【配套K12】高三数学学情调查(三)试题苏教版

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教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版必修3：课时跟踪检测(十五) 线性回归方程-含解析

课时跟踪检测（十五）线性回归方程层级一学业水平达标1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是________．(填序号) ①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以用确定的表达式表示两者的关系； ④都可以作出散点图．答案：①④2．根据下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案：②③3．已知x 与y 之间的一组数据如下表：则x 与y 之间的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点______．解析：首先可求x －＝2.5，y －＝4.25，又回归直线必过点(x －，y －)，故回归直线必过点(2.5,4.25)．答案：(2.5,4.25)4．已知某工厂在2015年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加______万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974，得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)．答案：4.865．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．层级二应试能力达标1．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________． ①球的体积和它的半径 ②人的血压和体重③底面积为定值的长方体的体积和高 ④城镇居民的消费水平和平均工资答案：①③2.如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D 点．答案：D3．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：684．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：85．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x －＝7，y －＝41.6，则a ＝y －－2.3x －＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)．答案：156．工人月工资y (元)依据劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，当劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高________元．解析：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b 的意义是当x 增加一个单位时，y 的值平均变化b 个单位，这是一个平均变化率，线性回归方程不是一种确定关系，只能用于预测变量的值，所以当x 增加一个单位1千元时，工资平均提高80元．答案：807．如果在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，那么y 与x 之间的线性回归方程是________．解析：由题意，得x －＝2.5，y －＝4.5，∑i ＝14x i y i ＝50.2，∑i ＝14x 2i ＝30，∴b ＝1.04，a ＝4.5－1.04×2.5＝1.9，故线性回归方程为y ^＝1.04x ＋1.9.答案：y ^＝1.04x ＋1.98．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是________．①b ＞b ′，a ＞a ′；②b ＞b ′，a ＜a ′；③b ＜b ′，a ＞a ′；④b ＜b ′，a ＜a ′. 解析：x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝57， a ＝y －－b x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b ，a ′＝－2＜a .答案：③9．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：x－＝0，y－＝3.2，b＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5.a＝y－－b x－＝3.2.由上述计算结果，可知所求回归直线方程为y^－257＝b(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2.即y^＝6.5(x－2 010)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．10．(全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w －＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v ^－β^u －.解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －w－y i －y－∑i ＝18w i －w－2＝108.81.6＝68， c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.z＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．所以当x＝13.62故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。

江苏省南京市高三年级学情调研卷(数学)无答案.pdf

3.1有理数的加法（2）一、学习目标1、理解有理数加法的运算律2、能用运算律简化有理数加法的运算三、学习 1、 2、你会用字母表示加法的这两条运算律吗?〖〗运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置．把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错．〖〗例1 计算(＋16)＋(－25)＋ (＋24)＋(－32)．例2 计算(－2．1)＋(＋3．75)＋(＋4)＋(－3．75)＋(＋5)＋(－4)．例3 计算(－2．39)＋(＋3．57)＋(－7．61)＋(－1．57)．例4 计算(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )．例5 计算下列各题： (1)0．2＋(－5．4)＋(－0．6)＋(＋6)； (2)(＋3．15)＋(－2．64)＋(－6．31)＋(＋2．85)＋(－９．36)．例6 若|y－3|＋|2x－4|＝0，求3x＋y的值． (1)1033.78+(-26)+(-39)+(-38); (2)12.7+(-24.6)+(-29.1)+6.8; (3)1.3+0.5+(-0.5)+0.3+(-0.7)+3.2+(-0.3)+0.7; (4)(-109)+(-267)+(+108)+268; （2）小京同学在计算16+(-24)+22+(-17)+(-56)+56时, 利用加法交换律、结合律先把正负数分别相加,得16+22+56+[(-24)+(-17)+(-56)].你认为这样算能使运算简便吗?你认为还有其它方法吗?〖〗小钱上周五以收盘价买进股票1000股,每股20元.下表为本周每日股票的涨跌情况(按收盘价即交易结束时的价格计算): 星期一二三四五每股涨价(元)+0.6-1.3+1+0.7-2(1)到本周三收盘时,小钱所持股票每股多少元? (2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元? 〖〗1、本节课我们探索了有理数加法运算律，灵活运用加法运算律可使运算简便。

