2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试数学 word版

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广东省汕头市金山中学2019～2020学年度高2021届高2018级高二上学期期末考试数学试题参考答案

汕头市金山中学2018级高二上学期期末考试数学科参考答案13.__ √3__; 14.__29π__; 15._11π8a 2; [√505,+∞)___; 16.___−π2___.17. 解：解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由a 2=5,a 4=9,得9=5+2d ,解得d =2. ………………………………1分所以a n =a 2+(n −2)d =5+2(n −2)=2n +1. ………………………………2分由于{b n +a n }是公比为3的等比数列,且b 1+a 1=6, ………………………………3分所以b n +a n =(b 1+a 1)⋅3n−1=6×3n−1. ………………………………4分从而b n =6×3n−1−a n =6×3n−1−(2n +1),n ∈N ∗. ………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)b n =6×3n−1−(2n +1),n ∈N ∗.所以S n =6(1+3+⋯+3n−1)−[3+5+⋯+(2n +1)]=6(1−3n )1−3−n[3+(2n+1)]2=3n+1−3−n 2−2n .……10分18. 解：(Ⅰ)由余弦定理得a −√22c =b ⋅a2+b 2−c 22ab…………………………1分化简得b 2=a 2+c 2−√2ac , ∴cos B =c 2+a 2−b 22ac=√22. …………………………3分∵B ∈(0,π),∴B =π4. ……………………………5分 (Ⅰ)由cos C =7√210,得sin C =√1−(7√210)2=√210, ……………………………6分在ΔABC 中,∵sin A =sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C =√22×7√210+√22×√210=45,……8分由正弦定理b sin B =asin A ,得b =a sin A ⋅sin B =445×√22=5√22, ……………………………10分S ΔABC =12ab sin C =12×4×5√22×√210=1. ………………………………12分19. 解：(Ⅰ)证明：∵E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,∴EF//BC , …………………………1分 ∵∠ABC =90°,∴EF ⊥BE,EF ⊥PE , …………………………3分又∵BE ∩PE =E ,BE 、PE ⊂平面PBE , …………………………4分 ∴EF ⊥平面PBE ,∴BC ⊥平面PBE ； …………………………5分(Ⅰ)解：取BE 的中点O ,连接PO ,由(1)知BC ⊥平面PBE ,BC ⊂平面BCFE , ∴平面PBE ⊥平面BCFE , ∵PB =BE =PE , ∴PO ⊥BE ,又∵PO ⊂平面PBE ,平面PBE ∩平面BCFE =BE , ∴PO ⊥平面BCFE ,过O 作OM//BC 交CF 于M ,则OB ,OM ,OP 两两相互垂直. …………………………6分分别以OB ,OM ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, 则P(0,0,√3),C(1,4,0),F (−1,2,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3), 设平面PCF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z), 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +4y −√3z =0m⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y −√3z =0,取y =1,得m ⃗⃗⃗ =(−1,1,√3),………8分由图可知n⃗ =(0,1,0)为平面PBE 的一个法向量, ………………………10分 ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3×0√(−1)2+12+(√3)2=√55, (11)分∴平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值√55. ……………………12分20. 解：(1)设圆心(,0a )0a >∴ 圆的半径为r a =,所以22a a +=,解得：2a = ……2分圆的标准方程是：22(2)4x y -+= ………………………4分(2)设1122(,),(,)M x y N x y .()2224y x mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ , 消去y 得：2222(2)0x m x m +-+= ……………………………6分△=224(2)80m m -->,得：222222m --<<-+ ……………………………7分121222121222222x x m y y mm m x x y y m +=-+=+⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=+⎪⎪⎩⎩, ……………………………9分因为∠MPN =90°,所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ……………………………10分又PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x 2,y 2−1) 所以x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=m 2+m −1=0 ……………………………11分解得m =−1−√52或m =−1+√52. ……………………………12分21. 解：(Ⅰ)当时,……………………………1分令,令,……………………………2分二次函数ℎ(t )的图像开口向下,对称轴是t =12,所以二次函数ℎ(t )在[−1,12]上单调递增,在[12,1]上单调递减. …………………………3分又ℎ(12)=98,ℎ(−1)=0,ℎ(1)=1,所以, …………………………4分所以的值域为……………………………5分(Ⅱ)法一： ………………………6分令,令,…………………………7分①当,即时,,且,解得……………………8分②,即时,,无解 ………………………9分③当,即时,且,解得…………………10分综上所述或 …………………………12分法二： …………………………6分令, …………………………7分当,不合题意,∴………………………8分 ∴, ………………………9分 ∵在,递减 ………………………10分 ∴或 ………………………11分∴或………………………12分22. 解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c , ∵离心率为√32,∴3a 2=4c 2,又点是抛物线y 2=4√3x 的焦点,∴c 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. ………………………………4分(Ⅰ)∵ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴四边形OANB 为平行四边形. 当直线的斜率不存在时,显然不符合题意； ………………………………5分当直线的斜率存在时,设直线的方程为y =kx +3, 由{y =kx +3x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由∆=(24k )2−128(1+4k 2)>0 得k 2>2. …………………………6分设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=−24k1+4k 2,x 1x 2=321+4k 2, …………………………7分 ∵S ∆OAB =12|OD ||x 1−x 2|=32|x 1−x 2|, …………………………8分 ∴S 四边形OANB =2S ∆OAB =3|x 1−x 2|=3√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=3√(−24k1+4k2)2−4×321+4k2=24√k 2−2(1+4k 2)2, …………………………9分令k 2−2=t ,则k 2=t +2(t >0), ∴S 四边形OANB =24√t(4t+9)2=24√172+16t+81t≤24√1144=2, …………………………11分当且仅当16t =81t,即t =94即k 2=174时取等号,∴当k =±√172时,平行四边形OANB 的面积最大值为2.此时直线的方程为y =±√172x +3. …………………………12分。

【精品】学2020年广东省汕头市金山中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、（本大题共12小题，每小题5分，四选一项．）1．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+82．（5分）用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′=1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1 B．2 C．D．23．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β4．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定6．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=，E，F分别是PB，BC 的中点，则EF与平面PAB所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．内含9．（5分）直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣ B．0 C．﹣或0 D．210．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则实数k的值等于（）A．B．1 C．或﹣D．1或﹣111．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=12．