弹性材料本构方程简易推导
弹性力学的材料本构模型与参数计算
弹性力学的材料本构模型与参数计算弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和回复的规律。
材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，参数计算则是确定材料本构模型中所需要的参数数值。
1. 弹性力学基础弹性力学研究材料在小应变条件下的力学行为，假设物体在去除外力后能完全恢复到初始状态。
基于胡克定律，弹性力学将应力与应变关系表达为：σ = Eε其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
2. 材料本构模型材料的本构模型是将材料的应力-应变关系表示为数学公式的抽象模型。
常用的材料本构模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
2.1 线弹性模型线弹性模型假设应力和应变之间的关系是线性的，最常用的线弹性模型是胡克弹性模型。
胡克弹性模型的应力-应变关系为：σ = Eε2.2 非线性弹性模型非线性弹性模型考虑了材料在大应变条件下的非线性响应。
常见的非线性弹性模型包括各向同性的本构模型（如拉梅尔模型和奥格登模型）和各向异性的本构模型（如沃纳模型和哈代模型）。
2.3 粘弹性模型粘弹性模型结合了弹性性质和粘性性质，能够描述材料在长时间作用下的变形行为。
常见的粘弹性模型有弹簧-阻尼器模型、弹性-塑性-粘性模型等。
3. 参数计算确定材料本构模型所需要的参数是理解材料行为的重要步骤。
常见的参数计算方法包括实验测量和理论推导。
3.1 实验测量通过实验测量可以得到材料的应力-应变曲线，从而确定本构模型的参数。
常见的实验方法包括拉伸试验、剪切试验和压缩试验。
3.2 理论推导根据材料的微观结构和特性，可以通过理论推导得到本构模型的参数。
例如，线弹性模型的参数可以通过弹性模量E的测量计算得到。
4. 应用举例材料本构模型和参数计算在工程设计和材料研究中具有重要应用。
例如，在航空航天领域，材料本构模型和参数计算可以用于飞机结构的强度分析和损伤评估。
总结：弹性力学的材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，常见的模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
第10章 粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)
第10章 粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）1．概述a ）基本的典型模型（根据流变学分类法）弹性：没有记忆（与历史无关，没有耗散），可逆的，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。
塑性：有记忆（与历史有关，有耗数），不可逆，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关，比拟元件粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效，比拟元件多数的工程材料，可用上述三者之一，或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下）。
b ）粘弹性材料该材料既有粘性，又有弹性。
变形=瞬时效应+随时间而变化的变形（后效变，滞后部分）（弹性）（粘性流动） c ）两种典型的特性试验弹性：E / ,00σεσσ==，若,10=σ 则 F E ==/1ε（柔度）0 ,εσεεE ==0，若 10=ε，则 E =σ（模量）粘弹性：)() ,t E t 00=(=σεσσ （由于)t (ε增加，则)(t E 减小，材料软化）)() ,10t F t =(=εσ蠕变柔量松驰实验：0)()( ,εσεεt E t ==0)() ,10t E t =(=σε 松驰模量线性粘弹性本构方程，用叠加原理。
有三种表述形式：微分算子型，积分型——遗传积分，复数型（本次不介绍）。
2．微分算子型：（a ）两个基本的比拟模型（非其正的材料模型，用于定性的说明） ①Maxwell 模型γγεησεσ == e e E 为元件的本构方程 系统的本构方程：（σ与ε的关系）γγεεεσσσ====e e γγεεεεησεσ +===e e E , , 则： ησσε+=E （接近于粘弹性流体） ② Kelvin （V oigt ）模型元件的本构方程：γγεησεσ == e e E γγεεεσσσ==+=e e系统的本构方程：则：εηεσ +=E （接近于粘弹性固体） （b ）推广到一般情况：定义：0d :d P r pr r p t =∑ 0d :dt Q rpr r q =∑[)][)]P Q t t σε(=(为微分算子型本构方程。
弹性力学-本构关系
c12 = c21 ⋯⋯ c56 = c65
∴
σ x c11 c12 σ c22 y σ z = τ xy 对 τ yz τ zx
c13 c23 c33
称
c14 c24 c34 c44
c15 c25 c35 c45 c55
弹性对称
弹性 有 个对 向， 称 向， 对称 向上弹性 性 ， 力 关系 。 称为弹性对称 弹性对称。 称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向 弹性对称面。 弹性对称方向和 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴 弹性主轴。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
第四章 本构关系
物体的弹性性质和广义 广义胡克定律 §4-1 物体的弹性性质 广义 §4-2 线弹性材料的本构关系 各向同性线弹性材料的物理方程 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
物体的弹性性质 广义Hooke定律 弹性性质·广义 §4-1 物体的弹性性质 广义 定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： σ ij = f ( ε ij ) 应力与应变张量均为六个独立分量。 应力与应变张量均为六个独立分量。则 σ x = f1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 横观各向异性材料 仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 平面为材料的弹性对称面， 轴为弹性主轴。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 平面为材料的弹性对称面 轴为弹性主轴 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 体内一点 的应力和应变 为{σ } 和{ε }。则 则 {σ } = [C ]{ε } 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 其中 为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向， 现将 轴反向，考 轴反向 察其本构关系
