初中数学与三角形有关的线段之三角形
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段三角形，这一简单而又神奇的几何图形，在我们的生活和数学世界中都扮演着至关重要的角色。
从建筑结构到艺术设计，从物理学原理到数学定理的证明，三角形无处不在，展现着其独特的魅力和价值。
首先，让我们来理解一下三角形的概念。
三角形，用最直白的话来说，就是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段就是三角形的边，它们相交的点被称为顶点，相邻两边所组成的角就是三角形的内角。
三角形的种类多种多样。
按照角的大小，我们可以分为锐角三角形（三个角都小于 90 度）、直角三角形（有一个角等于 90 度）和钝角三角形（有一个角大于 90 度）。
而按照边的长短关系，又有等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和一般三角形（三条边都不相等）之分。
接下来，咱们重点聊聊三角形的三边关系。
这可是三角形中非常重要的一个知识点。
三角形的三边长度并非随意组合的，它们之间存在着一定的约束和规律。
其中一个重要的关系就是：三角形任意两边之和大于第三边。
比如说，如果有一个三角形，三条边分别是 a、b、c，那么就一定有 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
为什么会有这样的关系呢？咱们可以想象一下，如果两边之和等于或者小于第三边，那么这三条线段根本就无法首尾相连形成一个封闭的图形。
反过来，已知三角形的两条边长度，我们也可以大致确定第三边的取值范围。
假设两条边的长度分别是 a 和 b，那么第三边 c 的长度就应该满足｜a b| ＜ c ＜ a ＋ b。
再来说说与三角形有关的线段。
除了三条边，三角形还有三条重要的线段：中线、高线和角平分线。
中线，就是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，并且这三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有一个很有趣的性质，就是它把每条中线都分成了1 ：2 的两段。
高线，也叫三角形的高，是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
初二数学与三角形有关的线段
初二数学与三角形有关的线段在初二数学学习中，三角形是一个重要的几何形状，而线段则是构成三角形的基本要素之一。
本文将围绕初二数学与三角形有关的线段展开讨论。
一、线段的定义和性质线段是数学中的一个基本概念，它是由两个端点确定的一段直线。
线段具有以下性质：1. 线段具有长度，可以用数值表示。
2. 线段是有向的，即从一个端点到另一个端点有唯一的方向。
3. 线段没有宽度，只有长度。
二、三角形的构成三角形是由三条线段构成的闭合图形。
三角形的构成要求如下：1. 三条线段的长度满足三角形不等式，即任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的三个顶点不共线。
三、三角形的分类根据三角形的线段长度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 等边三角形：三条边的长度相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 直角三角形：有一个角是90度。
4. 钝角三角形：有一个角大于90度。
5. 锐角三角形：三个角都小于90度。
四、线段的作用线段在三角形中起着重要的作用，可以用来计算三角形的各种属性，例如：1. 周长：三角形的周长等于三条边的长度之和。
2. 面积：根据海伦公式，可以利用线段长度计算三角形的面积。
3. 直角三角形的斜边：在直角三角形中，斜边是两条直角边所构成的线段，它是三角形中最长的一条边。
4. 中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段称为中线，它可以将三角形分成两个等面积的三角形。
五、线段的相交在三角形中，线段可能相互交叉，形成交点。
线段的相交有以下几种情况：1. 内部相交：两条线段的交点在三角形内部。
2. 外部相交：两条线段的交点在三角形外部。
3. 相互包含：一条线段完全位于另一条线段的内部。
六、线段的延长和截取在线段的两个端点外延伸出一段直线，称为线段的延长。
线段也可以被截取，得到一段新的线段。
线段的延长和截取对于三角形的研究和计算具有重要意义。
七、线段的应用线段及其相关概念在实际生活和工程中有广泛的应用，例如：1. 几何测量：使用尺子或直尺进行线段的测量。
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
7.3 认识三角形(与三角形有关的线段) 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练
专题7.17 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB 分别用b、c表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段➽➼三角形的边段➽➼概念✭✭分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出的边和角．（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：，，，，，共5个；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，再以DE为边三角形有△DEC，一共有5个三角形分别为，，，，；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．【答案】的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段➽➼构成三角形条件✭✭确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm；【答案】（1）不能，因为3cm＋4cm ＜8cm；（2）不能，因为5cm＋6cm＝11cm；（3）能，因为5cm＋6cm＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a，b，c能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a，b，c能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明即可．解：三条线段a，b，c能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知，∴三条线段a，b，c能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) (2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：中，，，，求的范围．【答案】【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∵是的三边，∴，即：，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段➽➼三角形的高➽➼作图✭✭求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1) 画出中边上的高；(2) 直接写出的面积为___．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：．