正交试验结果的极差分析与方差分析
方差分析
标的观察值，列于表 1-2。
上一张 下一张
表1-2
因素 B 因素 A
A1 A2
B1 x1 1 x 21
B2 x1 2 x 22
Bj
Bb x1b x2b
x i x 1 x 2
x1 j x2 j
Ai
x i1
xi 2
x ij
x ib
xi
Aa
2 2
X i 1 , X i 2 , , X in ，它们来自具有相同方差 ，均 i
2
i , 均为未知，并且不同水平 Ai 下的样本之间相
互独立。 取下面的线性统计模型：
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ), i 1, 2 , , a , j 1, 2 , , n i (1 .1)
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
问：每株粒重是否受到切胚乳的影响？（ 0.05 ）
上一张 下一张
解：设每株粒重为
x i j i ,i
上一张 下一张
二、单因素试验的方差分析
设单因素 A 有 a 个水平 A1 , A2 , , Aa ，在水平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下，进行 n i 次独立试验，得到试验 指标的观察值列于表 1-1。
表１-１
1
A1 A2 Ai Aa x1 1 x 21 x i1 x a1
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
第二章 方差分析方法(第二节)资料
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则
• 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
•
例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因
素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互
作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排 结果如表（试验指标要求越小越好）
（2）正交试验结果计算表
试验号因素
A 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
K1
-5
K2
0
Qi
6.25
Si
3.1
B 1
1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.1
• 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
（2）计算规格化
在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。
由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
5
2(85℃)
什么是正交试验(详解)
什么是正交试验设计正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分析因式设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
例如L9(3^4)它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。
一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×2)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。
编辑本段正交试验设计表正交试验设计表[1]正交试验因素水平表正交试验设计方案及试验结果极差分析表(或指标与因素关系图) 方差分析表(简单分析时可无)正交表的性质(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。
例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。
(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。
例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。
每种对数出现次数相等。
在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
正交实验结果如何进行数据分析[精品文档]
正交实验如何数据分析我们把在试验中考察的有关影响试验指标的条件称为因素（也叫因子），把在试验中准备考察的各种因索的不同状态(或配方)称为水平。
在研究比较复杂的工程问题中，往往都包含着多个因素，而且每个因素要取多个水平。
对于包含五个因素、五个水平的工程项目，理论计算必须进行55＝3125次试验。
显然，所需要的试验次数太多了，工作量太大。
实践告诉我们，合理安排试验和科学分析试验，是试验工作成败的关键。
试验方案设计的好，试验次数就少，周期也短，这样不仅节省了大量人力、物力、财力和时间，而且可以得到理想的结果。
相反，如果试验设计安排的不好，即使进行了很多次试验，浪费了大量材料、人力和时间，也不一定能够得到预期的结果。
正交试验法，就是在多因素优化试验中，利用数理统计学与正交性原理，从大量的试验点中挑选有代表性和典型性的试验点，应用“正交表”科学合理地安排试验，从而用尽量少的试验得到最优的试验结果的一种试验设计方法。
正交试验法也叫正交试验设计法，它是用“正交表”来安排和分析多因素问题试验的一种数理统计方法。
这种方法的优点是试验次数少，效果好，方法筒单，使用方便，效率高。
由于试验次数大大减少，使得试验数据处理非常重要。
我们可以从所有的试验数据中找到最优的一个数据，当然，这个数据肯定不是最佳匹配数据，但是肯定是最接近最佳的了。
用正交表安排的试验具有均衡分散和整齐可比的特点。
均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素和各水平组合在全部水平组合中的分布是均衡的。
整齐可比是说每一因素的各水平间具有可比性。
最简单的正交表L4(23)如表-1所示。
记号L4(23)的含意如下：“L”代表正交表；L下角的数字“4”表示有4横行(简称为行)，即要做四次试验；括号内的指数“3”表示有3纵列(简称为列)，即最多允许安排的因素个数是3个；括号内的数“2”表示表的主要部分只有2种数字，即因素有两种水平l与2，称之为l 水平与2水平。
表L4(23)之所以称为正交表是因为它有两个特点：1、每一列中，每一因素的每个水平，在试验总次数中出现的次数相等。
正交检验的极差分析和方差分析
为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则, 也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小.
4.2.2 参数点估计
由(4-4)可知,上述偏差平方和 令下列各偏导数为零
(i=1,2,…,k)
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
(4-7) (4-8)
4.2.2 参数点估计
并由此得 的估计量
至此,求得参数 的估计量
容易看出，自由度之间也有类似于分解定理的关系
(4-13)
4.2.4 显著性检验
参数 假设 检验 的假 设条 件
观测值(i=1,2,…,k;j=1,2,…,m) 相互独立
在水平Ai条件下, Yij(j=1,2,…m) 服从正态分布N
4.2.4 显著性检验
要判断在因素A的k个水平条件下真值之间是否 有显著性差异,
(4-9)
4.2.2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
称为最小二乘估计量.
我们还可以证明 。
分别是参数
的无偏估计量
将 和 分别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的估计量 ,
(4-10)
4.2.3 分解定理 自由度
为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们 研究三种偏差: , 和 .
8.2.1 数学模型和数据结构
为了便于比较和分析因素A的水平Ai对指标影响 的大小,通常把 再分解为
(i=1,2,…,k)
(4-5)
其中,
称为一般平均(Grand Mean),它是比
较作用大小的一个基点；
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称 为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析教材正交检验的极差分析和方差分析引言：正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。
它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。
本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。
一、正交检验的极差分析1.1 基本原理正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。
它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。
1.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。
接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。
最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。
1.3 实例分析以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。
首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。
然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。
接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。
最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。
二、方差分析2.1 基本原理方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。
它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。
2.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。
接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。
最后，使用统计方法，计算F统计量，并比较差异是否显著。
正交检验的极差分析和方差分析讲课讲稿
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
,
i称,为最i 小二乘估计量.
