3.3.1几何概型课件
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331几何概型(共24张PPT)
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23
4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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20
解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
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2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件(共17张PPT)
含有这个细菌的概率； （4）向上抛一枚质地不均匀的旧硬币，
求正面朝上的概率. A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
题组一：
2. 下列概率模型中，几何概型的是(1),(3) . （1）在1万平方千米的海域中有80平方千米 的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一 点钻探，求钻到油层面的概率；
（2）从区间 [10,10] 内任意取出一个整数， 求取到绝对值不大于1的数的概率； （3）向一个边长为4cm的正方形ABCD内 投一个点P，求点P离中心不超过1cm 的概率
分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该 矩形区域内无其他信号来源，基站工作正
常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，
则该地点无信号的概率是（ A ）
A.1－
4
B.
－1
2
C.2－ 2
D.
4
题组五：
2.如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x轴上，
点 B的坐标为 (1,0)．点 C 与点 D在 C
x 1, x 0
函数
f
(x)
1 2
x
1,
x
0
的图像上．
若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影 y
部分的概率等于（ B）
D
C
1 1 31
A．6 B．4 C．8 D．2
A
F OB
x
五、课堂总结：
如果每个事件发生的概率只与构成
该事件区域的长度(面积或体积)成比例,
则称这样的概率模型为几何概型.
几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
内随机取一点 P ，则点 P 到点O 的距离
小于1的概率为 .
求正面朝上的概率. A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
题组一：
2. 下列概率模型中，几何概型的是(1),(3) . （1）在1万平方千米的海域中有80平方千米 的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一 点钻探，求钻到油层面的概率；
（2）从区间 [10,10] 内任意取出一个整数， 求取到绝对值不大于1的数的概率； （3）向一个边长为4cm的正方形ABCD内 投一个点P，求点P离中心不超过1cm 的概率
分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该 矩形区域内无其他信号来源，基站工作正
常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，
则该地点无信号的概率是（ A ）
A.1－
4
B.
－1
2
C.2－ 2
D.
4
题组五：
2.如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x轴上，
点 B的坐标为 (1,0)．点 C 与点 D在 C
x 1, x 0
函数
f
(x)
1 2
x
1,
x
0
的图像上．
若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影 y
部分的概率等于（ B）
D
C
1 1 31
A．6 B．4 C．8 D．2
A
F OB
x
五、课堂总结：
如果每个事件发生的概率只与构成
该事件区域的长度(面积或体积)成比例,
则称这样的概率模型为几何概型.
几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
内随机取一点 P ，则点 P 到点O 的距离
小于1的概率为 .
3.3.1几何概型课件人教新课标B版
几何概型
复习
1.古典概型有哪些特点？
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）
2.古典概型的概率公式是什么？
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
创设情境 引入新课
问题1：绳子上有均匀散布的10个点（如图）， 用剪刀随机的在A2----A9这8个点的位置剪， 求剪刀剪在下标为偶数点的概率？
基本事件
线段AB上的 任意一点
实所验有的基全本部事结件果 所的构集成合的是区？域 线段AB
事构件成A事对件应A的 集区合域是？
线段CD
3m
A
B
3m
A
B
1m
AC DB
创设情境 引入新课
很多同学喜欢玩飞镖游戏，飞镖盘有圆形的， 方形的，还有不规则图形的，丰富多彩的设 计给这项运动增添了很多乐趣，同时也引出 了一系列数学问题，下面我们来看看掷飞镖 掷出的数学问题。
基本事件
实验的全部结果 所构成的区域 构成事件A的 区域
大圆内任一点 大圆及其内部 小圆及其内部
问题3：在一个边长为2m的盛满水的正方体 容器中，一只小虫在容器中游动，记“它所 在的位置距离正方体中心不超过1m”为事件A， 那么事件A产生的概率是多少？
基本事件
实验的全部结果 所构成的区域 构成事件A的 区域
变式：取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任 意位置剪断，那么“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A,事件A产生的概率是多少？
Hale Waihona Puke 基本事件线段AB上的
3m
任意一点
A
B
问题1：这个问题的基本事件是什么？
问题2：是否满足古典概型？如果不满足，为什 么？
复习
1.古典概型有哪些特点？
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）
2.古典概型的概率公式是什么？
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
创设情境 引入新课
问题1：绳子上有均匀散布的10个点（如图）， 用剪刀随机的在A2----A9这8个点的位置剪， 求剪刀剪在下标为偶数点的概率？
基本事件
线段AB上的 任意一点
实所验有的基全本部事结件果 所的构集成合的是区？域 线段AB
事构件成A事对件应A的 集区合域是？
线段CD
3m
A
B
3m
A
B
1m
AC DB
创设情境 引入新课
很多同学喜欢玩飞镖游戏，飞镖盘有圆形的， 方形的，还有不规则图形的，丰富多彩的设 计给这项运动增添了很多乐趣，同时也引出 了一系列数学问题，下面我们来看看掷飞镖 掷出的数学问题。
基本事件
实验的全部结果 所构成的区域 构成事件A的 区域
大圆内任一点 大圆及其内部 小圆及其内部
问题3：在一个边长为2m的盛满水的正方体 容器中，一只小虫在容器中游动，记“它所 在的位置距离正方体中心不超过1m”为事件A， 那么事件A产生的概率是多少？
基本事件
实验的全部结果 所构成的区域 构成事件A的 区域
变式：取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任 意位置剪断，那么“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A,事件A产生的概率是多少？
Hale Waihona Puke 基本事件线段AB上的
3m
任意一点
A
B
问题1：这个问题的基本事件是什么？
问题2：是否满足古典概型？如果不满足，为什 么？
课件4：3.3.1 几何概型
解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，
且等可能性． 2．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部
位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为( B )
A.23
B．13
C.16
D．14
解析：由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的 可能性_相__等___．
度处的概率为 P＝2－3 1＝31.
