大学物理下册第十三章

1 μ I 3μ I

第十三章 稳恒磁场 13—1 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。 [解] (a) P 点在水平导线的延长线上，水平导线在 P 点不产生磁场。P 点到竖直导线两端的连 线与电流方向的夹角分别为 θ = 0 ， θ = π 。因此，P 点的磁感应强度的大小为

B = μ 0 I ⎛

0

π ⎞

⎜ cos 0 − cos ⎜ =

2 2

μ 0 I

4πa ⎝ 2 ⎠ 4πa 方向垂直纸面向外。 (b) 两条半无限长直导线在 P 点产生的磁场方向相同，都是垂直于纸面向内，它们在 P 点产 生的磁场的磁感应强度之和为

B = 2 μ 0 I =

μ 0 I

1 4πr 2πr

半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形 导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即

B2

=

1 μ 0

I

=

μ 0 I

2 2r 4r 方向垂直纸面向内。

(c) P 点到三角形每条边的距离都是

d = 3 a 6

每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是

B = 0 (cos 30 0 − cos150 0 )= 0 0 4πd 2πa

故 P 点总的磁感应强度大小为

B = 3B = 9μ 0 I 0 2πa

方向垂直纸面向内。

13—2 有一螺线管长 L＝20cm，半径 r=2.0cm，导线中通有强度为 I=5.0A 的电流，若在螺 线管轴线中点处产生的磁感应强度 B＝ 6.16 ×10 −3 T 的磁场，问该螺线管每单位长度应多少

匝?

[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为 μ0 B = nI (cos β1 − cos β 2 ) = μ0 nI cos β 2 2 13-3 −3

−7 2

n = B μ0 I cos

β 2

= B L 2 μ

0 I

2

= 6.16 ×10 4π ×10 −7 × 5.0 ×

20 2

2

= 200匝

L + r 2 4 20 + 2 2

4

13—3 若输电线在地面上空 25m 处，通以电流1.8 ×103 A。求这电流在正下方地面处产生 的磁感应强度。

[解] 已知直线电流的磁场公式 μ0 I

B = 4πa

(cosθ1 − cosθ 2 )

= 4π ×10 ×1.8 ×103 (cos 0 − cos π ) = 3.6 ×10 −6 T

4π × 25

13—4 在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A。(1)将此导线作 无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北) 为 0.18 ×10 −4

T。由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。如果电流的磁

场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中

的指南针的 N 极将偏离北方多少度?

[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为 B = μ 0 I 2 × 10 −7 × 20 = T = 5.0 ×10 −6 T 1 2πr 0.80

(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量 B2

垂直(如图 a)，指南针偏离正北方

向的角度为 ϕ ，则

tan ϕ = B1 = 5.0 × 10 −6 = 0.28 ϕ = 150 31′ B 0.18 ×10 −4

设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为 ϕ1 ，由图(b)可知 B2 sin ϕ1 = B1 sin ϕ 2

两边微分后可得

dϕ1 dϕ 2 = B1 cos ϕ 2

B2 cos ϕ1

为求 ϕ1 的最大值 ϕ m ，令 dϕ1

dϕ 2

= 0 ，则有 m cos ϕ 2

= 0

π

ϕ 2 =

2

因此 sin ϕ m =

B

1

B2

= 0.28 ϕ = 16

0 8

′

13—5 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I， 方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。

[解] 取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为: dI = jdx = NI dx

R − r

dB0

μ dI

= 0

2 x = μ0 NIdx 2 x(R − r )

∴ B0 = R ∫ dB0 = ∫ μ0 NIdx = μ0 NI ln

R

NI r 2 x(R − r ) 2(R − r ) r 方向垂直纸面向外.

13—6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=1.0 ×10 2 m 如图 所示。求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 在金属片上对称地取两个宽为 ds = ds1 = ds2

的窄条。

条上电流为 dI = ds I πR

每个窄条是一条无限长载流直导线，在中心轴线上 P 点产生的 dB 为

dB = dB = μ 0 dI

1 2 2πR

dB1 和 dB2

的方向已表示于图中，两者 x 分量相抵消，y 分量相加，总场只有 y 分量。由这

两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是 13-5

dB = 2 ⋅

μ 0 dI cosθ = μ 0

I cosθds

2πR ∵ ds = Rdθ π 2 R 2 μ I

∴ dB = 0 cosθd

θ

π 2 R

μ I

dB = 0 cosθdθ π 2 R

13—7 如图所示，长直导线通有电流 I，求通过与长直导线共面的矩形面积 CDEF 的磁通 量。

μ I

[解] 长直导线形成的磁感应强度为: B = 0 ,取如图所示的微元,设顺时针方向为正,则 2πx

r r μ I

dΦ = B ⋅ dS = 0 ldx 2πx

b μ Il μ Il b

Φ = ∫ dΦ = ∫ 0 dx = 0 ln

S a 2πx 2π a

13—8 长直导线 aa ′ 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线 bb′ 沿半径方向与

圆环接于点 b，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。 (1)求圆环中心点 O 的 B。 (2)B 沿闭合路径 L 的环流 ∫ B ⋅ dl 等于什么? L

r r r r r [解] (1) B0 = B1 + B2 + B3 + B4 其中: B4 = 0 B1 =

μ

0 I

4πR 13-7 B = 2 μ0 I 2 , B = 1 μ0 I 3 , I

2 = l

3 2 3 2R 3 3 2R I 3 l

2

r r 故 B2 与 B3 大小相等,方向相反,所以 B

2 + B3 = 0

因而 Bo = B1 =

μ

0 I

4πR

,方向垂直纸面向外.

(2)由安培环路定理,有: r r 2 I ∫

B ⋅

dl L

= μ0 ∑ I i = μ0 (I − 3 I ) = μ0 3

13—9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺 绕环截面的磁通量为 Φ =

μ

0 NIh ln D1 2π D2

[证明] 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r， D2 < r < D1 ，

2 2

∫ B ⋅ dl = 2πrB = μ 0 NI

B = μ 0 NI

2πr

∴Φ =

∫ dΦ = ∫

BdS

= ∫

D1 2 μ 0

NI hdr = μ 0 hNI ln

D

1

D2 2 2πr 2π D2

13—10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一 定均匀。

[证明] 在 B 线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路 abcda，其 ab 边与 B 线平行。由于 回路中无电流，所以安培环路定理给出 ∫ B ⋅ dL = 0

L b c d a