2008---2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学试题

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上 1．=-+∞→4312x x iml x【答案】：C【解析】：属于极限基本题，分子，分母同除x ，即得32，选C A ．41-B. 0C. 32D. 12. 已知)(x f 在1=x 处可导，且3)1(='f ，则0(1)(1)lim h f h f h→+-=A. 0B. 1C. 3D. 6 【答案】：C【解析】：考核导数定义，或用洛必达法则。

选C 3. 设函数='=y nx y 则,1 A.x 1 B. x1- C. x ln D. xe 【答案】：A【解析】： 容易题。

据辅导教材51页导数公式（4）得4. 已知)(x f 在区间（∞+∞-,）内为单调减函数，且)(x f >)1(f ，则x 的取值范围是A. (1,-∞-)B. (1,∞-)C. (∞+,1)D. (∞+∞-,) 【答案】：D【解析】： 属概念题，选 D 与)(x f >)1(f 无关5. 设函数=+=dy e y x则,2 A. ()dx e x2+ B. ()dx x e x2+B. ()dx e x1+ D. dx e x【答案】：D【解析】：属于较容易题. 据辅导教材70页微分公式 （1）,（4）。

6.⎰=+dx x )1(cosA. C x x ++sinB. C x x ++-sinC. C x x ++cosD. C x x ++-cos 【答案】：A【解析】：属于容易题. 据辅导教材135页微分公式 7.=⎰-dx x 511A. -2B. -1C. 0D. 1 【答案】： C【解析】：容易题. 据”连续奇函数在对称区间上的定积分为0”. 8. 设函数y x z 32+=，则xz∂∂= A. y x 32+ B. x 2 C. 32+x D.23233y x + 【答案】： B【解析】：属于较容易题. 对2x 求导,3y 看作常数即可得B 选项。

9. 设函数22y x z =，则=∂∂22xzA. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 【答案】： A【解析】：求偏导基本题, 2y 看作常数, 对2x 求两次导 , 得22y , 故得A 项。

10. 已知事件A 与B 为相互独立事件， 则P （AB ）=A. P(A)+P(B)B. P(A)—P(B)C. P(A)+P(B)—P(A)P(B)D. P(A)P(B) 【答案】： D【解析】：据据辅导教材266页定义5, 得D 项。

此题考查的是基本概念。

二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后 11. 已知⎩⎨⎧+=,,12)(2x x x f ,0,0>≤x x 则=(0)f . 【答案】：1【解析】：分段函数, 函数值的计算要根据自变量的段位,选相应的函数式求值, 得 1 12．0sin 2x xl imx→= .【答案】：2【解析】：属容易题，属重要考点，考第一个重要极限（用洛必达法则亦可）得2 13. 设函数cos ,y y x x '==则 . 【答案】：cos sin x x x -【解析】：考函数乘积的求导法则和 , cos x x 的求导公式，属基本题. 14. 设函数=''=y ,5则x y . 【答案】：320x【解析】： 容易题. 考点二阶求导。

15. 曲线13123+-=x x y 的拐点坐标（00,y x ）= 。

【答案】（1，13）【解析】：求二阶导数, 令二阶导数为0, 求得拐点横坐标1, 再求得拐点横坐标13。

16.⎰=2x dx。

【答案】：1C x-+【解析】：考点是幂函数的不定积分，由公式得答案。

17.30()x d t t dt dx+⎰= . 【答案】：3x x +【解析】：根辅导教材171页定理1, 得答案。

18.22(cos )x x dx ππ-+⎰= .【答案】：2【解析】：据奇,偶函数在对称区间上的定积分性质, 只需计算0到π上cos x 的积分, 得答案 19. 函数221y x z --=的定义域为 .【答案】：221x y +≤【解析】：据”二次根号内非负”, 得 221x y +≤ 20. 设函数),(y x f z =存在一阶连续偏导数x z ∂∂，yz∂∂，则dz = . 【答案】：zdx x∂+∂z dy y ∂∂【解析】：，据辅导教材216页定理1, 得zdx x∂+∂z dy y ∂∂ . 三、解答题：21~28小题，共70分，解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。

