6弹塑性力学基本求解方法
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6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学第六章
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2019/10/28
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
2019/10/28
1
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
2019/10/28
7
§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
2019/10/28
35
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
弹塑性力学弹性力学的求解方法模板
部分应力分量作为基本未知量混合求解。
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
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➢ 已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场 、应变场 和位移 ——混合边值问题。 15个未知量：应力分量6个，应变分量6个，位移分量3个 15个方程：应力平衡微分方程（3），几何方程（6）， 物理方程（6） 理论上可解，实际上并不可解。为什么？
第六章 弹性力学基本求解方法
弹性力学的基本求解方法
2
2 x2
2
y拉2 普拉斯算子）
可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力函数的引入
定义：
x
2
y 2
y
2
x 2
xy
2
xy
条件：① ~ ij ；
②应力平衡微分方程；
③相容方程。
平面问题：（直角坐标系）
4
x4
2
4
x2x
2
4
y 4
0
或
22 0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是有应力分量：
x
2
y 2
30Bx2 y 20By3
6cy
y
2
x2
ry
10By3
2Dy
ry
xy
2
xy
30Bxy3
2Dx
利用边界条件：
((xyy
) )
y y
h h
/ /
2 2
0 0
h/2
(
M
)
x
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
(c 0)
满足相容方程 22 0
x 2c , y xy 0
x方向受单向拉应力作用（如图6-1（b））。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
4．(x, y) bxy
(b 0)
满足相容方程 22 0
x y 0,
xy
2
xy
b
受纯剪应力作用 （如图6-1（c））。
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
r
ur r
2 ( r0 )3
r
ur r
( r0 )3
r
（-）压应变 （+）拉应变
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由物理方程可得
r
2Gr
4G 1
( r0 r
)3
0
（压应力）
2G
EG 1
( r0 )3 r
0
（拉应力）
应变能密度(点)： U0
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
❖应力函数——半逆解法
解：分析：①水压 q gy ，单位坝体重 p gy
（ , 分别为水和密体的密度）
② 在OA面上无面力（自由表面），在OB面上受水压 q 作用（线性面力）， 因此，应力函数可以设计成坐标的三次函数。
(x, y) ax3 bx2y cxy2 dy3
（a, b, c, d为待定参数）
➢ 位移法：以位移作为未知量进行求解的方法
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 (x2 2 y2 2 xy ) X 0
E 1 2
( 2v y2
1 2
2v x2
1 2
2u ) xy
Y
0
E 1 2
[( u x
v y
)s
m1 2
( u y
v x )s
]
X
1
E
2
[(
v y
u x
)s
l
gxctg2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
如图，求金属体内错配球引起的应力场、应变场和应变能。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
解：设基体为均质、各向同性体，基体质点半径为 r0,错配粒子为刚性
球, 半径为 r1 ，并有 r1 r0
则
r1
(1
)r0
,(
=
❖ 应力函数——逆解法
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
8．如图，简支梁受自重作用，比重力r，那么函数
Ax2 y3 By5 Cy3 Dx2 y
能否作其应力函数？ 若能，求应力分量。
解：将代入双调和函数中，
可得只有当A+5B=0时，
才能满足 22 0 。
即当A=-5B时，题中函数 才可作应力函数。
➢ 应力函数 (stress function)
应力表示的相容方程（平面问题）
借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程
可得
2 ( x2
2 y 2
)(
x
y)
(1 )(X x
Y y
)
在常体力下
X Y 0 x y
于是有
2 ( x2
2 y 2
)( x
y)
0
即 2 ( x y ) 0 ， 其中
物理意义：表征应力的连续性。
1
2
(
v x
u y
)
s
]
Y
对于第一种边界条件 （平面问题）
对于第二种边界条件 （平面问题）
理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在 解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力法：
以应力作为未知量进行求解的方法. 如何保证求解结果一定连续？
1 r
(2
r
) 0
（球对称问题的一般应力平衡微分方程）
由根据广义虎克定律
r
2Gr
2G
ur r
(
r
,
(1
E )(1
2)
拉梅常数)
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由 u u 0 可得
ur , r
r
ur r
r
ur r
2 ur r
对于应力平衡微分方程， r 是r的函数，与θ和无关，故可写为
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
于是有应力分量：
③考察边界条件:
x x0 xy x0 0
gy
c d
0
1 6
g
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
在OA面上无应力，则
l( x )x ytg m( xy )x ytg 0 m( y )x ytg l( xy )x ytg 0 l cos m sin
1 2
ij
ij
1 2
( rr
)
6G
2 ( r0 r
)6
总应变能：
U
U0
4
r
2
dr
8
G
2r03
0r
（其中 、G、E为弹性常数）
第六章 弹性力学基本求解方法
6.1 弹性力学的基本方程
回顾： 应力平衡微分方程（3） 几何方程（6） 物理方程（6） 相容方程 边界条件方程
第六章 弹性力学基本求解方法
6.2 弹性力学的基本问题
➢ 已知表面载荷，求应力场 、应变场 和位移 ——力的边值问题；
➢ 已知表面位移，求应力场 、应场 ——位移边值问题；
受纯弯曲载荷作用（如图6-1（f））。
7．(x, y) ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
4
x4 24a ,
4
2 x2y2 8c ,
4
y4 24e
只有 24a 8c 24e 0 才能满足双调和函数的条件。所以4次 和4次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
gyl 2bytg (6a ytg 2by
m0
gy)m
(2bytg
)
