2.2结识抛物线
北师大版初中九年级下22结识抛物线教案
课题 2.2 结识抛物线课型新授课教学目标经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．教学重点利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质.教学难点函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．教学方法探索——总结——运用法.教学后记教学内容及过程备注一、创设问题情境，引入新课我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题．二、新课讲解1.作函数y＝x2的图象．一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢?让我们先看最简单的二次函数y＝x2．大家还记得画函数图象的一般步骤吗?记得，是列表，描点，连线．下面就请大家按上面的步骤作出y=x2和y=-x2图象．（1）列表：x -3 -2 -1 0 1 2 3y=x29 4 1 0 1 4 9y=-x2-9 -4 -1 0 -1 -4 -9(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2和y=-x2的图象．2.议一议对于二次函数y＝x2和y=-x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．(1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．(3) y＝x2当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大；y＝-x2当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小.(4)观察图象可知，对于y＝x2当x＝0时，y的值最小，最小值是0；对于y＝-x2当x＝0时，y的值最大。
结识抛物线课件
(2.4)
(-1,1)
(1,1)
o (0,0)
x
1. 你能描述图象的 形状吗？与同伴 交流。
2. 图象与x轴有交 点吗？如果有， 交点的坐标是什 么？
3. 当x<0时，y随着 x的增大，y的值 如何变化？当 x>0时呢？
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y
y=x2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(2.4)
(-1,1) (1,1)
图象都关于y轴对称。
不同点：开口方向不同；函数值随自变量增大的变化趋势
不同；最值不同；一个有最高点，一个有最低点。
联系：它们的图象关于x轴对称，也关于原点对称。
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猜一猜
你能说出函数y=ax²(a≠0)的图象特征吗？ 说说你的理由.
o (0,0)
x
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4、当x取什么值时，y的 值最小？
5、图象是轴对称图形吗？ 如果是，它的对称轴 是什么？请你找出几 对对称点，并与同伴 交流。
归纳：二次函数y=x²的图 象是一条抛物线，它的开 口向上，且关于y轴对称， 对称轴与抛物线的交点是 抛物线的顶点，它是图象 的最低点。
三、做一做
y1＞y2＞y3
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活动与探索 3.如图一座抛物线的拱桥，其形状可以用y=-x2
来描述. （1）当水面到桥拱顶部的距离为2米时，水面的
宽为多少米？
分析：当y=-2时，求 出x的值，水面的宽 度应为2x米.（x＞0）
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活动与探索
3.如图一座抛物线的拱桥，其形状可以用y=-x2 来描述.
九下第二章22结识抛物线学案
九下第二章§2.2结识抛物线学案一、教学目标：1．能够利用描点法作出函数y=x 2，y=2x 2，y=21x 2的图象，能根据图象认识和理解以上三个二次函数的性质． 2．猜想并能作出y=-x 2，y=-2x 2，y=-21x 2的图象，能比较它们与y=x 2 y=2x 2，y=21x 2的图象的异同． 二、课前小练：1、画函数图象的一般步骤是： ， ， 。
2、根据y=x 2，y=-x 2你会如何选择合适的数值进行列表？2观察图像：（1）你能描述图象的形状吗? （2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。
(3)图象 与x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？四、在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x 2，y=21x 2的图像： （1）根据图像讨论以上五个问题。
（2）这三个图像有什么区别与联系？xyO2观察图像：（1）你能描述图象的形状吗? （2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。
(3)图象 与x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？六、在同一平面直角坐标系中画出函数y=-2x 2，y=-21x 2的图像： （1）根据图像讨论以上五个问题。
（2）这三个图像有什么区别与联系七、小结：（1）抛物线y=ax 2的图像有什么特征？a 的作用是什么？ （2）完成以下表格：八、作业：在学案纸上作出以下函数的图像：（1）在同一直角坐标系下：y=x 2，y=x 2+1,y=x 2-1,y=x 2-3 (2)在同一直角坐标下：y=-x 2，y=-x 2+1,y=-x 2-1,y= -x 2+3xyO。
结识抛物线
§2.2 结识抛物线教学目标经历探索二次函数y = x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验能够利用描点法作出y = x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系教学重点和难点重点：二次函数y = x2的图象的作法和性质难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们学习了二次函数。
一般函数都有其图象，二次函数都不例外。
那么它的图象是一条什么曲线呢？这节课，我们先研究最简单的二次函数y = x2和y = −x2的图象。
让我们通过动手，画一画它的图象吧。
师生共同研究形成概念作二次函数y = x2的图象此图象由老师和学生一起探究完成，一般取七个点。
二次函数y = x2的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）本节讨论最简单的二次函数y = x2的图象的作法，并引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质，要结合图象讲解，尽可能让学生讲，老师作适当点拨。
☆议一议书本P 39 议一议学生可以用自己的语言进行描述，要提醒学生不要忽略y轴左侧的图象。
二次函数y = x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称。
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它的图象的最低点。
☆巩固练习练习册P 19 1 、2作二次函数y = −x2的图象此函数的图象由学生完成，老师作适当指导。
两个图象的形状相同，但是开口向下，两个图象关于x轴对称。
☆巩固练习练习册P 19 3讲解例题已知二次函数y = ax2的图象过点P(1，8)，求此函数的解析式。
已知二次函数y = 2x2+c的图象过点P(2，6)，求此函数的解析式。
分析：两道例题都是通过图象的已知点，求出函数的未知的系数。
求解时，要分清坐标点的两个数应该分别代入哪个位置上。
随堂练习《练习册》 P 19 4 ~ 9《练习册》 P 20小结二次函数y = x2和y = −x2的图象及其性质。
第2章《二次函数》易错题集(02)：2.2 结识抛物线
第2章《二次函数》易错题集（02）：2.2 结识抛物线 选择题1．（2011•朝阳区）如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM=x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y与x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（2010•嘉兴）如图，等腰直角三角形ABC （∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm ，CA 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm 2，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ） A ． B ． C ． D ．3．（2011•攀枝花）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则在同一坐标系中，一次函数y=ax+c 和反比例函数y=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．（2011•嘉兴）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A．B ．C ．D ．5．（2008•呼和浩特）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b 与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2010•永州）观察下列四个函数的图象．将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（ ） A ． ①②③④ B ． ②③①④ C ． ③②④① D ． ④②①③7．（2011•岳阳）已知一次函数y=ax+c 与y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2011•甘肃）已知h 关于t 的函数关系式为h=gt 2，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象与x 轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x 的取值范围是（ ）A ． 0＜x≤3B ． ﹣2≤x≤3C ． ﹣1≤x≤3D ．x ≤﹣1或x≥310．函数y=ax 2﹣2x+1和y=ax+a （a 是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．12．已知函数y=ax和y=a（x+m）2+n，且a＞0，m ＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．。
九年级数学下册 2.2结识抛物线3课件 北师大版
2.结识抛物线
有的放矢
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变图象吗?它包括哪些步
骤？ <列表>
描点,连线
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
<列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
祝你成功！
(2)图象是轴对称图形吗？如果8 是,它的对称轴是什么?请你找出几对
对称点。
6
(1)你能描述图象的形状吗?
