九年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 新人教版6
九年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 新人教版2 (6)
安徽省阜阳市太和县民族中学2016-2017学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（）A．x2﹣4x+5=0 B．x2+x+1=y C． +8x﹣5=0 D．（x﹣1）2+y2=32．若y=ax2﹣x+2是y关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≠23．抛物线y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．把抛物线y=﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y=﹣（x+1）2+2 B．y=﹣（x+1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=﹣（x﹣1）2+25．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥16．抛物线y=ax2+4ax﹣5的对称轴为（）A．x=﹣2a B．x=4 C．x=2a D．x=﹣27．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x+1）2=08．若二次函数y=﹣x2的图象与直线y=﹣2相交于点A（x1，﹣2）和B（x2，﹣2），则x1+x2的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣29．下列说法中，正确的是（）A．方程5x2=x有两个不相等的实数根B．方程x2﹣8=0有两个相等的实数根C．方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根D．当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根10．小张同学说出了二次函数的两个条件：（1）当x＜1时，y随x的增大而增大；（2）函数图象经过点（﹣2，4）．则符合条件的二次函数表达式可以是（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2﹣14 C．y=﹣（x+1）2+5 D．y=﹣（x﹣2）2+20二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为．12．已知函数y=（m﹣1）x2+2x﹣m中，y是关于x的二次函数，则写一个符合条件的m的值可能是．13．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．14．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是点A（3，0），其部分图象如图，则下列结论：①2a+b=0；②b2﹣4ac＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个解是x=﹣1；④点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜0＜x2，则y1＜y2．其中正确的结论是（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）用配方法解方程：x2+4x﹣8=0．16．（8分）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣2，4）和（1，﹣2），试确定b，c 的值．18．（8分）已知抛物线y=x2﹣4x﹣1．试求该抛物线的顶点坐标及最值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．20．（10分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y……（2）结合函数图象，直接写出方程﹣x2﹣2x+2=0的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．六、（本大题12分）21．（12分）已知抛物线y=x2﹣（2k﹣1）x+k2，其中k是常数．（1）若该抛物线与x轴有交点，求k的取值范围；（2）若此抛物线与x轴其中一个交点的坐标为（﹣1，0），试确定k的值．七、（本大题12分）22．（12分）已知二次函数y=ax2的图象与一次函数y=mx+4的图象相交于点A（﹣2，2）和B（n，8）两点．（1）求二次函数y=ax2与一次函数y=mx+4的表达式；（2）试判断△AOB的形状，并说明理由．八、（本大题14分）23．（14分）如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若该抛物线的顶点是点D，求四边形OCDB的面积．（3）已知点P是该抛物线对称轴的一点，若以点P，O，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标（不用说理）．2016-2017学年安徽省阜阳市太和县民族中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（）A．x2﹣4x+5=0 B．x2+x+1=y C． +8x﹣5=0 D．（x﹣1）2+y2=3【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是分式方程，故C错误；D、是二元二次方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．若y=ax2﹣x+2是y关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≠2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：由题意，得a≠0，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．抛物线y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【考点】二次函数的性质．【分析】由函数解析式可求得其顶点坐标．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．4．把抛物线y=﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y=﹣（x+1）2+2 B．y=﹣（x+1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=﹣（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=﹣x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=﹣（x+1）2；再向下平移2个单位为：y=﹣（x+1）2﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a 的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．抛物线y=ax2+4ax﹣5的对称轴为（）A．x=﹣2a B．x=4 C．x=2a D．x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的解析式可以求得对称轴的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=ax2+4ax﹣5，∴对称轴为：x=．故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是知道求对称轴的公式．7．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x+1）2=0【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项得，x2﹣2x=1，配方得，x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2．故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．若二次函数y=﹣x2的图象与直线y=﹣2相交于点A（x1，﹣2）和B（x2，﹣2），则x1+x2的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把y=﹣2代入y=﹣x2得出x的值，即x1和x2，再相加即可．【解答】解：把y=﹣2代入y=﹣x2得﹣x2=﹣2，x=±，即x1=，x2=﹣，∴x1+x2=0，故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握已知函数值求自变量的值是解题的关键．9．下列说法中，正确的是（）A．方程5x2=x有两个不相等的实数根B．方程x2﹣8=0有两个相等的实数根C．方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根D．当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式逐一分析四个选项中方程解的个数，由此即可得出结论．【解答】解：A、方程5x2=x可变形为5x2﹣x=0，∴△=（﹣1）2﹣4×5×0=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，A正确；B、在方程x2﹣8=0中，△=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B错误；C、在方程2x2﹣3x+2=0中，△=（﹣3）2﹣4×2×2=﹣7＜0，∴该方程没有实数根，C错误；D、如要方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根，则△＞0且k﹣1≠0，∴△=22﹣4×（k﹣1）×（﹣3）=12k﹣8＞0，k﹣1≠0，解得：k＞且k≠1，D错误．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的符号与方程解的个数是解题的关键．10．小张同学说出了二次函数的两个条件：（1）当x＜1时，y随x的增大而增大；（2）函数图象经过点（﹣2，4）．则符合条件的二次函数表达式可以是（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2﹣14 C．y=﹣（x+1）2+5 D．y=﹣（x﹣2）2+20【考点】二次函数的性质．【分析】由第一个条件可确定出对称轴在x=1的右侧，再把已知点的坐标代入选项可求得答案．【解答】解：∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向下，且抛物线对称轴在x=1或在x=1的右侧，故B、C不正确，∵函数图象经过点（﹣2，4），∴在A中，当x=﹣2时，y=﹣（﹣2﹣1）2﹣5=﹣9﹣5=﹣14≠4，故A不正确；在D中，当x=﹣2时，y=﹣（﹣2﹣2）2+20=﹣16+20=4，故D正确；故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数对称轴两侧的单调性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为﹣2 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义即可判断．【解答】解：根据题意得|m|=2，且m﹣2≠0．解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．12．已知函数y=（m﹣1）x2+2x﹣m中，y是关于x的二次函数，则写一个符合条件的m的值可能是0 ．【考点】二次函数的定义．【分析】依据二次函数的二次项系数不为零可求得m的取值范围，然后可找出符合条件的m 的值．【解答】解：∵函数y=（m﹣1）x2+2x﹣m是二次函数，∴m﹣1≠0．解得：m≠0．所以m=0是符合条件的一个可能的值．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．13．关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】分类讨论：当k=0，方程变形为3x﹣1=0，此一元一次方程有解；当k≠0，△=9﹣4k×（﹣1）≥0，方程有两个实数解，得到k≥﹣且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围【解答】解：当k=0，方程变形为3x﹣1=0，此一元一次方程的解为x=；当k≠0，△=9﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣，即k≥﹣且k≠0时，方程有两个实数根，综上所述实数k的取值范围为k≥﹣．故答案为：k≥﹣．【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是点A（3，0），其部分图象如图，则下列结论：①2a+b=0；②b2﹣4ac＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个解是x=﹣1；④点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜0＜x2，则y1＜y2．其中正确的结论是①③（把所有正确结论的序号都填在横线上）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据对称轴列式可得；②由抛物线与x轴交点的个数判定；③由对称性得；④分四种情况进行讨论：因为对称轴的左右增减性不同，分为在同侧，两侧时，两侧时还要分在对称点左右时，与图形相结合作出判断．【解答】解：①因为二次函数的对称轴为x=1，所以﹣=1，即﹣b=2a，2a+b=0，故①正确；②由图象知抛物线与x轴有两个不同的交点，即一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，此时b2﹣4ac＞0，故②错误；③由于抛物线的图象与x轴的一个交点是A（3，0），对称轴为x=1，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴另一个交点是（﹣1，0），即一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=﹣1，故③正确；④分四种情况：（1）当0＜x2＜1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，此时 y1＜y2；（2）因为对称轴是x=1，所以当1﹣x1=x2﹣1时对称，当1＜x2＜2﹣x1时，y1＜y2；（3）当x2=2﹣x1时，y1=y2，（4）当x2＞2﹣x1时，y1＞y2；所以④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x 轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．⑤抛物线对称轴x=﹣；⑥a＞0时，抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小；a＜0时，抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大，左侧，y随x的增大而减小；第⑥条在应用时较难，注意利用数形结合的思想．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．用配方法解方程：x2+4x﹣8=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法解方程的步骤依次移项、配上一次项系数一半的平方、写成完全平方形式，最后开方可得．【解答】解：x2+4x=8，x2+4x+4=8+4，即（x+2）2=12，∴x+2=，故x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程的左边提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．【解答】解：原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）=0∴x﹣3=0或5x﹣3=0解得．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣2，4）和（1，﹣2），试确定b，c的值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣2，4）和（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c即可得出关于b、c的方程组，求出bc的值即可．【解答】解：根据题意，得，解得．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．已知抛物线y=x2﹣4x﹣1．试求该抛物线的顶点坐标及最值．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和最值．【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5，∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣5），∵a=1＞0，抛物线开口向上，∴当x=2时，函数y有最小值，最小值是﹣5．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2015•巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【考点】一元二次方程的应用．【分析】本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．20．（10分）（2016秋•太和县校级月考）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y……（2）结合函数图象，直接写出方程﹣x2﹣2x+2=0的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】（1）根据函数解析式可完成表格，再根据表格中x、y的对应值可画函数图象；（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：（1）填表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…﹣6﹣1232﹣1﹣6…所画图象如图：（2）由图象可知，方程﹣x2﹣2x+2=0的两个近似根是﹣3～﹣2之间和0～1之间．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解．六、（本大题12分）21．（12分）（2016秋•太和县校级月考）已知抛物线y=x2﹣（2k﹣1）x+k2，其中k是常数．（1）若该抛物线与x轴有交点，求k的取值范围；（2）若此抛物线与x轴其中一个交点的坐标为（﹣1，0），试确定k的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据抛物线y=x2﹣（2k﹣1）x+k2与x轴有交点，得出b2﹣4ac≥0，进而求出k的取值范围；（2）将（﹣1，0）代入解析式解一元二次方程，再根据（1）的结果确定k的值．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣（2k﹣1）x+k2与x轴有交点，即x2﹣（2k﹣1）x+k2=有实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×k=4k2﹣4k+1﹣4k2=﹣4k+1≥0，解得k；（2）∵抛物线y=x2﹣（2k﹣1）x+k2与x轴其中一个交点的坐标（﹣1，0），即x=﹣1时x2﹣（2k﹣1）x+k2=0，∴（﹣1）2﹣（2k﹣1）×（﹣1）+k2=0，整理得k2+2k=0，解得k=0或k=﹣2．由（1）的结果知，∴k=0或k=﹣2．【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，关键是掌握函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若函数与x轴有交点说明方程有根，两者互相转化．七、（本大题12分）22．（12分）（2016秋•太和县校级月考）已知二次函数y=ax2的图象与一次函数y=mx+4的图象相交于点A（﹣2，2）和B（n，8）两点．（1）求二次函数y=ax2与一次函数y=mx+4的表达式；（2）试判断△AOB的形状，并说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把A（﹣2，2）代入y=ax2，求出a的值，把A（﹣2，2）代入y=mx+4，求出m的值即可；（2）先求出B点坐标，再分别求出OA、OB、AB，利用勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2的图象经过点A（﹣2，2），∴2=4a，a=，∴二次函数的表达式为y=x2；∵一次函数y=mx+4的图象经过点A（﹣2，2），∴2=﹣2m+4，m=1，∴一次函数的表达式是y=x+4；（2）△AOB是直角三角形．理由如下：∵点B（n，8）在一次函数y=x+4的图象上，∴8=n+4，n=4，∴B（4，8），∵A（﹣2，2），∴OA2=22+22=8，OB2=42+82=80，AB2=（4+2）2+（8﹣2）2=72，∴OA2+AB2=OB2，∴△AOB为直角三角形，且∠OAB=90°．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，求出二次函数解析式是解题的关键．八、（本大题14分）23．（14分）（2016秋•太和县校级月考）如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若该抛物线的顶点是点D，求四边形OCDB的面积．（3）已知点P是该抛物线对称轴的一点，若以点P，O，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标（不用说理）．【考点】抛物线与x轴的交点；等腰三角形的判定．【分析】（1）计算A、B的坐标时，令y=0；计算C的坐标时，令x=0；（2）利用配方法求D的坐标，根据S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD代入即可；（3）分三种情况讨论：①当OD=OP时，如图1，②当OD=DP时，如图2，③如图3，当OP=PD 时，分别求P的坐标．【解答】解：（1）当y=0时，即﹣x2+x+=0，x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x=3或﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；当x=0时，y=，∴C（0，）；（2）如图1，y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+1，∴D（1，1），∴S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD=××1+×3×1=；（3）分三种情况：①当OD=OP时，如图1，P与D关于x轴对称，∵D（1，1），∴P（1，﹣1），②当OD=DP时，如图2，∵D（1，1），∴OE=DE=1，∴OD=，∴PD=OD=，∴P1（1，1+），P2（1，1﹣），③如图3，∵D（1，1），∴当P在x轴上时，OP=PD=1，∴P（1，1）；综上所述，点P的坐标为：（1，1）或（1，1+）或（1，1﹣）或（1，0）．【点评】本题考查了抛物线与两坐标轴的交点及等腰三角形的性质与判定，属于常题型，难度适中；对于第（3）问中等腰三角形的确定，要采用分类讨论的思想解决，同时利用数形结合的思想，注意不要丢解．。