我们还可以证明 , i分, 别i 是参数
量。
的,无i ,偏i估计
将和 分i 别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的 ij估计量 , e ij
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
S 2 (Y i j) i0
ˆ 1 km
Yij (4Y-7)
S
i
m
2 (Yij
j1
i)0
ˆi
1m mj1Yij
Y(4i-8Y)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
并由此得 的i 估计量
ˆi ˆˆi Yi
至此,求得参数 ,的i ,估i计量
F型
9.3
8.7
7.2
10.1
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N(,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
第四章 方差分析
4.2 单因素试验的方差分析
➢ 数学模型和数据结构 ➢ 参数点估计 ➢ 分解定理 自由度 ➢ 显著性检验 ➢ 多重分布与区间估计
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解为
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实验报告
实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析
课程名称
考查学期
姓名
学号
专业
成绩
任课教师
实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析
一、实验目标
熟练使用Excel和SPSS软件进行正交试验设计和结果分析
二、实验要求
按照1人/组的样式，所有成员都应该根据实验内容完成相应的任务。
三、仪器设备
笔记本电脑与数据分析软件Excel、SPSS。
四、实验内容
1. 正交试验数据的极差分析（Excel）
大枣的微波干燥工艺研究，试验因素选取A微波功率（W）、B干燥时间（min）、C载样量（kg/m2），以干燥大枣中总黄酮的含量为指标（越高越好），试选出最优工艺条件。
表3-1. 因素水平表
水平
试验因素
A
（微波功率/W）
B
（干燥时间/min）
C
（载样量/kg/m2）
1150105 22501510 33502015
表3-2. 干燥大枣中的总黄酮含量
试验号微波功率
A
干燥时间
B
空列载样量
C
总黄酮含量1
（mg/g）
总黄酮含量2
（mg/g）
11111272.6 278.9 21222251.7 250.3
31333245.2 247.2 42123289.7 279.6 52231275.8 268.8 62312258.7 257.7 73132246.6 246.2 83213231.4 232.1 93321222.1 228.6
表3-3 干燥大枣中的总黄酮含量极差分析
试验号
列号重复试样
指标和1 2 3 4
1 2
A B C
1 1 1 1 1 272.6 278.9 551.5
2 1 2 2 2 251.7 250.
3 502
3 1 3 3 3 245.2 247.2 492.4
4 2 1 2 3 289.7 279.6 569.3
5 2 2 3 1 275.8 268.8 544.6
6 2 3 1 2 258.
7 257.7 516.4
7 3 1 3 2 246.6 246.2 492.8
8 3 2 1 3 231.4 232.1 463.5
9 3 3 2 1 222.1 228.6 450.7
K11545.9 1613.6 1531.4 1546.8
K21630.3 1510.1 1522.0 1511.2
K31407.0 1459.5 1529.8 1525.2
k1257.650 268.933 255.233 257.800
k2271.717 251.683 253.667 251.867
k3234.500 243.250 254.967 254.200
R 37.217 25.683 1.567 5.933
较优水平A2B1C1
因为指标越大越好，所以为因素A的2水平，即A2较好。
其他各列的统计分析以此类推。
各因素对指标影响的主次为：A>B>C，即微波功率>干燥时间>载样量。
较优参数组合为A2B1C1，即微波功率取0.245kW、干燥时间10min、载样量取5kg/m2搭配起来，干燥效果最好。
2. 正交试验数据的方差分析（SPSS）
为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，选择三因素三水平正交试验，试验指标为自溶液中蛋白质含量（％，越高越好），因素水平如表3-3，试验结果如3-4所示，
用方差分析法选出最优条件。
表3-4 因素水平表
水平
试验因素
A
温度（℃）
B
pH值
C
加酶量（％）
150 6.5 2.0 2557.0 2.4 3587.5 2.8
表3-5 啤酒酵母自溶液中蛋白质含量
处理号1 2 3 4 蛋白质含量
（%）
A B 空列 C
1 1（50）1（6.5） 1 1（2.0） 6.25
2 1（50）2（7.0） 2 2（2.4） 4.97
3 1（50）3（7.5） 3 3（2.8） 4.54
4 2（55）1（6.5） 2 3（2.8）7.53
5 2（55）2（7.0） 3 1（2.0） 5.54
6 2（55）3（7.5） 1 2（2.4） 5.50
7 3（58）1（6.5） 3 2（2.4）11.40
8 3（58）2（7.0） 1 3（2.8）10.90
9 3（58）3（7.5） 2 1（2.0）8.95
利用SPSS进行方差分析如表：
表3-6啤酒酵母自溶液中蛋白质含量方差分析
因变量: 蛋白质含量
源III 类平方自由度均方F显著性修正模型52.718a68.7856.28.018截距477.8601477.863061.24.000
A45.402222.70145.420.007
B 6.4872 3.2420.770.046
C0.82920.41 2.650.274
误差0.31220.15
总计530.8909
修正后总计53.0308
a. R 方= .994（调整后R 方= .976）
由表3-6可知145.42>F0.01（2,2）=99.01，即温度A对蛋白质含量影响极显著；20.77>F0.05（2,2）=19，即pH值B对蛋白质含量影响显著；2.65<F0.1（2,2）=9，即加酶量C对蛋白质含量影响不显著。