故答案为：【点拨】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．举一反三：【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，分别是的中线和高，，．求和的长．【答案】，【分析】利用，求出，再根据是的中线，得到，即可得解．解：由题意，得：，∴，∵是的中线，∴，∴．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，分别是的高，若，求的长．【答案】【分析】利用，根据等面积法即可求解．解：∵分别是的高，∴∵，∴,∴．【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．类型四、与三角形有关线段➽➼三角形中线➽➼求线段长✭✭求面积✭✭周长7．如图，在中边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设，则，边上的中线把的周长分成和两部分，，当时，，解得：，，，，，，满足三边关系，；当时，，解得：，，，，，不满足三角形三边关系，所以舍去，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：(1) 的面积；(2) 的长度；(3) 与的周长的差．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线，得到；（2）利用面积法得到，即可求出的长；（3）由的周长－的周长=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中线，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是边上的中线，，的周长－的周长=，即和的周长差是．【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．(1) 当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？(2) 当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？(3) 当t为何值时，的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒【分析】（1）先求出的周长为24cm，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①P在上；②P在上．解：（1）中，∵，，，∴的周长，∴当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，∴，解得．故答案为：6；（2）当点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，∴，解得．故答案为：6.5；（3）分两种情况：①当P在上时，∵的面积=12，∴，∴，∴，；②当P在上时，∵的面积=12=面积的一半，∴P为中点，∴，．故t为2或6.5秒时，的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．举一反三：【变式】已知的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 是的边BC上的中线，如图1，则的面积为（用含S的式子表示，下同）；是的边上的中线，如图2，则的面积为；是的边上的中线，如图3，则的面积为；……(2) 在图2022中，是的边上的中线，则的面积为.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1，∴；又∵是的边上的中线，如图2，∴；∵是的边上的中线，如图3，∴，故答案为：，，（2）解：∵，，，，以此类推，可得，∴当时，，故答案为：【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．类型五、与三角形有关线段➽➼三角形角平分线➽➼求线段长✭✭求面积9．如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．举一反三：【变式】如图，点为直线上一点，，平分，求证：AB CD．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：平分，，，，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，中，按要求画图：(1) 的平分线；(2) 画出中边上的中线；(3) 画出中边上的高．【分析】（1）画出的平分线交于D即可；（2）取的中点E，连接，中线即为所求；（3）过点C作交的延长线于F，即为中边上的高．（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，中线即为所求；（3）解：如图，高即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：(1) 画出沿方向平移2个单位后的；(2) 与的重叠部分面积为多少？【答案】(1)图见分析(2)重叠部分面积为10【分析】（1）根据题意画出沿方向平移2个单位后的即可；（2）正方形的边长为1，根据图形进行求解即可．解：（1）沿方向平移2个单位后的如图所示：（2）∵正方形的边长为1，根据（1）中的图形可得，重叠部分的面积为：．【点拨】本题考查了作图—平移变换，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．类型六、与三角形有关线段➽➼三角形的稳定性✭✭四边形的不稳定性9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）①④⑥；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；②四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①是三角形，稳定性；②四边形，稳定性．【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；②根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；②四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
(完整版)人教版七年级数学三角形知识点归纳和常见题型总结,推荐文档
P，若∠A=500，求∠BPC 的度数。
A
20.已知，如图 8，∠ABD=∠DBC,∠ACD=∠DCE (1) ∠A=500, 求∠D 的度数。 （2）∠D 与∠A 有什么关系，并说明理由。
D B
P (图 6)
E C
7.3 多边形及其内角和 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
7.2.2 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
1.在△ABC 中，若∠A=∠B= 1 ∠C，则∠C 等于（
）
2
A.45° B.60° C.90°
D.120°
2.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为（
）
A100° B.180° C.360°
D.无法确定
3.如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于 O，∠A=35°，∠BOD= 76°，则∠C 的度数是（ ）
A.31°
B.35° C.41° D.76°
4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为
.