2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级上学期第一次月考数学试卷 (含解析)
2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝24004．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm26．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是cm，面积是cm2．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是；②线段AD、BD、DE的数量关系是；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解：A．矩形的对角线相等且平分，故A原说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．四条边相等的四边形是菱形，故C原说法错误；D．对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故D原说法错误；故选：B．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．解：∵2x2﹣4x＝3，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝，故选：C．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400解：由图可得，（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，故选：D．4．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意列表如下：1253361544820661230∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，∴转得的两个数之积为偶数的概率为；故选：C．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝xcm，得到：解得：x＝4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．故选：B．6．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，解得：a＜，∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a＜且a≠0．故选：A．7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BC＝BE，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；故选：D．9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，则＝＝．故答案为：．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是k≤且k≠0．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝1：2．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，则FC＝2DM根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是3米．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝或时，△CMN为直角三角形．解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图，∵B点是CH的中点，∴BH＝CH＝6，∵AH＝OC＝8，∴由勾股定理可求：AB＝10，∵AN＝t，∴BN＝10﹣t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴＝，∴＝，∴EN＝（10﹣t），∴FN＝8﹣EN＝t，当∠CMN＝90°，由勾股定理可求：AF＝t，∴MF＝AM﹣AF＝12﹣t﹣t＝12﹣t，∵∠OCM+∠CMO＝90°，∠CMO+∠FMN＝90°，∴∠OCM＝∠FMN，∵∠O＝∠NFM＝90°，∴△COM∽△MFN，∴＝，∴＝，∴t＝，当∠MNC＝90°，∵FN＝t，∴EN＝（10﹣t），∵MF＝12﹣t，∴CE＝OF＝OM+MF＝12﹣t，∵∠MNF+∠CNE＝90°，∠ECN+∠CNE＝90°，∴∠MNF＝∠ECN，∵∠CEN＝∠NFM＝90°，∴△CEN∽△NFM，∴＝，∴＝，∵0＜t＜10，∴t＝，当∠NCM＝90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t＝或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？解：（1）100﹣＝92（辆），（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．（2）40.4万元＝404000元设上涨x个100元，由题意得：（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000整理得：x2﹣64x+540＝0解得：x1＝54，x2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元，∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是15cm，面积是cm2．解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，解得，t＝3，故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得，t＝，故当t＝时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，故答案为：15；．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE；②线段AD、BD、DE的数量关系是DE2＝BD2+AD2；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，DE2＝BD2+．解：（1）①如图1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE，如图2，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∵AD＝BE，∴DE2＝BD2+AD2；故答案为：AD＝BE；DE2＝BD2+AD2；（2）①由（1）得∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∵∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝n，∴AD＝nBE；②∵△ACD∽△BCE，∴∠A ＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∴DE2＝BD2+．故答案为：DE2＝BD2+．。
名校调研系列卷吉林省长春市届九年级数学上学期第一次月考试卷市命题含解析新人教版
2016-2017学年吉林省长春市名校调研九年级（上）第一次月考数学试卷（市命题）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列各式中，是二次根式的是（）． CDA．π B．．2．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（）．DC A．． B ．是关于x的一元二次方程，则m．若x的值应为（）32m﹣1+10x+m=0m= D．无法确定 C．A．m=2 B． m=4．方程2x（x+6）=5（x+6）的解为（）﹣，x== D．x．xx= C．=﹣6，x=6﹣A．x=6B22115．下列根式中，不是最简二次根式的是（）． CDA．． B．226．将方程x﹣6x﹣5=0化为（x+m）=n的形式，则m，n的值分别是（）A．3和5B．﹣3和5 C．﹣3和14 D．3和147．小芳妈妈要给一幅长为60cm，宽为40cm的矩形十字绣的四周装裱一条宽度相同的金色边框制成2）满足的方程是（3400cm．设金色边框的宽度为x cm，则x一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是22﹣65x﹣xB．250=0A．x+50x﹣1400=0．x﹣30x﹣1400=0 D．x+50x﹣250=022C8．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（知小长方形的长为）5 B6 ．大长方形的长为A．大长方形的宽为11D．大长方形的面积为 90C．大长方形的周长为二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．计算： = 9．10．一元二次方程（2x+1）（x﹣3）=1的一般形式是．，则= ．11 ．已知212．已知关于x的一元二次方程x+x+k=0没有实数根，则k的取值范围是．．如果是整数，则正整数n的最小值是13 ．必有一个定根，它是，则一元二次方程ax．，且14．若a+b+c=0a≠02+bx+c=0三、解答题（共10小题，满分78分）﹣．．计算：×15．．计算： 16﹣ +2+x=0． 17．解方程：2x18．解方程：x （x﹣2）=2x+1．有实数根，求k的取值范围．﹣（2k+1）x+k 19．已知关于x的方程x4，求①22+1=0△ABC，2，的20．请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2 面积；②求出最长边上高．2mx+3m=0的方程x﹣x21．已知2是2的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两关于条边长，求此等腰三角形的周长．，求EBC于点，O、BD交于点，已知AEAC=2BD=4，作⊥ACABCD22．如图，菱形中，对角线 AE的长．23．某图书馆2014年年底有图书20万册，预计2016年年底图书增加到28.8万册．2（1）求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率；（2）如果该图书馆2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年年底图书馆有图书多少万册？24．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点E从点A出发．以2cm/s的速度沿射线AD 方向运动，以AE为底边，在AD的右侧作等腰直角角形AEF，当点F落在射线BC上时，点E停止运动，设△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，点F落在射线BC上；（2）当线段CD将△AEF的面积二等分时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当S=17时，求t的值．32016-2017学年吉林省长春市名校调研九年级（上）第一次月考数学试卷（市命题）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列各式中，是二次根式的是（）． D． C．A．π B【考点】二次根式的定义．根据形如（a≥【分析】0）的式子叫做二次根式进行分析．【解答】解：A、不是二次根式，故此选项错误；B、不是二次根式，故此选项错误；C、是二次根式，故此选项正确；D、不是二次根式，故此选项错误；故选：C．此题主要考查了二次根式的定义，关键是注意中a≥0．【点评】．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（）2D．．A ． B． C【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案．【解答】解：A、3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；B、6+2x≥0，解得x≤﹣3，故此选项错误；C、2x﹣6≥0，解得x≥3，故此选项正确；D、x﹣3＞0，解得x＞3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．是关于x的一元二次方程，则m3．若x的值应为（）2m﹣1+10x+m=04m= D．．无法确定B．m=2 ． m= CA【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．【解答】解：依题意，得2m﹣1=2，m=．解得故选：C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做2+bx+c=0（且a≠一元二次方程，一般形式是ax0）．4．方程2x（x+6）=5（x+6）的解为（）﹣= =6，，6xx= D．xA．x=﹣6B．x= C．x=﹣2112【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程移项得：2x（x+6）﹣5（x+6）=0，分解因式得：（x+6）（2x﹣5）=0，可得x+6=0或2x﹣5=0，=．，x ﹣解得：x=621故选C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．下列根式中，不是最简二次根式的是（）．D ． C． A． B【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．5，因此不是最简二次根式．=【解答】解：因为=2 B．故选【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．m，n的值分别是（﹣6．将方程x﹣6x5=0化为（x+m）=n1422）的形式，则3和．﹣3和14 D．．A3和5B．﹣3和5 C【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】利用配方法：先把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，2=n的形式．）即可将原方程配成（x+m2﹣6x﹣x5=0，【解答】解：∵2 6x=5，∴x﹣2，x ﹣6x+9=5+9∴2），=14∴（x﹣3 ，n=14．∴m=﹣3 故选C．此题考查了配方法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意掌握掌握配方法的一般步【点评】骤．的矩形十字绣的四周装裱一条宽度相同的金色边框制成，宽为40cm7．小芳妈妈要给一幅长为60cm2）满足的方程是（，则x 一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是3400cm ．设金色边框的宽度为x cm22250=0﹣x+50xx﹣1400=0﹣65x．BA．22C．x﹣30x﹣1400=0 D．x+50x﹣250=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】设金色边框的宽度为x cm，先求出装裱之后的长和宽，然后根据面积为3400列方程．【解答】解：设金色边框的宽度为x cm，由题意得，（60+2x）（40+2x）=3400，6﹣250=0．整理得：x2+50x故选D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（知小长方形的长为）5．大长方形的宽为 6 A．大长方形的长为B11D．大长方形的周长为．大长方形的面积为90 C【考点】二次根式的应用．【分析】根据题目中的数据可以分别求得大长方形的长、宽、周长和面积，从而可以解答本题．=2，【解答】解：∵小长方形的长为、宽为=3，∴大长方形的长为：，大长方形的宽为：，大长方形的面积为：大长方形的周长是：，正确；、错误，选项故选项CA、BD 故选C．【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．分，满分18分）36二、填空题（共小题，每小题 = 9．计算：31 ．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：原式=31，故答案为：31．本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的关键．【点评】75x﹣4=0 ． 3）=1的一般形式是 2x10．一元二次方程（2x+1）（x﹣【考2﹣点】一元二次方程的一般形式．a≠0【分析】把方程化成ax+bx+c=0（，3）=1解：（2x+1）（x﹣【解答】2，6x+x 2）形式．﹣2x3=1﹣2，﹣2x4=0﹣5x2．﹣故答案为：2x4=0﹣5x的一元二次方程经x【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于20）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．+bx+c=0（a≠过整理，都能化成如下形式ax．，则= 111 ．已知【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据有理数的运算，可得答案．解：由，得【解答】﹣4=0，2=0a﹣，b ，b=4．解得a=2 =1， 1．故答案为：【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．．＜．已知关于x的一元二次方程x+x+k=0没有实数根，则k的取值范围是 122 k根的判别式．【考点】2 0，求出即可．k﹣4×1×根据根的判别式得出【分析】1＜2的一元二次方程xx+x+k=0没有实数根，【解答】解：∵关于∴△＜0，2 k＜0，××1即﹣41解得：k ＜，8＜．故答案为：k【点评】本题考查了解一元二次方程的根的判别式的应用，能正确理解根的判别式的内容是解此题22﹣4ac＞b0时，方程有两、c为常数，a≠0的关键，注意：一元二次方程ax），当+bx+c=0（a、b22﹣4ac＜b0个不相等的实数根，当b时，方程没有实数﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当根．．如果是整数，则正整数n的最小值是 133 ．【考点】二次根式的定义．【专题】计算题．=2，则3n因为是整数，且是完全平方数，满足条件的最小正整=【分析】．n数为3=2，且【解答】是整数；解：∵ =是整数，即3n是完全平方数；∴ 2∴n的最小正整数值为3．故答案是：3．【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非．解题关键是分解成一个负数．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则= 完全平方数和一个代数式的积的形式．必有一个定根，它是 1 ．≠14．若a+b+c=0，且a0，则一元二次方程ax【考2+bx+c=0点】一元二次方程的解．2只b+c=0．x=+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；﹣1时，a﹣一元二次方程【分析】ax2需把x=1代入一元二次方程axa+b+c=0+bx+c=0中验证即可．2，+bx+c=0代入一元二次方程ax中得，a+b+c=0解：把【解答】x=12．axa所以当a+b+c=0，且≠0，则一元二次方程+bx+c=0必有一个定根是1本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方【点评】2．﹣时，﹣；时，中几个特殊值的特殊形式：程ax+bx+c=0x=1a+b+c=0x=1ab+c=0小题，满分10三、解答题（共78分）9﹣．15 ．计算：×【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．﹣=【解答】解：原式=3﹣=．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．﹣． +16 ．计算：【考点】二次根式的加减法．【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算进行求解即可．2 +3【解答】解：原式﹣=3 +3=．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及二次根式的加减法运算法则．2+x=0．17．解方程：2x 因式分解法．解一元二次方程【考点】- 的解【分析】利用提取公因式即可求出x ，）=0【解答】解：x （2x+1 ﹣∴x=0，x=2的一元二次方程，可利用提取公因式求本题考查一元二次方程的解法，对于形如ax+bx=0【点评】 解． ．）﹣（．解方程：18xx2=2x+110【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先去括号，再化为一般形式，移项，配方，用直接开平方法解即可． 【解答】解：x （x ﹣2）=2x+1，2，﹣2x=2x+1x 2，﹣x4x+4=52．=5x ﹣2）（ 2=，∴x ﹣ ﹣，即xx=2+=2．21【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22k 的取值范围．2k+1﹣（）x+k+1=0有实数根，求19．已知关于x 的方程x 【考点】根的判别式．的一元二次不等式，解不等式即可得出根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k 【分析】 结论．22）x+k 有实数根，【解答】解：∵方程x+1=0﹣（2k+122k ×（+1）≥0，42k+1∴△=[﹣（）]﹣×1 ．k ≥解得： k 的一元二次不等式是解题的关键．【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有实数根得出关于的，，，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为．请在方格内画△20ABC224ABC ，求①△ 面积；②求出最长边上高．11【考点】二次根式的应用；三角形的面积．【专题】作图题．，从而不难求得2，观察可得其边上的高BD的长为【分析】①根据题意画出图形，已知AC的长为2 其面积．）问求得的面积，再利用面积公式即可求得其边上的高．②根据第（1BD=2 ，解：①如图∵AC=2【解答】，×∴SBD=2=AC ABC△，AB×S②∵最长边，设最长边上的高为AB=2h，则h=2=ABC△ h=，∴即最长边上高为．此题主要考查学生对三角形面积公式的理解及运用能力．【点评】2mx+3m=0的方程x﹣是关于21．已知2的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两2x 条边长，求此等腰三角形的周长．根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质．【考点】的值的值，将mm的一元一次方程，解一元一次方程即可得出代入方程找出关于将【分析】x=2m代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．12【解答】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．6）=0﹣2）（x﹣时，原方程为当m=4x﹣8x+12=（x ，x=6解得：x=2，21，＜6∵2+2=4 ，、2 2，∴此等腰三角形的三边为6、6 ．∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的【点评】三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．，求于点EAE⊥O，已知，AC=2BCBD=4，作BD22．如图，菱形ABCD中，对角线AC、交于点的长．AE【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=2，AO⊥BO∴，CO=，AC= BO= =BC=，∴2×S ×4=8，∴AC′BD==ABCD菱形∵S=BC×AE，ABCD菱形∴BC×AE=28，=∴．