立体几何平面的基本性质
几何概念与性质
几何概念与性质几何学是数学的一个重要分支，研究的是空间和形状的性质及其相互关系。
在几何学中，有一些基本的概念和性质是我们必须要掌握的。
本文将介绍几何学中的一些重要概念和性质，帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
平面几何中的基本概念和性质：1. 点、线、面：几何学中最基本的概念，点是没有大小和方向的，线是由无数个点组成，面是由无数个线组成。
2. 直线与射线：直线是由无数个点组成的，在两个点之间还有无数个点。
而射线是由一个起点和一个方向组成的，从起点出发，沿着指定的方向一直延伸。
3. 线段与弧：线段是由两个端点组成的线，弧是由圆上的两点确定的一部分。
4. 角的概念与性质：角是由两条有共同端点的线段组成的，可以用数字度数来表示。
角的性质有：对顶角互相等于、共同边上的内角互相补角等。
立体几何中的基本概念和性质：1. 点、线、面、体：在立体几何中，点、线和面的概念与平面几何中相同。
体是由无数个面组成的空间实体，比如球体、立方体等。
2. 点与面的关系：直线上的一个点可以确定一个面，一个面外一点可以确定一条直线。
3. 平行与垂直：平行线是在同一个平面内，永远不相交的线。
而垂直线是相交于一个角为90度的线。
4. 正交与余弦：正交是指两个向量的夹角为90度，余弦是两个向量之间的夹角的三角函数。
以上是几何学中的一些基本概念和性质，它们在解决几何问题时起着重要的作用。
掌握了这些基本概念和性质，我们就能更好地理解和应用几何学知识。
除了基本概念和性质之外，几何学中还有一些重要的定理和推理方法，如勾股定理、相似三角形的性质、平行线的性质等。
这些定理和性质是几何学中的重要工具，可以帮助我们解决各种几何问题。
总之，几何学是数学中的一个重要分支，掌握几何学的基本概念和性质对我们理解和应用几何学知识至关重要。
通过学习和熟练运用这些概念和性质，我们能够更好地解决几何问题，进一步提升我们的数学能力。
一、平面的基本性质
平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。
中职数学立体几何演示文稿ppt(共37张PPT)
（3）
9.1 平面的基本性质
数学立体几何一直是数学的一大难点。因为它要求我们有立体感，在一个 平面内把几何图形的立体感想象出来。
不怕麻烦的心理
灵活应用的头脑
仔细计算的能力
立体几何
（1）判定两个平面是否相交；
（2）可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线， 则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.
9.1 平面的基本性质
▐ 例题
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
（1） 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面。直线与点A共属于平面α且平面α唯 一。
（1）
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的基本性质3推论2
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
（2）
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的基本性质3推论3
（3）经过几何里的平面的特征：
1. 平 2. 无限延展 3. 不计大小 4. 不计厚薄
( 不是凹凸不平 ) ( 没有边界 ) ( 无所谓面积 ) ( 没有质量 )
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的画法
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横 边长等于其邻边长的 2 倍。
你会发现实际中的应用实在是太多了，在我们生活中是随处可见的！
航天轨道 ▼
机械设计
▲
房屋设计图纸 ▲
衣服款式立体图形
立体几何
▐ 几何体的概念
一切物体都占据着空间的一部分，如果我们只考虑物体的形状和 大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体 .
