_福建省福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分).
福建省福鼎一中高一数学 培优教材(4)素材 新人教版
福鼎一中高一年段数学培优教材第四讲 三角函数一、基础知识：1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2k k Z ππ+∈tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形。
2． 求三角函数最值的常用方法：① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值。
② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。
③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x by c x d+=+）可利用正弦函数的有界性来求。
④ 利用函数的单调性求。
二、综合应用：1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3α=时，tan )f α=_________________2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________4． 函数5cos23sin ,[,]63y x x x ππ=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________6． 函数sin (0)2cos xy x xπ=<<+的最大值是_________________7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4y a bx π=+的最小正周期。
福建省福州第一中学2024-2025学年高一上学期第一学段模块考试数学试卷
福建省福州第一中学2024-2025学年高一上学期第一学段模块考试数学试卷一、单选题1．命题“2,220x x x ∀∈++>R ”的否定是（）A ．2,220x x x ∃∈++<RB ．2,220x x x ∃∈++≤RC ．2,220x x x ∀∈++≤R D ．2,220x x x ∀∉++>R2．若函数()f x =，则函数()1f x -的定义域为（）A ．()1,1-B ．[]2,0-C ．[]1,1-D ．[]0,23．已知,,R a b c ∈，则22ac bc >是a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知341.1a =，341.2b =，431.2c =，则（）A ．b a c<<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知x ，y ∈R ，满足224x y +=，则下列结论一定成立的是（）A ．2x y +<B ．23x y +<C ．1xy ≥D ．448x y +≥6．已知函数()24,0,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若()f x 在[)3,t -上的值域为[]0,4，则实数t 的取值范围为（）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．[]22-,D ．[)2,47．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()10f =，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()1122120x f x x f x x x ⋅-⋅>-成立，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()()1,00,1-U C ．()1,+∞D ．()()1,01,-⋃+∞8．设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()y f x =的“稳定区间”，已知区间[]1,2024为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围为（）A ．2024202412,2⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．202412,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．202412,2⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、多选题9．若函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 可能是（）A ．()32f x x =B ．()23f x x =C ．()f x D ．()22xf x -=10．已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A ．1220x x ++=B ．1231x x -<<<C ．124x x ->D ．1230x x +<11．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且当10x -<<时()0f x <，则（）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()1,1-上单调递增D ．111342f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题12．计算：13lg 252lg 20.125-++=.13．设函数()1f x x =+，()3xg x m =+，若对任意的[]10,1x ∈，存在[]00,1x ∈，使得()()10f x g x =，则实数m 的取值范围是.14．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为．四、解答题15．已知全集U =R ，集合1282xA x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}04B x x =<<.(1)求()U A B ð；(2)设集合{}23,C x a x a a =<<+∈R ，若()U C A C = ð，求实数a 的取值范围.16．设函数()()212f x ax a x a =+-+-（0a <）.(1)若关于x 的不等式()2f x ≥-有实数解，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()1f x a <-.17．某汽车制造企业计划在2025年利用新技术生产某款新能源电动汽车.通过市场分析，生产此款新能源电动汽车全年需投入固定成本300万，每生产x 百辆新能源电动汽车，需另投入成本()f x 万元，且()f x =210100,040100007019500,40x x x x x x ⎧+<<⎪⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每一百辆新能源电动汽车总售价700万元，且全年生产的新能源电动汽车当年能全部销售完.(1)求出2025年的利润()W x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式.（注：利润＝销售额－成本）；(2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润、18．