2003年韶关一中明星学校“明星杯”知识竞赛数学试卷(数学试题 竞赛模拟)
2003年高考数学试题及答案(江苏卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为 （ ）A ．B ．C ．D ． 2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xxA ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．[a 1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[a b D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.已知n a ,0>为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
2003年高考理科数学真题及答案[全国卷I]【精选文档】
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一。
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ）（A)247 (B)247-（C ）724 （D)724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ )（A ）2cos -=θρ (B ）2cos =θρ （C)2sin =θρ (D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）(∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）(∞-，1-）⋃（1,∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( )(A ）21+ （B)12- （C)2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ）（A ）2 （B)22- （C)12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22R π （B ）249Rπ （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点,MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x (B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1］（C ）x arcsin +π1[-∈x ,1] (D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1］10．已知长方形的四个顶点A(0，0），B(2,0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角)，设4P 的坐标为(4x ，0），若214<<x ，则tgθ的取值范围是（ ）（A ）（31,1） （B ）（31,32） （C ）（52，21) （D)(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A)3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）（A ）π3 (B ）π4 （C ）π33 （D)π6二。
2003年高考数学真题及答案[全国卷I]
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003年第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程323223232xx+-+=-+的根是（ ）A ．3-B ．2C ．1-D ．02．（5分）设323(437)3770x x x +---=，则43277372x x x x +--+的值为（ ）A ．307B ．30C ．7D ．03．（5分）方程组224||||04||||0x x y y y x ⎧-+=⎨-+=⎩在实数范围内（ ） A ．有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解4．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，x <>表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数）．例如[3.4]3=，{3.4}4=， 3.43<>=．则不等式组{}23.24[]3{}235.624.343[]237.7x x x x x x x x ++<>+⎧⎨<>+++⎩的解为（ ） A ．2.2 3.6x ， 2.5x ≠，3.5B ．24x ， 2.5x ≠，3.5C ．2.2 3.6xD ．2x =，3 5．（5分）作自然数带余除法， 有算式27A B C ÷=． 如果100B <，且80215240A B C -++=，则A =（ ）A ． 2003B ． 3004C ． 4005D ． 43596．（5分）如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）A ．400B ．300C ．200D ．1507．（5分）在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为（ ）A ．5468B ．6028C ．5828D ．50588．（5分）如图，::1:2:1BP PQ QC =，:1:2CG AG =，则::BE EF FG =（ ）A ．12:17:7B ．11:16:6C ．10:15:6D ．9:14:59．（5分）设23482222135357579959799S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，24712221335579597T =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，则123S T -=（ ） A ．48219603- B ．4829603- C ．48213201- D ．4823201- 10．（5分）设99n =…9（100个9），则3n 的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（ ）A ．201B ．200C ．100D ．199二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）在实数范围内分解因式：4234x x -+= ．12．（5分）已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===-++-+-，则232437a b c a b c ++-=-++ ． 13．（5分）不等式232||3353||5x x x x ++>++的解是 ． 14．