AE=【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．1323．某图书馆2014年年底有图书20万册，预计2016年年底图书增加到28.8万册．（1）求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率；（2）如果该图书馆2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年年底图书馆有图书多少万册？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这2万册，即可列方程求解； 1+x）两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书20（（2）利用求得的百分率，进一步求得2017年年底图书馆存图书数量即可．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得）=28.820（1+x2，即（1+x）=1.44 （舍去）x=﹣2.2解得：x=0.2，21；答：该图书馆这两2，年图书册数的年平均增长率为20%（万册）1+0.2）=34.56（2）28.8（年年底图书馆存图书34.56万册．答：预测2016本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，增长率问题【点评】的数量关系的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．方向的速度沿射线ADE从点A出发．以2cm/sABCD24．如图，在矩形中，AB=8cm，BC=6cm，动点停止运动，EF落在射线BC上时，点为底边，在运动，以AEAD的右侧作等腰直角角形AEF，当点（s）．S设△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为，运动的时间为t BC上；）当t为何值时，点F 落在射线1（ tAEF的面积二等分时，求的值；CD（2）当线段将△的函数关系式；t3（）求S与的值．tS=174（）当时，求14【考点】四边形综合题．【分析】（1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出FH=8cm，再由运动得出FH=t，即可；（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形AEF面积平分，判断出点F在CD上，即可；（3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解；（4）先判断出面积是17时，运动时间在3＜t≤6内，再直接代入函数关系式中，即可．，1）如图1解：（【解答】，于HF作FH⊥AD过点 BC=6cm，∠BAD=90°，ABCD中，AB=8cm，在矩形上，F落在射线BC∵点 FH=8cm，∴，∴t=8s ，）如图（2215是等腰直角三角形，∵△AEF 边上的高线也是该边的中线，∴AE 的面积二等分，将△AEFF在边CD上时，CD∴点 FD是直角三角形的斜边的直线，∵，∴由运动知，FD=AD=6=t ，∴t=6s 时，如图3，≤（3）当0＜t3AD，过点F作FH⊥，由运动知，AE=2t，FH=AE=t∴2，∴S=AE×FH=t 46t3当＜≤时，如图，16，⊥AD过点F作FH ，由运动知，AE=2t t，﹣，FH=t，DH=6∴DG=DE=2t﹣6﹣t×（6﹣tDH=）××2t×t+（2t﹣6+t）×∴+SS=S=×AE×FH+（DG+FH）DHFG梯形△AEF，﹣2+12t=18 ，时，如图56＜t≤8当AD，F作FH⊥过点DG=AD=6∴；AD×∴GD=18S=S=ADG△，S=∴ 6中，3＜t≤）由函数关系式知，（4S=17的运动时间在2 18中，S=﹣t+12t﹣代入将S=172，﹣∴﹣t+12t18=1717∴t=7（舍）或t=5∴当S=17时，t的值为5s．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积公式，用运动时间表示线段是解本题的关键．1820XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
九年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 新人教版0 (2)
2016-2017学年重庆七十一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡对应位置上．1．cos60°=（）A． B． C． D．2．下列函数中为二次函数的是（）A．y=+2 B．y=x（x﹣5）﹣x2C．y=﹣x2D．y=2x﹣33．气象台预报“本市明天降雨的概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（）A．本市明天将有85%的地区降雨B．本市明天肯定降雨C．本市明天将有85%的时间降雨D．本市明天降雨的可能性比较大4．掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数为4的概率为（）A． B． C． D．5．抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（）A．（5，0） B．（3，5） C．（3，5） D．（﹣5，0）6．关于二次函数y=﹣x2﹣3的最值情况，描述正确的是（）A．最大值0 B．最大值﹣3 C．最小值﹣3 D．最小值07．将抛物线y=（x﹣4）2+2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A．y=（x﹣3）2+5 B．y=（x﹣3）2﹣1 C．y=（x﹣5）2+5 D．y=（x﹣5）2﹣18．在盒子里放有三张分别写有整式a﹣3、a+1、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A． B． C． D．9．如图，在2×3的正方形网格中，tan∠ACB的值为（）A． B． C． D．210．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB． C．5sinαD．11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A． B． C． D．12．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m．A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．某班有男生23名，女生25名，从该班任意抽取一名学生进行学情调查，抽到女生的概率为．14．若锐角A满足sin∠A=，则∠A的度数为．15．已知是二次函数，则m= ．16．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．17．如图，Rt△ABC中，∠A CB=90°，BC=6，AC=8，现将△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE= ．18．从﹣1，0，1，2，3五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y=﹣3x+a不经过三象限，且使关于x的分式方程+2=有整数解的概率是．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．计算：2sin30°+3tan30°﹣tan45°﹣3tan60°．20．计算：﹣﹣|﹣4|+（π﹣2017）0+（﹣）﹣2+4cos45°．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA=，求：（1）BD的长为多少？（2）sinB的值？23．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为人；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．24．如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：（1）C到AB的最短距离是多少？（2）救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上．（1）求D点距水平面EN的高度？（保留根号）（2）求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sin∠B=．点P从点B出发沿BA方向向点A运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿A→C→B方向向点B运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当点Q在AC上运动时，t为何值时△APQ是直角三角形？（2）当t=6时，求tan∠BPQ；（3）当△APQ的面积为8时，求t的值．2016-2017学年重庆七十一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡对应位置上．1．cos60°=（）A． B． C． D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：cos60°=．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．下列函数中为二次函数的是（）A．y=+2 B．y=x（x﹣5）﹣x2C．y=﹣x2D．y=2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义进行判断．【解答】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；B、由已知函数解析式得到：y=﹣5x，属于正比例函数，故本选项错误；C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D、该函数属于一次函数，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．3．气象台预报“本市明天降雨的概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（）A．本市明天将有85%的地区降雨B．本市明天肯定降雨C．本市明天将有85%的时间降雨D．本市明天降雨的可能性比较大【考点】概率的意义．【专题】应用题．【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【解答】解：本市明天下雨概率是85%，表示本市明天下雨的可能性很大，但不一定下，也不是百分之八十的时间与地区．故选D．【点评】本题主要考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，比较简单．4．掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数为4的概率为（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：质地均匀且六个面的正方体骰子，抛掷后六个面朝上的概率都一样是，向上的一面的点数为4的概率也是一样．故选A．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（）A．（5，0） B．（3，5） C．（3，5） D．（﹣5，0）【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法的考查，需熟记．6．关于二次函数y=﹣x2﹣3的最值情况，描述正确的是（）A．最大值0 B．最大值﹣3 C．最小值﹣3 D．最小值0【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数y=﹣x2﹣3有最大值﹣3，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．7．将抛物线y=（x﹣4）2+2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A．y=（x﹣3）2+5 B．y=（x﹣3）2﹣1 C．y=（x﹣5）2+5 D．y=（x﹣5）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=（x﹣4）2+2的顶点坐标为（4，2），则把点（4，2）向右平移1个单位后得到（5，2），再向下平移3个单位后得到（5，﹣1），据此写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣4）2+2的顶点坐标为（4，2），∴把点（4，2）向右平移2个单位后，再向下平移5个单位后得到（5，﹣1）．∴平移后抛物线的解析式为：y=（x﹣5）2﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8．在盒子里放有三张分别写有整式a﹣3、a+1、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a﹣3，a+1，2中，抽到a﹣3，a+1做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a﹣3，a+1为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9．如图，在2×3的正方形网格中，tan∠ACB的值为（）A． B． C． D．2【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图，tan∠ACB==2，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．10．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB． C．5sinαD．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB==．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，则斜边AB=2CD=4，则即可求得sinB 的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB=．故选C．【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．12．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m．A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意结合坡度的定义得出C到AB的距离，进而利用锐角三角函数关系得出AB的长．【解答】解：如图所示：过点C作CG⊥AB延长线于点G，交EF于点N，由题意可得： ==，解得：EF=2，∵DC=1.6m，∴FN=1.6m，∴BG=EN=0.4m，∵sinα==，∴设AG=3x，则AC=5x，故BC=4x，即8+1.6=4x，解得：x=2.4，故AG=2.4×3=7.2m，则AB=AG﹣BG=7.2﹣0.4=6.8（m），答：大树高度AB为6.8m．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡度的定义，正确得出C到AB的距离是解题关键．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．某班有男生23名，女生25名，从该班任意抽取一名学生进行学情调查，抽到女生的概率为．【考点】概率公式．【分析】让女生的人数除以所有学生的总人数即为所求的概率．【解答】解：25÷（23+25）=25÷48=．故抽到女生的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．若锐角A满足sin∠A=，则∠A的度数为60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由锐角A满足sin∠A=，则∠A的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．已知是二次函数，则m= 2 ．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2=2，求出即可．【解答】解：∵是二次函数，∴m+2≠0，m2﹣2=2，解得：m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的定义的应用，关键是能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2=2．16．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．根据三角函数的定义求解．【解答】解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sina=．【点评】本题考查正弦的定义．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，现将△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE= ．【考点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8﹣x，根据勾股定理求出x的值，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：解：∵△BDE由△ADE翻折而成，∴BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=，∴tan∠CBE===．故答案为．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．18．从﹣1，0，1，2，3五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y=﹣3x+a不经过三象限，且使关于x的分式方程+2=有整数解的概率是．【考点】概率公式；分式方程的解；一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据一次函数y=﹣3x+a不经过第三象限，可得a＞0；然后根据分式方程的求解方法，求出关于x的分式方程+2=的解是多少，进而判断出它有整数解时a的值是多少；最后确定出满足题意的a的数量，根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用满足题意的a的数量除以5，求出概率为多少即可．【解答】解：∵一次函数y=﹣3x+a不经过第三象限，∴a＞0，∵+2=，∴x=，∵关于x的分式方程+2=有整数解，∴a=0，1，3，∵a=1时，x=2是增根，∴a=0，3，综上，可得满足题意的a的值有2个：0，3，∴使一次函数y=﹣3x+a不经过第三象限，且使关于x的分式方程+2=有整数解的概率是：．故答案为．【点评】（1）此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）此题还考查了分式方程的求解问题，要注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．（3）此题还考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0时，y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0时，y=kx+b的图象在二、三、四象限．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．计算：2sin30°+3tan30°﹣tan45°﹣3tan60°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数再计算即可．【解答】解：原式=2×+3×﹣1﹣3×=+﹣1﹣3=﹣1﹣．【点评】本题考查了实数的运算以及特殊角的三角函数，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键．20．计算：﹣﹣|﹣4|+（π﹣2017）0+（﹣）﹣2+4cos45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣2﹣4+1+9+2=6．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】应用题；创新题型．【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．【解答】解：（1）根据题意列表得：123412345234563456745678（2）由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，∴和为偶数和和为奇数的概率均为，∴这个游戏公平．【点评】本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA=，求：（1）BD的长为多少？（2）sinB的值？【考点】解直角三角形．【分析】（1）根据在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA=，可以求得AD的长，从而可以求得BD的长；（2）由（1）中BD的长和题目中CD的长可以求得BC的长，从而可以求得sinB的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA=，∴tanA=，解得，AD=6，∴BD=AB﹣AD=22﹣6=16；（2）由（1）知BD=16，∵CD⊥AB，CD=8，∴BC==，∴sinB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为48 人；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）根据音乐类的人数和所占的百分比求出总人数；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人）；故答案为：48；（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为： =．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：（1）C到AB的最短距离是多少？（2）救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）根据锐角三角函数可以求得CD和BD的长，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答本题．【解答】解：（1）如右图所示，延长BC交AN于点D，则BD⊥AN，在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=20海里，∴CD=10海里，∴AD=10海里，在Rt△BDA中，∠DAB=68°，sin∠B=，AD=10，∴AB=≈46.81，BD=AB•cos∠B=46.81×0.93=43.53，∴BC=BD﹣CD=43.53﹣10=33.53，即C到AB的最短距离是33.53海里；（2）救生船到达B处大约需要：33.53÷20≈1.7（小时），答：救生船到达B处大约需要1.7小时．【点评】本题考查解直角三角形的问题﹣﹣方向角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上．（1）求D点距水平面EN的高度？（保留根号）（2）求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）利用坡度和DE直接求出D点距水平面EN的高度；（2）借助（1）得出的结论，可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．【解答】解：（1）如图，过点D作DG⊥MN于G，在Rt△DEG中，坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴tan∠DEM===，∴∠DEM=30°，∴EG=10米，DG=DE=10米；∴D点距水平面EN的高度为10米．（2）如图，过点D作DH⊥AN于H，由（1）知，DG=10米，EG=10米，∵DH=EG+EC+CN=（10+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（10+10）米，∴AN=AH+DG=（20+10）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=10≈17米，答：条幅AB的长度是17米．【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sin∠B=．点P从点B出发沿BA方向向点A运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿A→C→B方向向点B运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当点Q在AC上运动时，t为何值时△APQ是直角三角形？（2）当t=6时，求tan∠BPQ；（3）当△APQ的面积为8时，求t的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）分两种用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；（2）先判断出点Q在BC上，先用求出BQ，进而用锐角三角函数求出BE，即可得出PE，结论得出；（2）分点Q在AC和BC上两种情况，用三角形的面积公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，①当∠APQ=90°时，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sin∠B=，∴AC=8，AB=6，由运动知，BP=t，AQ=2t，∴AP=10﹣t，∵∠A=∠A，∠C=∠APQ=90°，∴△APQ∽△ACB，∴，∴，∴t=，②如图2，当∠AQP=90°时，∠C=∠AQP=90°，∴PQ∥BC，∴，∴，∴t=．即：满足条件的t的值为或．（2）如图3，当t=6时，点Q运动了2×6=12＞8，∴点Q在BC上，∴CQ=12﹣AC=12﹣8=4，∴BQ=BC﹣CQ=2，过点Q作QE⊥AB于E在Rt△BEQ中，sin∠B==，∴，∴QE=，∴BE=，∵BP=6，∴PE=BP﹣BE=6﹣=，∴tan∠BPQ==；（3）①当点Q在AC上时，如图4，过点Q作QE⊥AB，在Rt△ABC中，sin∠B=．∴sin∠A=．∴QE=AQsin∠A=×2t=t，∵△APQ的面积为8，∴S△APQ=×AP×QE=×（10﹣t）×t=8，∴t=或t=（大于7，所以舍去），②当点Q在BC上时，如图5，过点Q作QE⊥AB，在Rt△BEQ中，sin∠B=．BQ=14﹣2t，∴sin∠B==，∴QE=（14﹣2t）∴S△APQ=AP×QE=（10﹣t）×（14﹣2t）=8，∴t=2（舍）或t=5；即：满足条件的t的值为或5．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是找出相等关系建立方程，是一道比较简单的中考常考题．。
辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。
考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每题3分，共24分）1．如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）xC．y＝（x﹣1）2D．y＝ax2+bx+c3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（）A．10B．15C．18D．164．把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，1，4B．3，﹣1，4C．3，﹣1，﹣4D．3，4，﹣1 5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝917．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（）A．（5，2）B．（1，5）C．（4，2）D．（1，5）或（4，2）8．在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共24分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为．10．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为．11．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是（用“＜”连接）．12．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1，＝．13．如果关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则的值为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是．15．关于抛物线y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0．其中正确的说法有．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC中点，连接DE交AC于点F，把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG，连接AG、FG，点M为线段FG的中点，连接AM、OM、BG，下列结论正确的有．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③＝④三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣t﹣3＝0．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．19．如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝9，BC＝6，求EF的长．22．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．24．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC，EF的中点．（1）如图1，若∠BAC＝120°，当点E是BC边的中点时，＝，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为度．（2）如图2，若∠BAC＝120°，当点E是BC边上任意一点时（不与BC重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）若∠BAC＝60°，AB＝6，点E在直线BC上运动，＝，若其它条件不变，过点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2经过AB的中点D．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上是否存在一点M，使S△ABM＝，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点C是OB中点，连接CD，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，请直接写出BP的长．参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）xC．y＝（x﹣1）2D．y＝ax2+bx+c【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（）A．10B．15C．18D．16【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得，即可求解．解：∵AD＝2，BD＝3，∴AB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝15，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．4．把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，1，4B．3，﹣1，4C．3，﹣1，﹣4D．3，4，﹣1【分析】将原方程转化为一般形式，进而可得出a，b，c的值．解：将原方程转化为一般形式为3x2﹣x+4＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握将给定一元二次方程转化为一般形式的方法是解题的关键．5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本选项不符合题意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【分析】根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支＝91，进而得出答案．解：由题意可得，1+x+x•x＝1+x+x2＝91．故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．7．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（）A．（5，2）B．（1，5）C．（4，2）D．（1，5）或（4，2）【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．8．在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据ab＞0，可以得到a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，然后分类讨论y＝ax2与y＝ax+b的图象所在的象限，本题得以解决．解：∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，当a＞0，b＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B错误，不符合题意；当a＜0，b＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．二、填空题（每题3分，共24分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．10．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为﹣2．【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣2，所以原式＝＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y3＜y2（用“＜”连接）．【分析】先分别计算出自变量为﹣3、﹣1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2x2＝﹣18；当x＝﹣1时，y2＝﹣2x2＝﹣2；当x＝2时，y3＝﹣2x2＝﹣8，所以y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1，＝．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．13．如果关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则的值为2或18．【分析】利用一元二次方程的定义及因式分解法解一元二次方程，可求出方程的两根，结合其中一个根为另一个根的3倍，即可求出的值．解：∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，∴m≠0，且原方程的解为x1＝3，x2＝．当3是的3倍时，3＝3×，∴＝1，∴＝2；当是3的3倍时，＝3×3，∴＝2×3×3＝18．∴的值为2或18．故答案为：2或18．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义，利用因式分解法求出原方程的两个根是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．【分析】分三种情况：①当OA＝AP时，由已知可得B（0，2）；②当AP＝OP时，B 与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y 轴于N，证明△PNB≌△PMA（ASA），可得BN＝AM＝2﹣2，即有OB＝NO﹣BN＝4﹣2，故B（0，4﹣2）．解：①当OA＝AP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴此时A（2，0），∵∠APB＝90°，∴B（0，2）；②当AP＝OP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴∠POA＝∠PAO＝45°，∴∠P＝90°，∴此时B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：∵∠APB＝90°，∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，∴△PNB≌△PMA（ASA），∴BN＝AM＝2﹣2，∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，∴B（0，4﹣2），综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．【点评】本题考查平面直角坐标系中的旋转，解题的关键是分类画出图形，讨论得到答案．15．关于抛物线y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0．其中正确的说法有①②④．【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案．解：∵y＝﹣x2，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；②抛物线开口向下，对称轴为x＝0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y≤0，故③错误；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，可知这两点关于y轴对称，所以m+n＝0，故④正确．所以正确的有①②④，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC中点，连接DE交AC于点F，把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG，连接AG、FG，点M为线段FG的中点，连接AM、OM、BG，下列结论正确的有①③④．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③＝④【分析】由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，则∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90°，则∠ADG＝∠CDF，即可证明△ADG≌△CDF，得AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，则∠FAG＝90°，所以FA2+FC2＝FA2+AG2＝FG2，可判断①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，则BE＝CE＝BC＝m，由勾股定理得DE＝m，AC＝2m，则OC＝OD＝OA＝m，再证明△CEF∽△ADF，得＝＝＝，则AG＝CF＝AC＝m，DF＝DE＝m，FG＝DF ＝m，再求得BG＝m，由∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，得AM ＝FM＝GM＝FG，可知AM≠BG，可判断②错误；因为OF＝m﹣m＝m，所以＝，可判断③正确；连接DM，作MH⊥OA于点H，则DM＝AM＝FG，再证明△OMD≌△OMA，得∠DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，根据三角形的中位线定理求得HM＝AG＝m，则OM ＝HM＝m，所以＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90°，∴∠ADG＝∠CDF＝90°﹣∠ADE，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，∴∠FAG＝90°，∴FA2+AG2＝FG2，∴FA2+FC2＝FG2，故①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，∵点E为边BC中点，∴BE＝CE＝BC＝m，∴DE＝＝m，AC＝＝2m，∵OC＝OA＝AC＝m，OD＝OB＝BD，且AC＝BD，∴OC＝OD＝OA＝m，∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝＝＝，∴AG＝CF＝AC＝m，DF＝DE＝m，∴FG＝＝＝DF＝×m＝m，∵∠I＝90°，∠IAG＝90°﹣∠DAG＝45°，∴∠IGA＝∠IAG＝45°，∴AI＝GI，∴2AI2＝2GI2＝AI2+GI2＝AG2＝（m）2＝m2，∴AI＝GI＝m，∴BG＝＝m，∴FG≠BG，∵∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，∴AM＝FM＝GM＝FG，∴AM≠BG，故②错误；∵OF＝m﹣m＝m，∴＝＝，故③正确；连接DM，作MH⊥OA于点H，则DM＝AM＝FG，∵AD⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵OD＝OA，DM＝AM，OM＝OM，∴△OMD≌△OMA（SSS），∴∠DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，∵∠FHM＝∠FAG＝90°，∴HM∥AG，∴＝＝1，∴FH＝AH，∴HM＝AG＝×m＝m，∵∠HMO＝∠HOM＝45°，∴HO＝HM，∴OM＝＝＝HM＝×m＝m，∴＝＝，故④正确，故答案为：①③④．【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣t﹣3＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．解：（1）2x2+8x+3＝0，x2+4x+＝0，x2+4x＝﹣，x2+4x+4＝﹣+4，（x+2）2＝，x+2＝±，x+2＝或x+2＝﹣，x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；（2）3t2﹣t﹣3＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×3×（﹣3）＝2+36＝38＞0，∴t＝，∴t1＝，t2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．19．如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．【分析】先由∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，证明△APC∽△BPD，然后列比例式求出BD 的长．解：∵∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPD，∴＝，BD＝＝＝，∴BD的长为．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵k＞，∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，又∵x1•x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴2k+1＝k2+1，∴k1＝0，k2＝2，又∵k＞，∴k＝2．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣；（5）x1•x2＝．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝9，BC＝6，求EF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似求AF，即可求EF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝6，∴BE＝3，∵AB＝9，∴AE＝＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴＝，＝，AF＝，∴EF＝AE﹣AF＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可．解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，整理，得：y2﹣21y+38＝0，解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），∴y＝2．答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，正方形的边长为2cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠GEC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决此题关键．24．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？【分析】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，利用该南国梨种植基地2022年种植面积＝该南国梨种植基地2020年种植面积×（1+该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y﹣6）元，每周能售出（560﹣20y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，依题意得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．答：该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25%．（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y﹣6）元，每周能售出400﹣10×＝（560﹣20y）千克，依题意得：（y﹣6）（560﹣20y）＝2400，整理得：y2﹣34y+288＝0，解得：y1＝16，y2＝18（不符合题意，舍去）．答：售价应为16元/千克．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC，EF的中点．（1）如图1，若∠BAC＝120°，当点E是BC边的中点时，＝，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60度．（2）如图2，若∠BAC＝120°，当点E是BC边上任意一点时（不与BC重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）若∠BAC＝60°，AB＝6，点E在直线BC上运动，＝，若其它条件不变，过点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离2．【分析】（1）证明AC⊥EF，利用直角三角形30度角的性质证明即可；（2）结论成立．