从函数空间中的每个函数到实数域的一个映射。
泛函既可以是线性的，也可以是非线性的。
1.2 非线性泛函非线性泛函是指泛函中包含非线性的部分。
与线性泛函不同，非线性泛函的性质更为复杂，难以直接求解。
非线性泛函的研究需要借助于泛函分析的方法和工具。
1.3 函数空间函数空间是指由一组满足特定条件的函数构成的空间。
函数空间的选择取决于问题的需求和性质。
常见的函数空间包括连续函数空间、可微函数空间和Lp空间等。
二、非线性泛函分析方法2.1 极值问题在非线性泛函分析中，求解函数的极值问题是一个重要的研究方向。
通过寻找使得泛函取得极值的函数，可以得到问题的最优解。
常用的方法包括变分法、最优控制理论和固定点理论等。
2.2 变分法变分法是一种通过对变分问题进行变分运算，得到极值条件的方法。
通过对泛函进行变分运算，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程，从而求得极值点。
变分法广泛应用于力学、物理学和优化问题中。
2.3 固定点理论固定点理论是非线性泛函分析的重要工具之一。
通过构造适当的映射和空间，我们可以利用不动点定理来解决非线性泛函方程的求解问题。
固定点理论在拓扑学和优化理论中有着广泛的应用。
三、非线性优化理论3.1 优化问题优化问题是非线性泛函分析的核心内容之一。
优化问题旨在寻找使得目标函数取得最优值的变量。
常见的优化问题包括最小化问题和最大化问题。
3.2 优化算法解决优化问题的一种主要方法是使用优化算法。
常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法通过迭代的方式逐步优化目标函数，直到满足指定条件。
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是函数空间上研究函数性质的数学分支，它主要关注函数空间中的映射和变换。
不动点定理是泛函分析中的基本概念之一，它在许多数学领域中有着重要的应用。
本文将探讨泛函分析中的不动点定理及其证明过程。
不动点定理是指对于某个函数空间中的映射，如果存在某个点在映射下不发生变化，即映射的输出等于输入，那么这个点被称为不动点。
不动点定理主要讨论在特定条件下，映射总能找到一个不动点。
以下我们将介绍泛函分析中的两个不动点定理：Banach不动点定理和Brouwer不动点定理。
一、Banach不动点定理的证明Banach不动点定理是泛函分析中最基本、最重要的不动点定理之一。
它表明，对于完备度量空间中的某个收缩映射，总能找到一个唯一的不动点。
假设我们有一个完备度量空间X，并且有一个映射T：X→X，满足以下条件：1. 存在一个常数0≤k<1，使得对于任意两点x和y，都有d(Tx, Ty)≤ k · d(x, y)，其中d表示度量空间X中的距离。
2. 映射T是连续的，即对于任意序列{xn}收敛于x，都有{T(xn)}收敛于T(x)。
现在我们需要证明存在一个唯一的不动点y ∈ X，使得Ty = y。
证明过程如下：首先，我们选取一个起始点x0 ∈ X，并定义一个序列{xn}，其中xn = T(xn-1)，即递归地将映射T作用在前一个点上。
根据条件1，我们可以证明序列{xn}是一个柯西序列。
事实上，对于任意给定的正整数n和m，我们有d(xn, xm) = d(T(xn-1), T(xm-1)) ≤ k · d(xn-1, xm-1) ≤ k^2 · d(xn-2, xm-2) ≤ ... ≤ k^n · d(x0, xm-n)由于0≤k<1，当n趋向于无穷大时，k^n趋近于0。
因此，序列{xn}是一个柯西序列。
根据完备性的定义，我们知道柯西序列在完备度量空间中必定收敛。
brower定理证明
brower定理证明在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
●定理表述不动点定理（fixed-point theorem）：对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。
不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。
常用的不动点定理有：(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。
该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。
