新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.2.2 应用案巩固提升
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼
第七章 复数7．1.1 数系的扩充和复数的概念1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． (2)复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． (3)复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．典型应用1 复数的概念下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【解析】 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 典型应用2 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 典型应用3 复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2. 【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．7．1.2 复数的几何意义1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．典型应用1复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值． 解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．典型应用2复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i. 法二：由已知得OA→＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA→＝(－1，1)，BC →＝(3，2)， 所以BD→＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．典型应用3 复数的模(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．7．2 复数的四则运算7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ■名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.典型应用1复数的加、减法运算(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．典型应用2复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数； (2)求CA→表示的复数． 【解】 (1)因为AO→＝－OA →，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为CA→＝OA →－OC →，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．[变问法]若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB→＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数． 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为(1，6)，得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．7．2.2 复数的乘、除运算1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i 2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 典型应用1 复数的乘法运算(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选B.(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知， 解得a ＝2，b ＝1，所以z＝2＋i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋b i)2＝a2＋2ab i＋b2i2＝a2－b2＋2ab i，(a＋b i)3＝a3＋3a2b i＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.典型应用2复数的除法运算计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．典型应用3i的运算性质(1)复数z＝1－i1＋i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1 B．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i.【答案】 (1)B (2)－i(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i. ③1i ＝－i.典型应用4在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．7．3* 复数的三角表示1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．典型应用1复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)；(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i＝34＋34i.(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i ＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．典型应用2复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.(3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．典型应用3复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】 因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ→，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第7章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
(2)原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.
-5+i
.
知识点2 复数加法、减法的几何意义
1.设1 , 2 分别与复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则1 =(a,b),2 =(c,d).
由平面向量的坐标运算法则,得1 + 2 =(a+c,b+d).
(3)因为 = + ,所以向量对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
探究点三
复数模的最值(或范围)问题
【例3】 (1)[2023河南开封月考]设复数z=a+bi(a,b∈R),1≤|z|≤2,则|z+1|的
取值范围是 [0,3]
.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知,
解析
= − =(-4-i)-(3-2i)=-7+i.
1 2 3 4 5
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的集合所围成的图形的面积
为
9π
.
解析 由条件知|z-i|=3,所以点Z的集合是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,
故所要求的面积为S=9π.
1 2 3 4 5
5.若复数z满足|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是
2.两个复数的差的模的几何意义是什么?
提示 根据复数减法的几何意义易知两个复数的差的模即为这两个复数在
复平面内所对应的两点间的距离.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
复数的加、减运算
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.2.1 应用案巩固提升
[A基础达标]1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．2．若z1＝2＋i，z2＝3＋a i(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3 B．2C．1 D．－1解析：选 D.z1＋z2＝2＋i＋3＋a i＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A. 5 B．5C．2 5 D．10→对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为解析：选B.依题意，AC|－3－4i|＝5.4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋b i(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋b i)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()A.10 B．5 5C. 2 D．5 2解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝5－i ，则z ＝____________． 解析：z ＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i. 答案：4－3i7．已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是____________．解析：因为复数z 1－z 2＝2＋a i －a －i ＝(2－a )＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2. 答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋a i ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋c i ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋c i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 2 9．计算：(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)． 解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i) ＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i ＋(－1＋i)＝－1.法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i ＝－1. (2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i ＝1 009－1 010i.法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i ，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i ，…，(2 015－2 016i)＋(－2 016＋2 017i)＝－1＋i ，所以原式＝(－1＋i)×1 008＋2 017－2 018i ＝1 009－1 010i. 10．已知复数z 1＝1＋a i ，z 2＝2a －3i ，z 3＝a 2＋i(a ∈R )． (1)当a 为何值时，复数z 1－z 2＋z 3是实数？ (2)当a 为何值时，复数z 1－z 2＋z 3是纯虚数？解：由题意，知z 1－z 2＋z 3＝(1＋a i)－(2a －3i)＋(a 2＋i)＝1－2a ＋a 2＋(a ＋4)i. (1)若复数z 1－z 2＋z 3是实数，则a ＋4＝0，即a ＝－4.(2)若复数z 1－z 2＋z 3是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a 2＝0a ＋4≠0，即a ＝1.[B 能力提升]11．已知复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A. 3 B. 5 C ．6D. 6解析：选 D.由题意，得|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝（cos θ－sin θ）2＋4＝5－2sin θcos θ＝5－sin 2θ≤ 6，故|z 1－z 2|的最大值为 6.12．若复数z 满足条件|z －(2－2i)|＝1，则在复平面内z 对应的点所在的图形的形状为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z －(2－2i)|＝|x ＋y i －2＋2i|＝|(x －2)＋(y ＋2)i|＝1，所以(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.所以在复平面内z 对应的点在一个圆上．答案：圆13．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由题意得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＋μ＝1.答案：114．已知复平面内的平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解：(1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又因为OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.因为0<B <π，所以S ▱ABCD ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，所以平行四边形ABCD 的面积为7.[C 拓展探究]15．已知z 0＝2＋2i ，|z －z 0|＝ 2.(1)求复数z 在复平面内对应的点所在的图形； (2)求当z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值． 解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －z 0|＝2， 得|x ＋y i －(2＋2i)|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝2，解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为2的圆．(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．因为|OZ0|＝22，半径r＝2，所以当z＝1＋i时，|z|min＝ 2.。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 本章 总结提升 (2)
变式训练2若i为虚数单位,图中复平面内点表示复数,则表
的点是()
1+i
示复数
D
A.B.C.D.
