九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质(第1课时)课件 (新版)华东师大版
26.2.3 求二次函数的表达式 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册
问题4 已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），
求这条抛物线的表达式.
提示：根据抛物线与x轴的交点（x1，0）
（x2，0），可设为二次函数的交点式，即
y=a(x-x1)(x-x2).
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的
方法叫做交点法.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
A．y=x2+4x+3
B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3
D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
课堂训练
5.（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，
则它的表达式可能是（ C ）
A．y=-4(x-m)2-m2-2
3
B．y=-(x+a)(x-a+1)
5
C．y=-x2-(a+3)x+(− a)
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
新知探究
议一议：一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能
确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同
伴进行交流.
方法一： 解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，
(0，3)，求这条抛物线的表达式.
提示：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最
值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法
叫做顶点法.
华师版九年级数学下册26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质教案与反思
新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。
出自郑燮的《新竹》前进学校史爱东东宫白庶子,南寺远禅师。
——白居易《远师》枫岭头学校张海泉古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．（重点）2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（重难点）3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点）一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得1＝4a＋2，∴a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点当x＜0时，y随x的增大而减小，∴A、B、D 均正确而顶点标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点坐标为(0，k)，对称轴y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断已知点(x1，y1)，(x2，y2)均抛物线y＝x2－1上下列说法中正确的是( )A．若y1y2，则x1＝x2．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1=x2或x1＝－x2，∴选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，∴选项B是错误的选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而大，则y1＜y2，∴选项C是错误的；选项D：若x1x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故选D．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.方法总结：在解决此类问题时，应分类讨论，逐一排查.【类型四】二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小、开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解析：由于抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状相同，则a=-5，则利用顶点式可写出所求抛物线表达式，然后根据抛物线平移的规律判断抛物线y=-5x2怎样平移得到的抛物线y=-5x2+3.解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y ＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小、方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－c2，c2)、C(c2，c2)，因为C(c2，c2)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C的坐标代入关系式即可求出ac的值．解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点的坐标为(c2，c2)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴c2＝a(c2)2＋c，即ac＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】二次函数y＝ax2＋k的实际应用如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y=3.05和y=2.25时x的值即可得出答案．解：(1)∵y＝－15x2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y＝－15x2＋72中，当y＝3.05时，3.05＝－15x2＋72，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－1 5x2＋72，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．方法总结：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
华东师大版九年级数学下册26. 求二次函数的表达式
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
Ao
-2
5
B
当C（0，3）时， 函数的解析式为： 4 y=-x²+2x+3
2
-4 -5
当C（0，-3）时，函数的解析式为：
-2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-y=-x²+2x+3,即y=x²-2x-3
-4
五、课堂小结 本课时学习了：(1)二次函数解析式的两种表达式的情势； (2)灵活选择合适的表达式求之．
归纳小结
二次函数解析式的确定:
求二次函数解析式可用待定系数法. (1)当已知图象上任意三点的坐标或 已知三对对应值时，使用一般式：
y ax2 bx c 来解；
(2)当已知顶点坐标或最值时，使
用顶点式 y ax h2 k 来解，比较
简单。
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定.
4
解：如图,由题意得：抛物线与x轴
3C
交点的横坐标为－1和3
2
∴设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3)
A
o
-1
B
35
∵图象过点（0，3）
-2
∴3=a(0＋1)(0－3)
-4
∴a=－1
∴所求的函数关系式为y=－(x＋1)(x－3)
即y= –x²+2x+3
拓广探索
例 已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其中 A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个函数的解析式。
归纳(二)：用待定系数法求函数关系式的方法步骤 1．根据已知函数的特征(种类)，写出适当的情势，其中 含有待定系数． 2．根据其他已知条件，求出待定系数的值． 3．将求得的待定系数的值，代入设定的情势，便得所求 的函数表达式．
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系(课件)九年级数学下册(华东师大版)
公共点，则实数a的值为______．
【分析】根据函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴 只有一个公共点，分a≠0和a＝0两种情况进行讨论，
从而确定出a的值．
解：当a≠0时，
∵关于x的函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴只有
一个公共点， ∴Δ＝[-(a+3)]2﹣4a(-1)＝a2+10a+9＝0， 解得：a＝-1或-9，
y
y ax2 bx c
O
k1
k2 x
y=0
二次函数的图象 与 x 轴的交点.
