第九章 质点动力学基本方程

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例9-7
d 2x dx m 2 kmvx km dt dt 或 d 2x dx m 2 kmvx km dt dt
d2y dy m 2 kmvy mg km mg dt dt d2y dy m 2 kmvy mg km mg dt dt
F f
M m x2
O
R
在地球的表面，F为飞船的重力，即有
mg f
可得
M m R
2
fM gR
2
即
mgR 2 F x2
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飞船的运动微分方程可表示为
d2 x mgR 2 m 2 dt x2
x
A F
即
dv gR 2 2 dt x
dv dx dv
由于 v ，代入上式， dx dt dx 可得 dt
1
9.2 动力学的基本定律
质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿(1642— 1727)在总结前人，特别是伽利略研究成果的基础上提出来的,称为 牛顿三定律。
牛顿第一定律:质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即保 持静止或做匀速直线运动。 惯性: 不受力作用（包括受平衡力系作用）的质点，其运动状 态保持不变的性质称为惯性。匀速直线运动称为惯性运动。
d2y 即 2 g dt
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解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。 （d）质点运动微分方程
初始条件：t 0时，y0 h, v0 y v0 . 积分微分方程，得 1 2 v y gt v0 y gt v0t h 2
d2y m 2 mg dt
d2y 即 2 g dt
1N 1kg 1m / s2
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在精密仪器工业中，也用厘米克秒制(CGS)。力的单位是dyn(达因)，即
1dyn 1g 1cm / s2
牛顿和达因的换算单位是
1N 105 dyn
第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与反作用力
总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物
dv
gR 2 vdv 2 dx x
R
两边同时积分，可得
2 v0
1 1 v 2 gR R x
2 2
O
欲使飞船脱离地球引力范围，则当x →∞ 时，v≥0。取v=0， R=6370km， g=9.8 m/s2，可得
v0 2gR 11.2km / s
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例9-5
Fn r
O
6
故有
上式称为质点运动微分方程的矢量式。将上式投影到直角坐标轴上，
有
d2 x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy dt d2 z m 2 Fz dt
称为直角坐标形式的质点运动微分方程。将矢量形式的质点运动微分方程
投影到自然坐标轴上，有
初始条件：t 0时，y0 0, v0 y v0 . 积分微分方程，得 1 2 v y gt v0 y gt v0t 2
d2y m 2 mg dt
d2y 即 2 g dt
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解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。 （b）质点运动微分方程
初始条件： t 0时，y0 h, v0 y v0 . 积分微分方程，得 1 2 v y gt v0 y gt v0t h 2
粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为 了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在
0 时
才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
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已知:匀速转动。 时小球掉下。 0 求:转速n. 解：研究铁球
其中 v
n
30
v2 m FN mg cos R
体上。第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的。
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9.3 质点运动微分方程
9.3.1 质点运动微分方程三种表示法
设质点M的质量为m，在诸力F1,F2,…,Fn的作用下沿曲线运动，如图 所示。质点动力学基本方程为
ma F
而
M
F1 F2
d2r a 2 dt
d2r m 2 F dt
9.1 动力学的任务
动力学研究作用于物体上的力和物体运动状态变化之间的关系。
动力学的抽象模型 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。 质点动力学 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。 质点系动力学 刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
动力学在工程技术中的应用也极为广泛,例如各种机器、机构等的设计、 航空航天技术等，都要用到动力学的知识。 动力学的内容极为丰富，并且随着科学技术的发展在不断发展。
d2 s m 2 F dt 2 v m F n 0 Fb
称为自然坐标形式的质点运动微分方程。
切线
副 法 线
法平面
b
M T
运动轨迹 主法线
τ
T1 M' T'
n
密切面
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9.3.2 质点动力学的基本问题
1．第一类问题 已知质点的运动，求作用于质点上的力。求解这类问题实际上是一个求导数 的运算。求解这类动力学问题的步骤可大致归纳如下： (1) 选取研究对象，画受力图； (2) 分析运动，根据给定的条件，分析某瞬时的运动情况； (3) 根据研究对象的运动情况，列质点的运动微分方程； (4) 求解未知量 2．第二类问题Biblioteka d2y m 2 mg dt
d2y 即 2 g dt
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解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。 （c）质点运动微分方程
初始条件： t 0时，y0 0, v0 y v0 . 积分微分方程，得 1 2 v y gt v0 y gt v0t 2
d2y m 2 mg dt
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【例9-2】 质量为1kg的重物M，系于长度为l=0.3m的线上， 线的另一端固定于天花板上的D点，重物在水平面内做匀速 圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线，且悬线与铅直线 间的夹角恒为60o，如图所示，试求重物的速度和线上的张 力。 解：选择重物M为 研究对象，受力分析 如图所示。M的运动轨 迹为圆周，选用自然 坐标形式的质点运动
ma F
而 a
，
dv ， F mgsin ，代入上式，可得 dt
0
F l
m
又因为 v
dv mgsin dt
ds d (l ) l ，上式可表示为 dt dt
v
mg
ml mg sin
由于 sin ，上面的运动微分方程可写为
(a) (b)
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动力学问题最根本的依据。上式表明，质点的质量越大，其运动状
态越不容易发生改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是物体惯 性的度量。
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当质点同时受到几个力的作用时，式中的应为此汇交力系的合
力，此时，第二定律可表示为：
ma
F
在国际单位制(SI)中，力的单位是牛顿。质量为1kg的质点，获得1m/s2的 加速度时，作用于该质点的力为1N(牛顿)，即
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g 0 l
引入 k
g l
，则上式可表写为
k 2 0
它的通解为
A cos(kt )
，
由初始条件 ： t 0 0 ， v t 0 (l ) t 0 0 ，可得
A 0
这样单摆的运动方程可表示为
0
0 cos kt
这是一个周期函数，周期为
2 l T 2 k g
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【例9-4】试求脱离地球引力场的宇宙飞船所需的最小初速度。 解：取地球中心O为坐标原点，坐标轴x垂直向上。不妨设地球的半径为R， 地球的质量为M，飞船的质量为m。取 飞船A为研究对象，受力分析如图所示。F 是地球对飞船的引力，可表示为
x
A F
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第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点因受力作用而产
生加速度，其大小与作用于质点的力的大小成正比而与质量成反比。 或者质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。即
ma F
第二定律建立了质点的质量、作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导出质点的运动微分方程，它是解决
D
60
l r
F M mg
v
微分方程 .
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解：选择重物M为研究对象，受力分析如图所示。
M的运动轨迹为圆周，选用自然坐标形式的质点运动 微分方程 .
D
60
dv m F 0 dt
l r
b b
F
n
v2 m Fn Fsin60 r
M

v
mg
0 Fcos60 mg
联立求解，可得
R
当 0时, FN 0, 解得
g n 9.549 cos 0 R
g 当 n 9.49 时, 球不脱离筒壁。 R
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例9-6： 质量为的质点m，离地面为h，以初速度v0
作竖直上抛运动。设不计空气阻力，
试分别用不同坐标系，建立质点运动微分方程。
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解：不计空气阻力，质点只在重力作用下作直线运动。 （a）质点运动微分方程
已知其运动方程为x=acosωt，y=bsinωt，其中a、b和ω均
为常数，求质点M 所受到的力。
解：应用直角坐标形式的质点运动微分方程，可得质
点所受的力在x、y 轴上的投影的代数和分别为
d2 x 2 2 F m ma cos ω t m x x 2 dt
d2 y 2 2 F m mb sin ω t m y y 2 dt