运筹学 割平面法PPT精选文档
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运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
运筹学第五章 整数规划 胡运权ppt课件
1/7
0
2/7
0
1 -2/7
0
3/7
0
0 -3/7
1 22/7
0 0 -5/7 0 -3/7
• 选择较大小数的行构造割平面
1 7
x3
2 7
x5
6 7
1 7
x3
2 7
x5
x6
6 7
2020/6/30
.--线性规划
14
cj
3
-1
0
0
00
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
3
x1
13/7
1
-1
x2
9/7
0
0
x4
2020/6/30
3
3
第一节 整数规划的数学模型
例5.1 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 （立方英尺）
195 273
1365
每件重量 （百千克）
4 40
140
每件利润 （百元）
2 3
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润 最大?
0 fr 1 0 frj 1
则有
xBr (Nrj frj )x j Nr fr jJ
xBr Nrj x j Nr fr frj x j
jJ
jJ
等式两边都为整数并且有
fr frj x j fr 1 fr frj x j 0
jJ
jJ
2020/6/30
10
则
fr frj x j 0
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
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14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
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§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
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例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
运筹学基础及应用割平面法
运筹学基础及应用割平面法运筹学是一门研究决策问题的学科，它综合应用数学、经济学、管理学等多学科知识，旨在优化资源的利用和决策结果的最优化。
运筹学的基础之一就是割平面法，它是一种常用的数学编程技术，用于求解线性规划问题。
下面将从运筹学基础和割平面法的原理、应用及优缺点等方面进行详细讨论。
首先，运筹学基础是研究和应用数学技术和方法以帮助实现最优决策的学科。
它主要包括线性规划、整数规划、动态规划、网络流量问题等。
其中，线性规划是最常见的一种运筹学方法，可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
在线性规划中，割平面法是一种常用的解决方法之一。
割平面法（Cutting Plane Method）是一种改进的单纯形法。
它通过引入一系列的“割平面”来不断缩小可行解空间，直到找到问题的最优解。
割平面法的基本思想是：将线性规划问题的可行解空间分割成若干部分，在每一部分内进行求解，并将其最优解通过“割平面”的方式加以限制，不断缩小可行解空间的范围，最终得到最优解。
割平面法的具体实施步骤如下：1. 初始解的求解：通过单纯形法或其他线性规划方法求得问题的初始可行解。
2. 割平面的确定：在当前可行解的基础上，根据问题的特点确定一系列割平面。
3. 解的求解：在原线性规划问题的约束条件下，加入割平面的限制条件，重新求解线性规划问题。
4. 割平面的更新：根据新的最优解重新确定割平面。
5. 重复步骤3和步骤4，直到无法进一步优化或满足停止准则时，停止求解，得到问题的最优解。
割平面法的应用领域非常广泛，尤其适用于那些复杂并且可分割的线性规划问题。
例如在生产计划中，割平面法可以根据不同产品的需求量、原材料的可用量等因素，制定最优的生产计划；在物流领域，割平面法可以优化货物的运输路线、运载量等；在金融投资中，割平面法可以根据投资收益和风险，制定最优的投资组合等。
割平面法的优点是可以有效地缩小可行解空间，提高问题求解的效率；而且它可以灵活地根据问题特点确定割平面，适用于各种不同类型的问题；此外，割平面法的求解过程相对简洁，易于实现。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
(精品) 运筹(618页PPT课件)
-10-
Dantzig的故事II
在Dantzig刚刚给出了线性规划的单纯法不久，他参加了一 次学术会议。在会上他讲解了他的方法，…
当我讲完以后， 会议主席征询意见和评论。 死一般的寂静 持续了一会儿后，一只手举了起来，那是Hotelling。
我需要解释以下，Hotelling非常胖。他喜欢在海里游泳。 据说，当他在海里游泳时，能见到海平面明显升高。这个巨鲸 似的人站在屋子的后面，他富有表情的胖脸上流露出我们所熟 悉的那种无所不知的微笑。他说道：“但是我们都知道这个世 界是非线性的。”
• Improved truck dispatching at Reynolds Metals improves on-time delivery and reduces freight cost by $7 million/yr.
• GTE local capacity expansion ne blending at Texaco results in saving of over $30 million/yr.
-17-
Summary
• Answered the question: What is Operations Research & Management Science? and provided some historical perspective.
-15-
Other Success Stories (cont.)
• Optimizing global supply chains saves Digital Equipment over $300 million.
• Restructuring North America Operations, Proctor and Gamble reduces plants by 20%, saving $200 million/yr.
Dantzig的故事II
在Dantzig刚刚给出了线性规划的单纯法不久，他参加了一 次学术会议。在会上他讲解了他的方法，…
当我讲完以后， 会议主席征询意见和评论。 死一般的寂静 持续了一会儿后，一只手举了起来，那是Hotelling。
我需要解释以下，Hotelling非常胖。他喜欢在海里游泳。 据说，当他在海里游泳时，能见到海平面明显升高。这个巨鲸 似的人站在屋子的后面，他富有表情的胖脸上流露出我们所熟 悉的那种无所不知的微笑。他说道：“但是我们都知道这个世 界是非线性的。”
• Improved truck dispatching at Reynolds Metals improves on-time delivery and reduces freight cost by $7 million/yr.
• GTE local capacity expansion ne blending at Texaco results in saving of over $30 million/yr.
-17-
Summary
• Answered the question: What is Operations Research & Management Science? and provided some historical perspective.
-15-
Other Success Stories (cont.)
• Optimizing global supply chains saves Digital Equipment over $300 million.