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()2e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)根据定义证明函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增；(3)若不等式()()2140ag x g x --<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知非空数集A 中最大元素为M ，最小元素为m ，定义集合A 的差值()d A M m =-，当集合A 中只有一个元素时，规定()0d A =.(1)若集合{}7,8,9,10A =，集合20242022202520232022,20232024B ⨯⨯⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，分别求()d A ，()d B ；(2)若{}|116A x x =∈≤≤N ，{},,,i i i i i A a b c d A =⊆，i j A A ⋂=∅（i ，1j =，2，3，4，i j ≠），1234A A A A A = ，求()()()()1234d A d A d A d A +++的最大值，并写出取最大值时的一组集合1A ，2A ，3A ，4A ；(3)若1A ，2A ，3A ，…，n A 是正整数集合*N 的非空真子集，1A ，2A ，3A ，…，n A 的元素个数均不相同，且()()()()12n d A d A f d n A =+++ ，当()67f n =时，求n 的最大值.。
福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列{}n a 的前四项，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．2n a n=B ．22n a n =-C ．32n a n =-D ．33n a n =-2．过点()2,1-且方向向量为1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线的一般式方程为（）A ．240x y --=B ．250x y --=C ．240x y -+=D ．250x y -+=3．设为等比数列{n a }的前n 项和,47270a a +=,则42S S ＝A ．10B ．9C ．-8D ．-54．已知点()2,2A ，()1,3B -，若过点()0,1P -的直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．()3,42⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(]3,4,2-∞-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．在数列{}n a 中，11a =，23a =，24n n a a ++=，则20232024a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知等差数列{}n a ，23a =，59a =，则数列{}22nn a +的前n 项和为（）A ．()222413nn S n n =++-B ．221nn S n =+-C ．()22213nn S n =+-D ．()24413nn S n =+-7．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8:7.若设明间的宽度为a ，则该大殿9间的总宽度为（）A ．478a⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．471418a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知正项数列{}n b 满足11b =，2111n n n nb b nb ++=+，则下列错误的是（）A．2b B ．{}n b 是递增数列C ．111n n b b n +-<+D ．1011nn k b k +=>+∑二、多选题9．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足222n S n n =++，则下列结论正确的是（）A ．5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩B ．1516a a +=C ．{}n S 是单调递增数列D ．67891085a a a a a ++++=10．下列说法正确的是（）A ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}1n n a a +也是等比数列B ．若{}n a 是公差为负的等差数列，n S 是其前n 项和，若130S =，则6S 和7S 是n S 的最大值C ．过点()1,1且在两坐标轴上截距相等的直线方程为2x y +=D ．直线1:22a l y x a -=+-不过第四象限，则1a ≤或2a >11．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 过点2,3，与两坐标分别交于A ，B 两点，设三角形OAB 面积为()0m m ≠，则下列选项中是真命题的是（）A ．存在正实数m ，使得满足条件的直线直线l 恰有一条．B ．存在正实数m ，使得满足条件的直线直线l 恰有两条．C ．若存在三条直线，使得三角形ABO 面积为m ，则12m =．D ．若存在四条直线，使得三角形ABO 面积为m ，则24m >．三、填空题12．若(),5A m ，(),1B n ，()1,3C n +三点共线，则,m n 满足的关系式为．13．在各项不为零的等差数列{}n a 中，22023202420250a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20242024b a =，则202320252b b ⋅=．14．已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)()*,2N m m m ⎡∈⎣内项的个数，则5b =，不等式12062m m b b +->成立的m 的最小值为．四、解答题15．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点()2,3A -，其方向向量也是直线10x +=的法向量．(2)经过点()1,2A ，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4．16．已知等差数列{}n a 公差为d ，0d ≠，且27a =，1a ，4a ，5a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n b a =-+，数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*141N n n S a n +=+∈．设12n n n b a a +=-．(1)求证：数列{}n b 是等比数列，并求n b ．(2)求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n a ．(3)求数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．已知函数()()()4log 101x f x x x +=>+的图像上有一点列()(),N n n n p x y n +∈，点n p 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且()1432,N n n x x n n -+=+≥∈，13x =．(1)求数列{}n x 的通项公式．(2)对任意的正整数n ，不等式334n t y ->都成立，求实数t 的取值范围．(3)设四边形11n n n n p Q Q P ++的面积是n S ，求证：12311118233n S S S nS +++< ．19．数列{}n a 、{}n b 满足：{}n b 是等比数列，12a =，24b =且()()1122238N n n n n a b a b a b a b n ++++=-+∈ ．(1)求n a 、n b ．(2)求集合()(){}0,100,N i i A x x a x b i i +=--=≤∈中所有元素的和．(3)对数列{}n c ，若存在互不相等的正整数()12,,2j k k k j ≥ ，使得12j k k k c c c +++ 也是数列{}n c 中的项，则称数列{}n c 是“和稳定数列”．试别断数列{}n a 、{}n b 是否是“和稳定数列”，并说明理由．。
