等差数列专题(汇编)

等差数列专题

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d

＝p .

3．等差中项

如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和

y 的等差中项，则A ＝x ＋y

2

.

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *

)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，

则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *

)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为md 的等差数列．

(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .

(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd

2

；

若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式

若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n

2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，

则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1

2

d .

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2n 2＋⎝

⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

7．最值问题

在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最

小值．

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②

①＋②得：S n ＝n a 1＋a n

2

.

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；

(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *

)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；

(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2

＋Bn .

注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

回顾：

1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ）

．

B ．

D ．

考点1:等差数列的通项与前n 项和

题型1：已知等差数列的某些项，求某项

【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知

{}n a 为等差数列，，则

解：方法1：

方法2：，

方法3：令，则

方法4：{}n a 为等差数列，

也成等差数列，设其公差为，则为首项，20,86015==a a =75a 154

,156420598141160

115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a ∴2415

4

74156474175=⨯+=

+=d a a 15

4

4582015601560=-=--=a a d ∴2415

4

1520)6075(6075=⨯+=-+=d a a b an a n +=38

,451620

60815==⇒⎩⎨

⎧=+=+b a b a b a ∴243

8

4516757575=+⨯

=+=b a a ∴7560453015,,,,a a a a a 1d 15a 60

a

为第4项.

方法5：{}n a 为等差数列，三点共线

对应练习：1、已知

{}n a 为等差数列，（互不相等），求.

2、已知

个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.

题型2：已知前项和及其某项，求项数.

【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式

求出

及，代入

可

求项数

；

⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出

，代入可求项数.

【例2】已知

为等差数列{}n a 的前项和，，求

解：设等差数列的首项为

，公差为，则

对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求

这个数列的项数

.

4.已知

为等差数列{}n a 的前项和，

，则

.

题型3：求等差数列的前n 项和

【解题思路】（1）利用

求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.

∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a ∴),75(),,60(),,15(756015a a a 24

1520

4582060751560757560751560=⇒-=-⇒--=--a a a a a a q a p a n m ==,k n m ,,k a 551655n n S d

n a a n )1(1-+=1a d

n S n n a a +1n S n n S n 63,6,994=-==n S a a n 1a d

3,186

89

3111-==⇒⎩⎨

⎧-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(2

3

1821==⇒=--

=n n n n n S n n n S n

100

,7,141===n S a a =n n S n a