（5分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD 的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）点（﹣1，2）到直线y=x的距离是．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为．15．（5分）两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是．16．（5分）在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S的最大值．△ABC18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，）在直线y=x+2上．点P（b n，b n+1（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．21．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．22．（12分）圆M：x2+y2﹣2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M 的两条切线l1，l2，切点为B，C．（Ⅰ）当a=0时，求直线l1，l2的方程；（Ⅱ）是否存在点A，使得=﹣2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求证当点A在直线l运动时，直线BC过定点P0．（附加题）问：第（Ⅲ）问的逆命题是否成立？2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（本大题共12小题，每小题5分，四选一项．）1．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+8【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．2．（5分）用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′=1，则△ABC的BC边上的高为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵直观图是等腰直角△A′B′C′，∠B′A′C′=90°，A′O′=1，∴A′C′=；根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC=2A′C′=2．故选：D．3．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A不正确；对于B，垂直于同一平面的两条平面平行或相交，故B不正确对于C，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m∥b，若m⊄β，则m∥β，若m⊂β，也成立，∴m∥β或m⊂β．故C不正确；对于D，若m⊥α，m∥β，则存在l⊂β，使l∥m，∴l⊥α，则α⊥β，故D正确，故选：D．4．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．5．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定【解答】解：∵AE：EB=CF：FB=1：2，∴EF∥AC，∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF，故选：A．6．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选：B．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=，E，F分别是PB，BC 的中点，则EF与平面PAB所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（，，），F（，，0），=（0，1，﹣），=（0，0，），=（），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设EF与平面PAB所成的角为θ，则sinθ===，∴θ=45°．∴EF与平面PAB所成的角等于45°．故选：B．8．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．内含【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．9．（5分）直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．﹣ B．0 C．﹣或0 D．2【解答】解：由题意，∵直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，l1∥l2，∴﹣a=2a（a+1），∴a=﹣或0，故选：C．10．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则实数k的值等于（）A．B．1 C．或﹣D．1或﹣1【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心（0，0），半径r=1，∵圆心到直线y=kx+1的距离d=，|AB|=，∴|AB|=2r，即|AB|2=4（r2﹣d2），∴3=4（1﹣），解得：k=．故选：C．11．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选：C．12．（5分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD 的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）点（﹣1，2）到直线y=x的距离是．【解答】解：点（﹣1，2）到直线y=x的距离是的距离d==．故答案为：．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4．【解答】解：：（x﹣5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4．故答案为：415．（5分）两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是4．【解答】解：两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，可得K AB=﹣1，即﹣1=，…①AB的中点（，）在直线上，可得﹣﹣2=0…②，由①②可得m=5，n=﹣1，∴m+n=4．故答案为：4．16．（5分）在△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为16π．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，∴AB=4，又∵M为AB的中点，∴MA=MB=MC=2，∴三棱锥M﹣ABC外接球的半径R=2，则外接球的表面积为4πR2=16π，故答案为：16π．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S的最大值．△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…（12分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2 …①当n=1时，a1=2；n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+2 …②；∴由①﹣②得：a n=2a n﹣1∴{a n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an=2n．又∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0即：b n+1﹣b n=2，又b1=1，∴{b n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B n=．∴，∴++…+==1﹣＜1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接BD在RT△DAB中，BD==…（1分）知△DBC是等腰三角形．又∵E为BC的中点．∴DE⊥BC …（2分）∵PD⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC …（3分）∵PD∩DE=D∴BC⊥平面PDE …（4分）又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDE …（5分）（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且时，有PA∥平面BDF．…（6分）证明如下：连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OF∥PA，则交PC于F…（7分）又∵OF⊂平面BDF，PA⊈平面BDF∴PA∥平面BDF …（9分）∵四边形ABCD中AB∥CD，∴易知△ABO∽△CDO又∵CD=2AB=2，∴…（10分）∵OF∥PA∴…（11分）∴当时，PA∥平面BDF …（12分）20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）21．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣2时，有f （x）=x2﹣x﹣3，令x2﹣x﹣3=x，化简得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，或x2=3故所求的不动点为﹣1或3．（4分）（Ⅱ）令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，则ax2+bx+b﹣1=0①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，（6分）整理得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0，故4a﹣4a2＞0，即0＜a＜1（8分）（Ⅲ）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），则k AB=1，∴k=﹣1，所以y=﹣x+，（9分）又AB的中点在该直线上，所以=﹣+，∴x1+x2=，而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2=﹣，即﹣=，∴（12分）==∴当a=∈（0，1）时，b min=﹣1．（14分）22．（12分）圆M：x2+y2﹣2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M 的两条切线l1，l2，切点为B，C．