福建省福鼎一中高一数学 培优教材(6) 素材 新人教版
福鼎一中高一年段数学培优教材第六讲 平面向量（2）例1：（1）点P 是ABC ∆的外心，且PA PB PC +=，则角C 的大小为_________________（2）在ABC ∆中，||||||0BC GA AC GB AB GC ++=，其中G 为ABC ∆的重心，则ABC ∆的形状是___（3）设ABC ∆的外心为O ，H 是它的垂心，求证：OH OA OB OC =++（4）已知O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，求证：点O 是ABC ∆的垂心。
（5）O 为ABC ∆所在平面内的一点，则O 为ABC ∆的垂心的充要条件是：OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅例2：已知向量(cos a θ= ，sin )θ，(cos b β= ，sin )β，且a与b 之间有关系式：|||ka b a kb +=-，其中k ＞0． （1）证明：()()a b a b +⊥- ；（2）试用k 表示a b ⋅例3：已知平面上的三个向量,,a b c的模均为1，它们相互之间的夹角都是120， （1） 求证：()a b c -⊥ （2）若||1,()ka b c k R ++>∈，求k 的取值范围。
例4：已知向量11),(,2a b =-=，存在实数,k t ，使得向量2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，（1）试将k 表示为t 得函数()k f t =；（2）求2k t t+得最小值。
例5．已知向量(cos ,sin ),(sin 2,1cos2),(0,1),(0,)a x x b x x c x π==-=∈ （1）向量,a b是否共线？（2）求函数()||()f x b a b c =-+⋅的最大值。
例6：在Rt △ABC 中，已知90A ∠=， BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ BC与的夹角θ取D何值时BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值.强化训练：1．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状是（ ）A 等边三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形2．已知,,为非零的平面向量. 甲：,:,a b a c b c ⋅=⋅=乙则甲是乙的 （ ）条件A ．充分条件但不是必要B ．必要条件但不是充分C ．充要条件D ．既非充分也非必要3．已知平面上直线l 的方向向量43(,),55e =- 点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是'O 和'A ，则O A λ''=e，其中λ= （ ）A ．115 B ．115-C ．2D ．－24．已知12,e e 是夹角为45的两个单位向量，12122,2,a e e b e e =+=- 则,a b 的夹角为___________ 5．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a b ⨯ 为向量a 与b 的“向量积”，a b ⨯是一个向量，它的长度||||||sin a b a b θ⨯= ，如果||3,||2,2a b a b ==⋅=- ，则||a b ⨯=______________6．对于n 个向量123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k ⋅⋅⋅，使得11220n n k a k a k a ++⋅⋅⋅+= 成立，则称向量123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅是“线性相关”的。
福鼎一中入学考试题及答案
福鼎一中入学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项是福鼎一中校训的核心？A. 勤奋、求实、创新B. 爱国、敬业、诚信C. 团结、进步、奉献D. 诚信、友善、和谐答案：A2. 福鼎一中成立于哪一年？A. 1905年B. 1912年C. 1921年D. 1930年答案：B3. 福鼎一中位于哪个省份？A. 福建省B. 浙江省C. 广东省D. 江苏省答案：A4. 福鼎一中占地面积是多少？A. 100亩B. 200亩C. 300亩D. 400亩答案：C5. 福鼎一中有多少个教学班？A. 30个B. 40个C. 50个D. 60个答案：B6. 福鼎一中图书馆藏书量是多少？A. 10万册B. 20万册C. 30万册D. 40万册答案：B7. 福鼎一中有多少个实验室？A. 10个B. 15个C. 20个D. 25个答案：C8. 福鼎一中有多少个运动场地？A. 5个B. 8个C. 10个D. 12个答案：B9. 福鼎一中有多少个学生社团？A. 20个B. 25个C. 30个D. 35个答案：C10. 福鼎一中每年举办多少次文化节？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 福鼎一中校歌的名称是《________》。
答案：《福鼎一中之歌》12. 福鼎一中现任校长的名字是________。
答案：（具体校长姓名）13. 福鼎一中每年都会举办________活动，以培养学生的实践能力和创新精神。
答案：科技节14. 福鼎一中的学生宿舍共有________层。
答案：615. 福鼎一中的学生食堂提供________种不同的菜品。
答案：2016. 福鼎一中的学生每学期需要完成________次社会实践活动。
答案：217. 福鼎一中的学生每学年需要参加________次运动会。
答案：118. 福鼎一中的学生每学期需要完成________次志愿服务活动。
答案：119. 福鼎一中的学生每学期需要完成________次艺术展演活动。
福建省宁德市福鼎市第一中学2024届高三上学期第一次考试数学试题
围是2, 4
12．设函数 f x 的定义域为 R，且满足 f x f 2 x ，f x f x 2 ，当 x 0,1
时， f x x ln x ，则（ ）．
A． f x 是周期为 2 的函数
B． f 2022 0
C． f x 的值域是e,e
D．方程
ef
x
1在区间 0,
试卷第 4 页，共 5 页
(2)若 f (x) bx 在[1, ) 上恒成立，求 b 的取值范围. 试卷第 5 页，共 5 页
福建省宁德市福鼎市第一中学 2024 届高三上学期第一次考 试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合
A
x
N
|
x x
2 3
0,
B
{x
|
x1或xFra bibliotek2} ，则
A ðR B
（
）
A．
B．1
C．0,1
图像不经过第象限. 15．给出下列四个命题：
①函数 y 1 x2 为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数 x2 2
y
1
2x
的值域是 0,
；④若函数
f
x
的定义域为1, 4，则函数
f
2x
的定义域为
0, 2 ；其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）.
