高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 试题(新人教).
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题1.已知变量x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】做出线性约束条件下的可行域，观察图形可知可行域是由点围成的三角形及内部，当过点时取得最大值6【考点】线性规划点评：线性规划问题取得最值的点一般位于线段端点或可行域边界处2.已知点，点为平面区域：内一点，是坐标原点，则的最大值为________________.【答案】【解析】结合数量积的几何意义，当P点与D点重合时，为最大值，则最大值是。
【考点】数量积的几何意义点评：本题需要理解数量积的几何意义：向量与的数量积等于向量（）的模乘以向量（）在向量（）方向上的投影（）。
3.我校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则我校招聘的教师人数最多是名.【答案】【解析】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y="-x+z" 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值-1，截距最大时的直线为过x=5与2x-y-5=0⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10．故填写10.【考点】线性规划点评：此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．4.若实数x、y满足条件，则的最大值是（）A．3B．4C．6D．8【答案】D【解析】满足条件的可行域如下图所示：∵Z=，∴，故选D【考点】本题考查了线性规划的运用点评：角点法是解答点此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握5.已知，满足不等式组那么的最小值是________.【答案】3【解析】根据不等式组作出可行域如右图，平移直线x+2y=0到点（3,0）时，有最小值3【考点】本题考查了线性规划的运用点评：按照线性规划的步骤求解即可6.已知实数x,y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是A．3B．5C．1D．0【答案】B【解析】解：因为实数x,y满足约束条件，作出可行域可知当目标函数过点（2,1）点时，最大为5，选B7.若满足条件的整点恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】采用排除法，验证当时，存在9个整点，分别为（1,1），（0,0），（1,0），（2,0），（-1，-1），（0，-1），（1，-1），（2，-1），（3，-1）.故选C.8.若实数x,y满足条件则|x-3y|的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出如右图所示的可行域，令,则当直线z=x-3y经过点B时,z取得最小值。
高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确. 法二 结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C－x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是( ) A.[－5，3]B.[3，5]C.[－3，3]D.[－3，5]解析 作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0，1)时，3x ＋5y 有最大值5，平行移动l 0至l 2过点B (－1，0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.答案 D5.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 D6.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B.1C.32D.2解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是()A.－209B.1C.2D.5解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案 B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8).法二 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________.解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0：x －2y ＝0，∵y ＝x 2－b2，∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ， 又b min ＝－2，∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时， b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 1013.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12D.5解析 作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y)与定点A (1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ，联立⎩⎨⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值， z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15.答案 15。