江苏省徐州市铜山区秋实学苑2022届高三数学学情调研试题苏教版

2022届高三学情调研卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A=｛ | g||=0｝，B=｛ | 错误!＜21＜4｝,则A∩B= ▲ ． 2．若集合{}2,M y y x x Z ==∈，3119x N x Rx ⎧-⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则M N 的真子集的个数是▲ ．73．已知集合{}2,1-=P 与{}01=+=kx x M 满足P M P = ，则实数k 的值所组成的集合是 ▲ ． 10,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭4 若()()213f x a x ax =-++是偶函数，则()f x 的递增区间为 ▲ ．(),0-∞5．已知()()()10.51,1log ,a x a x f x x x <⎧--=⎨≥⎩在区间()+∞∞-,内是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ．5.00<<a6 若函数212()mm f x x ++=m N ∈,则)18(f )4(f +与)11(2f 的大小关系为 ▲ ．)18(f )4(f +)11(2f 21x x 、11212+-⎪⎭⎫⎝⎛=xx =+21x x 1-()()11331log 1log 12x x +≤-[)0,10时f 是单调函数，则满足)2x 11(f )x (f +-=的所有之和为 ▲ ． -410．定义在R 上的函数f = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2022）的值为 ▲ ．011．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[2,)-+∞ 12．若对,[1,2]x y ∈，2xy =，总有不等式24ax y-≥-成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．0≤a13．若关于x 的方程kx x x =-2||有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,014．已知函数f=(31)4(1)log (1)a a x a x xx -+<⎧⎨≥⎩在R 不是单调函数．．．．．．，则实数a 的取值范围是 ▲ ．),1()1,31[)71,0(+∞⋃⋃ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，（1）求()f x 的解析式；（2）若n m <<0，且[]n m x ,∈时，)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1 试求m ，n 的值 16（本小题满分14分）设集合}0)5()1(2|{},023|{222=-+++==+-=a x a x x B x x x A（1）若}2{=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围；（3）若A B C A R U U ==)(, ，求实数a 的取值范围。

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题(解析版)

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分；当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要，故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-，解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=，则3a =（） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±，判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =，所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)，则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-，两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅，代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=，解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<，同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<，所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<，设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增，所以c a b <<，故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确；故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α，又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//，且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程，故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-，则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内；当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ，所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=，解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==，则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-，令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=，令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-，联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=，因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ，所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =，则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =，则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =，则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

高中数学 2023-2024学年江苏省南京市高三(上)学情调研数学试卷(零模)(9月份)

