2020高中数学第十章 6《模拟方法——概率的应用》复习学案+检测

2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布6 模拟方法——概率的应用【要点梳理·夯实知识基础】1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是19.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[小题查验]1．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：A [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]2．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) A.25 B.14 C.35D.45解析：D [由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.] 3．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14<2x <16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是 ________ .解析：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14<2x <16＝(－2,4)，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝{x |3<x <4或－2<x <0}，所以所求事件的概率是4－3＋0＋24＋2＝12. 答案：124．(2019·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：D [因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率p ＝1－341－0＝14，故选D.]5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为 ________ .解析：由题意知0≤a ≤1，事件“3a －1>0”发生时，a >13且a ≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率p ＝1－131＝23.答案：23【考点探究·突破重点难点】考点一 与长度、角度有关的几何概型(自主练透)[题组集训]1．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆．全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )A.411 B.712 C.511D.1112解析：C [如图，时间轴点所示，概率为p ＝55121＝511.故选C.]2．某快递员随机在12：00～12：30的某个时刻到达小区，该小区住户在12：20以后拿到快递的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：B [由题意，某快递员随机在12：00～12：30的某个时刻到达小区，该小区住户在12：20以后拿到快递，构成长度比的几何概型，所以所求概率为p ＝30－2030＝13，故选B.]3．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ________ .解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴p＝5 9.答案：5 9【解题反思】求解与长度有关的几何概型的两点注意(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．考点二与面积有关的几何概型(多维探究)[命题角度1]与平面图形面积有关的问题1．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为()A.14 B.13C.12 D.23解析：C[本题先由平面几何知识得出小三角形全等，然后计算概率．设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率p＝12，故选C.][命题角度2]与线性规划交汇的问题2．在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()A.14B.316C.619 D.34解析：D[如图所示，⎩⎨⎧0≤x≤4，0≤y≤4表示的平面区域为正方形OBCD及其内部，x＋2y≤8(x，y∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率p＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.](理科)[命题角度3]与定积分交汇的问题3．如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y＝x 经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.512 B.12C.23 D.34解析：C[由题意可得，阴影部分的面积S＝⎠⎛4x d x＝23x32|4＝163，故质点落在图中阴影区域的概率p＝1634×2＝23.][命题角度文3理4]随机模拟估算4．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n解析：C [设由⎩⎨⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn ，故选C.] 【解题规律总结】求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．考点三 与体积有关的几何概型(师生共研)[典例] 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ________ .[解析] 如图，与点O 距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率p ＝23－2π323＝1－π12.[答案] 1－π12 【解题规律总结】与体积有关的几何概型问题求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求．[跟踪训练]已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是 ________ .解析：设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是p ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78. 答案：782020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布6 模拟方法——概率的应用检测一、选择题1．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32. 2．若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( ) A.12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】D【解析】由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为16.故选D.3．在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( )A.78 B ．34 C ．12D ．14【答案】A【解析】如图，分别取D ，E ，F 为SA ，SB ，SC 的中点，则满足条件的点P 应在棱台DEF －ABC 内，而S △DEF ＝14S △ABC ，∴V S －DEF ＝18V S －ABC .∴P ＝V DEF －ABC V S －ABC ＝78.故选A.4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为( )A.π2 B ．π4 C ．π3 D ．π5【答案】B【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝π4 1＝π4.故选B.5．如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12B．14C．13D．25【答案】C【解析】由题意可知，阴影部分的面积S阴影＝⎠⎛10x2dx＝13x31＝13，又正方形的面积S＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P＝131＝13.故选C.6. 在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(),A.34B．23C ．13D ．14,【答案】D ,【解析】因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.故选D.,7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则以x ，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),A.1－π4 B ．1－π6 C.1－π3D ．π12【答案】A ,【解析】连接AC ，首先由x ＋y ＞1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴所求概率为12－π4×1212＝1－π4.故选A.二、填空题8. 在不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________．【答案】29【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AODS △ABC＝1294＝29.9．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________． 【答案】59【解析】由题意知，所求的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)＝59.10．某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________． 【答案】2125【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x ，y ，则由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P＝1－2×12×2×25×5＝2125.11．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．【答案】23【解析】对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝33－m；令y＝0，得x＝3m＋2.由题意可得12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m＜98，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.12．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．【答案】12【解析】设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得xa＝a－ya，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋a－x22＝a24，当且仅当x＝a－x，即x＝a2时，S取得最大值a24，所以该点取自矩形内的最大概率为a2412×a×a＝12.三、解答题13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。