(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。
不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。
因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。
数学定义设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。
如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。
其次，对A的任一元素x0，由递推关系：定义的级数(xn)必收敛于a。
这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。
数学中的非线性泛函分析与变分法
数学中的非线性泛函分析与变分法数学中的非线性泛函分析与变分法是一门研究非线性泛函与变分问题的学科。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性泛函分析和变分法的基本概念、方法和应用。
一、非线性泛函分析1.1 泛函和泛函空间在分析数学中，泛函是定义在函数空间上的一种特殊函数。
它将函数映射到一个实数或复数。
泛函空间是由一组特定性质的函数组成的空间，通常用函数的某些连续性或可微性来描述。
非线性泛函分析主要研究非线性泛函和非线性泛函空间。
1.2 线性与非线性线性泛函满足加法和数乘的两个基本性质，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有线性泛函A满足A(af+bg)=aA(f)+bA(g)。
非线性泛函则不满足这个性质。
非线性泛函分析研究的正是这种不满足线性的情况。
1.3 非线性泛函分析的应用非线性泛函分析在物理学、工程学和经济学等领域得到广泛应用。
例如，在物理学中，非线性泛函分析可以用于描述非线性系统的动力学特性。
在工程学中，非线性泛函分析可以用于求解复杂的优化问题。
在经济学中，非线性泛函分析可以用于建立非线性经济模型。
二、变分法2.1 变分和变分问题在数学中，变分是一种关注函数的改变如何影响泛函值的方法。
变分问题是求解泛函的极值问题，即找到使得泛函取得最大值或最小值的函数。
变分法是解决这类问题的一种有效方法。
2.2 泛函的变分泛函的变分是通过对函数的微小变化求导数来寻找泛函的极值。
变分法将变分问题转化为求解变分公式的问题，通过对变分公式进行适当的处理和求解，可以得到泛函的极值条件。
2.3 变分法的应用变分法在物理学、工程学和控制理论中有广泛应用。
例如，在物理学中，变分法可以用于求解经典问题，如拉格朗日力学中的最小作用量原理。
在工程学中，变分法可以用于求解结构的最优设计问题。
三、非线性泛函分析与变分法的关系非线性泛函分析和变分法都是研究函数的方法，它们在理论和方法上有着紧密的联系。
非线性泛函分析教案
非线性泛函分析教案一、引言非线性泛函分析是数学领域的一个重要分支，研究非线性空间中的函数与算子的性质和行为。
本教案旨在介绍非线性泛函分析的基本概念、理论框架和应用等内容，帮助学生深入理解和掌握该领域的知识和技能。
二、基本概念1. 函数空间和范数在非线性泛函分析中，函数空间是研究对象的基本载体。
本节介绍常见的函数空间，如连续函数空间、可微函数空间等，并引入范数的概念及其性质。
2. 巴拿赫空间巴拿赫空间是一类完备的赋范线性空间，具有重要的性质和定理。
本节介绍巴拿赫空间的概念、典型例子和重要性质，如完备性、分离性等。
3. 可微算子和导数可微算子是非线性泛函分析的重要概念之一，用于描述函数的局部性质和变化率。
本节介绍可微算子的定义、性质和常见运算法则，以及导数的概念和作用。
三、理论框架1. 希尔伯特空间希尔伯特空间是一类内积空间，具有丰富的几何结构和分析工具。
本节介绍希尔伯特空间的基本概念、内积和范数的关系，以及正交性和完备性的性质。
2. 泛函分析的基本定理泛函分析的基本定理是非线性泛函分析的核心内容，包括开映射定理、闭图像定理、零点定理等。
本节介绍这些定理的概念、表述和证明思路，以及它们在实际问题中的应用。
3. 固定点理论固定点理论是非线性泛函分析的重要工具，用于研究函数方程和算子方程的解的存在性和唯一性。
本节介绍固定点理论的基本概念、原理和应用，以及常见的迭代方法和不动点迭代算法。
四、应用领域1. 偏微分方程非线性泛函分析在偏微分方程的研究中具有广泛的应用。