2023-2024学年江苏省南京市高三（上）学情调研数学试卷（零模）（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．A ．{x |3≤x <4}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |1≤x <4}1．（5分）已知集合A ={x |x 2-4x +3≤0}，B ={x |2<x <4}，则A ∩B =（）A ．2B ．-2C ．2iD ．-2i2．（5分）复数z =3−i 1+i的虚部为（）A ．6B ．-6C ．24D ．-243．（5分）（x -2x）4展开式中的常数项为（）A ．m -2nB ．m +2nC ．2m +nD ．-m +2n4．（5分）在△ABC 中，D 为AB 边的中点，记CA =m ，CD =n ，则CB =（）→→→→→→→→→→→→→A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．（5分）设O 为坐标原点，A 为圆C ：x 2+y 2-4x +2=0上一个动点，则∠AOC 的最大值为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．（5分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点B 的平面α与直线A 1C 垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（）7．（5分）新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m .已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v （v >1），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t 的函数关系为ρ（t ）=（1-λ）m v 0+λm v 0e -vt ，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为45，且t =1时室内空气中颗粒物的浓度是t =2时的32倍，则v 的值约为（参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986）（）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．A ．1.3862B ．1.7917C ．2.1972D ．3.5834A ．（0，π2）B ．（π2，3π2）C ．（π2，5π2）D ．（π2，+∞）8．（5分）若函数f （x ）=sin （ωcosx ）-1（ω>0）在区间（0，2π）恰有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．a b>-1B ．|a |<|b |C ．1a+1b >0D ．（a -1）（b -1）<19．（5分）若a <0<b ,且a +b >0，则（）A ．平均数为2B ．中位数为2C ．方差为2D ．标准差为210．（5分）有一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，已知5i =1x i =10，5i =1x 2i=30，则该组数据的（）A ．CD ⊥A ′BB ．当A ′D ⊥BD 时，三棱锥A ′-BCD 的体积为83C ．当A ′B =23时，二面角A ′-CD -B 的大小为2π3D ．当∠A ′DB =2π3时，三棱锥A ′-BCD 的外接球的表面积为20π11．（5分）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =22，D 是AB 的中点．将△ACD 沿CD 翻折，得到三棱锥A ′-BCD ，则（）√√A ．y =f （x ）+x 为偶函数B ．f （x ）的图象关于直线x =1对称C ．f '（0）=1D ．f '（x +2）=f '（x ）+212．（5分）函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，且f （x ）-f （-x ）=2x ,f '（1+x ）+f '（1-x ）=0，则（）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （3，4），则sin （π+α）= ．14．（5分）某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为．15．（5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n =V Y Y W Y Y X 2n (n +2)，n 为奇数，a n −1，n 为偶数，则S 8=．16．（5分）已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 右支上一点，线段PF 1与C 的左支交于点M ．若∠F 1PF 2=π3，且|PM |=|PF 2|，则C 的离心率为．17．（10分）已知公比大于1的等比数列{a n }满足：a 1+a 4=18，a 2a 3=32．（1）求{a n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =2b n -a n ，n ∈N *，证明：{b n a n}是等差数列．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知asinB +3bcosA =0．（1）求A ；（2）若a =3，sinBsinC =14，求△ABC 的面积．√19．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A ，B 两门学科成绩作为样本．将他们的A 学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B 学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A 学科良好与B 学科良好有关；B 学科良好B 学科不够良好合计A 学科良好A 学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A ，B 学科均良好的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．附：K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .P （K 2≥k 0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA =BF =3，AD =3，点G 是线段BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ；（2）求直线EF 与平面DAF 所成角的正弦值．√21．（12分）已知O 为坐标原点，F （1，0）是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．当A 为短轴顶点时，△AOF 的周长为3+3．（1）求C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ，M 为线段AB 的中点，求|PM |⋅|PQ |的取值范围．√22．（12分）已知函数f （x ）=ae x -x -a ,其中a >0．（1）若a =1，证明：f （x ）≥0；（2）设函数g （x ）=xf （x ），若x =0为g （x ）的极大值点，求a 的取值范围．。

江苏省如东县掘港高级中学高三数学第三次调研考试试题苏教版

数学试卷（Ⅰ）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合}12|{},2|||{+==≥=x y y B x x A ，则=B A . 2．已知x 为实数，则“3x ≥”是“2230x x --≥”的条件 3．已知,αβ都是锐角，1sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=____ __. 4．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是____ __. 5. 已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为．6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为（结果保留π）__________．7．顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是．8. 函数12ln y x x=+的单调减区间为__________．9. 设定义在区间（20π，）上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．10. 已知直线01=+-y kx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，若点M 在圆C 上，且有+=（O 为坐标原点），则实数k = .11. 已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a 的取值范围 .12．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2nn n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S = ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是．14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。