（Ⅰ）当a=0时，求直线l1，l2的方程；（Ⅱ）是否存在点A，使得=﹣2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）求证当点A在直线l运动时，直线BC过定点P0．（附加题）问：第（Ⅲ）问的逆命题是否成立？【解答】解：（1）圆M：x2+（y﹣1）2=25，圆心M（0，1），半径r=5，A（0，11），设切线的方程为y=k x+11，圆心距d==5，∴k=±，所求直线l1，l2的方程为y=±x+11（2）当l1⊥l2时，四边形MCAB为正方形，∴|AM|+|MB|=5设A（a，11﹣a），M（0，1）则=a2﹣10a+25=0∴a=5设=2θ，则•=|AB|2（1﹣2sin2θ），又sinθ=，故•=（AM2﹣25）（1﹣）=AM2+﹣75，又圆心M到直线l的距离是∴AM2≥50，•≥50+﹣75=0，故点A不存在．（3）设A（a，b），则a+b=1 ①；已AM为直径的圆与圆M交于B，C，AB，AC为切线；以AM为直径的圆方程为：x（x﹣a）+（y﹣1）（y﹣b）=0 ②圆M：x2+y2﹣2y=24 ③，两式②③相减得公共弦BC方程：24+2y﹣ax﹣（b+1）y+b=0，代入①化简：y﹣=﹣（x﹣），故知P0（，）．附加题：首先：第（III）的逆命题是：过定点P0（，）的直线交圆x2+y2﹣2y=24 于B．C两点，分别以B，C为切点作圆M的切线l1，l2相交于A点，则A在x+y=11上．证明：设A（a，b），已AM为直径的圆与圆M交于B，C，易证AB，AC为切线；以AM为直径的圆方程为：x（x﹣a）+（y﹣1）（y﹣b）=0圆M：x2+y2﹣2y=24，两式相减得公共弦BC方程：24+2y﹣ax﹣（b+1）y+b=0，由于公共弦BC所在直线过定点P0（，），代入可得a+b=11，得证．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2023-2024学年广东省汕头市金山中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，y ，−1)，若a →⊥b →，则y ＝（） A ．4B ．6C ．5D ．32．倾斜角为120°的直线经过点（2，√3）和（3，a ），则a ＝（） A ．0B ．2√3C ．2√33D ．4√333．已知条件p ：m ＞3，条件q ：x 2m+y 22=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知直线l 1：2x +3my ﹣m +2＝0和l 2：mx +6y ﹣4＝0，若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为（） A ．√55B ．√105C ．2√55D ．2√1055．F 1，F 2为椭圆x 216+y 29=1的焦点，A 为上顶点，则△AF 1F 2的面积为（）A ．6B ．15C ．6√7D ．3√76．已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x +3）2+（y +1）2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（） A ．(x +12)2+(y +1)2=1 B ．(x −12)2+(y +1)2=1 C ．(x +12)2+(y −1)2=1D ．(x −12)2+(y −1)2=17．若直线y ＝k （x ﹣2）+4与曲线y =1+√4−x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．(0，512)B ．(13，34]C ．(512，34]D ．(512，+∞)8．已知在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F 分别是直线A 1B 与B 1D 1上的点，则线段EF 长度的最小值为（） A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2下面是多选题，每小题漏选2分，错选0分） 9．下列说法错误的是（）A ．“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充要条件B ．直线x sin α+y +2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝010．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，则下列说法正确的是（） A ．直线l 恒过定点（1，0） B ．圆M 的半径为2C ．存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D ．直线l 被圆M 截得的弦长最长为2√211．点M 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中侧面正方形ADD 1A 1内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（）A ．满足MC ⊥AD 1的点M 的轨迹长度为√2B ．点M 存在无数个位置满足直线B 1M ∥平面BC 1DC ．在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30°D ．若E 是棱CC 1的中点，平面AD 1E 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的正切值为2√2 12．已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1(a ＞b ＞0)的上、下焦点分别为F 1、F 2，且焦距为2c ，离心率为e ．直线l ：y ＝kx +c （k ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有（） A ．若AB 的最小值为3c ，则e =12B ．△ABF 2的周长为4aC ．若AF 1→⋅AF 2→=3c 2，则e 的取值范围为[√55，12] D ．若AB 的中点为M ，则k OM •k =−b 2a2二、填空题（每小题5分，共20分）13．过圆x 2+y 2﹣2x +4y ﹣5＝0上的点P （2，1）的切线方程为．14．已知点A （1，1）和点B （4，3），P 是直线x ﹣y +1＝0上的一点，则|P A |+|PB |的最小值是． 15．已知圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ky −4=0得公共弦所在直线恒过定点P （a ，b ），而且点P 在直线mx ﹣ny ﹣4＝0（m ＞0，n ＞0）上，则m 2+n 2的最小值是．16．已知点P （4，a ），若圆O ：x 2+y 2＝4上存在点A ，使得线段P A 的中点也在圆O 上，则实数a 的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）直线l 经过两直线l 1：3x +4y ﹣2＝0和l 2：2x +y +2＝0的交点．（1）若直线l 与直线3x +y ﹣1＝0平行，求直线l 的方程；（2）若点A （3，1）到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a cos B ＝2c +b ．（1）求A ；（2）若a ＝4，b +c ＝2√5，求△ABC 中BC 边中线AD 长．19．（12分）如图甲，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为线段DC 的中点，△ADE 沿直线AE 折起，使得DC =√6，如图乙．（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置．20．（12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？21．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6＝0切于点M(35，65)．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）．求|PN|2+|QN|2的最大值．22．（12分）如图，设直线l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0点A的坐标为（1，a）（a＞34）．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．（1）设a＝1，求△MON面积的最小值；（2）是否存在实数a，使得1|OM|+1|ON|的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．2023-2024学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，y ，−1)，若a →⊥b →，则y ＝（） A ．4B ．6C ．5D ．3解：∵a →=(−3，2，5)，b →=(1，y ，−1)，a →⊥b →， ∴﹣3+2y ﹣5＝0，解得y ＝4．故选：A ．2．倾斜角为120°的直线经过点（2，√3）和（3，a ），则a ＝（） A ．0B ．2√3C ．2√33D ．4√33解：倾斜角为120°的直线经过点（2，√3）和（3，a ），所以tan120°=−√3=a−√33−2，解得a ＝0．故选：A ．3．已知条件p ：m ＞3，条件q ：x 2m +y 22=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解：若x 2m+y 22=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m ＞2，即q ：m ＞2，则p 是q 的充分不必要条件，故选：A ．4．已知直线l 1：2x +3my ﹣m +2＝0和l 2：mx +6y ﹣4＝0，若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为（） A ．√55 B ．√105C ．2√55D ．2√105解：由m2=62m，解得m ＝±2，m ＝﹣2时舍去，∴m ＝2，因此两条直线方程分别化为：x +3y ＝0，x +3y ﹣2＝0．则l 1与l 2之间的距离=10=√105．故选：B ． 5．F 1，F 2为椭圆x 216+y 29=1的焦点，A 为上顶点，则△AF 1F 2的面积为（）A ．6B ．15C ．6√7D ．3√7解：因为a ＝4，b ＝3，c =√a 2−b 2=√7，A （0，3），所以△AF 1F 2的面积为12⋅2c ⋅3=3c =3√7，故选：D ．6．已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x +3）2+（y +1）2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（） A ．