2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学 word版
广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试(数学理)
广东省汕头市金山中学09-10学年高二上学期期末考试数学理一、 选择题1、命题,:R m p ∈∃方程012=++mx x 有实根，则p ⌝是：（ ）A 、,R m ∈∃方程012=++mx x 无实根B 、,R m ∈∀方程012=++mx x 无实根C 、不存在实数m ，使方程012=++mx x 无实根D 、至多有一个实数m ，使方程012=++mx x 有实根 2、抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、53、．如果10a b -<<<，则有（） （A ）2211b a b a <<<（B ）2211a b b a <<< （C ）2211b a a b <<< （D ）2211a b a b <<< 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1,3,3===b a A π，则边c 的长为（ ） A 、1 B 、2 C 、13- D 、35、若条件p ：1x +≤4，条件q ：256x x <-，则p ⌝是q ⌝的( ).A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6、设),(y x P 是第一象限的点，且点P 在直线623=+y x 上移动，则xy 的最大值是（ ）A 、1.44B 、1.5C 、2.5D 、17、等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则4s =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．168、设ABC ∆是等腰三角形，︒=∠120ABC ，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A 、221+ B 、231+ C 、21+ D 、31+9、已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠；③)()()()(''x g x f x g x f ⋅>⋅。
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}240,15A x x x B x x =-<=<<则A B =U （ ） A ．()0,5 B ．()1,5C ．()1,4D ．()4,5【答案】A求出集合A 、B,利用交集的运算即可得到结论． 解：解：因为{}{}24004A x x x x x =-<=<<,{}15B x x =<<,所以{05}A B x x =<<U ,即()0,5x ∈. 故选：A 点评：本题考查交集及其运算,求出集合A,B 是解决本题的关键．2．若向量()()1,2,,2a b x =-=r r ，且a b r r ⊥，则x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C根据向量垂直的坐标公式，即可代值计算. 解：因为a b r r ⊥，故可得0a b ⋅=r r ，即40x -=，解得4x =. 故选：C. 点评：本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.3．若幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x -=B ．()12f x x-=C ．()9xf x =D ．()227x f x =【答案】B设出幂函数的解析式，待定系数，即可求得解析式. 解：设幂函数()f x x α=，因为其过点33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故可得12333α-==解得12α=-，故()12f x x -=. 故选：B. 点评：本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.4．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解. 解：设黑色部分的面积为S ，根据几何概型的概率计算公式可得：498441000S =⨯ 解得7.9688S =≈. 故选：D. 点评：本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题. 5．命题“x =π”是“sinx =0”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，不一定有x =π，然后结合充分必要条件的判定得答案． 解：解：由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，得x =k π，k ∈Z ． ∴“x =π”是“sinx =0”的充分不必要条件． 故选A ． 点评：本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．6．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴--Q 去掉A,B ；π(0,)()02x f x ∈>Q 时 所以选C.7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积是（ ）A ．85B 85C ．8D ．2025+【答案】B根据三视图，还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解体积即可.解：由三视图可知，该四棱锥如下图所示：其底面是长为4，宽为2的长方形，高为边长为3,3,4的三角形的高5h =故该棱锥的体积为118524533V Sh ==⨯⨯=. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.8．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2(0,2B ．2C ．3D ．32【答案】B由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴22c e a =≥。
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题【含答案】
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则=( )A. B. C. D.2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,4.已知直线,直线,且,则m的值为（）A. B. C. 或 D. 或5. 已知,l m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若//⊥，//⊥mα，则lαl m B.若l mlα，//mα，则//C.若l m⊥，则l mlα，mα⊥lα D.若//⊥，mα⊥，则//6. 在中,若点D满足,则( )A. B. C. D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x,,且,则的最小值是A. 5B.C.D.9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P 的轨迹方程为( )A. B. C.D.10. 已知圆,直线l ：,若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )A.B.[]11-， C. ]2,2[-D.11. 已知,分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( ) A.B.C.D.12. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是（ ）A.1(0,)4B.(0,1)C.1(0,)2 D.1(,)4-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________． 14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________．15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC ,,则该球的体积为_________．16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．求数列的通项公式；设,若的前n项和为,证明：．18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为,．求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间．