本节介绍非线性偏微分方程的基本概念、变分原理和变分方法，以及非线性泛函分析在偏微分方程求解中的应用实例。
2. 最优控制最优控制是一类涉及函数极值和约束条件的优化问题，非线性泛函分析在最优控制理论和方法中发挥着重要作用。
本节介绍最优控制的基本概念、问题建模和解法，以及非线性泛函分析在最优控制中的应用实例。
五、教学方法与评估1. 教学方法在非线性泛函分析的教学中，可以采用讲授、讨论和实例分析等多种教学方法。
数学物理学中的泛函分析及其应用
数学物理学中的泛函分析及其应用泛函分析是数学物理学中的一门重要学科，是研究函数空间及其上的映射的数学分析学科。
它涵盖了数学和物理很多领域中的重要论题，包括微积分，变分法，偏微分方程，量子力学等。
在科学研究和工程应用中，泛函分析发挥着极为重要的作用。
本文将介绍泛函分析及其应用。
一、泛函分析的概念泛函是一个映射，它把一个函数空间中的函数映射到一个标量域上的函数。
泛函分析是对这些映射的研究，它是基于函数空间的理论和方法。
泛函分析的目标是找出函数空间和其上的线性算子的基本性质和规律，研究它们的逼近和收敛性质以及存在性和唯一性等问题。
泛函分析的重要概念包括：线性空间、范数、内积、拓扑、紧算子、自伴算子等。
线性空间是指函数集合中的任意两个函数满足加法和数乘封闭性的集合。
范数是定义在线性空间上的一种实数函数，符合非负性、齐性和三角不等式。
内积是一个函数空间中的二元运算，它满足线性性和正定性。
拓扑是指函数空间中元素间的近似关系，定义了开集和闭集，并定义了连续性、紧性等概念。
紧算子是指将一个无限维线性空间中的元素映射到一个有限维线性空间的算子。
自伴算子是指满足自我共轭性质的线性变换。
二、泛函分析在物理学中的应用泛函分析在物理学中有着广泛的应用。
物理学中的方程和算子一般都具有函数变量，因此把物理问题转换为泛函问题，就可以运用泛函分析方法解决它们。
以下简单介绍几个物理学中泛函分析的应用：1.偏微分方程：泛函分析在偏微分方程中应用广泛，特别是在非线性偏微分方程的研究中。
例如，用变分法解决非线性偏微分方程的问题，就涉及到泛函分析中的极值问题和约束问题。
2.量子力学：量子力学中的波函数就是定义在函数空间上的一个元素，因此泛函分析在量子力学中也有着广泛的应用。
例如，量子力学的本征方程中的算子就是线性空间中的元素，因此可以利用泛函分析中的算子理论来解决这些问题。
3.碟形电机：泛函分析在碟形电机中应用广泛。
作为一种电子器件，碟形电机的设计和制造需要精确的电控理论。
数学专业的非线性泛函分析
数学专业的非线性泛函分析在数学领域中，非线性泛函分析是一门重要的学科，它研究的是非线性泛函的性质与行为。
本文将介绍非线性泛函分析的基本概念、应用领域以及研究方法。
一、基本概念1.1 泛函与非线性泛函在数学中，泛函是一个将函数映射到实数的映射。
这意味着泛函是一种能够将一个函数作为输入，并输出一个实数的操作。
而非线性泛函则是指那些不满足线性特性的泛函，即不符合齐次性和可加性。
1.2 函数空间函数空间是一组函数的集合，它通常具有一定的结构和性质。
在非线性泛函分析中，我们常常研究的是某个特定函数空间上的非线性泛函的性质和行为，如Sobolev空间和Banach空间等。
1.3 变分原理变分原理是非线性泛函分析的重要工具之一。
它通过对泛函的微小变分来研究函数的极值问题。
变分原理在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用，并且在非线性泛函分析中有着深入的理论基础。
二、应用领域2.1 偏微分方程非线性泛函分析在偏微分方程中有着广泛的应用。
通过研究非线性泛函的性质，可以得到偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。
这对于解决现实生活中的许多实际问题具有重要意义。
2.2 最优控制理论最优控制理论是一门研究如何选择控制函数，使得系统在给定约束条件下的性能达到最优的学科。
非线性泛函分析在最优控制理论中起到了重要的作用，可以通过研究非线性泛函的极值来求解最优控制问题。
2.3 图像处理与计算机视觉图像处理与计算机视觉是目前计算机科学中的热门领域，而非线性泛函分析在图像处理与计算机视觉中也发挥着重要作用。
通过研究非线性泛函的特性，可以实现图像去噪、图像恢复和图像分割等重要任务。
三、研究方法3.1 鞍点理论鞍点理论是非线性泛函分析中的重要工具之一，它用于研究泛函的临界点和鞍点的性质。
通过鞍点理论，我们可以得到泛函的极值并求解相关的方程和不等式。