[解析]∵点 , 对应的复数为,
∴=
+ ,
+
=
+
+
=
+ −
+ −
=
−
= − .
∴该复数对应的点的坐标是 , − ,即点.
专题三 复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容,是高考考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以
复数的乘法和除法运算为主.
2.借助复数运算的学习,提升数学运算素养.
【例3】（1）已知是的共轭复数,若 ⋅ i + 2 = 2,则 =()
A
A.1 + iB.1 − iC.−1 + iD.−1 − i
[解析]设 = + （, ∈ ）,则 = − ,代入 ⋅ + = 中得, + −
（1）若复数是实数,求实数的值；
解若复数是实数,则2 − 2 − 15 = 0,解得 = 5或−3.
（2）若复数是虚数,求实数的取值范围；
解 若复数是虚数,则2 − 2 − 15 ≠ 0,解得 ≠ 5且 ≠ −3.
故实数的取值范围为{| ≠ 5且 ≠ −3}.
（3）若复数是纯虚数,求实数的值.
1
知识网络·整合构建
2
专题突破·素养提升
01
知识网络·整合构建
02
专题突破·素养提升
专题一 复数的概念
1.复数的概念是掌握复数的基础,如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复
新教材高中数学第七章复数章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
新教材高中数学第七章复数章末复习提升课学案新人教A版必修第二册章末复习提升课复数的概念设z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，求m 取何值时， (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数．【解】 (1)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－1且m ≠－2.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)若z 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2>0，解得⎩⎨⎧m ＝－1或m ＝－2，m <1－3或m >1＋ 3.所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．复数相关概念的应用技巧(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－12C.15D ．－25解析：选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.复数的运算(1)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i(2)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 (1)由（1－i ）2z＝1＋i ，得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1－i ，故选B.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由z ＋z －＝2，可得a ＝1.由(z －z －)i ＝2，得b ＝－1，所以z ＝1－i.【答案】 (1)B (2)D利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算．(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简．2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝________．解析：2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝2－i （3－4i ）·2i ＋(－2i)＝2－i8＋6i－2i＝（2－i ）（8－6i ）（8＋6i ）（8－6i ）－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i.答案：110－115i共轭复数，复数的模已知复数z ＝（1－2i ）22＋i ，则复数z 的模为( )A ．5 B. 5 C.310D.52【解析】 法一：由题意，知z ＝（1－2i ）22＋i ＝1－4－4i 2＋i ＝－3－4i 2＋i ＝（－3－4i ）（2－i ）5＝－6－4－5i5＝－2－i ，所以|z |＝4＋1＝5，故选B. 法二：|z |＝|（1－2i ）2||2＋i|＝|1－2i|222＋12＝|12＋（－2）2|25＝5，故选B. 【答案】 B化复为实利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想．根据复数模的意义，可以简化计算．1．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R )，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选D.由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝（2＋a i ）（1＋2i ）5＝2－2a ＋（4＋a ）i5为纯虚数，则a ＝1，则|z 1|＝5，故选D.2．设|z |＝1，则|z 2－z ＋1|的最大值为________．解析：因为|z |＝1，则可设z ＝cos θ＋isin θ，且z ·z ＝1.故|z 2－z ＋1|＝|z 2－z ＋z ·z |＝|z |·|z ＋z －1|＝1·|2cos θ－1|＝|2cos θ－1|， 当cos θ＝－1时，|2cos θ－1|＝3. 所以|z 2－z ＋1|的最大值为3. 答案：3复数的三角形式把下列复数转化为三角形式． (1)－1；(2)2i ；(3)3－i.【解】 (1)r ＝（－1）2＋02＝1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π，所以－1＝cos π＋isin π.(2)r ＝02＋22＝2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝π2，所以2i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.(3)r ＝（3）2＋（－1）2＝2，由tan θ＝－13＝－33和点(3，－1)在第四象限，得θ＝arg(3－i)＝2π－π6＝11π6， 所以3－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos11π6＋isin 11π6.复数的代数形式化为三角形式的方法(1)求复数的模r ＝a 2＋b 2.(2)由tan θ＝b a及点(a ，b )所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只须求出复数的辐角的主值即可)．(3)根据公式写出复数的三角形式．1．复数z ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4的辐角的主值是( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析：选B.z ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4＋isin π4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4，故复数z 的辐角的主值为3π4.2．把与复数z ＝1－i 对应的向量按逆时针方向旋转π2，则与所得的向量对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1＋iC ．