19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上． Ⅰ求圆C 的方程； Ⅱ设点P 在圆C 上,求的面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C 上求C 的方程； 设直线l 不经过点，且与C 相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l 过定点．22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[2,2]-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C BD D D B A B D A A二、填空题13. 14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以．18.解：由,解得．上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC, 且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,,所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分Ⅱ,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分21.解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,,,三点在椭圆C上．把,代入椭圆C,得：,解得,,椭圆C 的方程为；证明：当斜率不存在时,设l ：,,,直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．当斜率存在时,设l ：,,,, 联立,整理,得,, ,则,,又,,此时,存在k ,使得成立,直线l 的方程为,当时,, 过定点．22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）22(2),()(2)3,x a x a x af x x a x a x a⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符；②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在2(,)2a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在2(,2]2a +上单调递减． 因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2212(2)()024a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<解得04a <<-或4a >+又2a <，故04a <<-综上，实数a 的取值范围是(0,4-。
广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(文)试题Word版含答案
广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（文）试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2•选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，答题卡交回.第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）,_ 2 21•圆x y ，2x-4y = 0的半径为（）A. 3 B . 、、3 C . , 5 D . 52•“ 2x1 x0 ”是“ x = 0 ”的（）.A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件3.直线X =1的倾斜角和斜率分别是（）A. 45 ,1 B . 90，不存在 C . 135 D . 180，不存在4.已知函数y =、、2 -x的定义域为M，集合N ='x|y =lg x—1 j ；，则M N =（）A. 0,2 B . 0,2 C . 1,2 D . 1,2 15.设:是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则以下结论错误..的是（）A.若:-ir- , m 二：^ ,则m// 1B.若m//〉,m/ ■ = n ，贝U m/ nC.若 m 二很，n 二很，m// 一n // 1，贝U :- H '■若 m /、工，m .1-:,，贝U J . . 1-:,A. 28 B . 14 C . 7 D . 21&将函数-的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()1 1e(x) = sinfjrx —g(x) = sin(7E< <■ A B :JI 二■ CD R '■ ■ 9.已知函数A. 3 B . 2 C . 0 D . -1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A , B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是D. 10.已知 ，是椭圆上的两个焦点，过11. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形),则该三棱锥的体积为(A. 4 B 8 C . 16D . 24函数y = -2x 2• 2x在［-2,2 ］的图像大致为(BD6. 7. 设为等差数列的前f x " b"0，若 f lgx,x A O=4,则b =()2 212 .设P 是椭圆X y1上一点，M , N 分别是两圆：（x 亠4）2亠y 2 = 1和（x - 4）2亠y 2= 1上的点， 259则| PM | | PN |的最小值、最大值的分别为（）A. 9, 12 B . 8, 11 C . 8, 12 D . 10, 12第II 卷（非选择题）、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.）2 214•已知双曲线 丄_每=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的渐近线方程为 _______________ .4 b15.已知向量； = gin ）,〔 = （1厂3）,若向量；丄则间■ __________ . 16•已知函数f （x）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）是偶函数，当1-1,0］时，f （x ）=x 2，若在区间1-1,3 1内，函数g x = f x -log a x 2有-个零点，则实数a 的取值范围是 _____________________ 三、解答题：（共70分，解答过程要有必要文字说明与推理过程.17. （本小题满分10分）a - c = 2,b = 4T COS B =-5（1 ）求-的值; （2）求匕心的面积。
上海市金山中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试卷附答案详析
上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（ ）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（ ） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C ．2 D ．6二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.6．抛物线24y x =的焦点坐标是______．7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+rr r ，34b i j =-r r r ，则a b⋅=r r______.8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高； （2）求ABC ∆的面积.18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m+=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.解析上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（ ）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩【答案】C【解析】将参数方程化为普通方程，逐一将各参数方程中的参数t 消去即可得解. 