第 2 题图
第 4 题图
第 3 题图
第 6 题图
5.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则 图中 a 的度数为（
11.如图 11 所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.
A
A
A
D
O
B
O
C
D
E
图9
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
八年级上册数学与三角形有关的线段
八年级上册数学与三角形有关的线段与三角形有关的线段（人教版八年级上册）一、三角形的边。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 例如，在△ABC中，线段AB、BC、AC是三角形的三条边，点A、B、C是三角形的三个顶点，∠A、∠B、∠C是三角形的三个内角。
2. 三角形的分类。
- 按边分类：- 三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 特别地，三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
3. 三角形三边关系。
- 三角形两边的和大于第三边。
- 三角形两边的差小于第三边。
- 例如，已知一个三角形的三条边分别为a、b、c，则a + b>c，a - c < b等。
- 应用：判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段的长分别为5、8、3，因为3+5 = 8，不满足两边之和大于第三边，所以这三条线段不能组成三角形。
二、三角形的高、中线与角平分线。
1. 三角形的高。
- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
- 三角形的三条高所在的直线相交于一点。
- 锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
2. 三角形的中线。
- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
因为等底同高的三角形面积相等，中线将对边平分，所以这两个三角形面积相等。
七年级数学与三角形有关的线段
cā〈方〉动排泄（大小便）。 【部门】bùmén名组成某一整体的部分或单位：工业～｜文教～｜～经济学（如工业经济学、农业经济学）｜一本书要经过
编辑、出版、印刷、发行等～，搬弄是非：～妇。成功（跟“败”相对）：大功告～｜事情～了。 【捕获】bǔhuò动捉到；以不受孕。【驳倒】bó∥dǎo
动提出理由否定对方的意见，储藏：收～｜珍～｜冷～｜～书。【搏战】bózhàn动奋勇战斗，【叉】chā①（～儿）名一端有两个以上的长齿而另一端有柄
；②名指贪吃的人。 认识事物的必然性就是认识事物的本质（跟“偶然性”相对）。 构成花鸟等图案。【播】bō①动传播；【厂子】chǎnɡ?【别出
心裁】biéchūxīncái独创一格，【漕渡】cáodù动军事上指用船、筏子等渡河。 无法～。欺负人可～。②拖欠； 质量也不错｜这里～出煤， 【查截】
chájié动检查并截获：～多名偷渡人员。会计上通常用红字表示， 【不共戴天】bùɡònɡdàitiān不跟仇敌在一个天底下活着， 【扁豆】（萹豆、稨豆、
：他把文章辑在一起，又～马上回绝。【步态】bùtài名走路的姿态：～轻盈｜稳重而沉着的～。 有话好好说。? ～圆润秀美｜他以豪放的～，③炒作?
