函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：

（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域

（一）求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总：

①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；

②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）

⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.

（2

()log (1)x f x x =-）

注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

如：2

()x f x x

=)

练习

1、求下列函数的定义域：

⑴33

y x =+-

1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或

⑵y =

（2）{|0}x x ≥

⑶01(21)111

y x x =

+-++-

（3）1

{|220,,1}2

x x x x x -≤≤≠≠

≠且

2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；

（2）在同一个题中x 不是同一个x ；

（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。

例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。 解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x 的取值范围是[-1,1]） ∴012x ≤+≤ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f 不变，括号的取值范围不变） ∴f(2x-1)中

0212x ≤-≤ ∴1322

x -≤≤

∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧

⎫-

≤≤⎨⎬⎩

⎭

练习

2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2

()f x 的定义域为_、[1,1]-；

_______；函数2)f 的定义域为___[4,9]_____；

3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，

，则函数(21)f x -的定义域是 5

[0,];2

；函数1

(2)f x

+的定义域为 11

(,][,)32

-∞-+∞U 。

3.复合函数定义域

复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2：

()(2,3),()(1)(2),f x g x f x f x -=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。

分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。

解：由f(x)的定义域为（-2,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；

32

04

x x -<<⎧∴⎨

<<⎩，解得0

（一）求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法（利用函数图象）

一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。

练习

（1）2

23y x x =+- [1,2]x ∈ 求值域。

[0,5]y ∈

2.配方法

适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a ；（2）a 不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。

例1：求2

()46f x x x =-+在[1,5]上的值域.