[配套K12]2018版高中数学第二章统计 2.3.2 方差与标准差学业分层测评苏教版必修3

2.3.2 方差与标准差(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一组数据1,3，x 的方差为23，则x ＝________.【解析】由x －＝1＋3＋x 3＝4＋x3，且s 2＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋x 32＝23，得x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2. 【答案】 22．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则平均命中环数为________；命中环数的标准差为________．【解析】平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；方差为s 2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4，所以s ＝2.【答案】 7 23．某样本的5个数据分别为x,8,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，则其方差为________．【解析】由题意知x ＋8＋10＋11＋9＝50，解得x ＝12，故方差s 2＝15[(12－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.【答案】 24．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：【解析】 ∵x －甲＝7，s 2甲＝15(12＋02＋02＋12＋02)＝25，x －乙＝7，s 2乙＝15(12＋02＋12＋02＋22)＝65，∴s 2甲<s 2乙，∴方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.【答案】 255．对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27,38,30,37,35,31；乙 33,29,38,34,28,36.根据以上数据，可以判断________更优秀．【解析】 x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)．s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝946≈15.7(m 2/s 2)． x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝766≈12.7(m 2/s 2)． ∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，说明甲乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，乙比甲更优秀．【答案】乙6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图238所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的有________．(填序号)图238①X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定； ②X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定； ③X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定； ④X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定．【解析】 ∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， ∴X 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，X 乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X 甲<X 乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．【答案】 ①7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图239中以x 表示：图239则7个剩余分数的方差为________．【解析】根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.【答案】3678．若样本x 1＋1，x 2＋1，…，x n ＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2的平均数为________，方差为________．【解析】 ∵x 1＋＋x 2＋＋…＋x n ＋n＝10，故x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n －n ＝9n ，故x 1＋x 2＋…＋x n ＋2n ＝11n ， ∴x 1＋＋x 2＋＋…＋x n ＋n＝11，s 21＝1n [(x 1＋1－10)2＋(x 2＋1－10)2＋…＋(x n ＋1－10)2]＝1n[(x 1－9)2＋(x 2－9)2＋…＋(x n －9)2]＝1n[(x 1＋2－11)2＋(x 2＋2－11)2＋…＋(x n ＋2－11)2]＝s 22.故所求的平均数为11，方差为2. 【答案】 11 2 二、解答题9．某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：甲套设备：504,510,505,490,485,485,515,510,496,500；乙套设备：496,502,501,499,505,498,499,498,497,505.试确定这是何种抽样方法？比较甲、乙两套设备的平均值与方差，说明哪套包装设备误差较小？【解】 (1)根据三种抽样方法的定义，可知这种抽样方法是系统抽样． (2)甲套设备的平均值、方差分别为 x －1＝110(504＋510＋505＋490＋485＋485＋515＋510＋496＋500)＝500，s 21＝110[(504－500)2＋(510－500)2＋…＋(500－500)2]＝103.2，乙套设备的平均值、方差分别为 x －2＝110(496＋502＋501＋499＋505＋498＋499＋498＋497＋505)＝500，s 22＝110[(496－500)2＋(502－500)2＋…＋(505－500)2]＝9. 可见，x －2＝x －1，s 21>s 22，所以乙套设备较甲套设备更稳定，误差较小．10．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图2310所示．图2310(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面的结果，对两人的训练成绩作出评价．【解】 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲 10分 13分 12分 14分 16分乙 13分 14分 12分 12分 14分甲的平均得分为：10＋13＋12＋14＋165＝13，乙的平均得分为：13＋14＋12＋12＋145＝13.s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．[能力提升]1．甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2311所示．图2311①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差．上面说法正确的是________．(填序号) 【答案】 ③④2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x 、y 、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________.【解析】 x －＝x ＋y ＋10＋11＋95＝10，可得x ＋y ＝20， ①根据方差的计算公式s 2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋12＋12]＝2，可得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋200＝8， ②由①②得|x －y |＝4. 【答案】 43．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝12x 1－2＋x 2－2]＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为方程(x －2)2＋(y －2)2＝2的解，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,34．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：【解】设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)，依题意有x －＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y －＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)， s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)(此处x －＝90，y －＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2)＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s ＝51.所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为51.。