如图2中，连接AM，AN．证明△BAE∽△MAN，推出∠B＝∠AMN＝30°，＝＝2，可得结论；（3）如图3中，连接AM，AN，过点P作PH⊥BC于点H．证明△BAE∽△MAN，推出＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，利用平行线分线段成比例定理求出PC，可得结论．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CB，∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝60°，∵∠EAF＝∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠CAF＝60°，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，EN＝FN，∵∠C＝∠B＝30°，∴EC＝2MN，∠FEC＝60°∴BE＝2MN，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°．故答案为：，60；（2）结论成立．理由：如图2中，连接AM，AN．∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CM，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM＝60°，∴AB＝2AM，同法可证AE＝2AN，∠EAN＝60°，∴∠BAM＝∠EAN＝60°，∴∠BAE＝∠MAN，∵＝＝2，∴△BAE∽△MAN，∴∠B＝∠AMN＝30°，＝＝2，∴＝，∠NMC＝60°，∴直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°；（3）如图3中，连接AM，AN，过点P作PH⊥BC于点H．∵△ABC，△AEF都是等边三角形，BM＝CM，EN＝FN，∴AM⊥BC，AN⊥EF，∴＝＝，∵∠BAM＝∠EAN＝30°，∴∠BAE＝∠MAN，∴△BAE∽△MAN，∴＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，∵∠AMC＝90°，∴∠NMC＝30°，∵AB＝6，BE：EC＝1：2，∴BE＝2，EC＝4，∵BM＝CM＝3，∴EM＝1，∴MN＝，∵MN∥CP，∴＝，∠PCH＝∠NMC＝30°，∴＝，∴CP＝4，∴PH＝PC＝2，∴点P到BC的距离为2．故答案为：2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于思考常考题型．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2经过AB的中点D．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上是否存在一点M，使S△ABM＝，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点C是OB中点，连接CD，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，请直接写出BP的长．【分析】（1）根据题意可得B（0，3），A（4，0），根据抛物线y＝ax2经过AB的中点D，可得D（2，），进而可得抛物线解析式；（2）过点M作MN∥y轴交AB于点N，设M（m，m2），则N（m，﹣m+3），所以MN＝m2+m﹣3，根据S△ABM＝S△BMN+S△AMN＝MN•OA＝，列出方程求解即可解决问题；（3）根据点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，设PB′交y轴于点E，设P（x，﹣x+3），则EP＝x，OE＝﹣x+3，可得BE＝x，根据勾股定理可得PB＝x，然后根据翻折可得CB′＝CB＝，PB＝PB′＝x，根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴A（4，0），∵抛物线y＝ax2经过AB的中点D，∴D（2，），将D（2，）代入抛物线y＝ax2，得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上存在一点M，使S△ABM＝，理由如下：过点M作MN∥y轴交AB于点N，设M（m，m2），则N（m，﹣m+3），∴MN＝m2﹣（﹣m+3）＝m2+m﹣3，∵S△ABM＝，∴S△ABM＝S△BMN+S△AMN＝MN•OA＝，∴（m2+m﹣3）×4＝，整理得m2+2m﹣15＝0，解得m1＝3，m2＝﹣5（舍去），∴M点坐标为（3，）；（3）如图，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，设PB′交y轴于点E，∵B（0，3），∴OB＝3，设P（x，﹣x+3），则EP＝x，OE＝﹣x+3，∴BE＝OB﹣OE＝3﹣（﹣x+3）＝x，∵点C是OB中点，∴OC＝BC＝，∴PB2＝BE2+PE2＝（x）2+x2＝x2，∴PB＝x（负值舍去），根据翻折可知：CB′＝CB＝，PB＝PB′＝x，在Rt△CB′E中，CE＝OC﹣OE＝﹣（﹣x+3）＝x﹣，B′E＝PB′﹣PE＝x﹣x＝x，根据勾股定理得：CE2+B′E2＝CB′2，∴（x﹣）2+（x）2＝（）2，整理得x2﹣x＝0，解得x1＝，x2＝0（舍去），∴PB＝x＝×＝，答：BP的长为．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中图形的面积计算方法，轴对称的性质，勾股定理，一元二次方程，解本题的关键是判断出CD平行于x轴．。
辽宁省本溪实验中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2021-2022学年辽宁省本溪实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C．D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3D．＝﹣44．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（）A．30°B．36°C．45°D．32°5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式B．若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定C．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是66．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝7．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米/分钟，步行的速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为x分钟和y分钟，则列出的方程组是（）A．B．C．D．8．（3分）一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，则a的取值是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（）A．B．2C．D．310．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APB+S△APD＝其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为．12．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝．13．（3分）若，则＝．14．（3分）若（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，则m+n＝．15．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色、另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是．16．（3分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，BE的长为．18．（3分）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边向右构造正方形OA1B1C1，使点C1落在x轴上，延长C1B1交直线l于点A2，再以C1A2为边向右构造正方形C1A2B2C2，使点C2落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B1B2021所在直线的解析式为．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：，其中a满足﹣2＜a≤2的整数．20．（12分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．21．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）直接写出AC与y轴交点的坐标．（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为．（3）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．22．（12分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．24．（12分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．25．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．（1）如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；（2）如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；（3）在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2021-2022学年辽宁省本溪实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C．D．【解答】解：2021的相反数是﹣2021，故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，牢记相反数的定义是解题的关键．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查轴对称与中心对称，熟练掌握图形的中心对称与轴对称的性质是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3D．＝﹣4【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、（﹣xy2）3＝﹣x3y6，故此选项错误；C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故此选项错误；D、＝﹣4，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（）A．30°B．36°C．45°D．32°【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠C＝×（5﹣2）×180°＝108°，∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，∵AF∥CD，∴∠DFA＝∠CDB＝36°．故选：B．【点评】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求正多边形的内角，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解答时要会根据公式进行正确运算．5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式B．若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定C．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6【解答】解：A．由于被调查的人数较多，不易适合普查的方法进行调查，故A错误；B．甲队的方差小于乙队的方差，故甲队成绩比乙队成绩稳定，故B正确；C．明天下雨的概率为99%，属于随机事件，故C错误；D．这组数据中6和7都出现了2次，故众数是6和7，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是普查、方差、随机事件、中位数和众数的知识，掌握相关知识是解题的关键．6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．7．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米/分钟，步行的速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为x分钟和y分钟，则列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．8．（3分）一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，则a的取值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，∴a+1＜0，a+3＞0解得﹣3＜a＜﹣1．故选：C．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x 的系数是大于0或是小于0．9．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（）A．B．2C．D．3【解答】解：由作图可知，OP⊥AD．在Rt△OPD中，PD＝CD＝2，∠ADP＝60°，∴OP＝PD•sin60°＝，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APB+S△APD＝其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，∴点B到直线AE的距离为．故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此选项正确．∴正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为 1.28×106．【解答】解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106．故答案为：1.28×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝a（2x+y）（2x﹣y）．【解答】解：原式＝a（4x2﹣y2）＝a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）若，则＝．【解答】解：由，得a＝，∴＝．故答案为：．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．14．（3分）若（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，则m+n＝﹣4．【解答】解：∵（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，又∵（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣3，∴m+n＝﹣1﹣3＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则，根据对应项的系数相等求解是解题的关键．15．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色、另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，所以可配成紫色的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．16．（3分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝4．【解答】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是证明△AFB ∽△AEC．17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，BE的长为或15．【解答】解：∵在矩形ABCD中，则CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠D＝90°，由折叠的性质，则CF＝BC＝5，BE＝EF，在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4；①当点E在线段AB上时，如图1：∴AF＝5﹣4＝1，在Rt△AEF中，设BE＝EF＝x，则AE＝3﹣x，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，∴x2＝1+（3﹣x）2解得：，∴；②当点E在BA的延长线上时，如图2：∴AF＝5+4＝9，在Rt△AEF中，设BE＝EF＝x，则AE＝x﹣3，∴由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，∴x2＝92+（x﹣3）2，解得：x＝15，∴BE＝15；综合上述，BE的长为或15．故答案为：或15．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质进行分析题意，然后利用勾股定理进行求解即可，主义运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．18．（3分）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边向右构造正方形OA1B1C1，使点C1落在x轴上，延长C1B1交直线l于点A2，再以C1A2为边向右构造正方形C1A2B2C2，使点C2落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B1B2021所在直线的解析式为y＝x+．【解答】解：把x＝0代入直线y＝x+1，得y＝1，点B1的坐标是（1，1），把x＝1代入直线y＝x+1，得y＝2，点B2的坐标是（3，2），同理可得：点B3的坐标是（7，4）；……由以上得出规律是B n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），∴B2021的坐标为（22021﹣1，22020），设B1B2021所在直线的解析式为y＝kx+b，得，解得，∴B1B2021所在直线的解析式为y＝x+．故答案为：y＝x+．【点评】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式等知识，解此题的关键是分别计算一次函数中的点的坐标从而得出规律．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：，其中a满足﹣2＜a≤2的整数．【解答】解：原式＝（﹣+）÷＝÷＝•＝（a+1）2，当a是满足﹣2＜a≤2的整数时，a的值为﹣1、0、1、2，∵a≠﹣1、0、1，∴当x＝2时，原式＝（2+1）2＝9．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．20．（12分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为162°，并补全条形统计图；（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：故答案为：162°；（2）由题意得：2400×＝120（人），即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为120人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，抽到都是女孩的有6种，∴恰好抽到都是女生的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．21．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）直接写出AC与y轴交点的坐标（0，）．（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为0．（3）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（4，3），C（1，2）代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝，令x＝0，得y＝，∴直线AC与y轴交点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．（2）由图可知，△ABC与△PQR是关于原点成中心对称，∴可列方程，解得，∴a﹣b＝0，故答案为：0．（3）如图，△P'Q'R'即为所求．△P′AC的面积为﹣﹣1×1﹣＝．【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称、用待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22．（12分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．【解答】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△FAG，∴，即GA2＝GE•GF，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论AG＝CG，∴CG＝3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．24．（12分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．【解答】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．（1）如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；（2）如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；（3）在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．【解答】解：（1）结论：AC＝BF+AE．理由：连接CD，如图①所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠DCF＝45°，CD＝AB＝AD＝BD，∴∠A＝∠DCF，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；，∴BF+AE＝BF+CF＝BC＝AC，即AC＝BF+AE；（2）（1）中的结论不成立．结论：2AE•BF＝AC2．理由：连接CD，如图②所示：∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠F，∠EDF＝∠B＝45°，∴∠ADE＝∠F，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD，∴＝，∴AE•BF＝AD•BD＝AD2，∴2AE•BF＝2AD2，∵AC2＝AD2+CD2＝2AD2，∴2AE•BF＝AC2；（3）∵AC＝4，AE：EC＝1：3，∴AE＝AC＝，AD＝CD＝4，由①得：2AE•BF＝AC2＝32，∴BF＝8，∵BC＝AC＝4，∴CF＝BF﹣BC＝4，∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，由①得：∠ADE＝∠F，∴∠F＝∠CDG，∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCG，∴∠DCF＝∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，5），即OA＝2，OB＝5，∵△ABC面积为15，∴（OA+OC）•OB＝15，∴OC＝4，∴C（4，0），设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+5；（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，∴S△ACM＝×6×y m＝10，解得：y m＝，解得：x m＝，∴M（，）；（3）∵A（﹣2，0），M（，），设直线AM的表达式为y＝k′x+b′，将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴直线AM的表达式为：y＝x+2．①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，∴点E的纵坐标是5，∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．∴x+2＝5，解得：x＝3，∴E（3，5），∴BE＝CD＝3，∵C（4，0），∴D（7，0）；②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，∵四边形BDEC为平行四边形，∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，∴△BDC≌△ECD（SAS），∴EF＝OB，∵B（0，5），∴EF＝OB＝5，∴点E的纵坐标是﹣5，∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，∴OF＝7，在Rt△BOC和Rt△EFD中，，∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），∴DF＝OC，∵C（4，0），∴DF＝4，∴OD＝4+7＝11，∴D（﹣11，0）；③当BC为平行四边形的对角线时，∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，∴点E的纵坐标是5，∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．∴x+2＝5，解得：x＝3，∴E（3，5），∴BE＝CD＝3，∵C（4，0），∴D（1，0）．综上，存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