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
探究点一 与长度有关的几何概型
225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
(1)数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直 观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决． (2)与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其 概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积.
本例中，若将“x∈[－5，5], x0∈[－5，5]”分 别改为“x∈[0，5], x0∈[0，5]”，则概率为多少？ 解：当任取一点 x0∈[0，5]时，f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0 ∈[0，2]，故由几何概型概率计算公式可得，所求概率 P＝25－－00 ＝25.
高中数学人教B版必修3课件：3.3.1 几何概型
(1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率；
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率.
【导学号：25440054】 【精彩点拨】 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y，组成有序数对(x，y) 是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y，组成有序 数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解.
古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几 何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.
[再练一题]
4.下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到 1 的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；
4.函数 f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点 x0∈[－1,3]，使得 f(x0)≥0 的 概率为________.
【解析】 依题意得，－ －x120≤＋x20x≤0≥3，0， 解得 0≤x0≤2，所以任取一点 x0∈[－
1,3]，使得 f(x0)≥0 的概率 P＝3－2－1＝12.
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域 D， 这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区 域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事 件 A 的概率.
3
P(A)＝
4 2 3
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件(共17张PPT)
【变式2】：圆O是边长为2的正方
形的内切圆 , 向这个正方形中随机
地投一点M,设M落在正方形中任一
点的可能性是相同的,试求点M落圆
O中的概率.
O
4
•M
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式3】一只小虫在一个棱长为20cm盛满 水的正方体容器中游动, 假设小虫出现在容 器中的任意一个位置均为等可能的, 记“它 所在的位置距离正方体中心不超过10cm”为 事件A, 那么事件A发生的概率是多少？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
知识探究（一）：几何概型的概念
思考 3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或 扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从 结论来看，甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域 的哪个因素有关？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
与扇形的弧长（或面积）有关.
知识探究（一）：几何概型的概念 思考 4：如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性， 几何概型有哪两个基本特征？
所有基本事件构成 的区域是什么？
事件A构成的区域 是什么？
在线段AB上任取一
3m
点
A
B
3m
取到线段AB上某一点 A
B
3m
线段AB（除两端外） A
B
线段CD
1m
AC DB
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式1】：在等腰直角三角形 ABC中，在斜边AB上任取一点M，
求AM的长大于AC的长的概率.
知识探究（二）：几何概型的概率
高中数学第3章3.3.1几何概型同步课件新人教B必修3.ppt
3．求试验为几何概型的概率，关键是求得 事件所占区域或及整个区域Ω的几何度量， 这时常利用数形结合的方法帮助进行，然后 代入公式即可求解． 4．利用计算机模拟法与几何概型相结合， 可以解决一些与概率有关的复杂问题．
如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一 个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它 不是必然事件．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 与长度有关的几何概型
例1 如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米， 由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯 C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 米的概率是多少？
条件的试验称为几何概型．
2．在几何概型中，事件A的概率定义为 ____P_(A_)_＝_μμ_ΩA_________ ， 其 中 μΩ 表 示 区 域 Ω
的几何度量，μA表示子区域A的几何度量． 思考感悟 概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率 为1的事件也一定是必然事件吗？ 提示：如果随机事件所在区域是一个单点， 因单点的长度、面积、体积均为0，则它出 现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；
【思路点拨】 在A、B之间每一位置安装路 灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，且每一个基本事件的发生都是等可能 的，因此事件发生的概率只与长度有关，符 合几何概型条件．
【解】 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不 小于 10 米”，把 AB 三等分，则中间长度为 30×13 ＝10 米， ∴P(E)＝1300＝13.