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题1.设z＝x＋y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为() A．－3B．－2C．－1D．0【答案】A【解析】由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出的区域BCO，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线经过C时，直线的截距最大，此时z＝6，由，解得所以k＝3，解得B(－6,3)，代入z＝x＋y得最小值为z＝－6＋3＝－3，选A.2.若、满足约束条件，则的最小值为_______________.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线交轴于点，作直线，则可视为直线轴上截距的倍，当直线经过可行域上的点时，此时直线上的截距最大值，此时取最大值，即.【考点】线性规划3.若变量满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点处取得最大值，最大值为3.【考点】本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力.点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数.4.已知实数、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为根据不等式组得到线性规划区域，然后平移目标函数，可知过点（-2,2）目标函数最小，且为-2，选B.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．－3B．2C．4D．5【答案】C【解析】作出不等式组表示的可行域，当直线z=2y-3x经过点直线2x+y-2=0与x-2y+4=0的交点（0，2）时，z取得最大值，最大值为4.6.已知变量满足，则的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A（2，1），（1，0），（1，3），验证知在点A（2，1）时取得最大值，当直线z=3x+y过点A（2，1）时，z最大是7，故选C7.设变量满足约束条件，则的最小值为（）A．14B．10C．6D．4【答案】D【解析】则过点时，取最小值，，故选D。
高二数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》练习卷
高二数学必修5《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》练习卷知识点：1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．4、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．5、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．6、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．同步练习：1、不等式260x y -->表示的平面区域在直线260x y --=的（ ） A ．上方且包含坐标原点 B ．上方且不含坐标原点 C ．下方且包含坐标原点 D ．下方且不含坐标原点2、不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()0,2D ．()2,0 3、不等式490x y +-≥表示直线490x y +-=（ ） A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域（包括直线本身）D ．下方的平面区域（包括直线本身）4、原点和点()1,1在直线0x y a +-=两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0a <或2a >B ．2a =或0a =C ．02a <<D ．02a ≤≤5、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，表示的区域为D ，已知点()10,2P -，点()20,0P ，则（ ）A ．1D P ∉，2D P ∉B ．1D P ∉，2D P ∈C ．1D P ∈，2D P ∉ D ．1D P ∈，2D P ∈6、431210x y x y y +<⎧⎪->-⎨⎪≥⎩表示的平面区域内整点的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．8个7、不等式组43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域图形是（ ）A ．四边形B ．第二象限内的三角形C ．第一象限内的三角形D ．不能确定8、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．()24,7- B ．()7,24- C ．()(),724,-∞-+∞ D ．()(),247,-∞-+∞9、不等式260x y +-<表示的区域在直线260x y +-=的（ ） A ．右上方B ．左上方C ．右下方D ．左下方10、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．1C ．5D ．无穷大11、不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+>⎨⎪<⎩表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．12、不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．13、不等式组()()5003x y x y x -++≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域是一个（ ）A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形 14、在直角坐标系中，满足不等式220x y -≥的点(),x y 的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）A ．B ．C ．D ．15、已知点()00,x y P 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则（ ）A ．00320x y +>B ．00320x y +<C ．00328x y +<D ．00328x y +>16、已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．5B ．6-C ．10D ．10- 17、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元、70元的样片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种 18、设R 为平面上以()4,1A ，()1,6B --，()3,2C -为顶点的三角形区域（包括边界），则43z x y =-的最大值与最小值分别是（ ）A ．最大值14，最小值18-B ．最大值14-，最小值18-C ．最大值18，最小值14D ．最大值18，最小值14- 19、目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ） A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的一半的相反数D ．该直线纵截距的两倍的相反数20、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件51122239211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1010z x y =+的最大值是（ ）A ．