陕西西安市高新一中2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份) 含解析
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣14．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝97．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝19．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．810．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝米．（结果保留根号）15．如果，那么k的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b ＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，∴＝，解得：a＝2cm．故选：A．2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：该组合体的俯视图为故选：A．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣1【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝4x是正比例函数；B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；C、y＝﹣是反比例函数；D、y＝x2﹣1是二次函数；故选：C．4．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小．相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．故选：A．5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米【分析】由题可知，易得题中有一组相似三角形，利用它们的对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意得：AD：DE＝AB：x∴解得：x＝0.8．故选：C．6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D ∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝1【分析】根据相似三角形的判定得出△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，∴＝，∵EG∥AC，∴＝，∴≠，故本选项符合题意；B、∵GE∥AC，∴△DEG∽△DAC，∴＝，故本选项不符合题意；C、∵EF∥BD，EG∥AC，∴，，∴，故本选项不符合题意；D、∵GE∥AC，EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，∴，，∴＝＝1，故本选项不符合题意；故选：A．9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．10．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4【分析】可设BE＝x，CE＝y，由题意可得△ABE≌ECF，并且△ECF∽△FDG，从而得出关于x、y的两个方程，求解后即可得出矩形ABCD的周长．【解答】解：∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故选：C．二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．【分析】将＝变形为+2＝，再根据等式的性质即可求解．【解答】解：＝，+2＝，＝．故答案为：．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为12 ．【分析】由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为2，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．【解答】解：设俯视图的正方形的边长为a．∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2，∴a2+a2＝（2）2，解得a2＝4，∴这个长方体的体积为4×3＝12．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约8 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈7.8≈8，经检验y≈7.8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝（18﹣10）米．（结果保留根号）【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．∵物高与影长的比是1：，∴＝，则AF＝EF＝10，故DE＝FB＝18﹣10．故答案为（18﹣10）15．如果，那么k的值为或﹣1 ．【分析】①当a+b+c≠0时，由等比定理（若a：b＝c：d（其中b，d≠0），则（a+c）：（b+d）＝（a﹣c）：（b﹣d）＝a：b＝c：da：b＝c：d＝e：f＝…m：k则（a+c+e+…+m）：（b+d+f+…+k）＝a：b称为等比定理）解答k的值；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，将其整体代入比例式解答k的值．【解答】解：①当a+b+c≠0时，由等比定理得＝k，即k＝；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，∴，∴k＝﹣1；故答案为：或﹣1．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，∴3×＝9AF，AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E＝，即AD+DE的最小值是；故答案为：．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．【解答】解：如图所示：．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可．【解答】解：如图所示：19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．【分析】（1）延长AO到C使得OC＝2OA，延长BO到D，使得OD＝2OB，连接CD，△OCD 即为所求．（2）根据C，D的位置写出坐标即可．（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△OCD即为所求．（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2），（3）S△OCD＝24﹣×4×2﹣×6×2﹣×2×4＝10．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，可得，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝7，所以EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F，∴△ABE∽△ECF，（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝7．∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．∴，∴．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC＝45∴MN＝3000，答：直线隧道MN长为3000米．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．【分析】（1）首先连接GA、HC并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OE并延长即可确定影子；（2）OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度．【解答】解：（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；（2）作OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，由△GAB∽△GOM得＝即：①，由△CDH∽△OMH得即：②由①②得，x＝4.8，y＝0.6．答灯的高度为4.8米．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．②存在．由题意：∠DMN＝∠DGM．可以推出∠DNM＝∠DMG，推出∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．。
广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校2022-2023学年上学期九年级第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年广东省佛山市顺德区东逸湾中学九年级第一学期第一次月考数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。
考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，对这个几何图形判断正确的是（）A．它的底面是矩形B．它的侧面是三角形C．它的底面是三角形D．它是锥体2．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（）A．B．C．D．3．△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（）A．1：2B．1：C．1：4D．2：14．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则对角线AC的长为（）A．2B．4C．2D．25．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2＝0B．（x﹣1）2＝1C．（x﹣1）2＝2D．（x﹣1）2＝5 6．若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（）A．14B．42C．7D．7．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米，若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．28.8（1+x）2＝20B．20（1+x）2＝28.8C．20（1+2x）＝28.8D．（1+2x）2＝28.88．下列判断不正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直的平行四边形是菱形9．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：3D．4：910．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM 交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．方程x2＝4x的实数解是．12．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中共有个球．13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为．14．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为cm．（结果保留根号）15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．16．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．19．已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1的坐标；（2）求△A1B1C1的面积（单位：平方单位）．四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD2合计y（1）x＝，y＝，扇形图中表示C的圆心角的度数为度；（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．21．“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）22．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，点E是BC的中点，且EF∥AB，AE、BP交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求△OEC的面积．五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号）①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，BC＝10cm，AD＝8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）用t在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积是10cm2，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，对这个几何图形判断正确的是（）A．它的底面是矩形B．它的侧面是三角形C．它的底面是三角形D．它是锥体【分析】应用三棱柱的特征进行判定即可得出答案．解：根据题意可得，这个几何体是三棱柱，所以它的底面是三角形，侧面是矩形．故选：C．2．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和这枚硬币两次正面都向上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：根据题意画图如下：共有4种等情况数，这枚硬币两次正面都向上的有1种，则这枚硬币两次正面都向上的概率为，故选：D．3．△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（）A．1：2B．1：C．1：4D．2：1【分析】由△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．故选：C．4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则对角线AC的长为（）A．2B．4C．2D．2【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝AC，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝2，即可得出AC＝2OA＝4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4；故选：B．5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2＝0B．（x﹣1）2＝1C．（x﹣1）2＝2D．（x﹣1）2＝5【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．解：∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，故选：C．6．若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，则2a+4b﹣3c的值是（）A．14B．42C．7D．【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可．解：设a＝5k，则b＝7k，c＝8k，又3a﹣2b+c＝3，则15k﹣14k+8k＝3，得k＝，即a＝，b＝，c＝，所以2a+4b﹣3c＝．故选D．7．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米，若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．28.8（1+x）2＝20B．20（1+x）2＝28.8C．20（1+2x）＝28.8D．（1+2x）2＝28.8【分析】设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为20m2提高到28.8m2”作为等量关系即可列出得到方程．解：设每年的增长率为x，根据题意得20（1+x）2＝28.8，故选：B．8．下列判断不正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】分别利用矩形、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．解：A、四个角相等的四边形是矩形，正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．故选：B．9．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9【分析】根据AB∥DC，可得△ABM∽△MCD，根据MH∥AB，可得＝＝，所以＝，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．解：∵AB∥DC，∴△ABM∽△MCD，∴＝（）2∵MH∥AB，∴＝＝，∴＝，∴＝，则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．故选：B．10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM 交于点N、K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD ＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；②根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；③根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；④根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2 ，∵点P为对称中心，∴GP＝，又∵NK也是△AGP的中位线，∴NK＝，在Rt△FGN中，FN＝，∴FN＝2NK，故③正确．∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN•FG＝×2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．方程x2＝4x的实数解是x1＝0，x2＝4．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．解：x2＝4x，x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．12．在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中共有20个球．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：设袋中白球有x个，根据题意，得：＝0.2，解得x＝20，经检验x＝20是分式方程的解，所以估计盒子中大约有白球20个，故答案为：20．13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AE＝2，BE＝4，∴＝＝，故答案为：．14．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为（10﹣10）cm．（结果保留根号）【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．解：∵线段AB＝20cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），∴PA＝AB＝×20＝10﹣10（cm），故答案为：（10﹣10）．15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4．16．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm．【分析】过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，则DE＝DF＝3cm，由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DE＝6cm，再证四边形ABCD是平行四边形，然后证平行四边形ABCD是菱形，得BC＝AD＝CD＝6cm，进而证△P′BP是等边三角形，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，则DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF，∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，故答案为：6cm．