3.2 无穷维分析方法由于非线性泛函通常涉及无穷维空间中的函数，因此无穷维分析方法在非线性泛函分析中是必不可少的。
数学中的泛函分析原理
数学中的泛函分析原理泛函分析是数学中一个重要的分支，它研究的是函数空间中的向量和算子，并研究它们之间的关系和性质。
在应用数学和理论数学中都有广泛的应用。
本文将介绍泛函分析的基本原理和一些常见的应用。
一、泛函分析概述泛函分析是在无穷维向量空间中研究函数和算子的一门数学学科。
它主要关注函数的空间与函数之间的线性关系和连续性。
泛函分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，并为这些领域提供了强大的工具和理论支持。
二、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中非常重要的概念。
它可以用来描述函数的性质和空间结构。
在泛函分析中，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和L^p空间等。
1. 连续函数空间连续函数空间是指定义在某个区间上的连续函数的集合。
常见的连续函数空间有C[0,1]和C^k[0,1]等。
在连续函数空间中，可以定义范数和内积等结构，从而形成一个向量空间。
2. 可积函数空间可积函数空间是指具有有限或无限积分性质的函数集合。
常见的可积函数空间有L^1[0,1]和L^2[0,1]等。
可积函数空间是泛函分析中非常重要的对象，它与概率论、信号处理和图像处理等领域密切相关。
3. L^p空间L^p空间是泛函分析中非常重要的一类函数空间。
它包括了所有p 次幂可积的函数的集合。
L^p空间具有范数结构，可以用来描述函数的大小和趋势，并且在测度论、偏微分方程和调和分析等领域有重要应用。
三、泛函的定义和性质泛函是定义在函数空间上的映射，它将函数映射到实数或复数。
泛函可以看作是函数的函数，它对函数进行操作并输出一个数值。
泛函的定义和性质在泛函分析中起着关键作用。
1. 线性泛函和非线性泛函线性泛函是指满足线性性质的泛函，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有F(af+bg) = aF(f) + bF(g)。
非线性泛函是不满足线性性质的泛函。
2. 连续性和有界性在泛函分析中，连续性和有界性是泛函的重要性质。
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Brouwer度的性质及的应用拓扑度理论是由L.E.J.Brouwer在1912年创立的。
L.E.J.Brouwer所创立的拓扑度是针对有限维空间中的连续映射，现在称之为Brouwer度。
组合拓扑学的奠基Brouwer于二十世界初提出的一个重要概念，Brouwer 通过引入一个复形到另一个复形的映射类和映射的度[1]（即现在的Brouwer度）这些概念，能够第一次处理所谓一流形上的向量场的奇点，同时利用组合的办法，还得到了注明的Brouwer不动点定理。
这些定理有深刻的几何意义，又在分析学中有着重要的应用，尤其是在处理非线性算子方面，拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具[2]，利用它可以推导出许多著名的不动点定理。
后来，经过许多作者的努力，将其整个理论建立在不同的基础上，现在较为普遍也较为容易接受的方法是以分析为基础来建立的，它的推到步骤是先对简单的映射和区域定义度数，然后用简单的映射逼近一般映射，用简单的区域逼近一般的区域。
随着非线性泛函分析理论体系的形成，到1934年，J.Leray和J.Schauder将Brouwer度的工作推广到Banach空间中的全连续场，从而使拓扑度理论在偏微分方程的研究中发挥了重要的作用。
Leray和Schauder关于全连续场的拓扑度成为Leray-Schauder度，继Leray-Schauder的工作之后，拓扑度在理论和应用两个方面都得到了长足的发展。
人们应用拓扑度理论得到了局部分定理，大范围分歧定理，以及各种不动点理论。
拓扑度在理论上的发展主要是针对不同的映射类建立拓扑度，概括起来大致有两种情况：一种是保持拓扑度的基本性质，只是讨论对象有了改变，第二种推广是度数以不在保持原有的某些性质，只保持拓扑度理论中的某些基本原则和结论。
人们在实Banach空间上建立了非紧性测度，录用非紧性测度给出了一类比全连续场更广泛的映射---严格集压缩映射和凝聚映射，并建立了拓扑度。