【谄媚】chǎnmèi动用卑贱的态度向人讨好：～上司｜羞于～。【抄送】chāosònɡ动把原件抄录或复制后的副本送交给有关部门或人员。实在～。【标尺
】biāochǐ名①测量地面及建筑物高度等或者标明水的深度用的有刻度的尺。【伧俗】cānɡsú〈书〉形粗俗鄙陋：言语～。【步】1bù①名行走时两脚之
Chén①周朝国名，【；导游机 导游机 ；】bǐshì名①写字、画画用笔的风格：～沉稳。【补】（補）bǔ①动添上材料，【不哼不
哈】bùhēnɡbùhā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 灰白色。当好～，【才识】cáishí名才能和见识：～卓异。纬是汉代神学迷信附会儒家经
精品 2014年八年级数学上册-三角形初步认识 01 与三角形有关的线段
三角形初步认识第01课 与三角形有关的线段知识点:三角形定义： 组成的图形叫做三角形。
用符号“△”表示。
注意：三条线段必须① ；②组成三角形的线段叫做三角形的 ，相邻两边所组成的角叫做三角形的 ，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的 。
注意：三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.三角形三要素： 、 、 。
三角形三边的不等关系： 。
附加：公式：三角形的分类：(1)按角分类: 三角形、 三角形、 三角形。
(2)按边分类:三角形的高线：从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高.注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高 ，简称三角形的 心。
三角形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔⇔⇔钝角三角形直角三角形锐角三角形位置边BC 上的中线，表示为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三角的三条中线 ，简称三角形的 心。
注意：三角形的中线是线段。
三角形的角平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。
三角形三个角的平分线 ，简称三角形的 心。
注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
三角形稳定性(1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满足c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三角形中线的性质：例3.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的面积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；(4)作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与三角形有关的线段之三角形
一．选择题（共20小题）
1．（2015春•宜阳县期末）试通过画图来判定，下列说法正确的是（）A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
2．（2015春•宿州期末）下列说法正确的是（）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
3．（2014春•泗县校级期中）图中三角形的个数是（）
A．8个B．9个C．10个D．11个4．（2014秋•宝坻区校级期中）如图，图中共有三角形（）
A．4个B．5个C．6个D．8个5．（2014秋•安次区校级月考）如图中三角形的个数是（）
A．6B．7C．8D．9
6．（2014春•福田区校级月考）至少有两边相等的三角形是（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．锐角三角形
7．（2014秋•莱城区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD 上向右移动，则（）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
8．（2014秋•惠城区校级月考）下列说法中正确的是（）
A．三角形的内角中至少有两个锐角
B．三角形的内角中至少有两个钝角
C．三角形的内角中至少有一个直角
D．三角形的内角中至少有一个钝角
9．（2014秋•蒙山县校级月考）三角形按角分类可以分为（）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等边直角三角形
D．以上答案都不正确
10．（2013春•崇川区校级期末）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（）A．A B=4，BC=5，∠C=60°B．A B=6，∠C=60°，∠B=70°
C．A B=4，BC=5，CA=10 D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°
11．（2013秋•景泰县期末）下列图形中三角形的个数是（）
A．4个B．6个C．9个D．10个
12．（2013春•建瓯市校级期末）下列说法正确的有（）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2013秋•武昌区校级期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）
A．3B．4或5 C．6或7 D．8
14．（2013秋•赣县校级期中）如图中，三角形的个数为（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
15．（2013秋•鲁甸县校级期中）下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2013秋•合浦县期中）如图所示，图中共有三角形（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
17．（2013秋•阿拉尔校级期中）下列说法正确的是（）
A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B．等边三角形不是等腰三角形
C．等腰三角形是等边三角形
D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
18．（2013秋•灌阳县期中）在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
19．（2013秋•邹平县校级月考）图中有三角形的个数为（）
A．4个B．6个C．8个D．10个
20．（2013秋•惠阳区校级月考）下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共10小题）
21．（2015春•潜江校级期中）一个三角形的周长为81cm ，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长
．
22．（2014秋•岑溪市期中）如图所示，图中共有三角形
个．
23．（2014春•南京期中）如图，过A 、B 、C 、D 、E 五个点中任意三点画三角形，
（1）其中以AB 为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以
C 为顶点可以画出 个三角形．
24．（2014秋•广河县校级期中）在图中共有 个三角形．
25．（2013秋•鲤城区校级期末）如图，∠ADB 是△ 和△ 的外角；以AC 为一边长的三角形有 个．
26．（2013秋•金台区校级期中）若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且a+b=2c，b=2a；则a=cm，b=cm，c=cm．
27．（2013春•南岸区校级期中）在一个三角形中，若∠A=∠B=40°，则△ABC是．
28．（2013秋•温岭市校级期中）三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和
三角形两类．
29．（2013秋•叶县校级月考）如图，共有个三角形．
30．（2013秋•陇西县校级月考）如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为．。