立体几何的基本概念和性质
立体几何的基本概念和性质立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和其性质。
在立体几何中，我们常常会遇到一些基本概念和性质，下面将会对这些内容进行论述。
一、基本概念1. 点：几何中最基本的概念，表示空间中一个位置。
2. 线段：由两个点确定的线段，有起点和终点。
3. 直线：无限延伸的线段，没有起点和终点。
4. 射线：有一个起点，无限延伸的线段。
5. 面：由三个或三个以上的点定出的平面。
常见的有平行四边形、三角形、矩形等。
6. 多面体：由四个或四个以上的面所围成的空间图形。
常见的有立方体、四面体、正六面体等。
二、性质1. 平行性质：在立体几何中，平行的概念十分重要。
当两条直线在平面上不存在交点时，这两条直线被称为平行。
同理，当两个平面没有交点时，这两个平面也被称为平行。
2. 垂直性质：两条直线或两个平面相交时，如果相交的角度为90度，则被称为垂直。
垂直性质在立体几何中也是常见的性质。
3. 对称性质：在立体几何中，对称是指一个图形或物体相对于某个轴、面或点成镜像重合。
对称性质可以用来判断图形或物体是否对称。
4. 切线性质：当直线与曲线相切时，这条直线被称为切线。
切线性质在立体几何中也有一定的应用。
5. 体积性质：体积是指三维空间中一个物体所占据的空间大小。
在立体几何中，我们会计算各种多面体的体积，用来描述其大小。
6. 表面积性质：表面积是指一个物体外部所占据的空间大小。
在立体几何中，我们也会计算各种多面体的表面积。
立体几何的基本概念和性质对于我们理解三维空间中的图形和物体非常重要。
通过掌握这些概念和性质，我们可以更好地理解和解决与立体几何相关的问题。
总之，立体几何的基本概念包括点、线段、直线、射线、面和多面体，而性质则包括平行性质、垂直性质、对称性质、切线性质、体积性质和表面积性质等。
这些基本概念和性质是我们学习和应用立体几何的基础，通过深入理解和研究，我们可以更好地掌握立体几何的知识，并应用于实际问题的解决中。
数学拓展模块一下册电子课件第六章立体几何
当我们说“有且只有一条直线”或“确定一条直线”时，都是把重合的
直线看成一条直线．
6.1
平面的基本性质
静止的水面、课桌面、黑板面、教室的地面等等，它们有一个共同的特征：
平坦、没有起伏．由大量这样的实际例子抽象出平面的概念，它是平坦而且可
• •
以无限伸展的图形，并且没有厚度．平面是空间的又一个基本要素，平面通常
由于四边形1 1 是平行四边形，因此 ∕∕ 1 1 .
于是根据命题2得，1 1 ∕∕ .
6.3
两条异面直线所成
的角，异面直线垂
直的判定
6.3
两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定
探索
如图6.3-1所示，在棱长为1的正方体 −
1 1 1 1 中，由于 ⊂平面1 1 ，1 ∈平面
两条直线的位置关系
在上面的例子中，直线
1 是异面直线，观察这一对直线的特点，猜想
出下述命题，并且可以证明这个命题为真．
命题1 平面内一点与平面外一点的连线，与
平面内不经过该点的直线是异面直线．
已知：平面α内一条直线1 ，点 ∈ ，且 ∉
1 ，点 ∉ ，如图6.2-2所示．
求证：直线与1 是异面直线．
个接触点，共有不在同一条直线上的三个点，它们确定一个平面，从而自
行车立得稳．
6.1
例
证明
平面的基本性质
证明：两两相交且不过同一个点的三
条直线共面．
己知：如图6.1-9所示，三条直线两
两相交，交点分别为，，.