2024届江苏省无锡市四校高三下学期学情调研数学试卷及答案

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷高三数学命题人：复核人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N = （）A. {|22}x x -<<B. {01}，C. {012}，，D. {|02}x x <<2．已知a ,b ,c 是空间的一个基底，则可以与向量p =a +b ，q =a−b 构成基底的向量是( )3．若直线l :ax +(1−a)y−3=0与直线l :(a−1)x +(2a +3)y−2=0互相垂直，则a 的值为( )5．如图，一个底面边长为23π3cm 的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm 的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm ．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）的面积等于( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( )10．设a 为常数，1(0)2f =，()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=-+-，则( )A. 1()2f a =B. 1()2f x =恒成立C. ()2()()f x y f x f y += D. 满足条件的()f x 不止一个11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱1B B 的中点，则下列选项正确的是()A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．不存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13．若直线()0y kx b b =+<是曲线2e x y -=的切线，也是曲线ln y x =的切线，则b =．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A ，B 两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.已知M(4,6)，点N 在圆C:x 2+y 2+6x +4y =0上运动，若点P 满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积2221()sin 2S b c a A=+-17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B−B1E−D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知A m=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮a m,1a⋯a m,m(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记d(a i,j,a s,t)=|a i,j−a s,j|+|a s,j−a s,t|.设n∈N∗，若A m满足如下两个性质：①a i,j∈{1,2,3;⋯,n}(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈{1,2,3,⋯,n}，存在i∈{1,2,⋯,m},j∈{1,2,⋯,m}使得a i,j=k，则称A m为Γn数表．(1)判断A3=123231312是否为Γ3数表，并求d(a1,1,a2,2)+d(a2,2,a3,3)的值；(2)若Γ2数表A4满足d(a i,j,a i+1,j+1)=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得d(a i,j,a s,t)=0．2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01}，故选：B 2．D [试题解析]因为a ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误；因为b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误；因为a +2b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误；因为a +2c ，p =a +b ，q =a−b ，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D3．D [试题解析]∵l 1⊥l 2，∴a(a−1)+(1−a)×(2a +3)=0，即(a−1)(a +3)=0，解得a =1或a =−3.故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(n +1)项，其和为a 1+a 2n +12⋅(n +1)=2a n +12⋅(n +1)=290，∴(n +1)a n +1=290．偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2⋅n =2a n +12⋅n =na n +1=261，∴a n +1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积V =1×=4π3cm 3，又V =13π×12×ℎ(cm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为12+42=17cm ，故圆锥的侧面积为17πcm 3．故选：A ．6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B 有2,4,5号三种选择，有3A 3＝18；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 3＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5号一种选择，有A 3＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆I 与x 轴、P F 2、P F 1分别切于点E 、H 、F ，因为双曲线C 的右顶点为A (3,0)，F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|AF 1|−|AF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PF 1|−|PF 2|=6，所以|PF 1|−|PF 2|=(|PF |+|FF 1|)−(|PH |+|HF 2|)=|FF 1|−|HF 2|=|F 1E |−|EF 2|=6，因此切点E 与A 重合．又因为内切圆I 的半径为1，所以I (3,1)，又F 1(−5,0)，F 2(5,0)，|IF 1|= 65,|IF 2|= 5,cos ∠F 1IF 2=65+5−1002 65× 5=−313,所以tan ∠F 1IF 2=−23,解得tan∠F 1PF 22=32,所以S △F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22=323，所以△PF 1F 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作y =f(x)，y =12的图象，若由图象观察可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4，当f(f(x))=12时，由f(x)=x 1，0<x 1<1存在4个不同根，f(x)=x 2，1<x 2<2存在2f(x)=x 3，2<x 3<3存在2个不根，f(x)=x 4，3<x 4<4，存在2个不根，综上f(f(x))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由asin A =bsin B =csin C ，根据等比的性质有bsin B =a +b +csin A +sin B +sin C ，正确；B ：当A =π3,B =π6时，有sin 2A =sin 2B ，错误；C ：sin B cos C +sin C cos B =sin (B +C)，而B +C =π−A ，即sin B cos C +sin C cos B =sin A ，由正弦定理易得a =b cos C +c cos B ，正确；D ：如图，AE AB |AB |,AF AC |AC |是单位向量，则AB |AB |AC |AC |=AE +AF =AG ，即AG ⋅BC =0、AE ⋅AF =12，则AG ⊥BC 且AG 平分∠BAC ，AE ,AF 的夹角为π3，易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD10．