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
最值
当x=0时,最小值为0.
a＜0
向下
y轴（或X=0）
在x轴的下方( 除顶点外)
（0，0）
当X<0时,y随着x的增大而增大. 当X>0时, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为0.
• 你能根据你对抛物线的认识，画出以下函数的大 致图象，并说出的开口方向，对称轴，顶点坐标， 最值，以及它的增减性吗？
顶点坐标 增减性
最值
（0，0）
（0，0）
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
独立
作业
知识的升华
作业、 《基础巩固与能力突破》P189页 第 4、5、6题； P190页 第8题
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九年级数学下2.2学案设计 2．2 结识抛物线 预习指导： 二次函数的图象——抛物线，也是大家最为熟悉的曲线之一．喷泉的水流，标枪的投掷等都形成抛物线路径．同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等．本节课将研究最简单的二次函数y＝x2与y=-x2的图象及性质． 利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象经过大家的合作交流归纳总结出二次函数y=x2的性质．在此基础上猜想y＝-x2的图象及性质，再进行有关验证．通过讨论最简单的二次函数y＝±x2的图象的作法，引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质． 一目标导航： 学习目标： 1．能利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．（重点）2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．（难点） 二、 自主探究： Ⅰ．创设问题情境，引入新课 我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过 的一条 ，一般的一次函数的图象是 原点的一条直线，反比例函数的图象是两条 上节课我们学习了二次函数的一般形式 为 (其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题． 2、作函数y＝x2的图象． 画函数图象的一般步骤是 ， ， 请大家按上面的步骤作出y=x2的图象． (1)列表： x -3 -2 -1 1 3 y 9 1 0 1 4 9 (2)在练习本上作出直角坐标系并在直角坐标系中描点． (3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象． 三、合作交流： 1、 对于二次函数y＝x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流． (2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么? (3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢? (4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流． 2、下面我们系统地总结一下．y=x2的图象的性质． (1)抛物线的开口方向是 ． (2)它的图象有最 点，（填高或低）最 点坐标是( )． (3)它是 对称图形，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；
在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的 ，
同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最 值(填大或小)，当x＝0时，y最小=0．
3、 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x
2
的图象有什么关系?与同伴进行交流．
4、试着讨论y=-x2的图象的性质．
(1)它的开口方向 ．
(2)它的图象有最 点，最 点坐标为( )．
(3)它是 对称图形，对称轴是 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，
在对称轴右侧x随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的 ，这点的坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最高点，所以函数有 ，当x=0时，y最大＝0．
四、展示提升
1、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．
我们分别作出函数y=x2与y=-x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比
较一下它们图象的异同点．
不同点：1． 开口方向 ，y=x2开口 ，y=-x2开口 ．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减
小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y=-x2的图象中正好相反．
3．在y=x2中y有 值，即x=0时．y最小＝0，在y=-x2中y有 值．即当x＝0时，y
最大
＝0．4．y=x2有最低点，y=-x2有最高点．
相同点：1．图象都是 ．2．图象都与x轴交于点( )．
3．图象都关于 对称．
联系：它们的图象关于 对称．
五、 达标检测
1．在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象．
2．下列函数中是二次函数的是 ( )
A. y=2+5x2
B．y=322x C．y＝3x(x+5)2 D. y=5232xx
3．分别说出抛物线y=4x2与y＝- 41 x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．
4、 已知函数y=m·xm2+m． m取何值时，它的图象开口向上． 当x取何值时，y随x
的增大而增大． 当x取何值时，y随x的增大而减小．
x取何值时，函数有最小值．
答案：自主探究：1、原点、直线、不经过、双曲线、2、列表、描点、连线
合作交流：1、（1）二次函数y＝x2的图象是一条抛物线、（2）图象与x轴有交点，交点坐
标是（0，0）)）（3）当x<0时，y随着x值的增大而减小，当x>0时，y随着x值的增大而增
大（4）当x取0值时，y的值最小，最小值是0(5)图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴
2、向上、低、（0，0）、轴、y轴、减小、增大、顶点、小
4、向下、高、（0，0）、轴、y轴、增大、减小、最高点、最大值
达标检测：2、B4、m=1，x>0，x<0，x=0