【详解】解：对于选项A ，参数方程2x ty t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2y x =，即A 不合题意；对于选项B ，参数方程2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22y x =，即B 不合题意；对于选项C ，参数方程cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x +=，即C 符合题意；对于选项D ，参数方程tan 2sec x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x -=，即D 不合题意，即与2214y x +=表示同一曲线的是cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩， 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，重点考查了运算能力，属中档题.2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”，即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（ ） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件 【答案】D【解析】由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上，逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则可得曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上， 即点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件， 故选：D. 【点睛】本题考查了曲线与方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C ．2D ．6【答案】B 【解析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB 数值，代入22||||AB MN 化简即得答案． 【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即2AB MN ≥，所以AB MN 的最小值为2，故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π； 【解析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 3θ=，再求倾斜角即可.【详解】解：设直线的倾斜角为θ， 由直线l 的方程为：34y x =+可得tan 3θ=，又[)0,θπ∈，所以3πθ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是______． 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r，则a b ⋅=r r ______.【答案】－7；【解析】由已知可得1,0i j i j ==⋅=r r r r，再结合向量的运算即可得解.【详解】解：因为向量,i j r r为相互垂直的单位向量，则1,0i j i j ==⋅=r r r r， 又34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r ，则a b ⋅=r r 22(34)(34)9167i j i j i j +⋅-=-=-r r v v v v ，故答案为：7-. 【点睛】本题考查了向量的运算，重点考查了向量的数量积，属基础题. 8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________【答案】2 【解析】由已知得334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，能求出a 的值．【详解】∵线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，∵334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，代入得﹣a +6＝4，解得a ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用． 9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 【答案】0,3-【解析】直接利用夹角公式求解即可. 【详解】因为直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ， 且直线30x y +=与直线10kx y -+=的斜率分别为3-与k ，1212tan 13313k k k k k kθ-∴=+-∴=+解得0,3k k ==- 故答案为：0,3- 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，属于基础题.10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______. 【答案】3±；【解析】由点到直线的距离公式得22841a =+，再求解即可.【详解】解：由点到直线的距离公式可得：22841d a ==+，解得3a =±，故答案为：3±. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 【答案】(2,3)-；【解析】先设点(,)P x y ，再结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】解：设点(,)P x y ， 由1(0,6)P -，2(4,0)P ，则12(4,6)PP =u u u u v ，1(,6)PP x y =---u u u v， 又1212PP PP =-u u u u v u u u v ， 则42()62(6)x y =-⨯-⎧⎨=-⨯--⎩ ，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即(2,3)P -， 故答案为：(2,3)-. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______. 【答案】平行或相交或重合；【解析】由平面内两直线的位置关系可得：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等， 则这两直线平行或相交或重合，得解. 【详解】解：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等， 由平面中两直线的位置关系可得这两直线平行或相交或重合， 故答案为：平行或相交或重合. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系，属基础题.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．【答案】73【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求解． 详解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z x y =+，得y x z =-+表示，斜率为-1纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y x z =-+，当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小，由2423x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2533B（，） ，此时257333min z =+= ． 故答案为73. 点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______. 【答案】－1；【解析】由2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程可得222(2)4(21)0a a a a +-+->，又过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，联立即可得解. 【详解】解：过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切， 则点(2,1)P 在圆上，则222214210a a a a +++++-=，解得2a =-或1a =-， 又2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程， 则222(2)4(21)0a a a a +-+->，即223a -<<， 即1a =-， 故答案为：1-. 