（5分）要使分式222424x x x x x x +----+和22222x x x x --+--都有意义，则x 的取值范围是 ．15．（5分）设215322x y xy x+-=，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．（5分）如图，护城河在CC '处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD '，EE '．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使A 到B 的路程最短．这个最短路程为 米．17．（5分）四边形ABCD 的四边长为34AB =，2(7)1BC m =-+，22(6)CD m n =+-，216DA n =+，一条对角线227(5)BD n =+-，其中m ，n 为常数，且07m <<，05n <<，那么四边形的面积为 ．18．（5分）设0x ≠，1x ≠，21P x =-，212x Q x-=，2(2)(1)x x R x -=-，且AP BQ CR s ++=对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数， 2422145(1)x x x s x x -+-=-．则AQ BR CP ++= (0,1)x ≠． 19．（5分）利用不等式33A B CABC ++，A ，B ，0C >，等号成立当且仅当A B C ==”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子（折缝不计），要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x = dm ．20．（5分）以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕” = ．可怕非典⨯抗⨯抗⨯抗⨯抗=非典不可怕．。
2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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32003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。
第I 卷 至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共60 分）.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1.已知x（2,0), cosx —，则 tg 2x5 ()(A ) L(B )—(C ) 24(D )矽2424772•圆锥曲线8sin 一的准线方程是()2 cos(A ) cos 2(B ) cos2 (C )sin 2 (D )sin23•设函数 f (x)2 x11 x 0牡，右 f (x °)1 ,则x °的取值范围是( )x 2x 0(A )( 1, 1)(B )(1 , )(C )(2)(0, )(D )(,1)(1,) 4.函数y2sin x(sin x cosx)的最大值为()(A ) 1 2(B ) 2 1(0 2(D ) 25.已知圆 C: (x a)2 (y 2)24 (a0) 及直线l : x y 30 , 当直线 l 被C 截得的弦长为2 . 3时，则am n |(A ) 1(B ) 3(C )丄 (D ) 3428一 2MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是1至2页，第n 卷36. (A ) 2(B )已知圆锥的底面半径为R, 高为 (C ) 2 1(A ) 2 R 2已知方程（X 2942x m)(x 2 (B ) 2x 3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（（D - R 22(C) £ £n ） 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则 4&已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ( 7 , 0)，直线 yx 1与其相交于 M N 两点,x [1] 1]P 3和P 4 （入射角等于反射角），设P 4的坐标为（X 4 , 0），若1 X 4 2，贝U tg 的取(A ) y- 149.函数 f(x)sin x ,2 2 2 (B )二 1 ( C) \43x r的反函数f2 ' 22 y- 1 2(D )2y_ 1 5(A ) arcsinx x [ 1, 1] (B ) (C )arcsinx x[1, 1](D )10•已知长方形的四个顶点A (0, 0), 中点P 0沿与AB 的夹角的方向射到 1(x)arcs in x arcs inxB (2, 0),C ( 2, 1 )和D （0, 1）, 一质点从AB 的 BC 上的点R 后，依次反射到CD DA 和 AB 上的点F 2、值范围是 (B ) ( 1,3) 3(C )(A ) ( 1, 31)2 22 211. limC 21C 3 1C 41C n1nn(C 2 C 3C 4C n )(A ) 3(B ) 1(C ) 136(),丄）(D ) (2,)553()(D ) 62，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（(A ) 3(B ) 4(C ) 3 3(D ) 612. 一个四面体的所有棱长都为x [1]1]二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003全国数学乙卷
2003全国数学乙卷本试卷分第1卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第1I卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.第1卷（共50分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.若集合M=（r|VE;4），N=（x |3x;1），则MON =（）.A：[r|0;r;2）B：（x;r;2）C：[r|3 ;r;16）D：（x1;r;16）2.若i（1-=）=1，则：+3=（）A：-2 B：-1 C：1D：23.在AABC中，点D在边AB上，BD =2DA.记CA=m，CD=n.则CB=（）.A：3m-2n B：-2m +3nC：3m + 2n D：2m +3n4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m时，增加的水量约为（V7= 2.65）（）.A：1.0 x 100 m3 B：1.2 x 100 m3C：1.4 x 109 m3D：1.6 x 109 m35，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）.A1/6 B1/3 C1/2 D2/36.记函数f（z）= sin（wr+）+b（w; 0）的最小正周期为T.