－1－iD ．1－i解析：选B.因为z ＝1－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π，所以z 按逆时针方向旋转π2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋π2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 94π＋isin 94π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝1＋i.1．复数2＋i1－2i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－35iB.35i C ．－iD ．i解析：选C.依题意得2＋i 1－2i ＝2i －1（1－2i ）i ＝－1i ＝i ，其共轭复数为－i ，故选C.2．已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝12＋32i －12＋32i ＝1＋3i －1＋3i ＝（1＋3i ）（－1－3i ）（－1＋3i ）（－1－3i ）＝12－32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限．故选D.3．复数z 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，z 2＝1－i ，则z 1z 2的辐角的主值是( )A ．－π2B.π2 C ．πD.3π2解析：选B.z 2＝1－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 74π＋isin 74π，所以arg ⎝ ⎛⎭⎪⎫z 1z2＝π4－74π＋2π＝π2.4．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________． 解析：依题意，y ＝4i(x ＋i)－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋（1－i ）2i 1＋i＝－4＋2＋2i1＋i ＝－4＋2＝－2.答案：－25．已知复数z 满足|3＋4i|＋z ＝1＋3i. (1)求z －；(2)求（1＋i ）2（3＋4i ）z的值．解：(1)因为|3＋4i|＝5，所以z ＝1＋3i －5＝－4＋3i ，所以z －＝－4－3i.(2)（1＋i ）2（3＋4i ）z ＝2i （3＋4i ）－4＋3i＝2.6．已知复数z 1＝a 2－3＋(a ＋5)i ，z 2＝a －1＋(a 2＋2a －1)i(a ∈R )分别对应向量OZ 1→，OZ 2→(O 为原点)．(1)若向量OZ 1→表示的点在第四象限，求a 的取值范围； (2)若向量Z 1Z 2→对应的复数为纯虚数，求a 的值．解：(1)因为复数z 1＝a 2－3＋(a ＋5)i ，向量OZ 1→表示的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>0，a ＋5<0，解得a <－5.所以a 的取值范围是a <－5. (2)因为Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→，所以向量Z 1Z 2→对应的复数为z 2－z 1＝[a －1＋(a 2＋2a －1)i]－[a 2－3＋(a ＋5)i]＝－(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i.根据向量Z 1Z 2→对应的复数为纯虚数，可得－(a 2－a －2)＝0且a 2＋a －6≠0.解得a ＝－1.。
新教材高中数学第7章复数的加减运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修第二册
新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：7.2 复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义学习任务核心素养1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)1．通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养．乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算．问题：复数集内可进行复数的四则运算吗？知识点1复数的加、减运算1．复数加法、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．2．复数加法的运算律设z1，z2，z3∈C，则有：交换律：z1＋z2＝z2＋z1；结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．()(2)复数与复数相加减后结果为复数．()[答案](1)√(2)√2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( )A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6．]3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i ．故选A ．]知识点2 复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．4．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i ．]类型1 复数代数形式的加、减运算【例1】 (对接教材P 76例1)(1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ； (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z ．[解] (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i ． (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i ．法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． [跟进训练] 1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________．(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i ．(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0， 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝2．]类型2 复数代数形式加、减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2．则|z 1－z 2|＝________．(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝2．](2)[解] ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ．∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i ．②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ．③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37．利用复数加、减运算的几何意义解题有哪些技巧？[提示] (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．