16．设函数 f (x) 与 g(x) 是定义在同一区间a,b 上的两个函数，若对任意的 x a,b ，
(1)求图中 a 的值； (2)根据已知条件完成下面 2 2 列联表，并判断能否有 90% 的把握认为能否晋级成功与 性别有关； 晋级情况性别 晋级成功 晋级失败 总计
2024届建省宁德市福鼎一中中考数学模拟试题含解析
2024届建省宁德市福鼎一中中考数学模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是()A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，32．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于( )A．18 B．22 C．24 D．464．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程2-+=的两实数根是x3x m0A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝35．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（）A．15 m B．53m C．103m D．123m6．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣8B．7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣107．某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理，化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是( )A．19B．14C．16D．138．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是() A．8 B．9 C．10 D．129．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数 4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，610．如图，扇形AOB中，OA=2，C为弧AB上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）A．233πB．2233π-C．433πD．4233π-二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在边长为1正方形ABCD中，点P是边AD上的动点，将△PAB沿直线BP翻折，点A的对应点为点Q，连接BQ、DQ．则当BQ+DQ的值最小时，tan∠ABP＝_____．12．不等式组512324x xx x+>+⎧⎨+⎩的解集是__．13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．14．如图，路灯距离地面6m，身高1.5m的小明站在距离灯的底部（点O）15m的A处，则小明的影子AM的长为________m．15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．16．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）列方程或方程组解应用题：为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米？18．（8分）计算：19．（8分）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与z轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝52，请求出该抛物线的顶点坐标．20．（8分）某校对六至九年级学生围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．如图是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有200名学生，如图是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请估计全校六至九年级学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？21．（8分）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D求证：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长．22．（10分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2．求这条直线的函数关系式及点B的坐标．在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？23．（12分）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．24．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于A（2，3），B（6，n）两点．分别求出一次函数与反比例函数的解析式；求△OAB的面积．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】根据题意可得方程组2127a ba b+=⎧⎨-=⎩，再解方程组即可．【题目详解】由题意得：21 27 a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得：31 ab=⎧⎨=-⎩，故选A．2、A【解题分析】A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，故选A.【题目点拨】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.3、B【解题分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE 的面积.【题目详解】解：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22.故选B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.4、B【解题分析】试题分析：∵二次函数2y x 3x m -+＝（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，∴213m 0m 2-+=⇒=．∴2212x 3x m 0x 3x 20x 1x 2-+=⇒-+=⇒==，．故选B ． 5、A【解题分析】过C 作CE ⊥AB ，Rt △ACE 中，∵∠CAD=60°，AC=15m ，∴∠ACE=30°，AE=12AC=12×15=7.5m ，CE=AC•cos30°=15×32=1532， ∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，∴∠BCE=60°，∴BE=CE•tan60°=1532×3=22.5m ， ∴AB=BE ﹣AE=22.5﹣7.5=15m ，故选A ．【题目点拨】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案． 6、C【解题分析】本题根据科学记数法进行计算.【题目详解】因为科学记数法的标准形式为a×10n (1≤|a|≤10且n 为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×910﹣， 故选C.【题目点拨】本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.7、A【解题分析】作出树状图即可解题. 【题目详解】解：如下图所示一共有9中可能,符合题意的有1种,故小华和小强都抽到物理学科的概率是1 9 ,故选A.【题目点拨】本题考查了用树状图求概率,属于简单题,会画树状图是解题关键.8、A【解题分析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．9、A【解题分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【题目详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【题目点拨】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．10、D【解题分析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×32=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=21202360π⨯﹣2×12×2×3=43π﹣23．故选D．点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、2﹣1【解题分析】连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为2，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．解直角三角形得到AP＝2﹣1，根据三角函数的定义即可得到结论．【题目详解】如图：连接DB，若Q点落在BD2，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．∵∠PDQ＝45°，∴PD2PQ，即1﹣x2，∴x2﹣1，∴AP＝2﹣1，∴tan∠ABP＝APAB＝2﹣1，故答案为：2﹣1．【题目点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．12、2≤x＜1【解题分析】分别解两个不等式得到x＜1和x≥2，然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集．【题目详解】解：512(1) 324(2)x xx x+>+⎧⎨+⎩，解①得x＜1，解②得x≥2，所以不等式组的解集为2≤x＜1．