若〈T;x，且y=f（z）的图像关于点（、2）中心对称，则f（）=A.1 B3/2 C2/5 D3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，7.已知正方体ABCD-asic，Di，则（）.A：直线bcg与DA1所成的角为90°B：直线BC；与CA1所成的角为90°C：直线BC]与平面BB，DiD所成的角为45D：直线BC]与平面ABCD所成的角为45°8.已知函数f（r）=r3-r+1，则（）.A：f（r）有两个极值点B：f（r）有三个零点C：点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心D：直线y=2r是曲线y=f（z）的切线9.已知0为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C:r=2py（p;0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（）A：C的准线为y=-1B：直线AB与C相切C：OPI-JOQ ; |OA D：BPI-|BQI ; |BA210.已知函数f（z）及其导函数J"（z）的定义域均为R，记g（z）= f'（r）.若f（；-2r），9（2+r）均为偶函数，则（）.A：f（0）=09 B：g（-1）=g（2）C：f（-1）= f（4）D：g（-1）= g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.（1-）（z+ y）*的展开式中ry的系数为（）（用数字作答）.12.写出与圆r2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程15.若曲线y=（r+a）e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是13.已知椭圆C：+=1（a;b;0），C的上顶点为A.两个焦点为Fi，Fz，离心率为过F：且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE=6，则AADE的周长是四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.（10分）记S，为数列（an的前n项和，已知a1=1，）是公差为：的等差数列.（1）求（an）的通项公式；（2）证明：=+-++;2.15.（12分）已知函数/（r）=e'-ar 和g（r）= ax-jnr有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线y=6，其与两条曲线y=f（r）和y= g（r）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列16.（12 分）cos A记AABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知1+ sin A（1）若C=，求B；（2）求的最小值。
2000-2003年“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解【圣才出品】
2 ． (16 1.63 2.87 1250.115 0.0163963) 0.11 （ ）。 A． 20 B． 26 C． 200
所以，A 的末尾的零的个数是 205 个。 故正确的答案选 B。
6 ．中国首位航天员杨利伟乘神舟 5 号飞船，在约 400 公里高空绕地球 14 圈，飞行约 21 小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约 6400 公里，不
计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是（ ）。
A． 60 万公里和 9.7 公里／秒 B． 61 万公里和 8.3 公里／秒 C． 60 万公里和 7.9 公里／秒 D． 61 万公里和 7.8 公里／秒 【来源】 2003年第 15 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
31 4
31 7
31 8
15 31
1 2
1 4
1 7
1 8
1 2
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1 8
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故正确的答案选 B。
4 ．已知 3A 2B : 7A 5B 13: 31，那么 13A 12B : 17A 15B （ ）。
A． 5 : 4 B． 4 : 5 C． 9 : 7
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【答案】C
【解析】因为飞船在约 400 公里高空绕地球飞行，且地球半径为 6400 公里，所以，
飞船绕行的总半径为
6400 400 6800 （公里）。 又已知杨利伟绕地球飞行 14 圈，因此，杨利伟飞行距离为 2 680014 597856
2003年高考.广东卷.数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在同一坐标系中，表示直线ax y =与a x y +=正确的是（ ）2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．28．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a y a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π 10．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ， 则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是14．9)12(2x x -展开式中9x 的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离. 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数xc y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=+-（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题： 13．]4,2( 14．221-15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 16．72三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即19．函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n na a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n nn n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a即为.51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n na a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n故a 0的取值范围为).31,0(。