【点睛】本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属基础题.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______. 【答案】5；【解析】由向量数量积的运算可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由点的轨迹可得点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，再求解即可. 【详解】解：由||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，即2ACB π∠=,又点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，即2AOB π∠=，则点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，又22345AB =+=,则5CO ≤，当且仅当CO 为直径时取等号，即点C 到原点O 的距离的最大值是5， 故答案为：5 . 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了点的轨迹方程，属中档题.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______. 【答案】[]16,26.【解析】由向量的线性运算可得22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，结合椭圆的定义可得22212122(3)16PF PF PF +-=-+，然后由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，再结合二次函数值域的求法即可得解. 【详解】解：由已知条件可得1PA PB ==u u u r u u u r 且PA PB =-u u u r u u u r ,则221111111()()()1F A F B F P PA F P PB F P FP PA PB PA PB FP ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 同理22F A F B ⋅u u u u r u u u u r 221FP =-u u u v ， 则22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v , 由椭圆的定义可得126PF PF +=，则22222121112(6)22(3)16PF PF PF PF PF +-=+--=-+,由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，即[]212(3)1616,26PF -+∈，即1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u v u u u v u u u u v u u u u v的取值范围是[]16,26， 故答案为：[]16,26.【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了椭圆的定义及几何性质，属中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）91010（2）9 【解析】（1）先由点斜式方程的求法，求出直线BC 的方程，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）由两点的距离公式求出BC ，再结合（1）及三角形面积公式即可得解.【详解】 解：（1）由3515(1)3BC k -==---，得直线BC 的方程为13(5)3y x -=--，即3140x y +-=，从而，点A 到直线BC 的距离2|23114|9910101013d +⨯-===-， 即ABC ∆的边BC 上的高为91010； （2）由22(51)(35)210BC =++-=，得1191021092210S BC d =⋅=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为9. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程的求法，重点考查了两点的距离公式及三角形的面积的求法，属基础题. 18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m +=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.【答案】（1）1m n =⎧⎨=⎩（2）88【解析】（1）先求出方程组（）的系数矩阵41m A n ⎛⎫=⎪⎝⎭，再结合1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，又43250544(302)26026nD n mn m m -==⋅=-，再代入运算即可得解.【详解】解：（1）由41m A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得00m nA B m n -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故11m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，即1,0==m n ；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，从而，43250544(302)8826026nD n mn m m -==⋅=-=.【点睛】本题考查了矩阵的运算，重点考查了运算能力，属中档题.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）由圆过点O 、A 、B ，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 再将点O 、A 、B 的坐标代入运算即可得解；（2）由题意可得该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，再结合点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，得解.【详解】解：（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F=，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=， 圆心为(10,30)C ，半径1010r =， （2）该船初始位置为点D ，则()20,203D--，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，由于圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，故该船有触礁的危险. 【点睛】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.【答案】（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（3）33【解析】（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式()22430n n ∆=--≤求解即可；（3）由向量模的运算可得2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v ，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可.【详解】解：（1）由向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.则2a b ==r r由a b λ+r v 与a b λ-r r 垂直，得()()0a b a b λλ+⋅-=r r v v ，即2220a b λ-=r v，从而2440λ-=，解得1λ=±；（2）由ma nb a b +≥+r r v v ，将222222m a mna b n b a b +⋅+≥+r r r v v v ，即2244412m mn n ++≥，从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立， 于是()22430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥；（3）当0x =时，0xc=v ； 当0x ≠时，2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v 22111444432y y y x x x ==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当12y x =-时，||||x c r 有最大值33，综上可得||||x c r 有最大值33.