21.（本题满分8分）计算239.3x x l imx →-- 【答案】：6【解析】：极限运算的基本题. 约去3x -或用洛必达法则得 6 22.（本题满分8分）设函数3'sin 3,.y x x y =++求 【答案】：23cos x x +【解析】：容易题, 据幂函数,正弦函数和常数的求导公式得 23c o s x x+ 23.（本题满分8分） 计算⎰xdx 5sin 【答案】：1cos55x C -+【解析】：不定积分第一类换元基本题, 得 1c o s 55xC -+ 24.（本题满分8分）设),(y x x z =是由方程022=-+ze y x 所确定的隐函数，求xz ∂∂. 【答案】：2x x e【解析】： 此题先设 22(,,)zF x y z x y e =+-,再根据辅导教材223页公式 ''x z F z x F ∂=-∂ 得 2x xe25.（本题满分8分）一枚均匀硬币连续掷3次，求3次均为正面向上的概论.【解析】：此题属于n 次重复独立实验概型, 可设事件 :i A 第i 次正面向上, 1,2,3i =则所求事件概率 312312311()()()()28P A A A P A P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭也可用二项概率公式计算 333333111(3)228P C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26.（本题满分10分）设抛物线21x y -=与x 轴的交点为A 、B ，在它们所围成的平面区域内，以线段AB 为下底作内接等腰梯形ABCD （如图所示），设梯形上底CD 长为2x ，面积为)(x S ， （1）)(x S 的表达式； （2）求)(x S 的最大值. 【解析】： 先根据梯形面积公式写出（1） 2231()(22)(1)1 (01)2S x x x x x x x =+-=+--<< （2） 再求2'()1230S x x x =--= 得驻点 13x = (1x =-舍去)由于1''()26 , '' 403S x x S ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭ 所以 132327S ⎛⎫=⎪⎝⎭为极大值, 据题义也是该等腰梯形的最大值.27.（本题满分10分）（1）求曲线xe y =及直线1=x ，0=x ，0=y 所围成的图形D （如图所示）的面积S . （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.x V（1）面积 11x S e dx e ==-⎰（2）体积 112220()(1)22x x x V e dx e e πππ===-⎰28.（本题满分8分）设函数x bx ax x f ++=23)(在1=x 处取得极大值5. （1）求常数a 和b .（2）求函数)(x f 的极小值.（1）先求 '()321f x ax bx =++再由题设得(1)15'(1)3210f a b f ax bx =++=⎧⎨=++=⎩ 解913a b =-⎧⎨=⎩（2）令2'()272610f x x x =--= 得驻点 1211 27x x ==-又 ''()5426f x x =- 1''(1)54260 , ''2827f f ⎛⎫=->-=-< ⎪⎝⎭所以 141272187f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为所求的极小值. 一、分值分布极限和连续：共4个小题，计20分，占总分值13.3%，大纲规定约15%； 一元函数微分学：共10个小题，计56分，占总分值37.3%，大纲规定约30%； 一元函数积分学：共7个小题，计38分，占总分值25.3%，大纲规定约32%； 多元函数微分学：共5个小题，计24分，占总分值16%，大纲规定约15%；概率论初步：共2个小题，计12分，占总分值8%，大纲规定约8%.2009年成人高考专升本高等数学模拟试题一高等数学（二）一. 选择题（1-10小题，每题4分，共40分） 1. 设0lim→x sinaxx =7,则a 的值是（ ） A 17B 1C 5D 7 2. 已知函数f(x)在点x 0处可等，且f ′(x 0)=3,则0lim→h f(x 0+2h )-f(x 0)h 等于（ ） A 3 B 0 C 2 D 63. 当x 0时，sin(x 2+5x 3)与x 2比较是（ ）A 较高阶无穷小量B 较低阶的无穷小量C 等价无穷小量D 同阶但不等价无穷小量 4. 设y=x -5+sinx ，则y ′等于（ ）A -5x -6+cosxB -5x -4+cosxC -5x -4-cosxD -5x -6-cosx 5. 设y=4-3x 2 ，则f ′(1)等于（ ） A 0 B -1 C -3 D 36. ⎠⎛(2e x-3sinx)dx 等于（ ）A 2e x +3cosx+cB 2e x +3cosxC 2e x -3cosxD 1 7. ⎠⎛01dx1-x 2 dx 等于（ ）A 0B 1 C2πD π 8. 