故答案为2≤x＜1．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．13、1【解题分析】分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．详解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=1°，故答案为：1．点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14、1．【解题分析】易得：△ABM ∽△OCM ，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【题目详解】解：根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM=+ ， 即1.5615AM AM=+， 解得AM=1m ．则小明的影长为1米．故答案是：1．【题目点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．15、3【解题分析】试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣30）（30﹣x ）=﹣（x ﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．16、甲．【解题分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定,方差越大，数据不稳定，则为新手.【题目详解】∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，∴甲的方差大于乙的方差.故答案为：甲.【题目点拨】本题考查的知识点是方差，条形统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，条形统计图.三、解答题（共8题，共72分）17、15千米．【解题分析】首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x 千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间=自驾车方式所用的时间×4，根据等量关系，列出方程，再解即可． 【题目详解】：解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x 千米，根据题意列方程得： 10x =4×1045x 解得：x =15，经检验x =15是原方程的解且符合实际意义．答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米．18、-1【解题分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、分母有理化、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．【题目详解】原式=1﹣4﹣+1﹣=﹣1．【题目点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂的意义、绝对值的意义是解答本题的关键.19、 (1)见解析；(2)顶点为（52，﹣14） 【解题分析】（1）根据题意，由根的判别式△＝b 2﹣4ac ＞0得到答案；（2）结合题意，根据对称轴x ＝﹣2b a得到m ＝2，即可得到抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x +6，再将抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x +6变形为y ＝x 2﹣5x +6＝（x ﹣52）2﹣14，即可得到答案. 【题目详解】 （1）证明：a ＝1，b ＝﹣（2m +1），c ＝m 2+m ，∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m +1）]2﹣4×1×（m 2+m ）＝1＞0，∴抛物线与x 轴有两个不相同的交点．（2）解：∵y ＝x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ，∴对称轴x ＝﹣2b a ＝(21)21m -+⨯＝212m +， ∵对称轴为直线x ＝52， ∴212m +＝52， 解得m ＝2，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x +6，∵y ＝x 2﹣5x +6＝（x ﹣52）2﹣14， ∴顶点为（52，﹣14 ）． 【题目点拨】本题考查根的判别式、对称轴和顶点，解题的关键是掌握根的判别式、对称轴和顶点的计算和使用.20、（1）50（2）36％（3）160【解题分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加即可得到答案；（2）根据条形图可直接得到最喜欢篮球活动的人数，除以（1）中的调查总人数即可得出其所占的百分比；（3）用样本估计总体，先求出九年级占全校总人数的百分比，然后求出全校的总人数；再根据最喜欢跳绳活动的学生所占的百分比，继而可估计出全校学生中最喜欢跳绳活动的人数．【题目详解】（1）该校对50名学生进行了抽样调查．()2本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，18100%36%50⨯=， ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．（3）()130%26%24%20%-++=，20020%1000÷=人，8100%100016050⨯⨯=人．答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．21、（1）证明见解析；（2）4.【解题分析】(1)首先证明△ABC ≌△DFE 可得∠ACE=∠DEF ，进而可得AC ∥DE ；(2)根据△ABC ≌△DFE 可得BC=EF ，利用等式的性质可得EB=CF ，再由BF=13，EC=5进而可得EB 的长，然后可得答案．【题目详解】解：(1)在△ABC 和△DFE 中AB DF A D AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFE （SAS ），∴∠ACE=∠DEF ，∴AC ∥DE ；(2)∵△ABC ≌△DFE ，∴BC=EF ，∴CB ﹣EC=EF ﹣EC ，∴EB=CF ，∵BF=13，EC=5，∴EB=4，∴CB=4+5=1．【题目点拨】考点：全等三角形的判定与性质．22、（1）直线y=32x+4，点B 的坐标为（8，16）；（2）点C 的坐标为（﹣12，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M 的横坐标为6时，MN+3PM 的长度的最大值是1．【解题分析】（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）分若∠BAC=90°，则AB 2+AC 2=BC 2；若∠ACB=90°，则AB 2=AC 2+BC 2；若∠ABC=90°，则AB 2+BC 2=AC 2三种情况求得m 的值，从而确定点C 的坐标；（3）设M （a ，14a 2），得MN=14a 2+1，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到x=2166a -，从而得到MN+3PM=﹣14a 2+3a+9，确定二次函数的最值即可． 【题目详解】（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，21(2)14y =⨯-=,A 点的坐标为（-2，1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b ，将（0，4），（-2，1）代入得421b k b =⎧⎨-+=⎩解得324k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴y ＝32x ＋4 ∵直线与抛物线相交，231424x x ∴+= 解得：x=-2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B 的坐标为（8，16）；（2）存在．∵由A (－2，1)，B (8，16)可求得AB 2＝22(82)(161)=325 .设点C (m ，0)，同理可得AC 2＝(m ＋2)2＋12＝m 2＋4m ＋5，BC 2＝(m －8)2＋162＝m 2－16m ＋320，①若∠BAC ＝90°，则AB 2＋AC 2＝BC 2，即325＋m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320，解得m ＝－12； ②若∠ACB ＝90°，则AB 2＝AC 2＋BC 2，即325＝m 2＋4m ＋5＋m 2－16m ＋320，解得m ＝0或m ＝6；③若∠ABC ＝90°，则AB 2＋BC 2＝AC 2，即m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320＋325，解得m ＝32，∴点C 的坐标为(－12，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)（3）设M (a ，14a 2)，则MN 2114a =+， 又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴32x ＋4＝14a 2， ∴x =2166a - ， ∴点P 的横坐标为2166a -， ∴MP ＝a －2166a -， ∴MN ＋3PM ＝14a 2＋1＋3(a －2166a -)＝－14a 2＋3a ＋9＝－14 (a －6)2＋1， ∵－2≤6≤8，∴当a ＝6时，取最大值1，∴当M 的横坐标为6时，MN ＋3PM 的长度的最大值是123、（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱【解题分析】试题分析：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．