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(sin , sin )B αα（2）06πα<<（3）3214m +<<【解析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可； （2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<，则问题可转化为抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可.【详解】解：（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 得sin x y α==， 所以(sin , sin )B αα； （2）因为04πα<<，0tan 1α<<，所以椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件04303b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以06πα<<；（3）由题意得：1m >，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---， 因为点(sin ,sin )B αα在抛物线上，所以2sin4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin tα=，因为06πα<<，所以102t <<， 令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<， 抛物线∵开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<，抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，所以0? 1323244m m m ⎧⎪⎨-+<<⎪⎩或， 所以m 的取值范围是3214m +<<. 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.。
【数学】广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期中考试
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期中考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|log 2x <1},B ={x|x 2+x −2<0},则A ∪B =( )A. (−∞,2)B. (0,1)C. (−2,2)D. (−∞,1)2. 已知a =21.3,b =40.7,c =log 38,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a3. 命题“∀x ∈(0,1),x 2−x <0”的否定是( )A. ∃x 0∉(0,1),x 02−x 0≥0B. ∃x 0∈(0,1),x 02−x 0≥0C. ∀x 0∉(0,1),x 02−x 0<0D. ∀x 0∈(0,1),x 02−x 0≥04. 已知直线l 1:3mx +(m +2)y +1=0,直线l 2:(m −2)x +(m +2)y +2=0,且l 1∥l 2,则m 的值为（ ）A. −1B. 12C. 12或−2D. −1或−25. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l m ⊥，//m α，则l α⊥C.若l m ⊥，m α⊥，则//l αD.若//l α，m α⊥，则l m ⊥ 6. 在△ABC 中,若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 为了得到函数y =sin(2x −π3)的图象,可以将函数y =cos2x 的图象( )A. 向左平移5π12个单位B. 向右平移5π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位8. 若x ,y ∈R +,且x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( )A. 5B.245C. 2√35D.1959. 设D 为椭圆x 2+y 25=1上任意一点,A(0,−2),B(0,2),延长AD 至点P ,使得|PD|=|BD|,则点P 的轨迹方程为( )A. x 2+(y −2)2=20B. x 2+(y +2)2=20C. x 2+(y −2)2=5D. x 2+(y +2)2=510. 已知圆x 2+y 2=4,直线l ：y =x +b ,若圆x 2+y 2=4上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )A. (−1,1)B.[]11-，C. ]2,2[-D. (−√22)11. 已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为椭圆上一点, 且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O 为坐标原点),若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√5212. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b ，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是（ ）A.1(0,)4B.(0,1)C.1(0,)2D.1(,)4-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．14. 过圆x 2+y 2=5上一点M(2,−1)作圆的切线, 则该切线的方程为_________． 15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD ⊥平面ABC , AD =2AB =6,则该球的体积为_________．16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,a3+a5=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1,若{b n}的前n项和为T n,证明：T n<12．18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟),并将所得数据制成频率分布直方图(如图),若上学路上所需时间的范围为[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]．(1)求直方图中a的值；(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；(3)求该校学生上学路上所需的平均时间．19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱ABC−A1B1C1中,各棱长均为4,M、N分别是BC,CC1的中点．(1)求证：BN ⊥平面AMB 1；(2)求直线AB 与平面AMB 1所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点A(−1,0)和B(3,4),且圆心在直线 x +3y −15=0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设点P 在圆C 上,求△PAB 的面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(−1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点，且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1, 证明：l 过定点．22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[2,2] 上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题13.1614. 2x−y−5=015. 32√3π16. ④三、填空题17.(1)解：等差数列{a n}的公差为d,由S9=9a5=81,得a5=9,又由a3+a5=14,得a3=5,由上可得等差数列{a n}的公差d=a5−a35−3=2,∴a n=a3+(n−3)d=2n−1；(2)证明：由题意得b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12[1(2n−1)−1(2n+1)]．