80B ．85C ．90D ．9521、在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积是（ ）A． B ．4 C． D ．2 22、点()2,t -在直线2360x y -+=的上方，则t 的取值范围是（ ） A ．23t >B ．23t <C ．23t >-D ．23t <- 23、若01x ≤≤，02y ≤≤，且21y x -≥，则224z y x =-+的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．524、已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ） A ．73 B ．83C ．2D ．3 25、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]2,5C ．[]3,6D ．()3,526、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格与3枝康乃馨的价格比较的结果是（ ）A ．2枝玫瑰价格高B ．3枝康乃馨价格高C ．价格相同D ．不确定27、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是_____________________．28、原点在直线210x y -+=的①左侧，②右侧，③上方，④下方，其中正确判断的序号是____________________．29、若01x ≤≤，12y -≤≤，则4z x y =+的最小值是__________________．30、若0x ≥，0y ≥，23100x y +≤，260x y +≤，则64z x y =+的最大值是________． 31、已知12a ≤≤，13b -≤≤，则2a b +的取值范围是__________________．32、求2z x y =+的最大值和最小值，使式中x 、y 满足约束条件*20204,x y x y x x y -≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪∈N⎩，则z 的最大值是__________，最小值是____________．33、设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_______________．34、设2z x y =+式中变量x ，y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值是_______________．35、某厂使用两种零件A ，B 装配两种产品X ，Y ．该厂月生产能力X 最多为2500个，Y 最多为1200个．A 最多为14000个，B 最多为12000个．组装X 需要4个A ，2个B ，组装Y 需要6个A ，8个B ．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．36、已知x、y满足约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，分别确定x、y的值，使2z x y=+取得最大值和最小值．37、某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B 型卡车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．。
(新课标)2020版高考数学总复习二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习文新人教A版
第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.--B.--C.--D.--答案 C 将原点坐标(0,0)代入2x-y+2,得2>0,于是2x-y+ ≥ 所表示的平面区域在直线2x-y+2=0的右下方,结合所给图形可知C正确.2.(一题多解)(2019河北唐山模拟)设变量x,y满足---则目标函数z=2x+y的最小值为( )A. B.2 C.4 D.6答案 A 解法一:作出不等式组---对应的可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-2x+z过点C时,在y轴上的截距最小,此时z最小,由-得所以C,z min= ×+=,选A.解法二:作出不等式组-对应的可行域,如上图中阴影部分所示.分别计算出可行域顶点坐标--A(1,0),B(2,2),C,代入目标函数求出对应的z值分别为2,6,,所以z的最小值为.则z=x-2y的最大值为( )3.(2018陕西教学质量检测(一))若变量x,y满足约束条件--A.4B.3C.2D.1答案 B 解法一:由约束条件可知可行域的边界分别为直线y=1,x+y=0,x-y-2=0,则边界的交点分别为(-1,1),(3,1),(1,-1),分别代入z=x-2y,得对应的z分别为-3,1,3,可得z的最大值为3,选B.解法二:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x-2y=0并平移,由题图可知,当直线过点(1,-1)时,z取得最大值,z max=1- ×(-1)=3,选B.4.实数x,y满足(a<1)且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )A. B. C. D.答案 B 在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,当目标函数z=2x+y 经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点A(a,a)时有最小值3a,由= × a 得a=.5.不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为( )A.(0,3]B.[-1,1]C.(-∞ ]D.[ +∞)答案 D 直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时k=k CM=-(- )-=3.因此k≥ 即k∈[ +∞).故选D.6.若x,y满足约束条件-yy-则当取最大值时,x+y的值为( )A.-1B.1C.-D.答案 D 作出可行域如图中阴影部分所示,的几何意义是过定点M(-3,-1)与可行域内的点(x,y)的直线的斜率,由图可知,当直线过点A(0,)时,斜率取得最大值,此时x,y的值分别为0,,所以x+y=.故选D.7.若实数x,y满足| |≤y≤ 则x2+y2+2x的最小值为( )A. B.- C. D.-1答案 B 作出不等式| |≤y≤ 表示的可行域如图中阴影部分所示:x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点(-1,0)距离的平方,由图可知,(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线y=-x的距离的平方,即为=,所以x2+y2+2x的最小值为-1=-.