求证：直线，，共面．
由于相交直线与确定一个平面，
于是点 ∈ ，且点 ∈ ，
此时称直线在平面内或平面经过直线，如图
6.1-3所示．
1,平面的基本性质
§9.1平面的基本性质【复习目标】1．归纳《立体几何》整章的知识结构，抽象其所蕴涵的数学方法和数学思想；2．罗列“直线与平面”内容的主要定义、判定定理、性质定理和重要结论，要求背诵；3．掌握平面的基本性质，并能运用这些性质解决关于点线共面、两个平面的交线等问题。
【内容归纳】1.知识点2.两个主要的位置关系3.主要的数学思想与方法：（1）化归的思想：一方面指直线与直线，直线与平面，平面与平面这三个不同层次的平行与垂直关系依其它的条件相互转化，而且平行和垂直还可以交互作实用文档用产生交互关系；另一方面指将复杂的空间图形化归为基本的空间图形，或将空间问题化归为平面几何的问题来解决，在立体几何的综合计算中，这一点尤为重要；（2）分类讨论的思想；空间的元素的关系按某种标准进行分类，是位置关系论证的基础；（3）几何计算中应注意“割”、“补”、“等积变换”等转化手段。
4.学习中的能力培养（1）丰富的空间想象能力：会识图、利用图形思考，掌握空间图形的简单变换并进行必要的转化；或借助于典型几何体——正四面体、正方体等，它们是空间几何体的基本结构，往往隐含于一些复杂的几何体中，善于从纷乱的空间图形中，抓住基本结构，常常是解立体几何的关键；（2）严密的逻辑思维和论证能力：想得清楚，说得明白，写得严谨；（3）文字语言、图形语言、符号语言的运用与转化的能力：（4）计算能力：掌握计算空间的距离和角的常用方法，做到“作图合理、论证到位、计算准确，方法合理。
5．平面的基本性质（三个公理及三个推论）（1）如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这点的公共直线；（3）经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面；推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面；实用文档实用文档推论3：经过两条平行直线，有且仅有一个平面；【典型例题】例1 判断下列命题的正误：（1） 首尾相结的四条线段在同一个平面内；（ ）（2） 三条互相平行的线段在同一个平面内；（ ）（3） 两两相交的三条直线在同一个平面内；（ ）（4） 若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一个平面内；（ ）（5） 互相垂直的两条直线，有且仅有一个公共点；（ ）（6） 经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；（ ）（7） 垂直于同一条直线的两条直线平行；（ ）（8） 两平行线之一垂直于一直线，则另一条也垂直于此直线；（ ）（9） 若,A l A α∈∈，,B l B α∈∈，则l α⊂；（ ）（10） 若,A A αβ∈∈，,B B αβ∈∈，则AB αβ⋂=；（ ）（11） 若,l A l α⊄∈，则A α∉；（ ）（12） 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.（ ） 例2 已知正方体1AC 中，E 、F 分别为11C D 、11C B 中点，AC ∩BD=P ，Q EF C A = 11，求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线。
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念与性质总结
高中数学的归纳平面几何与立体几何的基本概念与性质总结高中数学中的几何是一门重要的学科，包括平面几何和立体几何两个部分。
在学习几何的过程中，归纳总结基本概念与性质是非常重要的，本文将对高中数学中的归纳平面几何与立体几何的基本概念与性质进行总结。
一、平面几何平面几何是研究二维平面上的图形和性质的学科。
在高中数学中，平面几何主要包括以下几个方面的内容：点、线、角、三角形、四边形、圆等。
1.1 点在平面几何中，点是最基本的元素，用大写字母表示，例如点A、点B。
点没有大小和方向，它只有位置。
1.2 线线是由无数个点连在一起形成的，用小写字母表示，例如线段AB。
线可以延伸成无穷长的直线，也可以闭合成曲线。
1.3 角角是由两条射线共享一个端点形成的，用大写字母表示，例如∠C。
角分为钝角（大于180度）、直角（等于90度）和锐角（小于90度）。
1.4 三角形三角形是由三条线段组成的闭合图形，用大写字母表示三个顶点，例如△ABC。
三角形的性质包括内角和为180度、外角等于不相邻内角之和等。
1.5 四边形四边形是由四条边组成的闭合图形，用大写字母表示四个顶点，例如ABCD。
四边形的性质包括内角和为360度、对角线等于另一对对角线的和等。
1.6 圆圆是由平面上所有到一点距离相等的点组成的图形。
用大写字母表示圆心，用小写字母表示半径。
二、立体几何立体几何是研究三维空间中的图形和性质的学科。
在高中数学中，立体几何主要包括以下几个方面的内容：空间基本概念、球、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。
2.1 空间基本概念在立体几何中，空间是三维的，有长度、宽度和高度。
空间中的图形包括点、线、面和体。
2.2 球球是由空间中到一点距离相等的所有点组成的图形。
用大写字母表示球心，用小写字母表示半径。
2.3 棱柱棱柱是由两个平行相等的多边形和它们之间的矩形侧面组成的立体图形。
棱柱的性质包括底面积、侧面积、体积等。
2.4 棱锥棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连接它们的所有边组成的立体图形。
立体几何之平面的性质 空间的两直线学案
§9.1平面的性质 空间的两直线知识要点平面基本性质的三条公理、三条推论，异面直线的概念。