试题解析：解：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，依题意，得：2319035x y x y +=⎧⎨=⎩解得5030x y =⎧⎨=⎩：． 答：篮球每个50元，排球每个30元．（2）设购买篮球m 个，则购买排球（20-m ）个，依题意，得：50m +30（20-m ）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵篮球的个数必须为整数，∴m只能取8、9、2．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．以上三个方案中，方案①最省钱．点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．24、(1) 反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=﹣12x+1．(2)2.【解题分析】（1）根据反比例函数y2=mx的图象过点A（2，3），利用待定系数法求出m，进而得出B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）设直线y1=kx+b与x轴交于C，求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC，列式计算即可．【题目详解】（1）∵反比例函数y2=mx的图象过A（2，3），B（6，n）两点，∴m=2×3=6n，∴m=6，n=1，∴反比例函数的解析式为y=6x，B的坐标是（6，1）．把A（2，3）、B（6，1）代入y1=kx+b，得：2361k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+1．（2）如图，设直线y=﹣12x+1与x轴交于C，则C（2，0）．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=12×2×3﹣12×2×1=12﹣1=2．【题目点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△AOC﹣S△BOC是解题的关键．。
福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题
福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22log 2,20A x x B x x x =≤=--<，则A B =U （ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(],4∞-D ．(]1,4-2．已知函数24231f x x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则()2f 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．33．已知命题:,e 0x p x ax ∃∈-=R 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．()[),0e,∞∞-⋃+B ．(](),0e,∞∞-⋃+C ．()0,eD ．[)0,e4．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“第二次出现奇数点”，则（ ） A ．A 与B 不独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P BC ．A 与B 不互斥D ．1()3P AB =5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，()20f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则()0f x >的解集为（ ） A ．()(),20,2-∞-U B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞U6．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园L L ”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y70.618⎫≈⎪⎪⎝⎭的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形EFCD 为黄金矩形．若黄金矩形EFCD 的边CF 的长度超过11m ，但不超过12m ，则该古建筑的地面宽度（即线段BC 的长）可能为（ ）A ．22mB ．30mC ．32mD ．33m8．设正实数a 、b 、c 满足2240a ab b c -+-=，则当cab 取得最小值时，236a b c+-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线1AB 与EF 所成的角的大小为60o B ．直线1//AD 平面DEFC ．平面DEF ⊥平面11BCC BD ．直线CD 与平面DEF 所成角的正弦值为1310．已知定义在R 上的函数()y f x =满足，1()2f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，当1[0,]2x ∈时，()0f x '>，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．函数()y f x =为周期函数C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．41()()33f f <11．若x ，y 满足28()23x y xy +-=，则（ ）A ．x y -≤B ．x y -≥C ．1xy ≤D ．34xy ≥-三、填空题12．对a ，b ∈R ，记{}()(),max ,,a a b a b b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数1()max{}|1|,()2xf x x =+的最小值为. 13．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到如下数据：若由最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为$64y bx=+$，并据此计算在样本点()2,60处的残差为0，则51i i y ==∑．14．曲线36()33x x f x -=+的对称中心为.四、解答题15．等比数列{}n a 中，12a =，且2134,,a a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列2121log log n n nb a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项的和n T .16．某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两次检测是否合格相互独立.(1)求每生产一台该产品是合格品的概率；(2)据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X 表示这2台产品的获利之和，求X 的分布列及数学期望.17．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围. 18．已知函数1e ()ln (R)xa f x x a x x=--+∈.(1)当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当0a >时，讨论()f x 的单调性； (3)若11,()1x f x x x>≤--恒成立，求a 的取值范围. 19．已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n =L *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B 是集合n S 的“期待子集”.(1)试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；(2)若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”； (3)证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”.。
福建省宁德市福鼎市第一中学2024届高三上学期第一次考试数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的每日平均温度均不低于.现有甲､乙､丙三地连续5天的每日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.其中肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2. 已知复数z满足，则复数z 在复平面内对应的点Z 位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4.如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）A．B．C．D．5. 在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）A．B．C．D．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．7. 已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）A．B．C．D．8. 将棱长为2的正四面体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积是（ ）A．B．C．D．9. 质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）A ．事件、、两两互斥B ．事件与事件对立福建省宁德市福鼎市第一中学2024届高三上学期第一次考试数学试题 (2)福建省宁德市福鼎市第一中学2024届高三上学期第一次考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题C．