ABC [试题解析]令0x y ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+-，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x -=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =-+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y -=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确.令y x =可得2(2)2[()]0f x f x =…，即函数取值非负.令y a x =-可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥，若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE ︒∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz -，连接1BC ，则11//AD BC ，所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，，所以122EF BC a ⋅=- ，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅= ，得22a -=，解得4a =±，符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V --=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯ ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V -为定值，所以三棱锥E ADF -的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−429[试题解析]因为sinα−=13，α∈(0,π)，α−π6∈−π6又因为sinα−=13<sin5π6=12，所以α−π6∈0,所以cos22 3,所以sin2=2sinα−α−=429,cos2α=cos2α−+=cos2α−=−sin2α−=−429. 故答案为：−429.解：由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(−3,−2)设点P(x0,y0)，则|x0−4|+|y0−6|=2，故点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A(4,8)，B(6,6)，则|AC|=149，|BC|=145，则|PN|≤|AC|+r=149+13，，即17．（15分）解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CM=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，1从而C 1M ⋅B 1D =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意，CA =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1=(0,2,1)，ED =(2,0,−1)．设n =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⋅EB 1=0n ⋅ED =0，即{2y +z =02x−z =0，不妨设x =1，可得n =(1,−1,2)．cos <CA ,n CA n 22×6=66，∴sin <CA ,n =306．所以，二面角B−B 1E−D 的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，AB =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ,n >=AB n=−422×6=−33．所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33.18．（17分）解：(1)由题意得e 1=a 2−1a，e 2=a 2+1a，所以e 1e 2=a 4−1a 2=154，又a >0，解得a 2=4，(i)故双曲线C 2的渐近线方程为y =±2x ；(ii)设直线AB 的方程为x =ty +4，ty +4,y 2=1,消元得：(t 2−4)y 2+8ty +12=0，Δ>0且t ≠±2，所以y 1+y 2=−8tt 2−4,y 1y 2=12t 2−4,故1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=−2t3，又直线A A 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，所以y 3=3y 1x 1+2，同理y 4=3y 2x 2+2，所以1y 3+1y 4=13(x 1+2y 1+x 2+2y 2)=13(ty 1+6y 1+ty 2+6y 2)=2ty 1y 2+6(y 1+y 2)3y 1y 2=23t +2(y 1+y 2)y 1y 2=23t +2(1y 1+1y 2)=23t−43t =−23t ，故1y 1+1y 2=1y 3+1y 4．(2)设两个切点为P 1(x 5,y 5)，P 2(x 6,y 6)，由题意知P P 1，P P 2斜率存在，直线P P 1方程为l 1:y =k 1(x−x 5)+y 5，y 2=1,k 1(x−x 5)+y 5,由Δ=0得k 1=−x 5a 2y 5，所以l 1:x 5x a 2+y 5y =1，同理直线P P 2方程为l 2:x 6x a 2+y 6y =1，由l 1，l 2过P +y 5y 0=1,+y 6y 0=1可得直线P 1P 2的方程为x 0x a 2+y 0y =1，不妨设，直线P 1P 2与双曲线两渐近线y =±1a x 交于两点P 1′(a 2x 0+ay 0,a x 0+ay 0)，P 2′(a 2x 0−ay 0,−a x 0−ay 0)，则围成三角形的面积S =12|a 2x 0+ay 0⋅−a x 0−ay 0−a x 0+ay 0⋅a 2x 0−ay 0|=|a 3x 20−a 2y 20|.因P 在双曲线C 2上，x 20−a 2y 20=a 2，则S =a 3a 2=a 为定值．19．（17分）解：(1) A 3=123231312是 Γ3 数表，d(a 1,1,a 2,2)+d(a 2,2,a 3,3)=2+3=5.(2)由题可知 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −a i+1,j |+|a i+1,j −a i+1,j+1|=1 (i =1,2,3;j =1,2,3) ．当 a i+1,j =1 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −1|+|a i+1,j+1−1|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．当 a i+1,j =2 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −2|+|a i+1,j+1−2|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．所以a i,j+a i+1,j+1=3(i=1,2,3;j=1,2,3).所以a1,1+a2,2+a3,3+a4,4=3+3=6, a1,3+a2,4=3,a3,1+a4,2=3. a1,2+a2,3+a3,4=3+1=4 或者a1,2+a2,3+a3,4=3+2=5 ，a2,1+a3,2+a4,3=3+1=4 或者a2,1+a3,2+a4,3=3+2=5 ，a1,4=1 或a1,4=2 ，a4,1=1 或a4,1=2 ，故各数之和⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当A4=1111122212111212时，各数之和取得最小值 22 ．(3)由于Γ4数表A10中共 100 个数字，必然存在 k∈{1,2,3,4}，使得数表中 k 的个数满足 T≥25.设第 i 行中 k 的个数为r i(i=1,2,⋅⋅⋅,10).当r i≥2 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i−1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 R=∑r i⩾2(r i−1)⩾i=1∑10(r i−1)=T−10.设第 j 列中 k 的个数为c j(j=1,2,⋅⋅⋅,10) ．当c j≥2 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j−1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 C=∑c j⩾2(c j −1)⩾j=1∑10(c j−1)=T−10.所以 R+C≥2T−20，因为 T≥25 ，所以 R+C−T⩾2T−20−T=T−20>0 ．所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在 1<u<v⩽10,1<p<q⩽10,使得a u,p=a v,p=a v,q=k ，所以 d(a u,p,a v,q)=|a u,p−a v,p|+|a v,p−a v,q|=0 ，则命题得证．。