2003年春季高考数学试题(北京文)及答案-2003年高考数学试题
2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a > 2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B ．32- C ．34- D ．－23．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 ( )A ．－2B ．2C ．－21 D ．21 4．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．tgC tgA <B ．ctgC ctgA < C ．C A sin sin <D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．－π125B ．π125 C ．π127 D ． π1213 8．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是( )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A BCD10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为()A ．6B ．12C ．15D ．3011．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为 AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0° 12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 ( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数12sin +=x y 的最小正周期为14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则=rR15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是三、解答题：本题共6小题，共74分17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x 18．（本小题满分12分） 已知函数)(,2cos 1cos 5cos 6)(24x f xx x x f 求+-=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.（1）（2）AC1A 119．（本小题满分12分）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点.（Ⅰ）求三棱锥D 1—DBC 的体积.；（Ⅱ）证明BD 1∥平面C 1DE ；（Ⅲ）求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A 10.D 11.B 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π 14．332 15．（140）（85） 16．32 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222>⇔⎩⎨⎧><>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或.故原不等式的解集是}3|{>x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos 5)(cos 6)(24x x x x f -+---=-)(),(2cos 1cos 5cos 624x f x f xx x 所以=+-=是偶函数.又当xx x x f Z k k x 2cos 1cos 5cos 6)(,,4224+-=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）解：3212221311=⋅⋅⋅⋅=-DBC D V . （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE. ∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1.∵BD 1⊄平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE ， ∴BD 1∥平面C 1DE.（Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， C 1C ⊥平面ABCD ，∴∠C 1H ⊥DE ， ∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC=2，CC 1=1，CE=1， ∴52121222=+⨯=⋅=DE CE CD CH ，AC 1A 1∴2552111===∠CH C C HC C tg 即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P 的坐标为（x ，y ）. 由a yc x y c x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x . 当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac 为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ， 整理得304200)4100(50132000164501)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f . 所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒= .2130sin 11=︒=+---n n nn r r r r 所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-AC所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→。
2003年全国高考数学试卷
（ 1）求 V(x) 的表达式；
（ 2）当 x 为何值时， V(x) 取得最大值？
A
（ 3）当 V（ x）取得最大值时，求异面 直线 AC与 PF
所成角的余弦值。
DE B
F C 图6