D ．事件、、两两独立10. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ）A．B．C．D．11.已知一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，方差为，中位数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，方差为，中位数为m ，则下列判断一定正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，方程有两个不等实数根，则下列选项正确的有（ ）A．B ．的取值范围是C．D．13.设是公差不为0的等差数列，其前项和为，且，，，成等比数列，则__________.14. 已知且，则的最小值是_______，的最小值是_______．15. 如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．16. 如图，四边形中是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.（1）点在上，若平面，求点的位置；（2）求直线与平面所成角的余弦值.17. 第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查.某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：人户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系?(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户.若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，记所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635其中，.18. 已知函数，其中(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；(2)若，求函数在上的最小值；19. 已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．Ⅰ求抛物线C的方程以及焦点坐标；Ⅱ若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．20. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设的图象在点处的切线与的图象相切，求的值．21. 目前，大多省份的教师资格证的考证规定是：考试分为笔试和面试两项，笔试需要考两门或三门科目，只有笔试科目全部合格且在有效期（2年）内才能参加面试，笔试和面试都合格后就可以取得教师资格证．当次笔试科目或面试不合格的，可以继续报名参加下次的笔试或面试，直至在已合格科目有效期内笔试科目及面试全部合格．每年共安排两次考试，分为上半年的笔试与面试，下半年的笔试与面试．(1)小王从师范大学毕业后，准备参加教师资格证考试．已知小王参加的笔试科目有三门，且每门科目合格的概率都是，参加面试合格的概率为．笔试的每门科目及面试都是相互独立的．若小王在2023年上半年报名参加教师资格证考试，求小王到2023年年底能取得教师资格证的概率．(2)某机构抽取参加考前辅导和未参加考前辅导的考生各60名作为样本，已知其中参加考前辅导的考生中面试合格的占比为，面试合格的考生中参加考前辅导的占比为．请填写下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断面试合格与参加考前辅导有关？面试合格面试不合格合计参加考前辅导未参加考前辅导合计附：，．0.0500.0100.0013.841 6.63510.828。
福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次考试数学试题 (无答案)
2024-2025学年高三上第二次数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设甲：，乙：，则（ ）A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充分不必要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件3．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则（）A ．B ．C．D ．6．函数的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中R (){}2log 21A x x =-<∣{}4x B y y e ==+∣A B⊆B A⊆A B =R()R A B A= ð()()sin πcos π0αβ-++=22sin sin 1αβ+=()4ln f x x a x x=--a ()2,+∞()4,+∞()0,4(0,4]3log 2a =4log 3b =23c =a c b <<c a b<<a b c<<b c a<<()cos ,tan tan 2m αβαβ-==()cos αβ+=3m-3m -3m3m()21cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()21y f x =-()1,1-()21y f x =+()211y f x =++()21y f x =-()211y f x =+-Q L K A 11Q AK L βα=．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ）A ．存在和，使得不变B ．若，则最多可变为原来的2倍C ．若，则最多可变为原来的2倍D ．存在和，使得变为原来的2倍二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分．9．已知函数有两个极值点，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图所示，正方体的棱长为$1，E ，F$分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（）A ．四边形一定为矩形B ．平面平面C ．四棱锥体积为D ．四边形的周长最小值为11．已知的图象上能找到两个不同点、关于原点对称，则称、为函数的一对“友好点”，则下列正确的有（ ）A ．不可能有三对“友好点”B ．若，则有两对“友好点”C ．若仅有一对“友好点”，则D ．当时，对任意的，总是存在，使得三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．0,0,0,1,1A K L αβ>>>>>A K L 2α>2β>Q 4αβ⋅=Q 22222αβαβ+=Q 13α<<13β<<Q ()31f x x ax =--12,x x 12x x <0a >()()121f x f x >->()()121f x f x +=-()()122f x f x +=-ABCD A B C D ''''-AA 'CC 'EF BB 'DD 'M N EMFN EMFN ⊥DBB D ''A MENF -16EMFN ()()2ln 1,0,0x x x f x ax x x ⎧->=⎨--≤⎩A B A B ()y f x =()y f x =1ea <()y f x =()y f x =0a ≤1ea =10x <20x >()()120f x f x +=12．已知，则______．13．已知函数有唯一零点，则______．14．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤．15．（13分）如图1所示，现有一块边长为的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2．则容器的容积是容器底面边长的函数．（1）写出函数的解析式并注明定义域；（2）求这个容器容积的最大值．16．（15分）设函数．（1）求；（2）在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，且为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值．18．（17分）已知函数．（1）证明：曲线在处的切线过原点；33cos ,π,2π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cos 2α=()()2223x x f x a e e x --+=++--a =()3,01,ln ,1,x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩12,x x 120x x ≤<()()12f x f x =216x x -1.5m 3m V m x ()()2πsin cos 22f x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭π24f ⎛⎫⎪⎝⎭ABC △A B C a bc cos bB=()f A P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD E PC PA ∥BDE 1,PD AD BD AD BD ===⊥F PB DF BDE 30︒:PF FB ()2ln 1f x x ax x a =+-++()y f x =1x =（2）当时，讨论的单调性；（3）若，求实数的取值范围．19．（17分）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．（1）分别求在处的泰勒展开式；（2）若上述泰勒展开式中的可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；（3）当时，求证：．（参考数据）0a ≥()f x ()e x f x ≤a ()y f x =0x x =()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+-+-++-+ ()()n f x ()f x n ()f x 0x x =e ,sin ,cos x x x 0x =x i πe 10+=i 30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin e 1x x >+5ln 0.92≈。