故选B.8.(2018湖北武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克,B原料3千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在每天消耗A,B原料都不超过12千克的条件下,生产这两种产品可获得的最大利润为( )A.1 800元B.2 100元C.2 400元D.2 700元答案 C 设每天生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,每天的利润为z元.根据题意,有∈∈z=300x+400y.作出所表示的可行域,如图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,当直线经过点(0,6)时,z有最大值,z max= ×6= 故选C.9.(2019江西上饶模拟)已知P(x,y)为不等式组----所确定的平面区域上的动点,若点M(2,1),O(0,0),则z=·的最大值为.答案11解析画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,联立---解得A(4,3).由点M(2,1),O(0,0),得z=·=2x+y,则y=-2x+z,显然直线y=-2x+z过A(4,3)时,z最大,此时z= × + = .10.已知变量x,y满足约束条件---且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m= .答案1解析作出线性约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示.若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个,不符合题意.若m≠ 则目标函数z=x+my可看作斜率为-的动直线y=-x+,若m<0,则->0,数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个;若m>0,则-<0,数形结合可知,当动直线与直线AB重合时,有无穷多个点(x,y)在线段AB上,使目标函数z=x+my 取得最小值,则-=-1,即m=1.综上可知,m=1.11.(2019福建漳州调研)若不等式组---所表示的平面区域被直线l:mx-y+m+1=0分为面积相等的两部分,则m= .答案解析由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域,如图所示.联立可行域边界所在直线方程,可得A(-1,1),B-,C(4,6).因为直线l:y=m(x+1)+1过定点A(-1,1),直线l 将△ABC分为面积相等的两部分,所以直线l过边BC的中点D,易得D,代入mx-y+m+1=0,得m=.12.实数x,y满足不等式组----则z=|x+2y-4|的最大值为.答案21解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·的几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由---得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时z max=21.13.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 解析 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为6 6∈∈ 即6 66 - ∈ ∈ 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分整点所示.(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z 变化的一族平行直线.为直线在y 轴上的截距,当取得最大值时,z 的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距最大,即z 最大.解方程组6 6-得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.B 组 提升题组1.已知不等式组- -所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与区域D 有公共点,则k 的取值范围是( )A.[-3,3]B.-∞ -∪∞C.(-∞ - ]∪[ +∞)D.-答案 C 不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分,y=kx-3表示过定点E(0,-3)的直线.易知k EB=-3,k EC=3,故k的取值范围为(-∞ - ]∪[ +∞) 故选C.2.若x,y满足--且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为( )A. B.C.1D.2答案 D 由选项得m>0,作出不等式组--(m>0)表示的平面区域,如图中阴影部分.因为z=3x-y,所以y=3x-z,当直线y=3x-z经过点A时,直线在y轴上的截距-z最小,即目标函数取得最大值2.由--得A(2,4),代入直线mx-y=0得2m-4=0,所以m=2.3.(2017课标全国Ⅰ 分)设x,y满足约束条件--则z=3x-2y的最小值为.答案-5解析由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在A点处取最小值,又由-解得-即A(-1,1),所以z min= ×(-1)- × =-5.4.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 000解析设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y.根据题意得 . ..6 ∈即6∈作出可行域(如图阴影部分中的整点).由6 得6.当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,z max= ×6 + × = 6 .故所求的最大值为216 000元.。