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹性力学本构关系
本构关系1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G、λ、K 与E、μ的关系式；2. 球量和偏量的本构方程。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：当式中的自变量：x、y、z、yz、zx、xy为小量时，可对其按Taylor级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
而表示函数f1 对应变分量的一阶偏导数，在小变形条件下，它们均为常数，这样可得一线性方程组：上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个，但可以证明，只有21个常数独立。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
1. 极端各向异性体的弹性常数为21个。
2.具有一个对称面的各向异性材料正交各向异性体：物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。
正交各向异性体的弹性常数为9个。
3.横观各向同性体若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。
材料力学控制方程
材料力学的基本控制方程通常包括平衡方程、本构方程和边界条件。
1. 平衡方程：描述了结构在受力后的静力平衡状态。
对于一个连续体，这些方程可以表述为：
-力的平移平衡：∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑F_z = 0 （力的三个分量的总和为零）
-弯矩的旋转平衡：∑M_α = 0 （在某一点或某一片段关于任意轴的力矩之和为零）这些平衡方程适用于线性弹性问题，也适用于塑性问题和粘弹性问题。
2. 本构方程：定义了材料的应力-应变关系。
对于线弹性材料，本构方程可以表示为胡克定律：
σ_ij = C_ijkl ε_kl
其中，σ_ij 是应力张量，ε_kl 是应变张量，C_ijkl 是材料弹性常数的第四阶张量。
对于塑性材料，本构方程更加复杂，通常涉及流动函数和硬化模型。
3. 边界条件：描述结构边界上的约束情况。
边界条件分为两类：
- Dirichlet条件：也称为固定条件，指定位移边界条件，例如u_x(边界) = 0。
- Neumann条件：也称为载荷条件，指定力边界条件，例如F_x(边界) = 0。
对于非齐次边界条件，可能需要指定特定的位移分布或载荷分布。
将这些方程结合起来，就可以求解出结构在给定载荷作用下的应力、应变和位移分布。
在实际应用中，还需要考虑初始条件（例如初始应变或初始速度）和材料的损伤、疲劳以及其他复杂因素。
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弹性材料本构方程简易推导
摘要：弹性力学问题的三大基本方程分别为平衡方程，几何方程，本构方程。
文中主要介绍弹性材料弹性阶段的本构方程简要推导过程。
关键词：本构方程；增量理论；弹性
1 前言
本构方程描述的是材料应力与应变之间的关系，其具有更广泛的含义，凡是
描述介质的应力或应力率、应变或应变率等之间关系的物性方程，统称为本构方程。
2 弹性阶段本构方程推导
2.1 方程建立
弹塑性材料处于弹性阶段，即当应力小于屈服应力时，由材料力学相关
知识可知应力与应变之间符合Hooke定律：，其中E为弹性常数（杨氏弹性模量）。
三维应力状态下，材料内部一点处应力状态有9个应力分量，故对应于9个
应变分量。
由应力张量与应变张量的对称性，，独立的应力分量与
应变分量各为6个。
对于均匀的理想弹性体，假设应力应变关系式可表达如下：
（1）
其中（m, n=1, 2,3, 4, 5,6）为弹性系数，由材料性质决定，与坐标x, y, z无关。
2.2 系数确定
2.2.1各向同性材料本构方程
对于各向同性材料，独立的弹性常数只有两个，故在最终得出的本构方程中
仅使用两个系数来表示应力应变关系。
在弹性状态下主应力方向即为主应变方向。
令坐标轴Ox, Oy, Oz与主应力方向相一致，此时，各应力面无剪应力，只有正
应力，故式（1）变化如下：
（2）
各向同性材料中，对的影响与对及对的影响相同，即有。
同理，和对的影响相同，即，类似有：，等，因而令
（3）
于是，对于应变主轴（用1, 2, 3代替x, y, z）来说，弹性常数有两个这
里设为P和Q。
将式（3）带入式（2），并令，，（此
过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可得出下列弹性本构
关系：
（4）
其中，常数称为拉梅弹性常数，在此可以看出主轴坐标系下，本构方程
只含两个未知参数。
于是，在任意坐标系中弹性阶段本构方程为：
（5）
利用求和约定，式（5）可改写成
（5´）
以上为各向同性材料在弹性阶段本构方程，但在此，方程中λ,μ两参数仍不能直接得出，不能在后期工程计算应用中方便使用。
故将在以下部分利用各向异性材料引入参数E和G来得出弹性材料弹性阶段的本构方程通用形式。
2.2.1各向异性材料本构方程
正交各向异性材料的本构关系，可根据任一坐标轴反转时弹性常数保持不变，由式（1）得出：
（6）其中包含9个弹性常数。
将式（5´）中的解出后（此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可以得出用应力分量表示的应变分量表达式：
（7）以上式中含有拉梅常数λ和μ，在此对式（7）中作变换如下：
同理，对其余应变分量作变换，根据求和约定，式（7）可改写成
（7´）其中，继续变换如下：
（8）令式（8）可写成
（9）同理，用应力分量表示应变分量表达式如下：
（10）其中，，称为剪切弹性模量。
对式（10）作变换
（11）同理，对其余应变分量作变换，根据求和约定，式（11）可改写成
（12）其中。
解出应力，式（12）可转化为（此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）
（13）在此，令，广义Hooke定律可写成
（14）其中分别是应力偏量与应变偏量，。
参考文献
[1] 杨桂通. 弹塑性力学引论(第二版)[M]. 清华大学出版社. 2004: 1-77.
[2] 老大中. 变分法基础(第3版). 国防工业出版社. 2015: 25-41.
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5。