(x +12)2+(y +1)2=1 B ．(x −12)2+(y +1)2=1 C ．(x +12)2+(y −1)2=1D ．(x −12)2+(y −1)2=1解：设M （x ，y ），则由中点坐标公式可得A （2x ﹣4，2y ﹣3），将A （2x ﹣4，2y ﹣3）代入（x +3）2+（y +1）2＝4中得(x −12)2+(y −1)2=1．故选：D ．7．若直线y ＝k （x ﹣2）+4与曲线y =1+√4−x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．(0，512)B ．(13，34]C ．(512，34]D ．(512，+∞)解：曲线y =1+√4−x 2可化为x 2+（y ﹣1）2＝4，y ≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心， 2为半径的圆y ≥1的部分．直线y ＝k （x ﹣2）+4过定点P （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP =4−12+2=34，由直线与圆相切得d =|−1+4−2k|√k +1=2，解得k =512，则实数k 的取值范围为（512，34]．故选：C ．8．已知在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F 分别是直线A 1B 与B 1D 1上的点，则线段EF 长度的最小值为（） A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则：A 1（2，0，2），B （2，2，0），D 1（0，0，2），B 1（2，2，2），设A 1E →=λA 1B →，D 1F →=μD 1B 1→，则E （2，2λ，2﹣2λ），F （2μ，2μ，2），故|EF|=2√(μ−1)2+(μ−λ)2+λ2=2√2λ2−2μλ+2μ2−2μ+1=2√2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥2√33，当且仅当λ=13，μ=23时取等号，故|EF |的最小值为2√33．故选：A ．下面是多选题，每小题漏选2分，错选0分） 9．下列说法错误的是（）A ．“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充要条件B ．直线x sin α+y +2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：对于A ：当a ＝﹣1时，“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”，当直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直时，解得a ＝±1，故“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件，故A 错误．对于B ：直线x sin α+y +2＝0的倾斜角θ，则tan θ＝﹣sin α∈[﹣1，1]，所以斜角θ的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π），故B 正确；对于C ：过（x 1，y 1），（x 2，y 2）（且x 1≠x 2，y 1≠y 2）两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1，故C 错误．对于D ：经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为：故①：经过原点的直线为x ﹣y ＝0，②设在坐标轴上的截距为a ，设直线方程为x a+y a=1所以1a+1a=1，解得a ＝2，故x +y ﹣2＝0，故D 错误．故选：ACD ．10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，则下列说法正确的是（） A ．直线l 恒过定点（1，0）B ．圆M 的半径为2C ．存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D ．直线l 被圆M 截得的弦长最长为2√2 解：对于A ，l ：kx ﹣y ﹣k ＝0变形为y ＝k （x ﹣1），故恒过定点（1，0），故A 正确；对于B ，M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0变形为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，圆心坐标为（2，1），半径为2，故B 正确；对于C ，令圆心（2，1）到直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0的距离√1+k 2=2，整理得：3k 2+2k +3＝0，由Δ＝4﹣36＝﹣32＜0可得，方程无解，故不存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切，故C 错误；对于D ，若k ＝1，直线方程为l ：x ﹣y ﹣1＝0，圆心（2，1）在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，故直线l 被圆M 截得的弦长为直径4，为最大弦长，故D 错误．故选：AB ．11．点M 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中侧面正方形ADD 1A 1内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（）A ．满足MC ⊥AD 1的点M 的轨迹长度为√2B ．点M 存在无数个位置满足直线B 1M ∥平面BC 1DC ．在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30°D ．若E 是棱CC 1的中点，平面AD 1E 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的正切值为2√2 解：对于A ，如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1 所以CD ⊥AD 1，因为A 1D ⊥AD 1，A 1D ∩DC ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC ，所以当点M 在线段A 1D 上时，有CM ⊥AD 1，且M 的轨迹长度为√2，所以A 正确；对于B ：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，因为B 1D 1∥BD ，BD ⊂平面BC 1D ，B 1D 1⊄平面BC 1D ，所以B 1D 1∥平面BC 1D ，同理AD 1∥平面BC 1D ，而AD 1∩B 1D 1＝D 1，所以平面AD 1B 1∥平面BC 1D ，所以当点M 在AD 1上，均有B 1M ∥平面BC 1D ，所以点M 存在无数个位置满足直线B 1M ∥平面BC 1D ，所以B 正确；对于C ，异面直线B 1M 与CD 所成的角为∠A 1B 1M ，当M 在线段AD 1上运动时，点M 取AD 1的中点时，∠A 1B 1M 最小，所以∠A 1B 1M 的正切值为√22＞√33，所以不存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角为30°，所以C 错误；对于D ，取BC 的中点F ，连接EF ，可得EF ∥BC 1，又BC 1∥AD 1，所以AD 1∥EF ，平面AD 1E ∩平面BCC 1B 1＝EF ，连接B 1C 与EF 交于H ，可得B 1H ⊥EF ．当M 为线段AD 1的中点时，连接MH ，可得MH ⊥EF ，则∠B 1HM 是平面AD 1E 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的平面角．由B 1H =3√24，MH =√1+14−(24)2=3√24，B 1M =√1+12=√62，则cos ∠B 1HM =98+98−642×3√24×3√24=13，则sin ∠B 1HM =√1−19=2√23，所以tan ∠B 1HM =sin∠B 1HMcos∠B 1HM =2√2，所以D 正确．故选：ABD ．12．已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1(a ＞b ＞0)的上、下焦点分别为F 1、F 2，且焦距为2c ，离心率为e ．直线l ：y ＝kx +c （k ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有（） A ．若AB 的最小值为3c ，则e =12B ．△ABF 2的周长为4aC ．若AF 1→⋅AF 2→=3c 2，则e 的取值范围为[√55，12] D ．若AB 的中点为M ，则k OM •k =−b2a2解：对于A ，椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1(a ＞b ＞0)，因为直线l ：y ＝kx +c 过焦点，与椭圆交于A ，B 两点，则AB 的最小值为通径长2b 2a，又AB 的最小值为3c ，所以2b 2a=3c ，化简可得2a 2﹣3ac ﹣2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e =c a =12，故选项A 正确；对于B ，△ABF 2的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝4a ，故选项B 正确；对于C ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以AF 1→⋅AF 2→=x 12+y 12−c 2=−c 2b2x 12+b 2∈[b 2﹣c 2，b 2]，又AF 1→⋅AF 2→=3c 2，所以b 2﹣c 2≤3c 2≤b 2，化简可得，e =c a ∈[√55，12]，故选项C 正确；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则M(x 1+x 22，y 1+y 22)，所以k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k =y 1−y 2x 1−x 2，联立方程组{ x 12b 2+y 12a 2=1x 22b 2+y 22a 2=1，作差可得，x 12−x 22b 2+y 12−y 22a 2=0，故y 12−y 22x 12−x 22=−a 2b 2，所以k OM k =y 12−y 22x 12−x 22=−a 2b2，故选项D 错误．故选：ABC ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．