问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的 交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
∵函数 y m 1 x2 3x 2 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴m1 x2 3x 2 0 有 2 个相等的实数根，
∴ 9 8m1 0 ，
解得 m 1 ．
8
故答案为：
1
或
1 8
．
课堂练当习堂练习
1.抛物线 y＝x2＋x＋c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的 值为( B ) A．－1
解：如图，连结AE，BE， ∵当x＝0时，y1＝1， ∴A(0，1)．
∵B(3，1)，
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等．
∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE＝DE，
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
华东师大版九年级数学下册同步教案 第26章二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质使学生理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系．会确定函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．重点确定函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系,理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质．难点正确理解函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系以及函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质．一、创设情境,引入新课由前面的知识,我们知道,函数y ＝2x 2的图象,向上平移2个单位,可以得到函数y ＝2x 2＋2的图象；函数y ＝2x 2的图象,向右平移3个单位,可以得到函数y ＝2(x －3)2的图象,那么函数y ＝2x 2的图象,如何平移,才能得到函数y ＝2(x －3)2＋2的图象呢？二、探究问题,形成概念1．在同一直角坐标系中,画出下列函数y ＝12x 2,y ＝12(x －2)2,y ＝12(x －2)2＋1的图象． 2．观察它们的图象,回答：它们的开口方向都向________,对称轴分别为____________、____________、____________,顶点坐标分别为________、________、________.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系． 归纳结论：函数y ＝12(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝12(x －2)2的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数y ＝12x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的． 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y ＝a(x －h)2＋k 中k 的值；左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外,图象的平移与平移的顺序无关．你能说出函数y ＝a(x －h)2＋k(a,h,k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？【归纳总结】对于二次函数y ＝a(x －h)2＋k.(1)开口方向由a 决定；(2)对称轴是直线x ＝h,当h<0时,在y 轴左侧,当h>0时,在y 轴右侧；(3)顶点坐标为(h,k)；(4)最值：当a>0时,x＝h时,y最小值＝k；当a<0时,x＝h时,y最大值＝k.形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数关系式称为顶点式,顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标．三、练习巩固1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是,当x时,函数值y随x的增大而增大．2．若抛物线的对称轴为直线x＝－1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),则这条抛物线与x轴的另一个交点是________．3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3),且经过坐标原点,则这个二次函数的关系式是________________________________________________________________________．4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线y＝－12(x＋1)2＋3.(1)试确定a,h,k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向,对称轴和顶点坐标．5．将抛物线y＝2(x－1)2＋3作下列移动,求得到的新抛物线的关系式．(1)向左平移2个单位,再向下平移3个单位；(2)顶点不动,将原抛物线开口方向反向．四、小结与作业小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．2．平移的方法．作业1．布置作业：教材P16“练习”中第1,3 题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课主要是通过让学生自主学习,动手操作获取经验,并从中获得知识,本节课教师主要处于引导地位,让学生充当学习的主人,较好地体现了学生学习的主动性．。
二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质 课件 数学北师大版九年级下册
又∵ CA ＝ CD ，
∴△AMC ≌△CND （AAS），
∴CN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴ON＝OC－CN＝2，
∴ D （－2，2）.
（答案图）
2
由（1）知，抛物线的解析式为＝ ×（－2）2＝2，
2
∴点 D 在抛物线 y ＝ x 上.
（答案图）
对称轴左侧还是右侧.
（2）抛物线 y ＝ x2与 y ＝－ x2关于 x 轴对称，因此，抛
物线 y ＝ ax2与 y ＝－ ax2关于 x 轴对称，开口大小相同.
引例：在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数 y ＝
2
2
2
2
2 x ， y ＝ x ， y ＝－2 x 与 y ＝－ x 的图象.思考：从
－2 ；当0≤ x ≤4时， y 的取值范围是 －8≤ y ≤0
；
当－3≤ x ≤2时， y 的取值范围是 －4.5≤ y ≤0 .
题型二 二次函数图象与性质综合
如图，直线 AB ： y ＝ kx ＋3过点（－2，4），且与
2
抛物线 y ＝ x 交于 A ， B 两点.
（1）求 A ， B 两点的坐标；
+ ≠ ，
解：由题意，得ቊ
＋ − = ，
解得 m1＝－3， m2＝2，
即 m 的值是－3或2.
∵抛物线有最低点，∴ m ＋2＞0.
∴当 m ＝2时，该抛物线有最低点.
当 m ＝2时， y ＝4 x2，该函数的最低点的坐标为（0，
0），当 x ＞0时， y 的值随 x 的值的增大而增大.
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
华东师大版九年级数学下册26.2.3二次函数 的图像与性质(二) 课件
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称