2013高考文科数学真题与答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}

【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

2

12i

1i

+

(-)＝( )．

A. B．

1

1+i

2

-

C． D．

【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】

2

12i12i12i i2i

1i2i22

++(+)-+

===

(-)-＝

1

1+i

2

-

.

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A．1

2 B．

1

3 C．

1

4 D．

1

6

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事

件数是2，所以所求的概率为1 3.

4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：

22

22

=1

x y

a b

-

(a＞0，b＞0)

的离心率为，则C的渐近线方程

为( )．

A． B． C．

1

2

y x

=±

D．

【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵2e =

，∴2c a =，即

2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴

12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为

b y x a =±， ∴渐近线方程为

12y x =±.故选C.

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真

命题的是( )．

A ．p ∧q

B ．⌝p ∧q

C ．p ∧⌝q

D ．⌝p ∧⌝q

【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【解析】由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2

，

∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，

∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．

∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.

6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为2

3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。 【解析】11211321113n

n n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，

则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．

当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2

.

∵该函数的对称轴为t ＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴s max＝4，s min＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2

＝的焦点，P为C上一点，若|PF|

＝，

则△POF的面积为( )．

A．2 B

．

．．4

【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF|

＝P

x=

x P

＝

∴y P

＝

±∴S

△POF

＝

1

2|OF|·|y

P|

＝

故选C.

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈

π

0,

2

⎛⎤

⎥

⎝⎦时，f(x)＞0，排除A.

当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.令f′(x)＝0，得

2

π

3

x=

.

故极值点为

2

π

3

x=

，可排除D，故选C.

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．

A．10 B．9 C．8 D．5

【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝1

25.∵A∈

π

0,

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭，∴cos A＝

1

5.

∵cos A＝

2

3649

26

b

b

+-

⨯，∴b＝5或

13

5

b=-

(舍)．