过圆x 2+y 2﹣2x +4y ﹣5＝0上的点P （2，1）的切线方程为 x +3y ﹣5＝0 ．解：依题意，圆x 2+y 2﹣2x +4y ﹣5＝0的圆心O 坐标为（1，﹣2）， ∴直线OP 的斜率k OP =1+22−1=3， ∴切线l 的斜率k =−1k OP =−13， ∴圆O 过点P 的切线方程为：y ﹣1=−13（x ﹣1），即x +3y ﹣5＝0，故答案为：x +3y ﹣5＝0，14．已知点A （1，1）和点B （4，3），P 是直线x ﹣y +1＝0上的一点，则|P A |+|PB |的最小值是 √17 ．解：易得A （1，1）关于直线x ﹣y +1＝0的对称点C 为（0，2）， ∴|P A |+|PB |＝|PC |+|PB |≥|BC |，当且仅当B ，P ，C 三点共线时，|P A |+|PB |取得最小值，又B （4，3），∴|BC|=√(4−0)2+(3−2)2=√17，故|P A |+|PB |的最小值为√17．故答案为：√17．15．已知圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ky −4=0得公共弦所在直线恒过定点P （a ，b ），而且点P 在直线mx ﹣ny ﹣4＝0（m ＞0，n ＞0）上，则m 2+n 2的最小值是 2 ．解：圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ky −4=0相减，得公共弦所在直线为k （y +x ）﹣4﹣2y ＝0，故令x +y ＝0且﹣4﹣2y ＝0，解得x ＝2，y ＝﹣2，所以P （2，﹣2），将P （2，﹣2）代入mx ﹣ny ﹣4＝0（m ＞0，n ＞0）得m +n ＝2，由于m ＞0，n ＞0，所以mn ≤(m+n 2)2=1，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，故m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝4﹣2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，所以m 2+n 2的最小值是2．故答案为：2．16．已知点P （4，a ），若圆O ：x 2+y 2＝4上存在点A ，使得线段P A 的中点也在圆O 上，则实数a 的取值范围是 [﹣2√5，2√5] ．解：设A （m ，n ），则m 2+n 2＝4，① P A 的中点为（m+42，n+a 2），由题意可得（m+42）2+（n+a 2）2＝4，即（m +4）2+（n +a ）2＝16，② 由①②可得4﹣2≤√16+a 2≤4+2，解得﹣2√5≤a ≤2√5．故答案为：[﹣2√5，2√5]．三、解答题（共70分）17．（10分）直线l 经过两直线l 1：3x +4y ﹣2＝0和l 2：2x +y +2＝0的交点．（1）若直线l 与直线3x +y ﹣1＝0平行，求直线l 的方程；（2）若点A （3，1）到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：（1）由{3x +4y −2=02x +y +2=0，求得{x =−2y =2，可得两直线l 1：3x +4y ﹣2＝0和l 2：2x +y +2＝0的交点为（﹣2，2）．当直线l 与直线3x +y ﹣1＝0平行，设l 的方程为3x +y +m ＝0，把点（﹣2，2）代入求得m ＝4，可得l 的方程为3x +y +4＝0．（2）当l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣2，满足点A （3，1）到直线l 的距离为5．当l 的斜率存在时，设直限l 的方程为y ﹣2＝k （x +2），即 kx ﹣y +2k +2＝0，则点A 到直线l 的距离为 √k 2+1=5，求得k =125，故l 的方程为125x ﹣y +2k +2＝0，即 12x ﹣5y +34＝0．综上，直线l 的方程为x ＝﹣2或12x ﹣5y +34＝0．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a cos B ＝2c +b ．（1）求A ；（2）若a ＝4，b +c ＝2√5，求△ABC 中BC 边中线AD 长．解：（1）因为2a cos B ＝2c +b ，由正弦定理得2sin A cos B ＝2sin C +sin B ，即2sin A cos B ＝2sin （A +B ）+sin B ，即2sin A cos B ＝2sin A cos B +2cos A sin B +sin B ，所以2cos A sin B +sin B ＝0，又sin B ＞0，所以cosA =−12，又A ∈（0，π），所以A =2π3；（2）由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos ∠BAC ＝（b +c ）2﹣bc ，即16＝20﹣bc ，所以bc ＝4，因为AD 为△ABC 中BC 边的中线，所以AD →=12(AB →+AC →)，则|AD →|=12√(AB →+AC →)2=12√AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=12√c 2+b 2+2bccos 2π3=12√(c +b)2−3bc =12√20−12=√2，所以AD =√2．19．（12分）如图甲，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为线段DC 的中点，△ADE 沿直线AE 折起，使得DC =√6，如图乙．（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置．解：（1）证明：如图所示，取AE 中点O ，则由题意可得DO ⊥AE ，且DO =12AE ＝1，由平面图形易得OC =√5，又DC =√6， ∴DO 2+OC 2＝DC 2，∴DO ⊥CO ，又DO ⊥AE ，且CO ∩AE ＝O ，∴DO ⊥平面ABCE ，又BE ⊂平面ABCE ， ∴BE ⊥DO ，又易知BE ⊥AE ，且DO ∩AE ＝O ， ∴BE ⊥平面ADE ；（2）取AB 的四等分点F ，AF =14AB =√22，则易得OF ⊥AB ，取BC 的中点P ，则OP ⊥OF ，建立如图的空间右手直角坐标系，则根据题意可得： A （√22，−√22，0），B （√22，3√22，0）， C （−√22，3√22，0），E （−√22，√22，0），D （0，0，1），设H （√22，t ，0），t ∈[−√22，3√22]，则CD →=(√22，−3√22，1)，CH →=(√2，t −3√22，0)，设平面DHC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CD →=√22x −3√22y +z =0n →⋅CH →=√2x +(t −3√22)y =0，取n →=(3√2−2t ，2√2，3+√2t)，又根据（1）知平面ADE 的法向量为EB →=(√2，√2，0)， ∴|cos ＜n →，EB →＞|=|6−2√2t+4|2×√(3√2−2t)2+8+(3+√2t)2=cos π4，∴√2−2t|√(3√2−2t)2+8+(3+√2t)2=1，又t ∈[−√22，3√22]，解得t =√22，∴FH =√22， ∴H 为AB 的中点，故存在AB 的中点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4．20．（12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？解：（1）由分层抽样知，抽取的初中生有100×18001800+1200=60人，高中生有100﹣60＝40人．初中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为1﹣（0.005+0.03+0.04+0.005）×10＝0.20，学生人数为0.2×1800＝360人．高中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为1﹣（0.005+0.025+0.035+0.005）×10＝0.3，学生人数约有0.3×1200＝360人，∴全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内学生总人数为360+360＝720人．（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件A，初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为0.005×10×60＝3人，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为0.005×10×40＝2人．记这3名初中生为A，B，C，这2名高中生为d，e，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，即ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde，而事件A的结果有7种，它们是：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，∴至少抽到2名初中生的概率为P（A）=7 10．（3）样本中的所有初中生平均每天阅读时间为5×0.05+15×0.3+25×0.4+35×0.2+45×0.05＝24（小时），而60×0.5＝30（小时），∵24＜30，∴该校需要增加初中学生课外阅读时间．21．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6＝0切于点M(35，65)．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）．求|PN|2+|QN|2的最大值．解：（1）已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x +3y ﹣6＝0切于点M(35，65)，由圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x +3y ﹣6＝0切于点M(35，65)，设C （a ，0），直线l ：4x +3y ﹣6＝0的斜率为−43，则k CM =6535−a ，所以6535−a．