l
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
a b
g ctg
6
ctg2
2
3
gctg3
从而得坝体内的应力场为：
x gy
y ( gctg 2 gctg3)x ( gctg2 g) y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
思路：根据弹性体边界形状及受力特点，假设部分应力分量，再由 部分应力分量推导出应力函数，由应力函数推导出全部应力分量，再考 察这些应力分量是否满足边界条件。
半逆解法例题： 如图，水坝受水压和自重作用，
求坝体内的应力场。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 逆解法(inverse resolution)
第六章 弹性力学基本求解方法
弹性力学的基本求解方法
2
2 x2
2
y拉2 普拉斯算子）
可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力函数的引入
定义：
x
2
y 2
y
2
x 2
xy
2
xy
条件：① ~ ij ；
②应力平衡微分方程；
③相容方程。
平面问题：（直角坐标系）
4
x4
2
4
x2x
2
4
y 4
0
或
22 0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是有应力分量：
x
2
y 2
30Bx2 y 20By3
6cy
y
2
x2
ry
10By3
2Dy
ry
xy
2
xy
30Bxy3
2Dx
利用边界条件：
((xyy
) )
y y
h h
/ /
2 2
0 0
h/2
(
M
)
x
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
(c 0)
满足相容方程 22 0
x 2c , y xy 0
x方向受单向拉应力作用（如图6-1（b））。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
4．(x, y) bxy
(b 0)
满足相容方程 22 0
x y 0,
xy
2
xy
b
受纯剪应力作用 （如图6-1（c））。
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
r
ur r
2 ( r0 )3
r
ur r
( r0 )3
r
（-）压应变 （+）拉应变
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由物理方程可得
r
2Gr
4G 1
( r0 r
)3
0
（压应力）
2G
EG 1
( r0 )3 r
0
（拉应力）
应变能密度(点)： U0
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
❖应力函数——半逆解法
解：分析：①水压 q gy ，单位坝体重 p gy
（ , 分别为水和密体的密度）
② 在OA面上无面力（自由表面），在OB面上受水压 q 作用（线性面力）， 因此，应力函数可以设计成坐标的三次函数。
(x, y) ax3 bx2y cxy2 dy3
（a, b, c, d为待定参数）
➢ 位移法：以位移作为未知量进行求解的方法
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 (x2 2 y2 2 xy ) X 0
E 1 2
( 2v y2
1 2
2v x2
1 2
2u ) xy
Y
0
E 1 2
[( u x
v y
)s
m1 2
( u y
v x )s
]
X
1
E
2
[(
v y
u x
)s
l
gxctg2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
如图，求金属体内错配球引起的应力场、应变场和应变能。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
解：设基体为均质、各向同性体，基体质点半径为 r0,错配粒子为刚性
球, 半径为 r1 ，并有 r1 r0
则
r1
(1
)r0
,(
=
❖ 应力函数——逆解法
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
8．如图，简支梁受自重作用，比重力r，那么函数
Ax2 y3 By5 Cy3 Dx2 y
能否作其应力函数？ 若能，求应力分量。
解：将代入双调和函数中，
可得只有当A+5B=0时，
才能满足 22 0 。
即当A=-5B时，题中函数 才可作应力函数。
➢ 应力函数 (stress function)
应力表示的相容方程（平面问题）
借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程
可得
2 ( x2
2 y 2
)(
x
y)
(1 )(X x
Y y
)
在常体力下
X Y 0 x y
于是有
2 ( x2
2 y 2
)( x
y)
0
即 2 ( x y ) 0 ， 其中
物理意义：表征应力的连续性。
1
2
(
v x
u y
)
s
]
Y
对于第一种边界条件 （平面问题）
对于第二种边界条件 （平面问题）
理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在 解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力法：
以应力作为未知量进行求解的方法. 如何保证求解结果一定连续？
1 r
(2
r
) 0
（球对称问题的一般应力平衡微分方程）
由根据广义虎克定律
r
2Gr
2G
ur r
(
r
,
(1
E )(1
2)
拉梅常数)
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由 u u 0 可得
ur , r
r
ur r
r
ur r
2 ur r
对于应力平衡微分方程， r 是r的函数，与θ和无关，故可写为
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
于是有应力分量：
③考察边界条件:
x x0 xy x0 0
gy
c d
0
1 6
g
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
在OA面上无应力，则
l( x )x ytg m( xy )x ytg 0 m( y )x ytg l( xy )x ytg 0 l cos m sin
1 2
ij
ij
1 2
( rr
)
6G
2 ( r0 r
)6
总应变能：
U
U0
4
r
2
dr
8
G
2r03
0r
（其中 、G、E为弹性常数）
第六章 弹性力学基本求解方法
6.1 弹性力学的基本方程
回顾： 应力平衡微分方程（3） 几何方程（6） 物理方程（6） 相容方程 边界条件方程
第六章 弹性力学基本求解方法
6.2 弹性力学的基本问题
➢ 已知表面载荷，求应力场 、应变场 和位移 ——力的边值问题；
➢ 已知表面位移，求应力场 、应场 ——位移边值问题；
受纯弯曲载荷作用（如图6-1（f））。
7．(x, y) ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
4
x4 24a ,
4
2 x2y2 8c ,
4
y4 24e
只有 24a 8c 24e 0 才能满足双调和函数的条件。所以4次 和4次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
gyl 2bytg (6a ytg 2by
m0
gy)m
(2bytg
)
l
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
a b
g ctg
6
ctg2
2
3
gctg3
从而得坝体内的应力场为：
x gy
y ( gctg 2 gctg3)x ( gctg2 g) y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
思路：根据弹性体边界形状及受力特点，假设部分应力分量，再由 部分应力分量推导出应力函数，由应力函数推导出全部应力分量，再考 察这些应力分量是否满足边界条件。
半逆解法例题： 如图，水坝受水压和自重作用，
求坝体内的应力场。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 逆解法(inverse resolution)