[跟进训练]2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1，y －2＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i ． 类型3 复数模的最值问题【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1B ．12C ．2D ．5 (2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？[提示] 满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？[提示] ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2．问题转化为动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，则求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1．所以|z ＋i ＋1|mi n ＝1．](2)[解] 如图所示， 设OM →＝－3－i ，则|OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2．所以|z |ma x ＝2＋1＝3，|z |mi n ＝2－1＝1．|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.[跟进训练]3．已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1．1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－iD [由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴a ＋b i ＝－2－i ．] 2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1C [由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0， 得a ＝－2．] 3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5．]4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________．－1[z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1．]5．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，则向量OA →＋OB →＝________，则BA →对应的复数为________，A ，B 两点间的距离为________．2 －8－2i 217 [向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i ．∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复数加法、减法的运算律是什么？复数的加法满足哪些运算律？(2)复数的加法、减法的几何意义是什么？(3)如何利用数形结合思想求复数模的最值？。
2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.3复数的三角表示(2)教案新人教A版必修第二册
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对复数三角表示的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6. 课堂小结（5分钟）
2. 小组讨论成果展示：评估各小组在讨论复数三角表示相关主题时的深入程度、创新性和实用性。关注学生在小组内的合作情况，以及代表的展示表达能力。
3. 随堂测试：设计针对复数三角表示知识的随堂测试，包括填空题、选择题和计算题等，以检验学生对课堂所学知识的掌握程度。
4. 课后作业：布置与复数三角表示相关的作业，如解题练习、案例分析等，评估学生在课后对知识点的巩固和应用情况。
2. 讨论法：在讲解完复数三角表示的基本概念后，组织学生进行小组讨论，探讨复数三角表示在实际问题中的应用，如电路分析、振动问题等。鼓励学生发表见解，相互交流，提高学生的数学建模和逻辑推理能力。
3. 案例研究：选取与复数三角表示相关的实际案例，如电子技术中的交流电路分析，引导学生通过案例研究，深入了解复数三角表示在工程领域的应用，培养学生的数学运算和数据分析能力。
c. 在线工具：利用数学软件或在线计算器，让学生自主探索复数三角表示的运算和图形，提高学生的实践操作能力。
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对复数三角表示的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道复数在二维坐标系中可以怎样表示吗？它在我们的生活中有什么样的应用？”
展示一些关于复数及其在坐标平面中表示的图片，让学生初步感受复数的几何意义。
课堂上，我发现有些学生在理解复数模与辐角的物理意义时感到困惑。我意识到，这里需要更直观的图形展示和实际例子来说明，因此在接下来的教学中，我会增加一些互动环节，比如让学生自己绘制复数在坐标系中的图形，以便更直观地感受复数的三角表示。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：7.2.2 Word版
第七章复数7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1.能进行复数代数形式的乘法和除法计算。
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
二、教学重难点1.教学重点复数代数形式的乘法和除法运算法则。
2.教学难点复数除法的运算法则。
三、教学过程1.新课导入上节课我们学习了复数的加、减法运算，那么在复数集中乘法除法有哪些运算法则呢？2.探索新知我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)( c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。
特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积。
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。
容易得到，对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2= z2+z1，结合律(z1z2)z3=z1(z2+ z3)，分配律z1(z2+ z3)=z1z2+ z1z3。
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。
请探求复数除法的法则。
复数除法的法则是：=（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）。
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。
在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。
这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。