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第 2 讲二元一次不等式(组 )与简单的线性规划问题一、选择题1.不等式 (x－ 2y＋1)(x＋ y－ 3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示 )，应是下列图形中的 ()x－ 2y＋1≤0，解析法一不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或x＋ y－ 3≥ 0 x－2y＋ 1≥0，画出对应的平面区域，可知 C 正确 .x＋y－3≤0，法二结合图形，由于点 (0，0)和 (0，4)都适合原不等式，所以点 (0，0)和(0，4)必在区域内，故选 C.答案 Cy≤－ x＋ 2，2.(2016 泰·安模拟 )不等式组y≤ x－1，所表示的平面区域的面积为 ()y≥ 01 1 1A.1B.2C.3D.4解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知 x By＝－ x＋2， 1 1＝，C＝由得y D ＝，所以△ BCD ×(x C1 x 2.2 S ＝2y＝ x－ 1，1 1－x B)×2＝4.答案 Dx － y ≤0，3.(2017 广·州二测 )不等式组 x ＋ y ≥－ 2，的解集记为 D ，若 (a ， b)∈D ，则 z ＝x － 2y ≥－ 2 2a －3b 的最小值是 ( )A. －4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当 a ＝－ 2，b ＝0，z ＝2a － 3b 取得最小值－ 4.答案Ay ≤－ x ＋ 1，4.(2017 长·春质量监测 )若 x ， y 满足约束条件 y ≤ x ＋1， 则 3x ＋5y 的取值范y ≥ 0，围是 ( )A.[ －5，3]B.[3 ， 5]C.[－3，3]D.[ －3，5] 解析 作出如图所示的可行域及 l 0： ＋＝ ，平行移动 l 0 到 1 过点 A(0 ， 1) 3x 5y 0 l 时， 3x ＋ 5y 有最大值 5，平行移动 l 0 至 l 2 过点 B(－ 1， 0)时， 3x ＋5y 有最小值－ 3，故选 D.答案Dx ＋y － 2≤ 0，5.x ，y 满足约束条件 x －2y －2≤0，若 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，2x －y ＋2≥0.则实数 a 的值为 ()11A. 2或－ 1B.2 或2C.2 或 1D.2 或－ 1解析 如图，由 y ＝ax ＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a ＞ 0 时，要使 z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一， 则 a ＝ 2；当 a ＜0 时，要使 z ＝y －ax 取得最 大值的最优解不唯一，则 a ＝－ 1. 答案 Dx ＋y －3≤0，若函数y ＝2 x图象上存在点 (x ，y)满足约束条件 x －2y － 3≤ 0，则实数 m 的最6.x ≥m ，大值为 ( )13A. 2B.1C.2D.2x ＋ y －3≤0，解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝ 2x 的图象及所表示的x － 2y －3≤0平面区域，如图阴影部分所示 .由图可知，当 m ≤1 时，函数 y ＝2x 的图象上存在点 (x ，y)满足约束条件，故 m的最大值为 1.答案Bx ≥1，y ≥－ 1，7.(2017 石·家庄质检 )已知 x ，y 满足约束条件若目标函数 z ＝y －4x ＋y ≤9， x ＋y ≤3，mx(m>0)的最大值为 1，则 m 的值是 ( )20A. － 9B.1C.2D.5解析 作出可行域，如图所示的阴影部分 .化目标函数 z ＝y －mx(m ＞0)为 y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线 y ＝ mx ＋z 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x ＝1，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2，即 A(1，2)，∴ 2－ m ＝1，解得 m ＝1.故选 B.答案Bx － y ＋1≤0，8.(2016 贵·州黔东南模拟 )若变量x 、 y满足约束条件y ≤ 1，x>－1，则 (x －2)2＋y 2 的最小值为()A.3 2 2B. 59C.2D.5 解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设 z ＝(x －2)2＋y 2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方，y ＝ 1，x ＝0，由图知 C 、D 间的距离最小，此时 z 最小 .由 得 即 C(0，1)，x － y ＋ 1＝ 0 y ＝1， 此时 z min ＝ (x －2)2＋ y 2＝4＋1＝5，故选 D.答案 D 二、填空题x ＋ y － 2≥ 0，设变量 x ， y 满足约束条件 x － y － 2≤ 0， 则目标函数 z ＝ x ＋2y 的最小值为9.y ≥ 1，________.解析由线性约束条件画出可行域 (如图所示 ).由 z ＝ x ＋ 2y ，得1 11 y ＝－ 2x ＋ 2z ，2z 的几何意义是直线1 1y ＝－ 2x ＋2z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使 1 2z 最小，易知当直线1 1y ＝－ 2x ＋ 2z 过点A(1，1) 时， z 最小，最小值为 3.答案310.(2017 滕·州模拟 )已知 O 是坐标原点，点M 的坐标为 (2，1)，若点 N(x ， y)为x ＋y ≤2，→ →1，平面区域 x ≥上的一个动点，则 OM · 的最大值是 ________.2 ONy ≥x解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，1 11 3 其中 A 2，2 ，B 2，2 ， C(1，1).→ →设 z ＝ OM ·ON ＝2x ＋y ，当目标函数 z ＝2x ＋y 过点 C(1，1)时，z ＝2x ＋ y 取得最大值 3.答案311.已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 4 且 2＜x －y ＜3，则 z ＝ 2x －3y 的取值范围是 ________(答案用区间表示 ).a＋b＝2，解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得a－b＝－ 3，a＝－1，1 5 －2＜－1（ x＋ y）＜1，2 2 2解得 5 所以 z＝－2(x＋y)＋2(x－y).又 5 15 b＝2，5＜2（x－y）＜2，所以两式相加可得 z∈(3，8).－1＜x＋y＜ 4，法二作出不等式组表示的可行域，如图2＜ x－ y＜3中阴影部分所示 .平移直线 2x－3y＝0，当相应直线经过 x－y＝2与 x＋ y＝ 4 的交点 A(3，1)时，z 取得最小值，z min＝2×3－ 3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－ 1 与 x－y＝ 3 的交点 B(1，－ 2)时， z 取得最大值， z max＝2×1＋3×2＝8.所以 z∈ (3，8).