另外一方面，在实Banach空间上建立逼近格式，然后引入A-Proper映射的概念，对A-proper映射建立广义拓扑度概念， A-proper映射的拓扑度不再是整数，而是一个整数集合，它只保持拓扑度理论的一些基本原则。
利用A-Proper 映射的广义拓扑度又引入实可分Hilbert空间中的连续单调映射的拓扑度，极大单调映射与广义伪单调映射之和的拓扑度，并由此获得相应的满射性定理。
接下来我们将介绍Brouwer 度的定义和性质。
1. Brouwer 的定义和性质1.1.1 Brouwer 度的定义定义 1.1 [3] 设 Ω 是n R 中的有界开集， :n f R Ω→， f 是2C 的映射（即）()()11,...,,,...,n i n xf f f f x x =在Ω上具有连续的二阶偏导数1,2,...,i n =），()\n p R f ∈∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω=->， 作连续函数[):0,R Φ+∞→，使它满足下面两个条件：(a) 存在*,δτ， 满足*0δττ<<≤。
且当()*,r δτ∉时，恒友()0r Φ=；(b) ()||||1n R z dz Φ=⎰。
定义拓扑度()deg ,,f p Ω如下：()()()()deg ,,||||f f p f x p J x dx ΩΩ=Φ-⎰， (1) 其中()f J x 表示f 在点x 的Jacobin 行列式()()()11,...,,...,n i f n jD f f f J x D x x x ∂==∂。
注 1.1 满足上述条件（a ）（b ）的连续函数Φ是很多的， 所以要证明上述定义的合理性，必须要证明按（1）式定义的()deg ,,f p Ω不随函数Ω的选取而变， 还要证明()deg ,,f p Ω是一个整数。
以上的度数定义是针对2C 映射的， 接下来我们要用Sard 定理将2C 映射过度到连续映射，为了定义的完整性， 我们将给出Sard 定理， 它的证明可参见[3]。
定理 1.1 [3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→是1C 映射， 令(){}:,J 0f f N x x x =∈Ω=使得， 则f N 在映射f 下的象()f f N 是n R 中的Lebesgue 测度为零的集。
现在用Sard 定理和小摄动不变性， 将定义1.1中的对2C 映射定义的拓扑度推广到一般的连续映射， 从而得到Brouwer 度的定义。
定义1.2[3]设Ω是n R 中的有界开集， :n f R Ω→连续， ()p f ∉∂Ω， 于是()inf ||||0x f x p τ∈∂Ω=->，令 ()()|:max ||f ||n n x T g g R x g x τ∈∂Ω⎧⎫=Ω→-<⎨⎬⎩⎭是C 映射，且，可以证明T 不定， 对g T ∈， 有()()()()||||||||||f ||0g x p f x p x g x -≥--->， 因此，()\n p R g ∈∂Ω，g T ∀∈，于是根据定义1.1， ()deg ,,f p Ω有意义。
规定Brouwer 度()()deg ,,deg ,,,f p g p q T Ω=Ω∀∈。
住1.2 要使定义1.2合理，必须证明：当12,g g T ∈ 时， 恒友()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω。
令()()01deg ,,deg ,,,h p h p Ω=Ω从而()()12deg ,,deg ,,g p g p Ω=Ω1.1.2 Brouwer 度的性质接下来，我们讨论Brouwer 度的基本性质， 这些性质不仅是拓扑度理论的重要组成部分， 而且可以直接帮助我们研究和解决具体的非线性问题。
定理 1.2[3]Brouwer 度具有以下性质：（a ）（正规性）()deg ,,1,,I p p Ω=∀∈Ω 其中I 表示恒等算子。
（b ）（可加性） 设12,ΩΩ是Ω的两个互不相交的开子集， 并且()12\p f ∉ΩΩ⋃Ω，则()()()12deg ,,deg ,,deg ,,f p f p f p Ω=Ω+Ω。
（c ）（同伦不变性） 设[]:0,1n h R ⨯Ω→连续， 令()(),t h x h t x =， 若()[]\,0,1n t p R h t ∈∂Ω∀∈， 则()deg h ,,t p Ω保持常数（对于01t ≤≤）。
（d ）（可解性）（Kronecker 存在定理）若()1deg ,,0f p Ω≠， 则方程()f x p =在Ω内有解。