基础训练1．给出下列四个命题①空间四点不共面，则其中任何三点不共线；②空间四点连成空间四边形，则这四点必不共面；③空间四点中有三点共线，则这四点必共面；④空间四点无任何三点共线，则这四点不共面，其中不正确的命题有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．两条直线的位置关系有 ( ) A ．共面、异面、共点、不共点 B ．相交、平行、异面、重合 C ．平行、异面、相交、垂直 D ．相交、平行、异面3．两条异面直线指的是 ( ) A ．在空间不相交的两条直线 B ．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 C ．分别位于两个不同平面内的两条直线 D ．不同在任何一个平面内的两条直线 4．两两相交的四条直线可确定的平面的个数最多是_______个。
5．一个平面可把空间分成______个部分，两个平面可把空间分成_________个部分，三个平面可把空 间分成___________________个部分。
典型例题【例1】如图，空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 为所在边上的点，且EH ∩FG=P ，求证：P 点在直线BD 上。
【例2】若互相平行的n 条直线l 1,l 2,…l n 都与直线l 相交，求证：l 1,l 2,…l n ,l 必共面。
【例3】已知△ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线。
归纳小结1．证明共面、共点、共线的基本方法是：共面——先由有关元素确定一个基本平面，再证其它的点(或线)在这个平面内(或分别过某些点、线确定若干个平面，再证这些平面重合)；共点——先确定一个基本点，再证有关的直线通过该点；共线——先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点。
论证过程都要注意严密性与逻辑性。
2．证明两条直线异面，通常都使用反证法和定理——平面的一条斜线和平面内不过斜足的直线是异面直线A B A l E F G H P A BCQPRα· 《立体几何》练习一一、选择题：1．一条直线和这条直线外不共线的三个点能够确定的平面的个数是 ( ) A ．1或3 B ．4 C ．1或3或4 D ．32．异面直线a,b 分别在平面α和平面β上，α∩β=c ，则直线c ( ) A ．与a,b 都相交 B ．至多与a,b 中的一条相交 C ．与a,b 都不相交 D ．至少与a,b 中的一条相交 3．已知点P 、Q ∈平面α，点M ∈平面β，α∩β=l ，直线PQ ∩l =R ，过P 、Q 、M 的平面为γ，则β∩γ是直线 ( ) A ．PM B ．QM C ．RM D ．PQ4．直线a,b 与异面直线c,d 都相交，则a,b,c,d 四条直线可确定的平面的个数为 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．3个或4个 二、填空题：5．四条直线顺次首尾相接，它们所在的直线最多可确定平面的个数是_______个。
9.6立体几何 (5)平面的基本性质
第5课时平面的基本性质课堂小练2.根据所给图形，用符号语言填空：(1)A ____平面ABC ，A ____平面BCD ； (2)BD ____平面ABD ，BD ____平面ABC ；(3)平面ABC 平面ACD =____，平面____ 平面____BC =.3.若A α∈，B α∈，P AB ∈，则用符号表示点P 与平面α的关系为____.4.若l αβ= ，P α∈，P β∈，则P ____l .5.已知直线12l l ‖，在直线1l 上取3个点，在直线2l 上取2个点，则由这5个点能确定____个平面.6.给定下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；②梯形的4个顶点在同一个平面内；③3条互相平行的直线必共面；④有3个公共点的两个平面重合；⑤空间内有4个点，且任意3点都不共线，则这4个点最多可以确定4个平面.其中正确命题的序号是____.7.如图，已知EF αβ= ，A α∈，B β∈，C β∈，BC 与EF 相交，在图中画出平面ABC分别与α，β的交线，并指出来.8.已知直线l 与三条相互平行的直线,,a b c 都相交.求证：这四条直线共面.9.如图.在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是AB 的中点.作出过三点1D ，1B ，M 的平面与底面ABCD 的交线.第5课时平面的基本性质课堂小练1.M AB ∈，N AB ∉，P ∈平面AC ，Q ∉平面AC ，a b E = ，l ⊂平面α，m ⊄平面α2.(1)∈，∉ (2)⊂，⊄ (3)AC ，ABC ，BCD3.P α∈4.∈5.16.②⑤7.连接CB ，并延长与EF 交于点D ，连接AD ，则平面ABC 与α，β的交线分别为AD ，BC巩固拓展8.提示：先由直线,a b 确定一个平面α，证直线l ⊂面α；同理可证直线,,b c l 共面于平面β.由直线,b l 确定一个平面知α与β重合 9.如图，取AD 中点N ，连接MN 即得。
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体AB CD-ABCD中,O是底面AB CD的中心，M、N分别是棱D D、DC的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于M N.C .垂直于MN，但不垂直于A C.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABC D中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFG H是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形AB CD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABC D中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形A BCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形A B CD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体AB CD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面A C内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所(3)过O作BD1的平行线成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 后，在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形A B CD 、ABEF 所在的平面互相垂直，则异面直线A C 和BF 所成角的大小为 ．