• Restructuring North America Operations, Proctor and Gamble reduces plants by 20%, saving $200 million/yr.
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3
x1
2
x2
x4 0
x1
,
x2
0且
为
整
数
max Z x2
3 x1 2 x2 x3 6
3
x1
2
x2
x4 0
x1
,
x2
0且
为
整
数
x363x12x2
x4 3x12x2
11
将 x3=6-3x1-2x2 ,
x4=3x1-2x2
,带入1 4
x3
1 4
x4
1 2
中
得到等价的割平面条件： x2≤ 1 见下图。
平面，其条件为：
2 3
x4
2 3
s1
2 3
用上表的约束解出x4 和s1 ，将它们带入上式得到等价的割平面 条件：x1 ≥ x2 ，见图：
15
用上表的约束解出x4 和s1 ，将它们带入上式得到等价的割平面 条件：x1 ≥ x2 ，见图：
x2
⑴
⑵
3
第二个割平面
第一个割平面
3
x1
16
此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割
x1 , x2
0且为整数
初 始 表
26
初 始 表
最 优 表
27
在松弛问题最优解中，x1, x2 均为非整数解，由上表有：
x1
5 6
x3
1 6
x4
5 3
x2
2 3
x3
1 3
x4
8 3
28
x1
x2
⑴
⑵
max Z x2
3
3 x1 2 x2 6
3 x1
2x2
0
第一个割平面x1 , Nhomakorabeax2
0且为整数
3
x1
12
此题的最优解为：X＊ (1 , 3/2) Z = 3/2 但不是整数最优解，引入 割平面。以x2 为源行生成割平面， 由于 1/4=0+1/4, 3/2=1+1/2, 我们已 将所需要的数分解为整数和分数， 所以，生成割平面的条件为:
平面，其条件为：
2 3
x4
2 3
s1
2 3
3 2x43 2s1s2
2 3
17
3 2x43 2s1s2
2 3
18
至此得到最优表，其最优解为 X＊= (1 , 1) , Z = 1, 这 也是原问题的最优解。
有以上解题过程可见，表中含有分数元素且算法过 程中始终保持对偶可行性，因此，这个算法也称为分 数对偶割平面算法。
第二节 割平面法
（一）、计算步骤： 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止 计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。
max Z x2
3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 0
x1 ,
x2
0且为整数
解：增加松弛变量x3和x4 ，得到(LP)的初始单纯形表和 最优单纯形表：
9
此题的最优解为：X＊ (1 , 3/2) Z = 3/2 但不是整数最优解，引入 割平面。以x2 为源行生成割平面， 由于 1/4=0+1/4, 3/2=1+1/2, 我们已 将所需要的数分解为整数和分数， 所以，生成割平面的条件为:
19
例二：用割平面法求解数规划问题
max Z x1 x 2
2 x1 x2 6
4 x1 5 x2 20
x1 , x2
0且为整数
初 始 表
20
初 始 表
最 优 表
21
最 优 表
1 3
x3
13x4
2 3
引入松弛变量s1 后得到下式，将此约束条件加到上表
中，继续求解。
1 3x31 3x4s1
1 4
x3
1 4
x4
1 2
也即：
x2
1 4
x3
1 4
x4
3 2
1
1
1
x2 4 x3 4 x4 1 2
x2
1
1 2
(1 4
x3
1 4
x4 )
1 2(1 4x31 4x4)0
13
1 4x31 4x4s1
1 2
14
此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割
成割平面的条件为:
1 4
x3
1 4
x4
1 2
现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：
1 4x31 4x4s1
1 2
4
1
1
1
4x34x4s1
2
5
此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割
平面，其条件为：
2
2
2
3
x4
3
s1
3
将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：
2 3
22
1 3x31 3x4s1
2 3
23
﹡
24
﹡
得到整数最优解，即为整数规划的最优解，而且此整数规划有
两个最优解： X＊= (0, 4), Z = 4, 或 X＊= (2, 2), Z = 4。
25
例二：用割平面法求解数规划问题
max Z x1 x 2
2 x1 x2 6
4 x1 5 x2 20
1 4
x3
1 4
x4
1 2
也即：
x2
1 4
x3
1 4
x4
3 2
1
1
1
x2 4 x3 4 x4 1 2
x2
1
1 2
(1 4
x3
1 4
x4 )
1 2(1 4x31 4x4)0
10
max Z x2
3 x1 2 x2 6
3 x1
2x2
0
x1 ,
x2
0且为整数
max Z x2
3 x1 2 x2 x3 6
2
例一：用割平面法求解整数规划问题
max Z x2
3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 0
x1 ,
x2
0且为整数
解：增加松弛变量x3和x4 ，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：
3
此题的最优解为：X＊ (1 , 3/2) Z = 3/2 但不是整数最优解，
引入割平面。以x2 为源行生成割平面，由于 1/4=0+1/4, 3/2=1+1/2, 我们已将所需要的数分解为整数和分数，所以，生
22
2
3x43s1s2
3
6
22
2
3x43s1s2
3
7
至此得到最优表，其最优解为 X＊= (1 , 1) , Z = 1, 这 也是原问题的最优解。
有以上解题过程可见，表中含有分数元素且算法过 程中始终保持对偶可行性，因此，这个算法也称为分 数对偶割平面算法。
8
例一：用割平面法求解整数规划问题
1
2、从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量xr,,
将最优单纯形表中该行的系数 和 a r分j 解b为r 整数部分和
小数部分之和，并以该行为源行，按下式作割平面方 程：
n
frj xj fr
jm1
a rj 的小数部分 b r 的小数部分
3、将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于 最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对 偶单纯形法求出新的最优解，返回1。