线性代数期末试卷及解析(4套全)2016科大

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线性代数期末试卷一

一、填空题（每小题3分）

（4）已知实二次型22212312

3121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .

二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

A

222

||22(4)(2)2

2

a E A a a a a

----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根

经正交变换22221122

331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有1236

0===λλλ， 由此 46

20a a +=⎧⎨-=⎩

推出 2a =

二、选择题（每小题3分）

（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为

（A ） （B ） （C ） （D ） 解：（B ）正确.

由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，

所以方程组有解，并且无穷多解.

（A ）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对

.

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· （C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.

（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.

九、（本题满分6分）

已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.

解法1 令12

34x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

Ax ααααβ得

112233441234x x x x +++=+++αααααααα，

将1232=-ααα代入上式，整理后得

12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知

12134

230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪

-+=⎨⎪-=⎩

解此方程组得

0132

0110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

x ，其中k 为任意常数.

解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此

=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.

由 12342-++=αααα0

·209·

知12

10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为

12

,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

x 为任意常数.

再由 123412341111

(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

βααααααααA

知11

11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为

1112

1110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，其中k 为任意常数.

十、（本题满分8分） 设,A B 为同阶方阵，

（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等

（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故

11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A

（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

A B ，那么

2||||λλλ-==-E A E B ，

但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，

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· 从而1-==A PBP 0，矛盾.

（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.

若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλL ，则有

A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭O ， B 也相似于1n λλ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

O ， 即存在可逆矩阵,P Q 使

111n λλ--⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝

⎭

P AP Q BQ O

. 于是

111()()---=PQ A PQ B .

由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.