3. 在棱长为a 的正方体A B CD －A1B1C 1D 1中，体对角线D B 1与面对角线BC1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___. 5.关于直角A O B 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形A BCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱P A、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
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一、知识点：
1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边
画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分
画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的
对角顶点的字母来表示如平面AC等
3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法）
A
a
Aa
点A在直线a上 aa 直线a在平面内
A
a
Aa
点A不在直线a上 aa直线a与平面无公共点
A
A
点A在平面内 aAaA 直线a与平面交于点A
A
A
点A不在平面内 baA abA 直线a、b交于A点
l
平面、相交于直线l
a
（平面外的直线a）表示a（a）或aA
4 平面的基本性质
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：AABB． 如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无
限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条
过这个公共点的直线
推理模式：AlA且Al且l唯一如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线
的方法．
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：,, ABC不共线存在唯一的平面，使得,,ABC
B
A
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形
如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又
保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一
个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图
形，否则称为空间图形
6公理的推论：
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推理模式：Aa存在唯一的平面，使得A，l
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式：Pba存在唯一的平面，使得,ab
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式：//ab存在唯一的平面，使得,ab
二、基本题型：
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A．∵BA,，∴AB． B．∵aa,，∴a．
C．∵aaA,，∴A． D．∵aaA,，∴A．
2．下列推断中，错误的是（ ）
A．lBlBAlA,,, C．CBACBA,,,,,，且A,B,C不共线,重合
B．ABBBAA,,, D．AlAl,
3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
5．看图填空
（1）AC∩BD= （4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1= （5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=
（3）平面A1C1CA∩平面AC= （6）A1B1∩B1B∩B1C1= 6
6．选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A三角形B菱形 C梯形 D四边相等的四边形
（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个 B 4个C 6个 D 8个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要
7．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
O
1
A
1
D
1
B
1
C
1
O
D
C
B
A
答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
5.⑴O⑵A1B1⑶O⑷OO1⑸B1⑹B1
6. 答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D
7. 证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得,ab
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d
下面用反证法证明直线c：
假设c，则cC,在平面内过点C作cb，
因为b//c，则cc，此与ccC矛盾.故直线c.
综上述，a、b、c、d四线共面.
c'
b
a
d
c
C
B
A