3.课堂练习1．复数z 满足zi －1＝i 则z 的共轭复数为( B )A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i 1＋i i 2＝i －1－1＝1－i. 2．已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R)的实部与虚部相等，则a ＝( A ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3ai ＋3，∴－3a ＝3，∴a ＝－1.3．若a 为实数，且2＋ai1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4[解析] ∵2＋ai1＋i ＝3＋i ，∴2＋ai ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，选D ．4．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －ai －i 2＝a ＋1＋(1－a)i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a>0，解得a<－1.故选B ． 5．(2019·山东滨州市高二期中测试)设(1＋i)z ＝2－4i ，则|z 2|＝( B )A ．10B ．10C ．510D ．100[解析] ∵(1＋i)z ＝2－4i ，∴z ＝2－4i 1＋i ＝2－4i 1－i 1＋i 1－i ＝2－2i －4i －42＝－2－6i2＝－1－3i ，∴z 2＝(－1－3i)2＝－8＋6i ，∴|z 2|＝－82＋62＝10.6．若z ＋z －＝6，z·z －＝10，则z ＝( B )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z －＝a －bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 7．计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2＝1＋1＋1＋4i －4＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__.[解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i＝4＋3i 1－2i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i. 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)； (2)2＋ 2 i24＋5i 5－4i 1－i. [解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i) ＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i. (2)2＋2i 24＋5i 5－4i 1－i ＝4i 4＋5i 5－4－9i ＝－20＋16i 1－9i ＝－45－4i 1＋9i 82 ＝－441＋41i 82＝－2－2i. 4. 小结作业小结：本节课学习了复数代数形式的乘法和除法运算法则。
人教版高中数学必修第二册7.2.2 复数的乘、除运算
2．复数 z＝1＋4i i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(
)
√A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：因为 z＝14＋i i ＝（14＋i（i）1（ －i1）－i） ＝4i＋2 4 ＝2＋2i，所以复数 z
在复平面内对应的点的坐标是(2，2)，故该点在第一象限．
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化简后利用复数相等的定义求解．
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第七章 复数
28
已知 3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根，求实 数 p，q 的值．
解：因为 3＋2i 是方程 2x2＋px＋q＝0 的根， 所以 2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即 2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0， 整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0， 所以1204＋ ＋32pp＋ ＝q0＝ ，0， 解得pq＝ ＝－26.12，
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第七章 复数
33
word部分：
请做：应用案 巩固提升
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第七章 复数
34
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整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， a2－b2＋4a＋6＝0，
所以2ab＋4b＝0，
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第七章 复数
26
又因为 b≠0， a2－b2＋4a＋6＝0，
所以2a＋4＝0， 解得 a＝－2，b＝± 2 .
所以 x＝－2± 2 i， 即方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝－2± 2 i.
新教材人教A版高中数学必修第二册第七章复数 精品教学课件
2.[变结论]若本例中条件不变，当 m 为何值时，z>0.
解：因为 z>0，所以 z 为实数，需满足
m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得 m＝5.
3.已知 z＝log2(1＋m)＋ilog12(3－m)(m∈R)，若 z 是虚数，求 m 的取值范围. 解：∵z 是虚数，∴log12(3－m)≠0，且 1＋m>0，
A.1＋2i
B.1－2i
C.－1＋2i
D.－2＋i
解析：复数 z＝1＋2i 的共轭复数是 1－2i.
答案：B
3.已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝________. 答案： 5
题型一 复数与复平面内点的关系 [学透用活]
按照复数和复平面内所有点组成的集合之间的一一对应 关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内 找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数 实部、虚部的取值.
[学透用活] [典例 2] 当 m 为何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数. [解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即 m≠5 且 m≠－3 时，m2－2m－15≠0， 即 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数.
解：若复数 z 的对应点在虚轴上，则 m2－m－2＝0， 所以 m＝－1 或 m＝2，所以 z＝6i 或 z＝0. 若复数 z 的对应点在实轴负半轴上， 则mm22－ －m3m－＋2<2＝0，0， 所以 m＝1，所以 z＝－2.
2.在 2＋ 7，27i,8＋5i，(1－ 3)i,0.68 这几个数中，纯虚数的
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[A 基础达标]
1．复数i 2＋i 3＋i 4
1－i ＝( )
A ．－12－1
2i
B ．－12＋12i
C.12－12
i D.12＋12
i 解析：选C.因为
i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以
i 2＋i 3＋i 4
1－i
＝－i
1－i ＝－i （1＋i ）2＝12－1
2i.
