初中数学联赛辅导九年级专题二十三 三角形的五心

专题二十三 三角形的五心

一、知识要点

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．

2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：

设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p

． 特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．

上面的证明中，我们也得到了以下结论：

三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．

5、三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．

每个三角形都有三个旁切圆．

二、典型例题

例1 证明：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

A B C O A B C D E F G A B C D E F

I a I K H E F A B C M

例2 设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点．

求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．

例3 求证：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．

例4 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .

作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.

A B C P

P M N '

C

例5 AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.

求证：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

例6 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，

△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.

例7 H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H

交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2..

求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.

H H H M A

B B A A B

C C C F 12111

222D E A A 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B D .

O A A A A 12

3

4H H 12

例9 已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC

之内心.

例10 在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，

b ，

c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.

例11 M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆

的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明11q r ·22q r =q

r .(IMO -12)

A ααM

B C K N E R O Q F r P K r r r r O O O 213A O E C B a b c A ...'B 'C 'O O '

E D

例12 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重

心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.

求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.

三、巩固练习

（一）选择题

1．在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，且AH =BC ，则cos ∠BHC =( )

A ．－12 2

B ．12 2

C ．33

D ．12

2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

3．若0°<α<90°，那么，以sin α，cos α，tan αcot α为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径

之和是( )

A ．sin α+cos α2

B ．tan α+cot α2

C ．2sin αcos α

D ．1sin αcos α

4．ΔABC 中，∠A =45︒，BC =a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH =( )

A ．12a

B ．12

2a C ．a D ．2a 5．下面三个命题中：

⑴ 设H 为ΔABC 的高AD 上一点，∠BHC +∠BAC =180︒，则点H 是ΔABC 的垂心； ⑵ 设G 为ΔABC 的中线AD 上一点，且S ΔAGB =S ΔBGC ，则点G 是ΔABC 的重心；

⑶ 设E 是ΔABC 的外角∠BAK 的角平分线与ΔABC 的外接圆⊙O 的交点，ED 是⊙O

的直径，I 在线段AD 上，且DI =DB ，则I 是ΔABC 的内心．

正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

B

C O I A O G H O G H G O G H 1231

12233A B

C

E F

H