21．（ 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，经过点
x2
2
y
1有两个不同的交点 P 和 Q ．
2
（I ）求 k 的取值范围；
（1） ( 根据 10 年浙江卷改编 ) 设 P { x | x 2}, Q { x | x2 1}
（ A） P Q
（ B） Q P
（ C） P CR Q
（ D） Q CR P
（2 ） （原创）已知等比数列 { an } 的公比为正数， 且 a3 · a 9 = 4 a52 ， a 2 =1，则 a1=
（ 16 ） 已 知 平 面 向 量 a, (a 0,a ) 满 足
1, 且a与 a 的 夹 角 为 120 °
a 的取值范围是
。
（17）（原创）中国从 5 名外交官中选派 4 人去日本、韩国、菲律宾参加公益活动，每人一
个国家， 要求去日本两人参加，去韩国一人参加，去菲律宾一人参加，则不同的选派方法
(0， 2) 且斜率为
k 的直线 l 与椭圆
（II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A， B ，是否存在常数 k ，使得向量
OP OQ 与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
22．（15 分）数列 an (n
N * ) ，a1
a,an 1是函数 f n( x)
OP OQ 与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
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2003年韶关一中明星学校“明星杯”知识竞赛
数 学 试 卷
（竞赛时间：60分钟，满分100分）
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、选择题。（把正确选项填写在下面相应表格里，每小题2分，共20分）
1、已知a÷b=2c，4c应等于（ ）
A、2a÷2b B、2a÷b C、4a÷b D、a÷4b
2、如果a÷78 =b×78 (a、b都是自然数)，那么（ ） A、a﹤b B、a≧b C、a=b D、a≦b 3、一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ） A、增加16 B、乘以2 C、除以13 D、增加24 4、求7m比4m多百分之几，正确列式是（ ） A、（7—4）÷7 B、（7—4）÷4 C、1—4÷7 D、7÷4—1 5、把2米长的要料平均锯成7段，每段占全长的（ ） A、27 B、27 米 C、17 米 D、17 6、一根要料，锯成3段，需6分钟，如果锯成6段需（ ） A、9分钟 B、12分钟 C、15分钟 D、10分钟 7、一个边长4cm的正方形，把4个角各剪去边长1cm的小正方形，那么它的周长（ ） A、减少8cm B、增加8cm C、减少4cm D、周长不变 8、一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积的比是1︰2，它们高的比是（ ） A、2︰1 B、1︰4 C、1︰2 D、1︰1 9、小王、小李和小张，同时各做120个同样的机械零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了60个，照这样计算，小李做完时，小张还差多少个没做？（ ） A、48 B、40 C、20 D、12 10、一条公路修了全长的14 ，离中点还有40千米，这条公路全长是多少千米？正确的算式是（ ） A、40÷（1－14 ） B、40÷14 C、40÷（12 －14 ） D、40÷（12 ÷14 ） 二、填空题：（共29分） 1、在下列括号中，填上适当的整数。（3分） 3÷（ ）=0.6=18（ ） =（ ）20 =（ ）%=（ ）︰（ ） 2、在括号中填上适当的分数。（2分） （1）（ ）÷35 －27 ×710 =25 （2）1÷[45 ×（ ）－ 15 ]=3 3、三个数的平均数是50，这三个数的比是3︰7︰5，它们分别是＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿＿ 。（3分） 4、已知两个自然数的乘积是540，它们的最大公约数是6，那么它们的最小公倍数是＿＿＿＿。（2分） 5、在a÷b=9……5中，把a、b同时扩大3倍后，商是＿＿＿＿，余数是＿＿＿＿。（2分） 6、在不等式57 ×（ ）4 ＜1的括号中，可以填的自然数是＿＿＿＿＿。（3分）
7、找规律，在括号中填上适当的数。（5分）
（1）45 ，25 ，15 ，（ ），120 ，（ ），（ ）。
（2）12 ，34 ，98 ，2716 ，（ ），（ ）。
8、一个最简真分数，它的分子与分母的和是14，这个最简真分数最大的是＿＿＿＿＿，最小的是＿＿
＿＿＿。（2分）
9、把一个四边都是5厘米的平行四边形拉成一个正方形后，面积增加了7.5平方厘米，原来平行四边
形的高是＿＿＿＿＿厘米（2分）
10、一个长方体木料的长和宽都是4分米，高是8分米，这根木料的体积是＿＿＿＿＿＿，如果把这
根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是_____________（3分）
11、一个长方形的面积是210平方厘米，它的长和宽是两个连续的自然数，这个长方形的周长是
___________（2分）
三、计算题。（每小题4分，共12分）
（1）8÷（12 ×14 +34 ×52 ） （2）3.625×7.75+3.625×1.25+3.625
密
封
线
毕
业
学
校
：
姓
名
：
报
名
号
：
试
室
号
：
（3）（1－ 13 ）×94 ÷[1+13 ÷49 ]
四、列方程解下列两题文字叙述题。（每小题5分，共10分）
（1）一个数的2倍的512 ，比3的14 还多12 ，这个数是多少？
（2）甲乙两数的和是50，如果甲数去掉它的14 ，乙数去掉1后，两数正好相等，甲乙两数原来各是多
少？ 五、综合运用知识，解决下面的实际问题。（25分） 1、如图所示，以三角形的三个顶点为圆心的三个等圆（等圆就是半径相等的圆），互不相交，三个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。（π取3.14） 2、下面是明星超市2002年下半年销售商品情况统计图。 看图回答下面问题 （1）哪个月分的销售量最大？哪个月份的销售量最小？（2分） 答：___________月份的销售量最大？___________月份的销售量最小？ （2）哪个月与上个月销售量相比是下降的。（2分） 答： ___________与上个月销售量相比是下降的。 （3）哪两个月之间的销售量增长的最快？（3分） 答：___________两个月之间的销售量增长的最快。
（4）八月份比七月份的销售量增长了_______%。（3分）
3、某市的民用电费原来每度是0.72元，今年4月份开始调整电价，为鼓励市民节约用电，调整方案如
下：
（1）每月用电不超过50度，每度提价0.13元。
（2）超过50度的，超过部分每度提价0.28元。
小张同学家今年5月份交电费58元，求小张家5月份用了多少度电？（3分）
密
封
线