2．(2019·安徽六安一中模考)设复数z ＝1＋b i(b ∈R )且z 2＝－3＋4i ，则z 的共轭复数z －
的虚部为( )
A ．－2
B ．－2i
C ．2
D ．2i
解析：选A.z 2＝(1＋b i)2＝1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－32b ＝4
，所以b ＝2，故z ＝1＋2i ，z －＝1－2i.
故选A.
3．若复数z 满足z
－
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1－i
D ．－1＋i
解析：选A.由题意z －
＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A.
4．(2019·江西赣州寻乌中学期末)若复数a ＋i
b －i ＝2－i(其中a ，b 是实数，i 是虚数单位)，
则复数a ＋b i 在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选 C.由
a ＋i
b －i
＝2－i ，可得a ＋i ＝(b －i)(2－i)，即a ＋i ＝2b －1－(2＋b )i ，所以
{a ＝2b －1，1＝－（2＋b ），
解得{
a ＝－7，
b ＝－3，所以复数a ＋b i 在复平面内所对应的点的坐标为(－7，－3)，
位于第三象限，故选C.
5．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选A.由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i
2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故
选A.
6．复数z 满足方程z －
i ＝1－i ，则z ＝________．
解析：由题意可得z －＝1－i i ＝（1－i ）（－i ）
i·（－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以z ＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i 2－i ，z 的共轭复数为z －，则z ·z －
＝________．
解析：依题意，得z ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i ，所以z －＝－i ，所以z ·z －
＝i ·(－i)＝1.
答案：1
8．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1
z
的虚部为b ，则b 等于________．
解析：因为z ＝－2＋i ，所以z ＋1z ＝－2＋i ＋1
－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i （－2＋i ）（－2－i ）＝
－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ，所以b ＝4
5
.
答案：45
9．计算：
(1)⎝⎛⎭⎫－12＋3
2i (2－i)(3＋i)； (2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.
解：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋3
2i (2－i)(3＋i)
＝⎝⎛⎭
⎫－12＋3
2i (7－i)
＝3－72＋73＋12
i.
(2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）＝4i （4＋5i ）5－4－9i
＝
－20＋16i 1－9i
＝－4（5－4i ）（1＋9i ）
82
＝－4（41＋41i ）
82
＝－2－2i.
10．已知复数z 1＝1－i ，z 2＝4＋6i ，i 为虚数单位． (1)求z 2
z 1
；
(2)若复数z ＝1＋b i(b ∈R )满足z ＋z 1为实数，求|z |.
解：(1)z 2z 1＝4＋6i 1－i ＝（4＋6i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋10i
2＝－1＋5i.
(2)因为z ＝1＋b i(b ∈R )，所以z ＋z 1＝2＋(b －1)i ， 因为z ＋z 1为实数，
所以b －1＝0，所以b ＝1，所以z ＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.
[B 能力提升]
11．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1＝( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
解析：选B.法一：因为z ＝1－i ，
所以z 2－2z z －1＝（1－i ）2－2（1－i ）1－i －1＝－2－i
＝－2i.
法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝（－i ）2－1－i ＝2i ＝－2i.
12．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a
1－2i
＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )
A ．a －5b ＝0
B ．3a －5b ＝0
C ．a ＋5b ＝0
D ．3a ＋5b ＝0
解析：选D.因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a
5＝－
2a
5
－b ，则3a ＋5b ＝0. 13．在复数范围内，方程x 2＋6x ＋10＝0的根为x ＝________． 解析：因为b 2－4ac ＝62－4×1×10＝－4<0，所以 x ＝－6±－（62－40）i 2×1
＝－6±4i 2
＝－6±2i 2＝－3±i.
答案：－3±i
14．已知z 1＝1－i ，z 2＝2＋2i. (1)求z 1·z 2； (2)若1z ＝1z 1＋1
z 2
，求z .
解：(1)因为z 1＝1－i ，z 2＝2＋2i ，所以z 1·z 2＝(1－i)(2＋2i)＝4. (2)由1z ＝1z 1＋1
z 2，得z ＝z 1·z 2z 1＋z 2
，
所以z ＝4（1－i ）＋（2＋2i ）＝43＋i
＝6－2i 5＝65－25i.
[C 拓展探究]
15．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；
(2)若复数ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．
解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i. (2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为
4＋（4＋a ）2＝
20＋8a ＋a 2.
又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.。