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．18.解：(1)由a×20+0.025×20+0.0055×20+0.003×2×20=1,解得a=0.0135．(2)∵上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：(0.0055+0.003×2)×20×1200=276．(3)该校学生上学路上所需的平均时间为：10×0.0135×20+30×0.025×20+50×0.0055×20+70×0.003×20+90×0.003×20=32.8．19.(1)证明：因为AB=AC且M为BC的中点,所以AM⊥BC,又在正三棱柱ABC−A1B1C1中,因为平面BCC1B1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,且平面BCC1B1∩平面ABC=BC,所以AM⊥平面BCC1B1,因为BN⊂平面BCC1B1,所以AM⊥BN,因为M,N分别为BC,CC1的中点,所以BM=CN=2,又因为BB1=CB=4,∠MBB1=∠NCB=90∘,所以△MBB1≌△NCB,所以∠BMB1=∠CNB,∠BB1M=∠CBN,所以∠BMB1+∠CBN=∠CNB+∠CBN=90∘,所以BN⊥B1M,又因为AM⊂平面AMB1,B1M⊂平面AMB1,AM∩B1M=M,所以BN⊥平面AMB1．(2)解：设BN∩B1M=O,由(1)可知BO⊥平面AMB1,所以AO为斜线AB在平面AMB1内的射影,所以∠BAO为AB与平面AMB1所成的角,由题可知AN=BN=√42+22=2√5,所以△ABN为等腰三角形, 作NE⊥AB于E,则E为AB的中点,所以NE=√BN2−BE2=4,由等面积法可知AO=AB×NEBN =2√5=√5,在Rt△AOB中,∠AOB=90∘,所以cos∠BAO=AOAB =8/√54=2√55,所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为2√55．20. 解：(Ⅰ)依题意,所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y −15=0的交点, ∵AB 中点为(1,2)斜率为1,∴AB 垂直平分线方程为y −2=(x −1)即y =−x +3…(2分) 联立{y =−x +3x +3y =15,解得{x =−3y =6,即圆心(−3,6), 半径r =√42+62=2√10…(6分)∴所求圆方程为(x +3)2+(y −6)2=40…(7分) (Ⅱ)|AB|=√42+42=4√2,…(8分) 圆心到AB 的距离为d =4√2…(9分)∵P 到AB 距离的最大值为d +r =4√2+2√10…(11分)∴△PAB 面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5…(12分) 21. 解：(1)根据椭圆的对称性,P 3(−1,√32),P 4(1,√32)两点必在椭圆C 上,又P 4的横坐标为1, ∴椭圆必不过P 1(1,1),∴P 2(0,1),P 3(−1,√32),P 4(1,√32)三点在椭圆C 上．把P 2(0,1),P 3(−1,√32)代入椭圆C ,得：{1b 2=11a 2+34b 2=1,解得a 2=4,b 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：①当斜率不存在时,设l ：x =m ,A(m,y A ),B(m,−y A ), ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1, ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1,解得m =2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．②当斜率存在时,设l ：y =kx +t ,(t ≠1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =kx +tx 2+4y 2−4=0,整理,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0, x 1+x 2=−8kt1+4k 2, x 1x 2=4t 2−41+4k 2,则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+t)−x 2+x 1(kx 2+t)−x 1x 1x 2,=2kx 1·x 2+(t−1)(x 1+x 2)x 1·x 2=8k(t−1)4(t+1)(t−1)=−1,又t ≠1,∴t =−2k −1,此时△=−64k ,存在k ,使得△>0成立, ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1, 当x =2时,y =−1, ∴l 过定点(2,−1)．22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；（2）22(2),()(2)3,x a x a x af x x a x a x a⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2(,]2a a +上单增，在2(,)2a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符；③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在2(,2]2a +上单调递减． 因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2212(2)()024a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<解得04a <<-4a >+又2a <，故04a <<-综上，实数a 的取值范围是(0,4-。
广东省汕头市金汕中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析
广东省汕头市金汕中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数，则（）A. B. C. D.参考答案：D2. 已知，函数，下列四个命题：①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π；②当时，f（x）有最小值；③是函数f（x）的一个单调递增区间；④点是函数f（x）的一个对称中心．正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数=+2．再利用三角函数的图象与性质即可判断出正误．【解答】解：∵函数====+2．对于①：函数f（x）的周期为，∴①为错误的；对于②：当时，f（x）取得最小值，此时，即，当k=0时，，∴②为正确的；对于③：令，解得，∴函数f（x）的增区间为，当k=﹣1时，函数f（x）的增区间为，∴③为正确的；对于④：令=kπ（k∈Z），解得，∴函数f（x）的对称中心为，当k=0时，得点是函数f（x）的一个对称中心，∴④为正确的．综上所述，②③④是正确的命题．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 设a, b, c是两两不共线的平面向量，则下列结论中错误的是(A)a+b=b+a (B)a⋅b=b⋅a(C)a+(b+c)=(a+b)+c (D) a(b⋅c)=(a⋅b)c参考答案：D4. 设，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：C5. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6. 若直线的倾斜角为,则实数的值为【】.A. B. C.D.或参考答案：C略7. 奇函数在区间上单调递减,,则不等式的解集为( )A. B. C. D.参考答案：C8. 与圆都相切的直线有A、1条B、2条C、3条D、4条参考答案：A9. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2012）的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．2参考答案：C略10. 是虚数单位，复数等于（）A.B.C.D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线l的倾角α满足4sinα=3cosα，而且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是_____________________.参考答案：3x－4y－9=012. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则椭圆的方程为。
广东省汕头市金山高二数学上学期期末考试试题文