【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学苏教版必修3：课时跟踪检测(十)系统抽样分层抽样

课时跟踪检测（十）系统抽样分层抽样层级一学业水平达标1．下列抽样是系统抽样的是________．(填序号)①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5 min 抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下座谈．答案：①②④2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：为等距抽样，即为系统抽样．答案：系统抽样3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n ，由题意得，n 120＝2790，解得n ＝36.答案：364．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________.解析：由22＋3＋5＝6n ，得n ＝30.答案：305．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．解：(1)由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80，因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．(2)由题设可知青年职工共有310×3 200＝960人．设抽取的样本容量为n ，则有n3 200×960＝120.∴n ＝400，因此所抽取的样本容量为400.层级二应试能力达标1．从2 016个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．解析：先从2 016个个体中剔除16个，则分段间隔为2 00020＝100. 答案：1002．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．解析：由题意系统抽样的组距为20，则15＋39×20＝795，故第40个号码为0795. 答案：07953．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)．答案：454．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．解析：了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，25500＝20400，∴本题采用的抽样方法是分层抽样法．答案：分层抽样5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．解析：本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x ，x,3x ，则3x －x ＝12，∴x ＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－30＋6＋182＝3.故结果是3人．答案：36．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，第7组中号码的十位数字为6.所以抽取号码为63.答案：637．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．解析：甲、乙、丙抽取的个体数为x ，y ，z ，由题意x ＋z ＝2y ，即乙占总体的13，故乙生产线生产了16 800×13＝5 600.答案：5 6008．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是______件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，解得x ＝800.答案：8009．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题．本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户； ……(1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔应为30030＝10.其他步骤相应改为：确定随机数字：任取一张人民币，编号的最后一位为2；确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户； ……(3)在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一张人民币，记下编号的最后一位．10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36·6＝n6，技术员人数为n 36·12＝n3，技工人数为n 36·18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。

【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学苏教版必修3：课时跟踪检测（十）系统抽样分层抽样-含解析

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小初高试卷教案类 K12小学初中高中江苏省泰兴河失中学2011届高三学情调查（三）数学试题一、填空题（每小题5分，共70分） 1．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝__________

2．命题“2,10xRx”的否定是 3．已知函数f （x） = 3ax－2a + 1在区间（－1，1）内存在x0；使f （x0） = 0，则实数

a的取值范围是．

4．若函数1(),10()44,01xxxfxx则4(log3)f ．

5．已知平面向量),2(),3,12(mbma，且a∥b，则实数m的值等于 6．等差数列}{na中，10S=120，那么92aa= ． 7．等差数列{an}中，1490,aSS，则nS取最大值时，n=__ ____． 8．已知函数f（x）=|lgx|．若09．已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是

_______ _______． 10．已知周期函数)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xf的最小正周期为3，,2)1(f

mmf则,)2(的取值范围为．

11．要使sinα－3cosα=mm4

64有意义，则应有．

12．函数f（x）=2sin（x+4

）+2sinxcosx在区间2,4上的最大值是．

13．若)(xf是偶函数,且当0)1(,1)(,),0[xfxxfx则时的解集是． 14．对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na，