答案(3， 8)2x＋y≥0，已知实数，满足x－y≥ 0，设 b＝x－ 2y，若 b 的最小值为－ 2，则 b 的12. x y0≤x≤ a，最大值为 ________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示 .x b作出直线 l0：x－2y＝0，∵ y＝2－2，∴当 l 0平移至 A 点处时 b 有最小值， b min＝－ a，又b min＝－ 2，∴ a＝2，当 l0平移至 B(a，－ 2a)时，b 有最大值 b max＝a－2×(－2a)＝5a＝ 10.答案1013.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 .每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是400 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B 原料都不超过 12 千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1 800 元B.2 400 元C.2 800 元D.3 100 元解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、 y 的约束x≥ 0， x∈N，y≥ 0， y∈N，条件为设获利 z 元，则 z＝300x＋ 400y.x＋ 2y≤12，2x＋y≤12.画出可行域如图 .画直线 l ：300x＋ 400y＝0，即 3x＋ 4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值x＋2y＝12，由解得2x＋y＝12，.x＝ 4，y＝ 4，即M 的坐标为 (4，4)，∴z max＝300×4＋400× 4＝ 2 800(元)，故选 C.答案 C2x＋y－2≤0，y－114.(2017 许·昌监测 )设实数 x，y 满足x－ y＋ 1≥0，则x－1的最小值是 ()x－ 2y－1≤0，A. －51 B.－21C.2D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分y－1所示，则w＝的几何意义是区域内的点P(x，y)x－11 4与定点 A(1，1)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位于点3，3时，直线 AP 的4斜率最小，此时 w＝y－1 3－1＝－1的最小值为1 2，故选 B. x－13－1答案 Bx＋ 2y－3≤0，，满足约束条件x＋ 3y－3≥0，若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)15.已知变量 x yy－ 1≤ 0，仅在点 (3， 0)处取得最大值，则 a 的取值范围是 ________.解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z＝ax＋ y 仅在点 (3，0)处取得最大值，则直线 y＝－ ax＋z 的斜率1 1应小于直线 x＋2y－ 3＝ 0 的斜率，即－ a<－2，∴a>2.1答案2，＋∞16.(2015 浙·江卷 )若实数 x，y 满足 x2＋ y2≤1，则 |2x＋y－4|＋|6－ x－3y|的最大值是 ________.解析∵x2＋ y2≤1，∴2x＋y－4＜ 0， 6－ x－ 3y＞0，∴|2x＋ y－4|＋|6－ x－ 3y|＝4－2x－y＋ 6－ x－ 3y＝10－3x－4y.令z＝ 10－3x－4y，4如图，设 OA 与直线－ 3x－ 4y＝0 垂直，∴直线 OA 的方程为 y＝3x，4y＝3x，得 A －3 4联立5，－5 ，x2＋y2＝ 1，∴当 z＝10－ 3x－4y 过点 A 时， z 取最大值，3 4z max＝ 10－3× －5－4× －5＝ 15.答案15。
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题试题1.已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是 .【答案】【解析】因为已知是实数，且满足约束条件，画出可行域由得【考点】简单线性规划点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．2.若实数x、y满足条件，则的最大值是（）A．3B．4C．6D．8【答案】D【解析】满足条件的可行域如下图所示：∵Z=，∴，故选D【考点】本题考查了线性规划的运用点评：角点法是解答点此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握3.已知实数满足的最小值为( )A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】画出线性约束条件的可行域，由可行域知目标函数z=x+y的最小值为2.【考点】简单的线性规划问题。
点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转化为斜截式的形式，即的形式，但要注意的正负。
当为正时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最大时对应的点；当为负时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最小时对应的点。
4.已知实数x,y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是A．3B．5C．1D．0【答案】B【解析】解：因为实数x,y满足约束条件，作出可行域可知当目标函数过点（2,1）点时，最大为5，选B5.若变量x,y满足约束条件，则的最小值为 ( )A．14B．17C．3D．5【答案】D【解析】解：约束条件的可行域如图所示，由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选D6.若实数x,y满足条件则|x-3y|的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出如右图所示的可行域，令,则当直线z=x-3y经过点B时,z取得最小值。
直线z=x-3y经过点A时，z取得最大值。
因为A(1,0),B(1,2),所以Zmin=-5,Zmax =1.所以|z|=|x-3y|max=5,故选B.7.已知点在直线上，则的最小值为 .【答案】【解析】有条件得。
即所以有。
当且仅当，即时等号成立。
高考数学 分类题库考点27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题()理 新人教版