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．18．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．【分析】可证明△ACD∽△ABC，则＝，即得出AC2＝AD•AB，从而得出AC的长．解：在△ABC和△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴＝．即AC2＝AD•AB＝AD•（AD+BD）＝2×6＝12，∴AC＝2．19．已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1的坐标；（2）求△A1B1C1的面积（单位：平方单位）．【分析】（1）利用位似变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；（2）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求．点C1的坐标是（1，0）；（2）＝．四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，共24分）20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD2合计y（1）x＝4，y＝40，扇形图中表示C的圆心角的度数为36度；（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．【分析】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°；（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．【解答】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．故答案为4，40，36；（2）画树状图如下：P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．21．“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）【分析】（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2023年“十一”长假期间游客人次＝2021年“十一”长假期间游客人次×（1+2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售（240﹣8y）碗，利用净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为20%．（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售120﹣8（y﹣15）＝（240﹣8y）碗，依题意得：（240﹣8y）y﹣10（240﹣8y）﹣168＝600，整理得：y2﹣40y+396＝0，解得：y1＝18，y2＝22（不符合题意，舍去）．答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元．22．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，点E是BC的中点，且EF∥AB，AE、BP交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求△OEC的面积．【分析】（1）根据两组对边分别平行可得四边形ABEF是平行四边形，再根据AB＝BE，即可证明四边形ABEF是菱形；（2）过点O作OG⊥BC于点G，根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得OG 的长度，再根据三角形的面积公式可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BC，点E是BC的中点，∴AB＝，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：如图，过点O作OG⊥BC于点G，由（1）知，AB＝BE＝CE，∵四边形ABEF是菱形，∴∠ABE＝60°，∴AB＝BE＝CE＝，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°，∴OE＝，∠OEB＝60°，∴GE＝，∴OG＝，∴S＝2．五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是②；（填序号）①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．【分析】（1）根据a，b，c是Rt△ABC的三边长，由“直系一元二次方程”的定义可得出答案；（2）将x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：a+b＝c，根据a+b+c ＝2+2可得出答案；（3）计算Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，根据a2+b2＝c2，代入得Δ＝2a2+2b2﹣4ab ＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2即可．解：（1）∵52+122＝132，∴5x2+13x+12＝0是“直系一元二次方程”．故答案为②；（2）∵x＝﹣1是方程的一个根，∴a﹣c+b＝0，∴a+b＝c，∵△ABC的周长为2+2，∴a+b+c＝2+2，∴c+c＝2+2，∴c＝2．（3）证明：由Δ＝﹣4ab，又∵c2＝a2+b2，∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴该一元二次方程必有实数根；24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，BC＝10cm，AD＝8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）用t在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积是10cm2，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，由平移得EF∥BC，DH＝2tcm，即可证明∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，由AD⊥BC，AD＝8cm，BC＝10cm，得∠AHE＝∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝5cm，所以AH⊥EF，则EH＝FH，当t＝2时，则AH＝DH＝4cm，即可证明四边形AEDF为菱形；（2）由EF∥BC证明△AEF∽△ABC，得＝，其中AH＝（8﹣2t）cm，BC＝10cm，可推导出EF＝（4﹣t）cm，则×2t×（4﹣t）＝10，即可求得t＝2，则BP＝6cm；（3）分三种情况讨论，一是∠PEF＝90°，则PE＝DH＝2tcm，由PE∥AD证明△EBP ∽△ABD，则＝，解得t＝0，不符合题意；二是∠EPF＝90°，作EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，可证明△GPE∽△IFP，得＝，再由△EBG∽△ABD，得＝，则BG＝×2t＝tcm，再证明△BEG≌△CFI，则BG＝CI＝tcm，于是可列方程＝，可求得t＝；三是∠PFE＝90°，先证明PF＝DH＝2tcm，再由PF∥AD证明△FCP∽△ACD，得＝，则＝，可求得t＝．【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由平移得EF∥BC，DH＝2tcm，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AD⊥BC，AD＝8cm，BC＝10cm，∴∠AHE＝∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝5cm，∴AH⊥EF，∴EH＝FH，当t＝2时，DH＝2×2＝4（cm），∴AH＝DH＝4cm，∵EH＝FH，AH＝DH，∴四边形AEDF为平行四边形，∵AD⊥EF，∴四边形AEDF为菱形．（2）解：如图2，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵AH＝（8﹣2t）cm，BC＝10cm，BP＝3tcm，∴EF＝＝＝（4﹣t）cm，∴×2t×（4﹣t）＝10，解得t1＝t1＝2，∴BP＝3×2＝6（cm），∴线段BP的长是6cm．（3）解：存在，当∠PEF＝90°时，如图3，∵∠PEH＝∠DHE＝∠HDP＝90°，∴四边形PDHE是矩形，∴PE＝DH＝2tcm，∵PE∥AD，∴△EBP∽△ABD，∴＝，∴＝，解得t＝0，不符合题意，舍去；当∠EPF＝90°时，如图4，作EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，∵∠PGE＝∠EIP＝90°，∴∠GPE＝∠IFP＝90°﹣∠IPF，∴△GPE∽△IFP，∴＝，∵EF∥BC，EG⊥BC于点G，FI⊥BC于点I，HD⊥BC于点D，∴EG＝FI＝DH＝2tcm，∵EG∥AD，∴△EBG∽△ABD，∴＝，∴BG＝•EG＝×2t＝tcm，∵∠B＝∠C，∠BGE＝∠CIF＝90°，EG＝FI，∴△BEG≌△CFI（AAS），∴BG＝CI＝tcm，∴＝，整理得t（183t﹣280）＝0，解得t1＝，t2＝0（不符合题意，舍去）；当∠PFE＝90°时，如图5，∵∠PFH＝∠DHF＝∠HDP＝90°，∴四边形PDHF是矩形，∴PF＝DH＝2tcm，∵PF∥AD，∴△FCP∽△ACD，∴＝，∴＝，解得t＝，综上所述，此时刻t的值是或．。
余姚市子陵中学九年级上第一次月考数学试卷含答案
浙江省余姚市子陵中学九年级上学期第一次月考数学试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、使二次根式1-x 有意义的x 的取值范围是（ ▲ ）A. 1≠xB. 1>xC. 1≤xD. 1≥x 2、二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A 、（－1，3）B 、（1，3）C 、（1，－3）D 、（－1，－3）3、一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外都相同。
从中任意摸出一个球，是红球的概率为（ ▲ ） A.61 B. 31 C. 21 D. 32 4、已知一元二次方程01582=+-x x 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ▲ ）A 、13B 、11或13C 、11D 、12 5、把抛物线2yx 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ▲ ） A ．2(1)3y x B ．2(1)3y x C ．2(1)3yxD ． 2(1)3yx6、一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为（ ▲ ） A. 16cm 或6cm B. 3cm 或8cm C. 3cm D. 8cm7、如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝x 4-和y ＝x2的图象交于点A 和点B 、若点C 是 x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为（ ▲ ）A 、3B 、4C 、5D 、68、当22<<-x 时，下列函数：①x y 2=；②x y 312+-=；③xy 6-=；④862++=x x y ，函数值y 随自变量x 增大而增大的有（ ▲ ） 第7题图 A 、①② B 、①②③ C ①②④ D 、①②③④9、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长 的百分数相同，则平均每月的增长（ ▲ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%10、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折 痕为DG 的长为（ ▲ ） A ．3 B ．234 C ．2 D ．523第12题图 第17题图11、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ▲ ）A.17B.18C.19D.2012、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，若)0(a 2≠=++k k c bx x 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是（ ▲ ）A 、3-<kB 、3->kC 、3<kD 、3>k 二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 13、抛物线y =x 2－2x －3的顶点坐标是 ▲14、从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为 ▲ ． 15、若A 为ky x=的图象在第二象限的一点，AB ⊥x 轴于点B ，且AOB S ∆＝3，则k 的值为 ▲ ． 16、将抛物线y =ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,－1),那么移动后的抛物线的解析式为 ▲ ． 17、如图，直线y=43-x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ▲ ． 18、将抛物线y 1＝x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象.P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ． 三、解答题（本大题共有8小题，共78分）19、（本题6分）如图，已知△AB C ． 第18题图（1）用直尺和圆规作出⊙O ，使⊙O 经过A ，C 两点，且圆心O 在AB 边上．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠CAB ＝22.5°,∠B ＝45°且⊙O 的半径为1，试求出AB 的长.20、（本题8分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的对称轴是直线x =2，且图象过点（1，2），与一次函数y =x +m 的图象交于（0，－1）．(1)求两个函数解析式；(2)求两个函数图象的另一个交点． xyA By=xP x=t O S 1S 2第11题A B C B D B A ＇ 第10题图 G21、（本题8分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字。
湖南省郴州市桂阳县第二中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案)
2022年下期九年级数学月考试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共24分)1．反比例函数6y x=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +，12x x 的值分别是（ ） A ．1和6B ．5和6-C ．5-和6D ．5和63．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，694．点P （2，﹣2）在反比例函数my x=的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A ．（﹣4，1）B ．（1，4）C ．（﹣2，﹣2）D ．（4，12）5．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．()22001242x += B ．()22001242x -= C ．()20012242x += D ．()20012242x -=6．某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．50y x =+B ．50y x =C ．50y x=D ．50=x y 7．若关于x 的一元二次方程()21220m x x -+-=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．12m >C ．12m >且1m ≠ D ．1m ≠8．如图，正比例函数y x =和反比例函数(0)ky k x=≠的图象在第一象限交于点,A 且2,OA =则k 的值为 （ ）A ．22B ．1C ．2D ．2二、填空题(共24分)9．如果关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是___． 10．如图，点A 是反比例函数3y x=图像上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形ABOC 的面积为______．11．将方程（3x －1）（2x ＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，//AB x 轴，//BC y 轴，反比例函数2y x =与2y x=-的图像均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是____ ．13．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．14．已知方程1(3)320k k xx --++=｜｜．当k =_____时，为一元二次方程． 15．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．16．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.三、解答题(共82分)17．(本题6分)已知反比例函数y ＝kx的图象经过点（﹣3，2）．（1）求它的解析式；（2）在直角坐标中画出该反比例函数的图象； （3）若﹣3＜x ＜﹣2，求y 的取值范围．18．(本题6分)已知反比例函数21k y x+=． （1）如果这个函数的图像经过点（2，-1），求k 的值；（2）如果在这个函数图像所在的每个象限内， y 的值随x 的值增大而减小，求k 的取值范围．19．(本题6分)用适当的方法解下列方程： (1)()22242x x x -=- (2)()()124x x -+=20．(本题8分)用指定方法解下列方程： (1)2x 2-5x +1＝0(公式法)； (2)x 2-8x +1＝0(配方法)．21．(本题8分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？22．(本题8分)小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：小敏：两边同除以()3x -，得33x =-，则6x =．小霞：移项，得()()23330x x ---=，提取公因式，得()()3330x x ---=．则30x -=或330x --=， 解得13x =，20x =．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．23．(本题8分)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()a P K 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这一函数的解析式．(2)当气体的体积为3l m 时，气压是多少(3)当气球内的气压大于150a Kp 时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少24．(本题10分)已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．25．(本题10分)已知图中的曲线是反比例函数y＝5mx（m为常数）图象的一支．（1）根据图象位置，求m的取值范围；（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．26．(本题12分)如图，A（a，at－2）、B（b，bt－2）是反比例函数kyx=（k≠0）的图象上两点，直线AB与x轴交于点C、与y轴交于点D．(1)求点D坐标；(2)用t的代数式表示a+b；(3)若A（-3，1）①已知M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2）是线段AB上两点，MN：AB=3：4，且线段MN与双曲线kyx=无交点，求x1的取值范围；②若经过点D的直线y=mx+n与反比例函数kyx=的图像分别交于P、Q两点，且△POQ内有横坐标和纵坐标都为整数的点共5个，直接写出m的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据反比例函数的图像与性质直接判断即可． 【详解】解：60k =-<，∴反比例函数6y x=-的图像在第二、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握k 的正负对图像的影响是解决问题的关键． 2．D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=6， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca．3．A【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解：2850x x --= 移项得285x x -=， 配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21． 故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 4．A【分析】根据点（2，-2）在反比例函数my x=的图象上，可以求得m 的值，从而可以判断各个选项中的点是否在该函数的图象上，本题得以解决．【详解】解：∵点P （2，﹣2）在反比例函数my x=的图象上， ∴4m =-A. （﹣4，1），4m =-，故该选项正确，符合题意，B. （1，4），4m =，故该选项不符合题意，C. （﹣2，﹣2），4m =，故该选项不符合题意，D. （4，12），2m =，故该选项不符合题意， 故选A【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数m ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值是关键． 5．A【分析】平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：()22001242x +=， 故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 6．C【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=． 故选：C【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 7．A【分析】先根据一元二次方程的定义可得1m ≠，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：方程()21220m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，10m ∴-≠，解得1m ≠，又关于x 的一元二次方程()21220m x x -+-=没有实数根，∴此方程根的判别式48(1)0m ∆=+-<，解得12m <， 综上，实数m 的取值范围是12m <， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8．