【名师点评】 我们将每个事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点，该区域 中每一点被取到的机会都一样，而一个随机 事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的 某个指定区域中的点，这样的概率模型就可 以用几何概型来求解． 变式训练1 在两根相距6 m的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距 离都大于2 m的概率．
3.3.1 几何概型(共36张PPT)
.
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上 的长度,它的意义取决于试验的全部结果构成的区域,当区域分别是 线段、平面图形和几何体时,相应的“长度”分别是线段的长度、平 面图形的面积和几何体的体积.
【做一做 1】一个红绿灯路口,红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的 时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮 的概率是( ) A.
题型一
长度型的几何概型
【例题 1】一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行, 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 为 .
解析:如图所示,△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5, 则△ABC 的周长为 3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过 1 为事件 A, 则
1 答案:2 ������������ +������������+������������ P(A)= ������������ +������������+������������
=
3+2+1 12
=
1 . 2
如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义 上的线段长度,这种概率称为长度型的几何概型,可按下列公式来计 算其概率: P(A)=
几何概型 ①基本事件无限个 ②P (A)=0⇐A 为不可能事件 ③P (B)=1⇐B 为必然事件
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是: (1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均 等, 如果不均等, 那么既不属于古典概型也不属于几何概型; (2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的, 再判断试验结 果的有限性. 当试验结果有有限个时, 这个概率模型属于古典概型;当 试验结果有无限个时, 这个概率模型属于几何概型.
高中数学必修3课件：3.3.1 几何概型
栏目 导引
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第三章 概率
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目 导引
第三章 概率
题型二 与面积有关的几何概型 例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加 中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】 各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【答案】 A 【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利 用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机 事件的概率．
B.25
C.35
D.54
栏目 导引
第三章 概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的 区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小 正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
栏目 导引
第三章 概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体 ABCDA1B1C1D1 内 任 取 点 M ， 点 M 在 球 O 内 的 概 率 是 ________．
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第三章 概率
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目 导引
第三章 概率
题型二 与面积有关的几何概型 例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加 中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】 各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【答案】 A 【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利 用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机 事件的概率．
B.25
C.35
D.54
栏目 导引
第三章 概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的 区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
栏目 导引
第三章 概率
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小 正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
栏目 导引
第三章 概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体 ABCDA1B1C1D1 内 任 取 点 M ， 点 M 在 球 O 内 的 概 率 是 ________．
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件.(共19张PPT)
P( A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.几何概型问题的概率的求解.
作业:P142习题3.3 2.3.4
问题情境
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于 10cm的概率有多大？
基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.
对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等 分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长 度等于绳长的1/3.
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大圆内 的任意一点.
对于问题2.记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积
为 1 π 1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为1 π 12.22 cm2
4
4
的黄心内时,事件B发生.
1 π12.22
事件B发生的概率为P(B)
4 1
π1222
复习
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于试验的所有可能结果是无穷 多的情况相应的概率应如何求呢?
思 考:
1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内 容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被某 工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错 了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么由 于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部 擦掉的概率有多大？
问创题设情情境境3：
下图是卧室和书房地板的示意图， 图中每一块方砖除颜色外完全相同，小 猫分别在卧室和书房中自由地走来走去， 并随意停留在某块方砖上。在哪个房间 里，小猫停留在黑砖上的概率大？
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A.
2.在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏 着石油.假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概 1
250
7 B.
C. 5
D.15
5
率是________ 3.在区间[1,3]上任取一个数,则这个数大于2的概
1 率是________ 2
4.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
这是一个几何概型，所以
P( A) SA 7 S 8
1 1 1 7 SA 1 . 2 2 2 8
y=x
8: 00
7 : 00
6.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.5
报纸送到时间
•
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}. 电台每隔一1小时报时一次，他在0~60之间任何 时刻打开收音机是等可能的，属于几何概型。 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内, 由几何概型的概率公式
5 4 3 2 1
y
y=x+1
y=x -1
0
1
2 3 4
5 x
课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式.
d的测度(长度、面积 、体积) P(A) . D的测度(长度、面积 、体积)
5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
练习:5(会面问题)甲、乙二人约定在0点到
5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 于是 y 0 X 5, 0 Y 5.
P( A)
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1
6
60 50 1 , 60 6
例2.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的 概率是多少?
解 : 取出10ml麦种, 其中“含有病种子”这 一事件记为A.则
取出种子的体积 10 1 P(A) 所有种子的体积 1000 100 1 答 含有麦锈病种子的概率 为 . 100
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
父亲离家时间
y=x
8 : 00
7 : 00
6.5
7.5
报纸送到时间
解:设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为时间y。 (x,y)可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率 A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在 显微镜下观察，发现草履虫的概率
2
P( A)
A对应区域的体积 1 试验全部结果构成区域 的体积 250
练一练
4.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A发生，于是
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
例3. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
在7：10-7：20到达单位的概率 A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 6
建构数学
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机 试验,称为几何概型.