考点27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2011·安徽高考文科·Ｔ6）设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+，，，0x 1y -x 1y x 则x y +2的最大值和最小值分别为（ ）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2 （D ）2，-1 【思路点拨】画出可行域，确定三条直线的交点，代入x+2y 取最值.【精讲精析】 选B. 0,1,1==-=+x y x y x 三条直线的交点分别为（0,1），（0，-1）， （1,0），分别代入x+2y ，得到最大值为2，最小值为-2.2.（2011·安徽高考理科·Ｔ4）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（ ） （Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 【思路点拨】此题属于线性规划问题，先画出1x y +≤表示的平面区域，再求目标函数z=2x y +的最值.【精讲精析】选B.首先画出1x y +≤表示的平面区域. x+y=1, x+y=-1, x-y=-1, x-y=1,这四条直线的交点为 （0,1），（0, -1），（1, 0），（-1, 0），由图像可知当目 标函数过点（0,1）时取得最大值2，过点（0，-1）时 取得最小值-2.3.（2011·福建卷理科·Ｔ8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1），若点M （x,y ）为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是（ ）(A)[-1,0] (B)[0,1] (C)[0,2] (D)[-1,2]【思路点拨】结合约束条件画出可行域，OA OM x y ⋅=-+u u u r u u u u r令z=作为目标函数，数形结合求值域.【精讲精析】选C. 由题意,不等式组2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图所示：1xy-11-1由数量积的坐标运算易得：[]min max ,-,,1,10,0,22,0,2.OA OM x y x y z y x z y x z B z y x z C z OA OM ⋅=-++==+=+==+=⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r令即易知目标函数过点（）时，目标函数过点（）时，故的取值范围是 4.（2011·山东高考文科·Ｔ7）设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为（ ）(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【思路点拨】本题可先根据题意画出平面区域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得最值. 【精讲精析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示,由目标函数231z x y =++得直线2133z y x -=-+，当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B.5.（2011·湖南高考理科·T7）设m>1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m的取值范围为（ ） (A))21,1(+(B)),21(+∞+(C)（1，3） (D)),3(+∞【思路点拨】本题主要考查了线性规划的基础知识和数形结合思想的运用，只要准确认真作图，本题就容易了，而且题型只有两种：一是已知约束条件和目标函数求最值.二是已知最值和约束条件而求目标函数中的参数情况或已知最值和目标函数而求约束条件中的参数情况.【精讲精析】选A.在平面直角坐标系中作出直线y x x y 1=+=和，再作出直线y mx =和直线1zy x m m=-+，即可解决. 6.（2011·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩x x y x y 则目标函数3z x y =-的最大值为（ ） (A)-4 (B)0 (C)43(D)4【思路点拨】本题考查线性规划问题.【精讲精析】选D.作出线性约束条件x 1,x y 40,x 3y 40≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩的可行域，如图所示，显然，可行域是由点)35,1(A ，)2,2(B ，)3,1(C 所围成的三角形区域，显然，当线性目标函数03=--z y x 经过点)2,2(B 时，z 有最大值4223max =-⨯=z .故选D.7.（2011·浙江高考理科·Ｔ5）设实数x 、y 满足不等式组25>027>00,0x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【思路点拨】线性规划问题，要注意其中最优点应为整点.043=+y【精讲精析】选B.25=0x y +-与27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优点，因为25>0x y +-与27>0x y +-不包括边界,区域中不含（3，1）,所以当直线移至（4，1）时34x y + 取得最小值16.8.（2011·浙江高考文科·Ｔ3）若实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩,则3x +4y 的最小值是（ ）(A)13 (B)15 (C)20 (D)28 【思路点拨】线性规划问题，画出可行域,通过平移直线340x y +=可得. 【精讲精析】选A.25=0x y +-与27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优点，此时34x y + 取得最小值13.二、填空题9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为______【思路点拨】可以设2(2+)()z x y x y x y λμ=+=+-，然后利用待定系数法，求得λ和μ的值，然后通过"2"x y +和""x y -本身的范围求得2z x y =+的范围.另外本题也可以用线性规划的知识来解决.【精讲精析】解析1：令2(2)()z x y x y x y λμ=+=++-＝(2)()x y λμλμ++-，212λμλμ+=⎧∴⎨-=⎩，11=⎧∴⎨=-⎩λμ，(2)()z x y x y ∴=+--， 又3299()6x y x y ≤+≤-≤--≤-Q ，，6(2)()3x y x y ∴-≤+--≤，min 6z ∴=-.解析2：由约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域如下图所示，将目标函数2=+z x y 化为斜截式为1122=-+y x z ，平移目标函数，可知当目标函数过9x y -=和23x y +=的交点（4,-5）时，Z 有最小值，将点（4,-5）代入目标函数2=+z x y 得min 6.z =-【答案】-610.（2011·湖南高考文科T14）设m>1，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下，目标函数z=x+5y 的最大值为4，则m的值为______【思路点拨】本题考查利用线性规划法求二元函数在不等式条件下的最值.y【精讲精析】在平面直角坐标系中作出对应的区域和451,=+≤+≥y x y x x y ,.3=≤m mx y 直线，即可得到再作出【答案】311.（2011·陕西高考文科·T12）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________.【思路点拨】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．【精讲精析】目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 取值最小，此时2111z =⨯-=． 【答案】1。