则数列1nan的前n项和nS ．二、解答题 15．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）- m =0有解,求m的取值范围．小初高试卷教案类 K12小学初中高中 16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=32与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间; （2）若对x∈［-1,2］,不等式f（x）

17．如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；

A B

C D

E Q

P 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 18．已知函数3223()39fxxaxaxa．

（1）设1a，求函数fx的极值；（2）若14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立，试确定a的取值范围．。

19．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030x）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

20．（本题满分16分）设函数f（x）＝||2x

xaa （其中常数a＞0，且a≠1）．

（1）当a＝10时，解关于x的方程f（x）＝m（其中常数m＞22）；小初高试卷教案类 K12小学初中高中（2）若函数f（x）在（－∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．

参考答案一、填空题 1、｛x|2＜x＜3｝ 2、　Rx,012x 3．a>1/5或a<-1 4．3 5．a=1 5、

或－２2

6、24 7、6或7 8．(3,) 9．3[,)4 10．),2(11、－1≤m≤37 12、12 13、20x 14、.2221)21(21nnnS 二．解答题 15、解：（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．可知f（x）=f（-x） ∴log4（4x+1）+kx = log4（4-x+1）-kx ……………………………… 2分

即4

41log241xxkx



∴log4

4x=-2kx ……………………………… 4分

∴x=-2kx对x∈R恒成立． ……………………………… 6分

∴k=12． ……………………………… 7分

（2）解法一:由41()log(41)2xmfxx，

∴44411loglog(2).22xxxxm ……………………………… 9分小初高试卷教案类 K12小学初中高中 1222xx ……………………………… 11分

∴12m ……………………………… 13分故要使方程f（x）- m =0有解,m的取值范围: 12m．…………………… 14分解法二:∵ f（x）- m =0有解 ∴（2x）2-4m2x+1=0有解 ……………………………… 8分

设2x=t>0,则t2- 4mt+1=0在t>0上有解 ……………………………… 9

分令g（t）= t2- 4mt+1,则g（t）在t>0上有交点 ………………………………

10分 ∵g（0）=1>0

∴2

440402mm







……………………………… 12分

∴4m>2 ……………………………… 13分

∴要使方程f（x）- m =0有解,m的取值范围:12m …………………… 14分

16．函数f（x）的递增区间是（-∞,-32）与（1,+∞）, 递减区间是（-32,1）．解得c<-1或c>2． 17．（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，

又BEABEQABCDQE,21是平行四边形∥AQ

又BEPADAQ平面∥平面PAD （2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD

18．解：（1）当a=1时，对函数()fx求导数，得'2()369.fxxx

令'12()0,1,3.fxxx解得 ……………………………… 3分

列表讨论'(),()fxfx的变化情况：

x (,1) 1 （-1，3） 3 (3,)

'()fx

+ 0 — 0 +

()fx 极大值6 极小值-26 小初高试卷教案类 K12小学初中高中所以，()fx的极大值是(1)6f，极小值是(3)26.f…………………… 7分（2）'22()369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．若'11,()4afx则在[1,4a]上是增函数，从而w．w．w．k．s．5．u．c．o．m '()fx在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,faa最大值是'2(4)15.faa …… 9

分由'22|()|12,1236912,fxaaxaxaa得于是有w．w．w．k．s．5．u．c．o．m

'2'2(1)36912,(4)1512.faaafaaa且

由''14(1)121,(4)120.35faafaaa得由得…………………………… 12分所以11414(,1][,1][0,],(,].43545aa即 ………………………… 13分

若a>1,则∵'2'|()|1512.[1,4]|()|12faaaxafxa故当时不恒成立．… 15分

所以使'|()|12([1,4])fxaxa恒成立的a的取值范围是14(,].45 16分 19．解：（1）设商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利

为()fx，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx，又由已知条件，2242k·

，于是有6k，

所以32()61264329072[030]fxxxxx，，．

（2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx．

当x变化时，()fx与()fx的变化如下表： x 

02， 2 (212)， 12

1230，

()fx  0  0  ()fx 极小极大

故12x时，()fx达到极大值．因为(0)9072f，(12)11264f，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大．