设函数 z=arctan yx ，则xz ∂∂等于（ ）y x z ∂∂∂2A-y x 2+y 2 B y x 2+y 2 C x x 2+y 2 D -xx 2+y 29. 设y=e2x+y则yx z∂∂∂2=（ ）A 2ye 2x+yB 2e 2x+yC e 2x+yD –e 2x+y10. 若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ） A 0.3 B 0.4 C 0.2 D 0.1二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11. ∞→x lim (1-1x )2x =12. 设函数f(x)= 在x=0处连续，则 k ＝13. 函数-e -x 是f(x)的一个原函数，则f(x)＝ 14. 函数y=x-e x 的极值点x= 15. 设函数y=cos2x ， 求y ″=16.曲线y=3x 2-x+1在点（0,1）处的切线方程y=17. ⎠⎛1x-1dx ＝18. ⎠⎛(2e x-3sinx)dx =19.xdx x sin cos 23⎰π=20. 设z=e xy ,则全微分dz= 三、计算题（21-28小题，共70分） 1. 1lim →x x 2-12x 2-x-12. 设函数 y=x 3e 2x , 求dy3. 计算 ⎠⎛xsin(x 2+1)dx4. 计算⎰+1)12ln(dx x5. 设随机变量x 的分布列为 (1) 求a 的值，并求P(x<1) (2) 求D(x)Ke 2x x<0Hcosx x ≥0x y-2 0.1a-1 0 0.20.11 2 0.36. 求函数y=e x1+x的单调区间和极值7. 设函数z=(x,y)是由方程x 2+y 2+2x-2yz=e z 所确定的隐函数，求dz8. 求曲线y=e x ,y=e -x 与直线x=1所围成的平面图形面积2007年成人高考专升本高等数学模拟试题一答案一、（1-10小题，每题4分，共40分）1. D2. D3. C4. A5. C6. A7. C8.A9. B 10. A 二、（11-20小题，每小题4分，共40分）11. e -2 12. 2 13. e -x 14. 0 15.-4cos2x 16. y=-x+1 17. 1ln -x +c 18. 2e x +3cosx+c 19. 14 20. dz=e xy (ydx+xdy)三、（21-28小题，共70分）1. 1lim →x x 2-12x 2-x-1=(x-1)(x-1)(x-1)(2x+1) =232. y ′=(x 3)′e 2x +(e 2x )′x 3=3x 2e 2x +2e 2x x 3 =x 2e 2x (3+2x) dy=x 2e 2x dx3. ⎠⎛xsin(x 2+1)dx =12 ⎠⎛sin(x 2+1)d(x 2+1) =12 cos(x 2+1)+c 4. ⎠⎛01ln(2x+1)dx =xln(2x+1) 1-⎠⎛012x (2x+1)dx =ln3-{x-12 ln(2x+1)}10=-1+32ln35. (1) 0.1+a+0.2+0.1+0.3=1 得出a=0.3P(x<1),就是将x<1各点的概率相加即可，即：0.1+0.3+0.2＝0.6 (2) E(x)=0.1×(-2)+0.3×(-1)+0.2×0+0.1×1+0.3×2=0.2D(x)=E{xi-E(x)}2=(-2-0.2)2×0.1+(-1-0.2)2×0.3+(0-0.2)2×0.2+(1-0.2)2×0.1+(2-0.2)2×0.3=1.966. 1) 定义域 x ≠-12) y ′=e x(1+x)-e x(1+x)2 =xex(1+x)23）令y ′＝0,得出x=0(注意x=1这一点也应该作为我们考虑单调区间的点)↓ ↓ ↑函数在（-∞，1）U （-1,0）区间内单调递减 在（0，+∞）内单调递增该函数在x=0处取得极小值，极小值为1 7.x f ∂∂ =2x+2, y f ∂∂ =2y-2z zf∂∂ =-2y-e zx z ∂∂=-xf ∂∂ ÷z f ∂∂ =2(x+1)2y+e z azay ==-y f ∂∂÷zf ∂∂=2y-2z -(2y+e z ) =2y-2z 2y+e z dz=2(x+1)2y+e z dx+2y-2z2y+e zdy 8.如下图：曲线y=e x,y=e -x,与直线x=1的交点分别为A(1,e),B(1,e -1)则 S=dx e ex x)(1--⎰= (e x +e -x )10=e+e -1-2x y y ′（-∞，1）--+-1 （-1，0）0 （0，+∞）无意义 无意义F(0)=1为小极小值0 1By=e-xy=e x2010成人高考专升本高数一真题及答案解析答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。