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福建省福鼎一中高一数学竞赛辅导（函数部分）一、选择题：1．设有三个函数，已知第一个函数是y=f （x ），它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x —y=0对称，则第三个函数的解析式为A ．y=f —1（x ）B ．y=—f —1（x ）C ．y=f （x ）D ．y =—f （x ）2．已知x 1, x 2是关于x 的方程x 2-（k-2）x+k 2+3k+5=0的两个实根，那么x 12+x 22的最大值为A ．19B ．17C ．D ．183．已知f （x ）=，则和f （）+f （）+…+f （）+f （）+f （）+…+f （）+…+f （）+f （）+…+f （）的值等于A ．10000B ．5000C ．1000D ．1004．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910---- 等于 A ．125 B ．21 C ．2011D ．1075．如图：已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，交于顶点A 的三条棱长别为AD=3，AA 1=4,AB=5.一天，小强观察到在A 处有一只蚂蚁,发现顶点C 1处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是A ．74B ．25C ．54D ．1036．如图:正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°7．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心ABC D1A 1B 1C 1D8．△ABC 的三边a 、b 、c 分别对应角A 、B 、C ，若lgsinA ，lgsinB ，lgsinC 成等差数列，则两直线a A y A x l =+sin sin :21与直线c C y B x l =+sin sin :22的位置关系是A ．不垂直的相交B ．平行C ．垂直相交D ．重合二、填空题：1．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc|c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则（m+n ）2004＝_________. 2．Let f be a function such that22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers xand y , and 0)1(≠f , then (2007)f is equal to _____________.3．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。
那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。
4．已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R ∈时，()()_______,f g x = ()()_______.g f x =5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费为[])150.0(06.1)(+⨯⨯=m m f ， 其中m ＞0，[]m 表示不超过m 的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为 元6．函数121log sin()23y x π=+,的单调递增区间是 .7．当02x π≤≤时,函数2()22cos f x x x m ++的最大值为2008,则它的最小值等于 .8．函数)2(,3)2(,2)(235-=++++=f f bx x ax x x f 则若的值等于 . 三、解答题：1．甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？2．长方形四边的长度都是小于10的整数（单位:厘米）,这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.3．已知函数f（x）定义在非负整数集上，并且对于任意正整数x，都有f（x）=f（x f x ，如果f（3）=2007，求f（2007）4．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx（a、b是常数且a≠0）满足条件：f（2）＝0且方程f（x）＝x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m、n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为［m，n］和［2m，2n］，如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．5．在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D 中，E F 、分别是'',BC A D 的中点，（1）求直线'AC DE 与所成角；（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角，（3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的锐角参考答案一、选择题1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D 二．填空题 1．0 2．2006.5 3．1，54．[(]1f g x = [()]0g f x = 5．3.71 6．(4,4]33k k ππππ-+7．2005 8．9 三．解答题：1．解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨⎧-=-=.16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4310959≤≤n ．所以整数10=n ．故⎩⎨⎧==.12,8y x 2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除， 又∵1≤x≤9，1≤y≤9，∴2 ≤x+y≤18，得x+y=11∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1），∴9x+1是一个完全平方数， 经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2. 3．解：∵对于任意正整数x ，有 f （x ）=f （x-1）+f （x+1），∴f （x+1）=f （x ）+f （x+2），f （x+2）=f （x+1）+f （x+3） 将上面三式相加，得f （x+3） = - f （x ）∴f （x+6）=f[（x+3）+3]= -f （x+3）=f （x ），∴f （x ）是以6为周期的周期函数∴f （2007）=f （6×334+3）=f （3）=20074．分析：本题是一道确定函数解析式、定义域、值域为一体的综合题，应从f （2）＝0和f （x ）＝x 有等根着手，进行各个击破．解：（1）∵方程ax 2＋（b －1）x ＝0（a ≠0）有等根，∴1004)1(2＝＝－－＝b a b ⇒⨯∆．又f （2）＝0，∴4a ＋2b ＝0．∴21＝－a ．∴x x x f ＋＝－221)(． （2）∵2121)1(21)(2≤＋－＝－x x f ，∴212≤n ，即41≤n ．又二次函数21)1(212＋－＝－x y 的对称轴方程为x ＝1， ∴当41≤n 时，f （x ）在［m ，n ］上为增函数，设m 、n 存在，则⎪⎩⎪⎨⎧n n f m m f 2)(2)(＝＝ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒．＝－或＝＝－－，＝－或＝＝－－200212002122n n n n m m m m∵41≤n m ＜，∴⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝－02n m即存在实数m ＝－2，n ＝0使f （x ）的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］．5．解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2a AC a a a DE a ∴=-=-，'''cos ,15AC DE AC DE AC DE∙∴<>==∙ 故'AC DE 与所成的角为 （2）,ADE ADF ∠=∠ 所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线， 故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''cos ,DA DB DA DB DA DB∙∴<>==∙故AD 与平面'B EDF所成角为arccos3由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2a A A a B a a D a E a 所以平面ABCD 的法向量为'(0,0,)m AA a ==下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =，由'(,,0),(0,,)22a a ED a EB a =-=- ，'0210n ED y z n EB ⎧∙==⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩∙=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=cos ,m n n m m n∙∴<>==∙， 所以平面'B EDF 与平面ABCD所成的角arccos6。