(−43)=−1，所以a ＝﹣1，所以C （﹣1，0），|CM|=√(−1−35)2+(−65)2=2，即r ＝2，所以圆C 的标准方程为（x +1）2+y 2＝4；（2）已知N （2，1），经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设直线l 1：y ＝kx （k ＞0）与圆联立方程组可得（1+k 2）x 2+2x ﹣3＝0， Δ＝4+12（1+k 2）＞0，由根与系数的关系得x 1+x 2=−21+k2，x 1x 2=−31+k2，∴|PN|2+|QN|2=(x 1−2)2+(y 1−1)2+(x 2−2)2+(y 2−1)2=(x 1−2)2+(kx 1−1)2+(x 2−2)2+(kx 2−1)2=(1+k 2)(x 1+x 2)2−2(1+k 2)x 1x 2−(4+2k)(x 1+x 2)+10=12+4k 1+k2+16，令t ＝3+k （t ＞3），则k ＝t ﹣3，所以12+4k 1+k 2+16=4t 1+(t−3)2+16=4t+10t−6+16≤2√10−6+16=2√10+22，当且仅当t =10t，即t =√10时取等号，此时k =√10−3，所以|PN |2+|QN |2的最大值为2√10+22．22．（12分）如图，设直线l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0点A 的坐标为（1，a ）（a ＞34）．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）设a ＝1，求△MON 面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．解：（1）∵直线l 过点A （1，a ）（a ＞34），且斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）+a ，∵直线l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，∴k ≠34，因此由{x =0y =k(x −1)+a ，得{x =0y =a −k ，即M （0，a ﹣k ），由{3x −4y =0y =k(x −1)+a ，得{x =4k−4a4k−3y =3k−3a 4k−3，即N （4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3）．又∵M ，N 的纵坐标均为正数，∴{a −k ＞03k−3a 4k−3＞0，即{a −k ＞04k −3＜0．而a ＞34，因此k ＜34．又∵当a ＝1时，直线OA 的方程为x ﹣y ＝0，则M （0，1﹣k ），N （4k−44k−3，3k−34k−3），且|OA |=√2，∴点M 到直线OA 的距离为√2=√2(1−k)2，点N 到直线OA 的距离为|4k−44k−3−3k−34k−3|√2=√2|k−1|2|4k−3|=√2(1−k)2(3−4k)，因此△MON 的面积S =12⋅√2•[√2(1−k)2+√2(1−k)2(3−4k)]=2(1−k)23−4k ．令t ＝3﹣4k ，则t ＞0且k =3−t 4，因此S =2(1−3−t 4)2t=(1+t)28t =18(t +1t +2)≥18(2√t ⋅1t +2)=12，当且仅当t =1t ，即t ＝1时，等号成立， ∴S 的最小值为12，即△MON 面积的最小值为12；（2）存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．由（1）知：M （0，a ﹣k ），N （4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3），且{a −k ＞04k −3＜0．因此|OM |＝a ﹣k ，|ON |=5(a−k)3−4k ， ∴1|OM|+1|ON|=1a−k+3−4k 5(a−k)=4(2−k)5(a−k)．又∵2﹣k ＞0，∴当a ＝2时，1|OM|+1|ON|为定值45，因此存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．。

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}240,15A x x x B x x =-<=<<则A B =U （） A ．()0,5 B ．()1,5C ．()1,4D ．()4,5【答案】A求出集合A 、B,利用交集的运算即可得到结论．解：解：因为{}{}24004A x x x x x =-<=<<,{}15B x x =<<,所以{05}A B x x =<<U ,即()0,5x ∈. 故选：A 点评：本题考查交集及其运算,求出集合A,B 是解决本题的关键．2．若向量()()1,2,,2a b x =-=r r ，且a b r r ⊥，则x =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C根据向量垂直的坐标公式，即可代值计算. 解：因为a b r r ⊥，故可得0a b ⋅=r r ，即40x -=，解得4x =. 故选：C. 点评：本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.3．若幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为（） A ．()1f x x -=B ．()12f x x-=C ．()9xf x =D ．()227x f x =【答案】B设出幂函数的解析式，待定系数，即可求得解析式. 解：设幂函数()f x x α=，因为其过点33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故可得12333α-==解得12α=-，故()12f x x -=. 故选：B. 点评：本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.4．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解. 解：设黑色部分的面积为S ，根据几何概型的概率计算公式可得：498441000S =⨯ 解得7.9688S =≈. 故选：D. 点评：本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题. 5．命题“x =π”是“sinx =0”的（）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，不一定有x =π，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：解：由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，得x =k π，k ∈Z ． ∴“x =π”是“sinx =0”的充分不必要条件．故选A ．点评：本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．6．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴--Q 去掉A,B ；π(0,)()02x f x ∈>Q 时所以选C.7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积是（）A ．85B 85C ．8D ．2025+【答案】B根据三视图，还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解体积即可.解：由三视图可知，该四棱锥如下图所示：其底面是长为4，宽为2的长方形，高为边长为3,3,4的三角形的高5h =故该棱锥的体积为118524533V Sh ==⨯⨯=. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.8．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2(0,2B ．2C ．3D ．32【答案】B由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴22c e a =≥。

广东省汕头市金山中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学 Word版含答案

2017级高二第一学期期中考数学科试题（2018年11月）命题：陈钢端审核：张学昭可能用到的公式：球的体积公式334R V π＝（其中R 为球的半径）一．选择题（共12题，每题5分，共60分，每小题只有一项是正确答案）1. 设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T =（）A.∅B.1{|}2x x <- C.5{|}3x x > D.15{|}23x x -<< 2.已知空间的两条直线n m ,及两个平面α，β，下列四个命题中正确的是（）①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α ；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α；④若α∥β，m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥βA.①③ B 、②④ C 、①④ D 、②③3.椭圆192522=+y x 的左右焦点分别为21F F ，，点P 在椭圆上，则21F PF ∆的周长为（） A 、20 B 、18 C 、16 D 、144.已知三棱锥A －BCD 中，AD ⊥BC ，AD ⊥CD ，则有（）A 、平面ABC ⊥平面ADCB 、平面ADC ⊥平面BCDC 、平面ABC ⊥平面BDCD 、平面ABC ⊥平面ADB5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°6．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于 ( ) A.45 B 、65 C.56 D.54 7.“21sin =α”是“212cos =α”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F ，，点P 在椭圆上，x PF ⊥2轴，且21F PF ∆是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A 、22B 、212－ C 、22－ D 、12－ 9.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（）A ．2734πB ．26πC ．86πD ． 246π10．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A ．2 B ．2C ． 1D 11．已知方程243)2(x x k -=+-有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（）A ．)43,125(B ．]1,125(C ．]43,125(D ．]43,0( 12．已知点P （1，1）及圆C ：422=+y x ，点M ，N 在圆C 上，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（）A ．]26,26[+-B ．]22,22[+-C ．]36,26[+-D ．]32,22[+-二．填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝14. 已知正三棱锥S －ABC 的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值等于15.菱形ABCD 的边长为2，且∠BAD ＝60°，将三角形ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A －BCD ，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为16. 函数11y x=-的图像与函数)64(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于三．解答题（共5题，70分）17（12分）、已知A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试