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件 A
阴影部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
域为 {( x, y) | 6.5 x 7.5,7 y 8} ， 这是一个正方形区域，面积为 s 11 1
A {( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8} 即图中的阴影部分，面积为父亲离家时间
，事
件A表示父亲在离开家能得到报纸，所构成的区域为
n 颗豆子，其中落在圆内的 m，那么当 n很大时，比值 m ，
n
即频率应接近于 P ( A) ，于是有
m P ( A) . n
由此可得
4m n
巩固练习：
1.一路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5 秒，绿灯时间为40秒，问你到达路口时，恰好为绿 灯的概率为（ C ） 2 4 3 8
练一练: 1.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少?
3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
数学应用
例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解:
记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa2 π P(A) 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4
数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率
如果向正方形内撒
豆子数为
知识回顾:
1.古典概型的特点:
(1) 有限性: (2)等可能性: 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 每个基本事件出现的可能性相等。
2.古典概型的概率计算公式:
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.现一人随机射箭 ， 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可 能的, 请问射中黄心的概率是多少?
不是为古典概 型？
设“射中黄心”为事件A
A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100
500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出 2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫 的概率？
不是古典概型！
设“在2ml水样中发现草履虫”为事 件A
A对应区域的体积 2 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的体积 500 250
3.几何概型问题的概率的求解.
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：10-7：20到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 6
不是古典概 型！
问此人在7：40-7：50到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2.在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏 着石油.假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概 1
250
7 B.
C. 5
D.15
5
率是________ 3.在区间[1,3]上任取一个数,则这个数大于2的概
1 率是________ 2
4.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
这是一个几何概型，所以
P( A) SA 7 S 8
1 1 1 7 SA 1 . 2 2 2 8
y=x
8: 00
7 : 00
6.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.5
报纸送到时间
•
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}. 电台每隔一1小时报时一次，他在0~60之间任何 时刻打开收音机是等可能的，属于几何概型。 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内, 由几何概型的概率公式
5 4 3 2 1
y
y=x+1
y=x -1
0
1
2 3 4
5 x
课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式.
d的测度(长度、面积 、体积) P(A) . D的测度(长度、面积 、体积)
5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
练习:5(会面问题)甲、乙二人约定在0点到
5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 于是 y 0 X 5, 0 Y 5.
P( A)
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1
6
60 50 1 , 60 6
例2.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的 概率是多少?
解 : 取出10ml麦种, 其中“含有病种子”这 一事件记为A.则
取出种子的体积 10 1 P(A) 所有种子的体积 1000 100 1 答 含有麦锈病种子的概率 为 . 100
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
父亲离家时间
y=x
8 : 00
7 : 00
6.5
7.5
报纸送到时间
解:设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为时间y。 (x,y)可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率 A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在 显微镜下观察，发现草履虫的概率
2
P( A)
A对应区域的体积 1 试验全部结果构成区域 的体积 250
练一练
4.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A发生，于是
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
例3. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
在7：10-7：20到达单位的概率 A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 6
建构数学
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机 试验,称为几何概型.
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件 A
阴影部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
域为 {( x, y) | 6.5 x 7.5,7 y 8} ， 这是一个正方形区域，面积为 s 11 1
A {( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8} 即图中的阴影部分，面积为父亲离家时间
，事
件A表示父亲在离开家能得到报纸，所构成的区域为
n 颗豆子，其中落在圆内的 m，那么当 n很大时，比值 m ，
n
即频率应接近于 P ( A) ，于是有
m P ( A) . n
由此可得
4m n
巩固练习：
1.一路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5 秒，绿灯时间为40秒，问你到达路口时，恰好为绿 灯的概率为（ C ） 2 4 3 8
练一练: 1.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少?
3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
数学应用
例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解:
记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa2 π P(A) 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4
数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率
如果向正方形内撒
豆子数为
知识回顾:
1.古典概型的特点:
(1) 有限性: (2)等可能性: 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 每个基本事件出现的可能性相等。
2.古典概型的概率计算公式:
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.现一人随机射箭 ， 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可 能的, 请问射中黄心的概率是多少?
不是为古典概 型？
设“射中黄心”为事件A
A对应区域的面积 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的面积 100
500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出 2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫 的概率？
不是古典概型！
设“在2ml水样中发现草履虫”为事 件A
A对应区域的体积 2 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的体积 500 250
3.几何概型问题的概率的求解.
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：10-7：20到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
A对应区域的长度 1 P( A) 试验全部结果构成区域 的长度 6
不是古典概 型！
问此人在7：40-7：50到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？