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3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规
划问题
第1题. 已知满足约束条件则的最大
值为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ａ
第3题. 已知点，，则在表示的平面区域内的点是（）
Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．
答案：Ｃ
第4题. 若则目标函数的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ
第5题. 设是正数，则同时满足下列条件：；
；；；的不等式组表示的平面区域是一个凸边形．
答案：六
第6题. 原点与点集
所表示的平面区域的位置关系是，点与集合的位置关系是．
答案：在区域外，在区域内
第7题. 点到直线的距离等于，且在不等式表示的平面区域内，则点坐标是．
答案：
第8题. 给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函
数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是．
答案：
第9题. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何
调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
答案：解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车型车限量
车辆数
运物吨
数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知
当直线过时，最
小，但不是整点，继续向上
平移直线可知，是最
优解．这时
（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．
第10题. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／
飞机运输量
／
粮食 石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安
排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为
．
作出可行域，如图所示． 作出在一组平行直线
（为参
数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线
和
的交点
，直线方程为：
．
由于不是整数，而最优解中
必须都是整数，所以，
可行域内点
不是最优解．
方式
效果 种类
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是
，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
第11题. 用图表示不等式表示的平面区
域．
答案：解：
第12题. 求的最大值和最小值，
使式中的，满足约束条件．
答案：解：已知不等
式组为
在同一直角坐标
系
中，作直线，和，
再根据不等式组确定可行域△（如图）．
由解得点．
所以；
因为原点到直线的距离为，
所以．
第13题. 预算用元购买单价为元的桌子和元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的倍．问：桌、椅各买多少才合适？答案：解：设桌椅分别买，张，由题意得
由解得
点的坐标为．
由解得
点的坐标为
以上不等式所表示的区域如
图所示，
即以，，为顶点的△及其内部．
对△内的点
，设
， 即
为斜率为，轴上截距为的平行直线系．
只有点与重合，即取
，
时，取最大值．
，
．买桌子张，椅子张时，是最优选择．
第14题. 画出不等式组表示的平面区域，并求出
此不等式组的整数解．
答案：解：不等式组表示的区域如图所示，
其整数解为
第15题. 如图所示，
表示的平面区域是
（ ）
答案：C
第16题. 已知点和在直线的两侧，则的
取值范围是（ ） Ａ．或 Ｂ．或
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
第17题.
给出平面区域如图
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷
多个，则的值为（ ） Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
第18题. 能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
第19题. 已知目标函数中变量满足条件则（）
Ａ．Ｂ．，无最小值
Ｃ．，无最大值Ｄ．无最大值，也无最小值
答案：Ｃ
第20题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
第21题. 已知，满足约束条件则的最
小值为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｂ
第22题. 满足的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｃ
第23题. 不等式表示的平面区域在直线
的（）
Ａ．右上方Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方
答案：Ｂ
第24题. 在中，三顶点，，，点
在△内部及边界运动，则最大值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ
第25题. 不等式组表示的平面区域是一个（）
Ａ．三角形Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形
答案：Ｃ
第26题. 不在表示的平面区域内的点是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
第27题. 中，三个顶点的坐标分别为，，，点在内部及边界运动，则的最大值及最小值分别是和．
答案：，
第28题. 已知集合，，，则的面积是．
答案：。