D【分析】根据点A 在直线正比例函数上，则它的坐标应满足直线的解析式，故点A 的坐标为(,)x x ．再进一步利用了勾股定理，求出点A 的坐标，根据待定系数法进一步求解．【详解】解：作AD x ⊥轴于D ．设A 点坐标为(,)x x ，在Rt OAD 中，222OA OD AD =+即2222x x =+， 解得12x =-、22x ∴A 点坐标为(2,2)， 将(2,2)A 代入数ky x=得：222k =． 故选：D ．【点睛】此题考查了正比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数解析式，构造直角三角形求出点A 坐标是解题关键，构思巧妙，难度不大． 9．9m ≤【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：0,≥ 从而列不等式可得答案． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根， 240,b ac ∴=-≥1,6,,a b c m ==-=()26410,m ∴--⨯⨯≥ 436,m ∴≤9.m ∴≤故答案为：9.m ≤【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10．3【分析】根据反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义即可解决．【详解】由反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义知，四边形ABOC 的面积为33k ==， 故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，掌握它是解决问题的关键． 11． 3x 2＋5x －3＝0 3 5【分析】将方程展开，化简后即可求解．【详解】将3124()()2x x =－＋，开展为一般形式为：23530x x +=－； 则可知一次项系数为5，二次项系数为3， 故答案为：23530x x +=－，3，5．【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题的关键． 12．8【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．【详解】解：根据题意：观察图形可得，图中以B 、D 为顶点的小阴影部分，绕点O 顺时针旋转90°，正好和以A 、C 为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，反比例函数2y x =与2y x=-的图像均与正方形ABCD 的边相交， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为：8．【点睛】本题主要考查反比例函数图像和性质的应用，关键是要分析出其图像特点，再结合性质作答．13．84【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x ﹣4）．可列方程为：x 2+（x ﹣4）2＝10x +（x ﹣4）﹣4解得：x 1＝8，x 2＝1.5（舍），∴x ﹣4＝4，∴10x +（x ﹣4）＝84．答：这个两位数为84．故答案为：84【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．14．-1【分析】根据一元二次方程的定义得到30k -≠且12k -=，解得即可．【详解】根据题意得，30k -≠且12k -=，解得k =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．15．23-或1-##1-或23- 【分析】将12x =和23x =分别代入20ax bx c ++=，可求得a ，b ，c 之间的等量关系，代入一元二次方程2930ax bx c -+=即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程20ax bx c ++=的解为12x =，23x =，∴420930a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，解得56b a c a =-⎧⎨=⎩， ∴一元二次方程2930ax bx c -+=可化为291560ax ax a ++=，0a ≠，∴291560x x ++=，解得123x =-，21x =-． ∴一元二次方程2930ax bx c -+=的解为23-或1-． 故答案为：23-或1-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得a ，b ，c 之间的等量关系，从而代入求解．16．（12-x ）（8-x ）=77【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x 米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．17．（1）y ＝6x-；（2）图象见解析；（3）2＜y ＜3． 【分析】（1）根据反比例函数y ＝k x的图象经过点（﹣3，2），可以求得k 的值，从而可以得到该函数的解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以画出该函数的图象；（3）根据反比例函数的性质可以写出当﹣3＜x ＜﹣2时，y 的取值范围．【详解】解：（1）∵反比例函数y ＝k x的图象经过点（﹣3，2）， ∴2＝3k -，得k ＝﹣6， 即该反比例函数的解析式为y ＝6x-； （2）该函数的图象如下图所示；（3）由图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∵﹣3＜x ＜﹣2，∴2＜y ＜3，即当﹣3＜x ＜﹣2时，y 的取值范围是2＜y ＜3．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象，属于基础题目，比较容易掌握．18．（1）32k=-；（2）12k>-．【分析】（1）将点（2，-1）代入反比例函数解析式即可求出k值；（2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定2k+1>0，进而可得k的取值范围．【详解】（1）把x=2，y=-1代入21kyx+=的左右两边解得32k=-；（2）∵在这个函数图像所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，∴2k+1>0，解得：12 k>-．【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．19．(1)x1＝23，x2＝2(2)：x1＝﹣3，x2＝2【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，，x2＝2；解得：x1＝23(2)解：（x﹣1）（x+2）＝4，整理，得x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．20．(1)x1，x2(2)x1＝x2＝【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据配方法，可得方程的解．（1）解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x=∴x1，x2（2）解：移项得281-=-，x x并配方，得2816116-+=-+，x x即(x-4)2＝15，两边开平方，得x＝∴x1＝x2＝【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式．21．每千克应涨价10元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，每天盈利8000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意得：()()10500108000x x +-=，解得110x =，230x =，要使顾客得到实惠，应取x =10，答：每千克应涨价10元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．22．两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：正确解答：()()2333x x -=-移项，得()()23330x x ---=，提取公因式，得()()3330x x ⎡--⎤⎣⎦-=，去括号，得()()3330x x --+=，则30x -=或60x -=，解得13x =，26x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 23．（1）60P V= ；（2）60KPa ；（3）30.4m 【分析】（1）设k P V =，A （0.5,120）在反比例函数k P V =上，即可求得反比例函数解析式； （2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P 即可；（3）依题意P≤150，即60150V ≤，解不等式即可． 【详解】（1）设k P V=， ∵A （0.5,120）在反比例函数k P V =上 ∴1200.5k = ∴k ＝60 ∴60P V=； 故答案为：60P V= （2）当V ＝1m 3时，601P ==60（KPa ）； 故答案为：60KPa（3）当P ＞150KPa 时，气球将爆炸，∴P≤150， ∴60150V≤， 解得V 60150≥=0.4（m 3）． 故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m 3）．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．24．（1）1秒；（2）不可能，见解析【分析】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解；（2）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5﹣x ）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）由（1）同理可得12（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．25．（1）m＞5；（2）m＝13．【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围；（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出12（m﹣5）＝4，解得即可．【详解】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5；（2）∵S△OAB＝12|k|，△OAB的面积为4，∴12（m﹣5）＝4，∴m＝13．【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k的几何意义得出12（m−5）＝4是解题的关键．26．(1)D（0，-2）(2)2 a bt +=(3)①-3< x 1<-2；②12 25m-≤-＜【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+，用待定系数法可得直线AB 的解析式为2y tx =-，即可求出直线AB 与y 轴的交点D 的坐标；（2）根据(2)A a at ，－、(2)B b bt ，－在反比例函数上，即可得(2)(2)a at b bt =－－，通过因式分解即可求解；（3）①根据A 点坐标即可求出反比例函数解析式以及B 点坐标，即可求得直线AB 的解析式，则直线AB 与坐标轴的交点C 、D 的坐标可求，进而可求出AB 、AD 、BC 以及MN 的长度，即有BC =AD =MN ，在MN 移动的过程中，根据M 与A 点重合、N 点与B 点重合即可求出1x 的取值范围；②根据A 点坐标代入k y x =，可得3y x=-，再根据D 点坐标可得n =-2，即直线的解析式为：2y mx =-，且显然m ＜0，则直线2y mx =-与x 轴的交点为2(,0)m，P 、Q 均在反比例函数3y x=-上，△PQO 中有5个整点坐标，结合A (-3,1)、B (1,-3)的坐标可知，这个五个整点坐标为：(0,1)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)-----、、、、， 则有：254m-≤-＜，即m 的取值范围可求． （1） ∵(2)A a at ，－、(2)B b bt ，－，∴设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴则有22ka m at kb m bt +=⎧⎨+=⎩－－，解得：2k t m =⎧⎨=⎩－， 即设直线AB 的解析式为2y tx =-，令x =0，y =-2，∴D 点坐标为(0,-2)；（2）∵(2)A a at ，－、(2)B b bt ，－在反比例函数上，∴(2)(2)a at b bt =－－，化简得：()[()2]0a b t a b -+-=，∵a ≠b ，∴()20t a b +-=，根据题意t ≠0， ∴2a b t+=；（3）①∵A (-3,1)，∴a =-3，t =-1，即设直线AB 的解析式为2y x =--，令x =0，y =-2；令y =0，x =-2，∴C (-2,0)，D (0,-2)， ∵2a b t+=， ∴b =1，即B (1,-3)，∴AB =MN ＝利用勾股定理有：AD =BC ==即有AD =MN =BC ，当点M 与点A 重合时，1x =-3，点N 与D 点重合，即坐标为（0，-2）；当点N 与点B 重合时，点M 与C 点重合，即坐标为（-2，0），则1x =-2，又因为线段MN 与双曲线y ＝k x无交点， 则-3<1x <-2；②将A 点坐标代入k y x =，可得：3y x=-， ∵D 点坐标为：(0,-2)，且在直线y mx n =+，∴n =-2，∴即直线的解析式为：2y mx =-，且显然m ＜0，则直线2y mx =-与x 轴的交点为2(,0)m， ∵P 、Q 均在反比例函数3y x=-上， ∴△PQO 中有5个整点坐标，结合A (-3,1)、B (1,-3)的坐标可知，∴这个五个整点坐标为：(0,1)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)-----、、、、， 则有：254m-≤-＜， 解得：1225m -≤-＜，即答案为：1225m -≤-＜． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解函数的解析式、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识，根据△PQO 中有5个整点坐标，结合A (-3,1)、B (1,-3)的坐标得到254m -≤-＜是解答本题的关键．。
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1 2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3﹣5x2=x B． +x2﹣1=0 C．ax2+bx+c=0 D．4x﹣1=0 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 4．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 5．顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论： ①△APD≌△AEB； ②EB⊥ED； ③点B到直线AE的距离为；
④S△APB+S△AOD= 其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分）ABCD（2） 7．如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根是1，那么k= ，另一个根x= ． 8．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是 cm，面积是 cm2． 9．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ． 10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，BC=6，CD=5，则AB= ，AC= ． 2
11．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 度． 12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以对角线的一半为边依次作平行四边形，则S= ，S= ．
三、解答题（每小题6分，共30分） 13．解方程 （1）（x﹣3）2=25 （2）x2﹣x﹣1=0． 14．解方程 （1）x2﹣6x+8=0 （2）x2﹣5x﹣6=0．
15．已知方程x2+2x﹣1=0的两根分别是x1，x2，求的值． 16．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣3=0有实数根，求k的取值范围． 17．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
四、（每小题8分，共32分） 3
18．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 19．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD点于点F． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AFB的度数．
20．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE． （1）求证：BF=DF； （2）求证：AE∥BD； （3）若AB=6，AD=8，求BF的长．
21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同． （1）求降低的百分率； （2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？ （3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？
五、解答题（共1小题，满分10分） 22．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE=BC，求证：四边形ABFC为矩形； （3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形． 4
六、（本题12分） 23．【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）证明：AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 5
2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分） 1．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3﹣5x2=x B． +x2﹣1=0 C．ax2+bx+c=0 D．4x﹣1=0 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确； B、不是整式方程，故错误； C、方程二次项系数可能为0，故错误； D、方程未知数为1次，故错误； 故选A．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【考点】一元二次方程的解． 【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k． 【解答】解：由题意知， 关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2， 故4﹣2+k=0， 解得k=﹣2， 故选A．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，是中心对称图形． 故选：D．
4．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【考点】矩形的性质；平行四边形的性质． 6
【分析】根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题． 【解答】解：矩形的特性是：四角相等，对角线相等． 故选C．
5．顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【考点】中点四边形． 【分析】四边形EFGH是菱形；根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证EF=FG=GH=EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定． 【解答】解：四边形EFGH是菱形；理由如下： 连接BD，AC． ∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴AC=BD，
∴EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC
同理，FG=BD，FG∥BD， EH=BD，EH∥BD， ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故选C．
6．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论： ①△APD≌△AEB； ②EB⊥ED； ③点B到直线AE的距离为；
④S△APB+S△AOD= 其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7
【考点】四边形综合题． 【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； ②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证； ③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； ④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可； 【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠EAB=∠PAD， 又∵AE=AP，AB=AD， ∵在△APD和△AEB中，
， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ②∵△APD≌△AEB， ∴∠APD=∠AEB， ∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立； ③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE=AP，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，
∴BF=EF=， ∴点B到直线AE的距离为． 故此选项不正确； ④如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE=AP=1， ∴EP=， 又∵PB=， ∴BE=， ∵△APD≌△AEB， ∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP= S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+ ）﹣××=+．