高二文科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集R ，M={}R x x x ∈≤,1，N={}4,3,2,1，则N M C R⋂)(等于 ( )A ．{}4B ．{}4,3C ．{}4,3,2D ．{}4,3,2,1 2．x x f 2sin 21)(=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题D ．命题“p 且q ⌝”是真命题4．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A.B.C.D.5. 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+= C.2211()24x y ++= D. 2211()24x y -+=6．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，PD PB =， 则该四棱锥的主视图（主视方向与平面PAC 垂直）可能是（ ） A ． B ． C ． D ．7．设R a ∈，则1>a 是11<a 的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若与所成角相等，则B ．若，则CABD PC ．若，则D ．若，则9．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）A ．45 B. 23 C.22D.2110．已知函数1()ln f x x x =-，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为l ，则点（3,2）到l 的距离是（ ） A ．227 B ．229 C ．2211 D ．1010912．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若y x +=，则 （ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知3=x 是函数x x x a x f 10ln )(2-+=的一个极值点，则实数a ＝________.14．在ABC ∆中, o60=∠A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为，则BC 的长为15. 等差数列{}n a 中，已知458a a +=，则=8S .16. 设实数,x y 满足不等式组110y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩, 则2yx +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工． （1）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：人数126951请你预测面试的切线分数（即进入面试的最低分数）大约是多少？（2）公司从聘用的四男a 、b 、c 、d 和二女e 、f 中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18．(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若4(),0253f απα=<<，求cos α的值. 19．（本题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求点E 到平面PBF 的距离.20. （本小题满分12分）设函数()()210x f x x x +=>，数列{}na 满足11=a ，11()n n a f a -=，()*,2n N n ∈≥且。
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汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学科试卷
命题：
一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．设集合{
}
{}
2
40,15A x x x B x x =-<=<<则A
B =（ ）
A ．()0,5
B ．()1,5
C ．()1,4
D ．()4,5
2．若向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ⊥b ，则x ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．若幂函数
的图象过点
，则
的解析式为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
5．命题“x =π”是“sin x =0”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
6. 函数
的图象大致是（ ）
A B C D
7. 已知四棱锥
的三视图如图所示，则四棱锥
的体积是（ ）
A.
B.
C. D.
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，
使，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3
阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）
A ．1020
B ．1010
C ．510
D ．505
10. 已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为
、，是双曲线上任意一点，则分别以
线段
、
为直径的两圆的位置关系为（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 以上情况均有可能
二、多项选择题 （本题共2小题，每小题5分，共10分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
）
11.
如图是某市12月1日
日AQI 指数变化趋势：
下列叙述正确的是（ ）
A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 12. 已知定义域为的奇函数
，满足
,下列叙述正确的是（ ）
A.存在实数，使关于x 的方程有7个不相等的实数根
B.当
时，恒有
C.若当(]0,x a ∈
时，
的最小值为，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
D.若关于x 的方程
和
的所有实数根之和为零，则
三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．）
13.设直线10x ++=与圆22410x y x +-+=相交于,A B 两点，则AB =___________.
14.若直三棱柱111ABC A B C -（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球O 的表面上， 若1,3,4,2AB BC AB BC AA ⊥===,则球O 的表面积等于________.
15.如图，是一块半径为
的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去
一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形、、、、
，记第块纸板的面积为，
则（1）
_______,（2）如果对
恒成立，那么a 的取值范围是____________.
（本题第一个空2分，第二个空3分.）
16.已知函数，当时取得最小值，当时取得最大值，且在区间上单调．则当取最大值时的值为______ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求内角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
19. （本小题满分12分）
如图，中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．
（Ⅰ）证明：平面PBE；
（Ⅱ）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
x+=均与圆相切.
已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线20
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
=+与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求m的值.
（Ⅱ）设点P（0,1），若直线y x m
21.（本小题满分12分）
已知函数
Ⅰ当时，求的值域；
Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.。