2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试数学文试卷

广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试文科数学试卷第一部分选择题（共60分）一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．)1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 22．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆的直观图，得到如图所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2 CD．3．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ 4．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥5.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF 的位置关系是A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到 图2所示的几何体，则该几何体的左视图为7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．内含9．直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 0 D ．210．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB k 的值等于A B ．1 C D ．1或1-11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点 的轨迹方程是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M ，N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与A ．AC ，BD 之一垂直B ．AC ，BD 都垂直 C ．AC ，BD 都不垂直D ．AC ，BD 不一定垂直第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.点)2,1(-到直线x y =的距离是_________.14. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为_________.15.两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是_________. 16.在ABC ∆中，2,6,2==∠=∠AC B C ππ，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为ABC M -的外接球的表面积为_________. 三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .（Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上. （Ⅰ） 求,n n a b ；ACE（Ⅱ） 若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n nB B )1(322121++++ 与1的大小．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， 90BAD∠=︒，AD =22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ? 若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1CD =，60O BCD ∠=，BD CD ⊥，矩形ADEF 中1=DE ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ECD ； （Ⅱ）求D 点到面CEB 的距离．21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。

（Ⅰ）当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数145)(2+-+-=a a ax x g 的图象上，求b 的最小值。

22．（本题满分12分）圆M ：22224x y y +-= ，直线l ：11=+y x ，l 上一点A 的横坐标为a ,过点A 作圆M 的两条切线1l ,2l , 切点为C B ,.（Ⅰ）当0=a 时，求直线1l , 2l 的方程； （Ⅱ）当直线 1l , 2l 互相垂直时，求a 的值；（Ⅲ）是否存在点A ，使得2AB AC ∙=-？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试数学试卷参考答案(文理)一、选择题（每题5分，共60分）D D D B A B B B C C C B二、填空题（每题5分，共20分）13.2； 14. 4； 15. 4 ； 16. π16 三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3 …………5分(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3 .……10分18．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项, 数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上. （Ⅰ） 求,n n a b ；（Ⅱ） 若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较nB n nB B )1(322121++++ 与1的大小． 解：（1）由题意得22n n a S =+，即111222a S a =+=+，所以12a =因为1122,22n n n n S a S a ++=-=-，所以1112()n n n n n a S S a a +++=-=-，即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以2为公比、首项12a =的等比数列，即()2*nn a n N =∈因为点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上，所以12n n b b +=+，即12n n b b +-=，所以数列{}n b 是以2为公差、首项11b =的等差数列，即()21*n b n n N =-∈ ……6分（2）212n n B b b b n =+++= ，所以1111)1(1321211)1(322121<+-=+++⨯+⨯=++++n n n B n n B B n …12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD 22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）连接DB ，在Rt DAB ∆中，2DB =， …………1分又 E 为BC 中点，2DC =DE BC ∴⊥ …………………………………………2分PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥， ………………………………………3分PD DE D = ， BC ∴⊥平面PDE ， …………4分又BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ……5分 （Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF .…………… 6分 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F ……7分 又OF ⊂ 平面BDF ，PA ⊄平面BDF ………………………………………8分 ∴PA ∥平面BDF ……………………………………………………………9分四边形ABCD ， //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………10分 ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ……………………………………………………11分 ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………………12分20. （理科：本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==．（Ⅰ） 求证：AB BC ⊥；（Ⅱ） 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A AC B --的大小． 解：（1）证明：如右图，取1A B 的中点D ，连接AD ， 因1AA AB =，则1AD A B ⊥ 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ， 且平面1A BC 侧面11A ABB 1A B =，得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥.因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱， 则1AA ABC ⊥底面， 所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. ………………6分（2）连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影 ∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠BA 1CAB 1C 1BA1CAB 1C 1DEAC在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点∴ 112AD A B ===2ADC π∠，=6ACD π∠AC =过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连DE 由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD AC ⊥，且AE AD A = ∴ AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角且直角1A AC ∆中：113A A AC AE AC ===又AD ，=2ADE π∠∴sin =AD AED AE ∠==，且二面角1A AC B --为锐二面角∴ =3AED π∠，即二面角1A AC B --的大小为3π…………12分20．（文科：本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD中，1CD =，60O BCD ∠=，BD CD ⊥，矩形ADEF 中DE=1，且面ADEF ⊥面ABCD ． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ECD ． （Ⅱ）求D 点到面CEB 的距离．（1）证明：∵四边形ADEF 为正方形∴ED AD ⊥……1分 又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ⋂平面ABCD =AD ，……2分 ∴ED ⊥平面ABCD ………3分 ∴ED BD ⊥又∵BD CD ⊥,ED CD D ⋂=∴BD ⊥平面ECD ………5分（2）解：1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 矩形ADEF 中，DE=1 ∴2=BC ，2=CE ， 2=BE …………7分∴过B 做CE 的垂线交CE 与M ，CM=214 ∴27214221=⨯⨯=∆BCE S ……9分 BCD Rt ∆的面积等于112BCD S ∆=⨯=…………………10分 由得（1）ED ⊥平面A B C D ∴点E 到平面B C D 的距离为2ED =………………10分∴11.32D CEB E CDB V V --===∴332731=⨯⨯h ∴7212=h 即点D 到平面CEB 的距离为7212．……………………………12分 21．（本题满分12分）定义若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f 。