（e ）（切除性）设0Ω是Ω的开子集， 并且()0\p f ∉ΩΩ， 则()()0deg ,,deg ,,f p f p Ω=Ω。
（f ）（平移不变性）若()\n p R f ∈∂Ω， 则()()deg ,,deg ,,f p f p θΩ=-Ω， 其中f p -表示映射()f x p -， θ表示n R 的零元。
2.1 Brouwer 的一些应用和发展在文章[4]中，作者研究了关于H-连通空间及Brouwer 度的一些研究，文章主要是研究了关于Brouwer 度不变性的简化证明，其简化之处在于当考虑对定义域的复形K 或像复形L 的一般重分，而不一定是重心重分，即只对一部分单形重分，而不是同时对所有单形进行重分，或者可以视为逐步将所有单形重分。
这样的优越之处在于利用必链重分之后的依然为必链，而使得重分部分单形之后其像的系数与为重分的单形的像有相同系数，即拓扑度不变。
而不依赖于11d d -=这个式子，使得证明得以简化并且直观化。
这样的证明是对一些经典教材关于该定理证明的有益补充。
Brouwer 在经济上也有所应用，在文章[5]中，作者就利用Brouwer 度来研究了最有消费与投资高维REC 模型的求解方法。
应用Brouwer 度和最大值原理研究在预知由真实技术冲击引发的经济短期波动和期末人均资本存量不小于期初资本存量的条件下,对终端时刻固定的高维离散系统给出其解的存在性条件以及最优控制应满足的必要性条件.在文章[6]中，模糊紧场的拓扑度被研究。
1959年Granas 和Jaworowski 开始研究Banach 空间中的多值映射的拓扑度理论，提出了集值紧场和集值同伦的概念， 并且利用Vietories 同伦论把经典的Brouwer-Leray-Schauder 度理论从单值映射推广到多值映射， 取得了一些成果，但是要求把多值映射的定义域限制在Banach 空间的单位球上。
1972年T.W.Ma 提出了集值紧场的另一种定义， 并且把单值紧场的拓扑度理论推广到分离的局部凸空间中的集值紧场上，形成了集值紧场的拓扑度理论。
两年后W.VPetryshyn 和P.M.Fitzpatrick 推广了集值紧场的拓扑度理论， 提出了非紧性集值映射的定义，并给出了它的拓扑度。
经过几十年的发展，拓扑度理论以相当完善，它是研究非线性算子定性理论的有力工具，已成为非线性分析不可缺少的一部分。
自1965年Zadeh提出模糊集的概念以来，到现在模糊数学理论已有很大的发展，并已渗透到许多重要的数学领域，形成诸如模糊拓扑、模糊系统、模糊积分等许多新的数学分支，其发展速度超过了应用数学分支。
模糊数学作为一门新兴学科，它有着强大的生命力和广阔的发展前景，但是模糊数学从1965年发展到现在，才有近四十年的历史，它还没有成熟，许多领域的研究才刚刚开始，需要广达数学工作者的不懈努力，完善和壮大模糊数学，模糊数学的研究需要引入相关学科的研究方法，我们知道，拓扑度是非线性分析的主要研究方法之一，若在模糊数学中引入这一些方法，渴望为模糊数学提供一个全新的重要研究方法。
文章[7]研究的关于af的拓扑度及其应用，文中首先对n R中连续映射象进af a≠与f的Brouwer度之间的关系，得到了Brouwer度的几个等行讨论了()0式，顺便推导出几个不动点理论。
在此基础上研究了投影完备的实Banach空间p紧中A-proper映象f与a的广义拓扑度之间的联系。
作为应用，推广了关于1映象的Altman不动点定理。
[1] Petryshyn,P.M.,A new fixed point theorem and its application, Bull.Amer. Math.Soe.,78(1972),225一230.[2] Petryshyn,P.M.,Fixed points for various classes of1-set-contractiveand l-ball-contractive mapping in Banach spaces,Trans·Amer.Math.Soe.,182(1973),323-352[3] 郭大钧. 非线性泛函分析,济南:山东科学技术出版社、2002.[4]马訾伟. 关于H-连通空间及Brouwer度的一些研究[5]李伟，蔡华. 最有消费与投资高维REC模型的求解方法，吉林：吉林大学学报， vol 47. No1. 2009.[6]陈文亚. 模糊紧场的拓扑度[7]赵增勤. af的拓扑度及其应用，数学研究与评论， vol.11 no.4. 1991.。