2019-2020学年度第一学期汕头市金山中学期中考试试卷高二物理试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间75分钟.第一部分选择题（共48分）一、单项选择题（本题共7小题，每小题4分，共28分，每小题的四个选项中只有一个符合题意）1．在电磁学的发展历程中，早期许多物理学家通过大量的科学实验寻找电和磁之间的联系和规律，首先发现通电导线周围存在磁场的物理学家是 A ．库仑 B ．奥斯特 C ．安培 D ．法拉第2．两个分别带有电荷量-Q 和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F ．两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为 A ．112F B ．34F C ．43F D ．12F 3．如图所示，A 、B 两点分别放有电荷量为+Q 和+2Q 的点电荷，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且AC ＝CD ＝DB ，将一正电荷从C 点沿直线移到D 点过程，电场力A ．一直做正功B ．先做负功后做正功C ．一直做负功D ．先做正功后做负功 4．下列说法正确的是 A ．电流通过导体的热功率与电流大小成正比 B ．导体的电阻与电流大小成反比C ．电容器所带电荷量与两极间的电势差成正比D ．电场中某点的电势与电荷在该点的电势能成正比5．在如图所示的电路中，电源的电动势和内电阻均为定值，各电阻都不为零．电键S 接通后与接通前比较，电压表读数的变化情况是A ．变大B ．变小C ．不变D ．因电阻未知，无法判断6．在输液时，药液有时会从针口流出体外，为了及时发现，设计了一种报警装置，电路如图所示。

M 是贴在针口处的传感器，接触到药液时其电阻R M 变小，导致S 两端电压U 发生变化，装置发出警报，此时A ．U 增大，且R 越小U 增大越明显B ．U 增大，且R 越大U 增大越明显C ．U 减小，且R 越小U 减小越明显D ．U 减小，且R 越大U 减小越明显7．两个质量相同的小球用不可伸长的细线连结，置于电场强度为E 的匀强电场中，小球1和小球2均带正电，电量分别为q 1和q 2（q 1＞q 2）．将细线拉直并使之与电场方向平行，如图所示．若将两小球同时从静止状态释放，则释放后细线中的张力T 为（不计重力及两小球间的库仑力）A ．121()2T q q E =- B ．12()T q q E =- C ．121()2T q q E =+ D ．12()T q q E =+二、多项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。

广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试卷(含解析)(最新整理)

12018-2019学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设，，则A ．B ．C ．D ．2．已知空间的两条直线及两个平面,β，下列四个命题中正确的是①若∥,⊥，则⊥ ；②若∥β，，β，则∥；若∥，∥，则∥；④若∥β，∥，⊥，则⊥βA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于A ．20B ．18C ．16D ．144．已知三棱锥A －BCD 中，AD ⊥BC,AD ⊥CD ，则有 A ．平面ABC ⊥平面ADC B ．平面ADC ⊥平面BCD C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ABC ⊥平面ADB只装订不密封准考证号考场号座位号5．正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BD1与AC所成的角等于A．60° B．45° C．30° D．90°6．如果执行下面的框图,输入N＝5，则输出的数等于A ．B ．C ．D ．7．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上,轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．9．如图，在等腰梯形中，，为中点。

将与分别沿、折起，使、重合于点,则三棱锥的外接球的体积为A ．B ．C ．D ．10．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是2A ．B ． C．1 D ．11．已知方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．已知点P（1，1）及圆C ：,点M，N在圆C上，若PM⊥PN,则｜MN｜的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ _______14．已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为2,底面边长为1，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值等于______ 15．菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°,将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD 体积的最大值为____________16．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_________三、解答题17．已知A、B、C 是ABC的内角,分别是角A，B，C的对边。

2019-2020学年广东省汕头市濠江区金山中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省汕头市濠江区金山中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(1](2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(12)-∞⋃，，C ．[1)2，D ．(12]，【答案】A【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B ）∩（A ∪B ）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A ∪B=R ，即∁U （A∩B ）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B ）∩（A ∪B ）={x|x≤1或x ＞2}，即（﹣∞，1]U （2，+∞）故选：A2．曲线2222220x y x y ++-=关于（） A ．直线2x =成轴对称 B ．直线y x =-成轴对称 C ．点(2)-成中心对称 D ．点(2,0)-成中心对称【答案】B【解析】将曲线整理为圆的标准方程的形式，可确定圆心和半径；由圆的方程知圆过原点，可知曲线关于原点与圆心连线所在直线对称，从而得到结果. 【详解】由曲线方程可得：((22224x y ++-=∴曲线为以(2,2-为圆心，2为半径的圆Q 圆过原点，原点与圆心连线所在的直线方程为：y x =-∴曲线关于直线y x =-成轴对称本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆的对称性，关键是能够根据曲线方程确定圆的圆心和圆所过的点，属于基础题.3．直线1:280l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值是（） A ．2- B ．1C ．2-或1D ．1-或2【答案】B【解析】由(1)20a a +-=，解得a ，经过验证即可得出. 【详解】由(1)20a a +-=，解得2a =-或1a =，经过验证2a =-时两条直线重合，舍去. 故选：B 【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生概念理解，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.4．如图，ABC V 中，,AB a AC b ==u u u vu u uv v v ，4BC BD =u u u v u u u v，用,a b vv 表示AD uuu v，正确的是( )A ．1344AD a b =+u u u v vvB ．5144AD a b =+u u u v vvC ．3144AD a b =+u u u v v vD ．5144AD a b =-u u u v v v【答案】C【解析】由平面向量基本定理和三角形法则求解即可【详解】由BC 4BD =u u u v u u u v，可得()AC AB 4AD AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则31AD AB AC 44=+u u u v u u u v u u u v ，即31AD a b 44=+u u u v v v .故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理和三角形法则,熟记定理和性质是解题关键,是基础题 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的正弦值为（） A ．3 B．3 C ．35D ．25【答案】B【解析】证明1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠，再利用边的关系得到正弦值. 【详解】如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接1D O ，过点D 作1DE D O ⊥1BB 与平面1ACD 所成角等于1DD 与平面1ACD 所成角正方体11111,ABCD A B C D AC DB AC DD AC -⇒⊥⊥⇒⊥平面1DD O AC DE ⇒⊥1DE D O DE ⊥⇒⊥平面1ACD1DD 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠设正方体边长为1在1Rt DD O ∆中11232sin 362DO DD O D O ∠=== 故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ③若//m α，//n α，则//m n ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【详解】解：对于①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①是真命题；对于②，因为//αβ且//βγ，所以//αγ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题；对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A 【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．7．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ）A ．其图象关于直线4πx =-对称 B ．其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．其值域是[－1,3] D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到【答案】B【解析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。

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2019-2020学年度第一学期汕头市金山中学期中考试数学科试卷
命题：
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则=( )
A. B. C. D.
2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3. 命题“,”的否定是( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
4.已知直线,直线,且,则m的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
5. 已知,l m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A.若//
mα，则lα
⊥
⊥，//
lα，//
mα，则//
l m B.若l m
C.若l m
⊥，则l m
⊥
lα，mα
⊥，mα
⊥，则//
lα D.若//
6. 在中,若点D满足,则( )
A. B. C. D.
7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移个单位
8. 若x,,且,则的最小值是
A. 5
B.
C.
D.
9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
10. 已知圆 ,直线l ： ,若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )
A.
B.[]11
-， C. ]2,2[- D.
11. 已知 , 分别是椭圆
的左、右焦点,P 为椭圆上一点,
且为坐标原点 ,若 ,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
12. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22
a b
，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是
（）
A.1(0,)4
B.(0,1)
C.1(0,)2
D.1(,)
4-∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．
14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________． 15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, 平面ABC , ,则该球的体积为_________．
16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11
(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：
①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．
求数列的通项公式；
设,若的前n项和为,证明：．
18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为
,．
求直方图中a的值；
如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；
求该校学生上学路上所需的平均时间．
19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．
求证：平面；
求直线AB与平面所成角的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线
上． Ⅰ 求圆C 的方程；
Ⅱ 设点P 在圆C 上,求的面积的最大值．
21. （本小题满分12分）已知椭圆
,四点
, ,
,
中恰有三点在椭圆C 上
求C 的方程；
设直线l 不经过点，且与C 相交于两点.若直线与直线的斜率的和为 , 证明：l 过定点．
22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；
（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；
（3）若函数()f x 在区间[2,2]-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.
2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案
一、选择题
二、填空题
13.14. 15. 16. ④
三、填空题
17.解：等差数列的公差为d,
由,得,
又由,得,
由上可得等差数列的公差,
；
证明：由题意得
．
所以
．
18.解：由,
解得．
上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：
．
该校学生上学路上所需的平均时间为：
．
19.证明：因为且M为BC的中点,所以,
又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC, 且平面平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为M,N分别为BC,的中点,所以,
又因为,,
所以≌ ,
所以,,
所以,
所以,
又因为平面,平面,,
所以平面．
解：设,由可知平面,
所以AO为斜线AB在平面内的射影,
所以为AB与平面所成的角,
由题可知,所以为等腰三角形,
作于E,则E为AB的中点,所以,
由等面积法可知,
在中,,所以,
所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．
20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,
中点为斜率为1,
垂直平分线方程为即分
联立,解得,即圆心,
半径分
所求圆方程为分
Ⅱ,分
圆心到AB的距离为分
到AB距离的最大值为分
面积的最大值为分
21.解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,
又的横坐标为1,
椭圆必不过,
,,三点在椭圆C上．
把,代入椭圆C,得：
,
解得,,
椭圆C的方程为；
证明：当斜率不存在时,设l：,,,
直线与直线的斜率的和为,
,
解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．
当斜率存在时,设l：,,,,
联立,整理,得,
, ,
则
,
,
又 , ,此时 ,存在k ,使得成立, 直线l 的方程为 , 当时, , 过定点．
22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*）取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，
此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；
（2）22(2),()(2)3,x a x a x a
f x x a x a x a
⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩
①当2a >时，对称轴22a x a +=
<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2
(,]2
a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=
>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2
(,]2
a a +上单增，在2
(
,)2
a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴2
2
a x a +==，
所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数．综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 2
22
a x a +<=
<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减，所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2
(,]2
a a +上单调递增，在2
(
,2]2
a +上单调递减．
因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，
所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2
212(2)()024
a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<
解得04a <<-4a >+
又2a <，故04a <<-
综上，实数a 的取值范围是(0,4-。