弹塑性力学第6章
6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
薄圆筒、柱 弹塑性力学详解
(6 11)
(6 12)
du i d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 du i (b)应力连续条件
(E)
ni du i ni ;
( p)
( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d 20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1
弹塑性边值问题的提法
§6.2 “薄壁筒”的拉、扭联合变形
§6.5 “柱体”的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的“厚壁圆筒”
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
(E)
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 “薄壁筒” 的 拉、扭变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
z P / 2Rh , z T / 2R 2 h,
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件
一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。
弹塑性力学第六章
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2019/10/28
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
2019/10/28
1
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
2019/10/28
7
§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
2019/10/28
35
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹塑性力学习题集
第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。
图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。
工程弹塑性力学---平面应力应变问题的直角坐标解
第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=EI x
y
y
梁进入到弹塑性状态时，M= EI 不成立 如何求解此时的曲率？ ①利用平断面假定
x y x
x
E
y
he he
②弹性核内虎克定律仍然成立： ③在h=he高度上的曲率就是弹塑性梁 在该点的曲率 s s
E
he
Ehe
弹塑性状态梁曲率
线性强化材料的应力应变曲线： h
M
he 2
2 b ydy 2 b ydy
0
he
E1 y =2 b s dy 2 by E1 s 1 dy E he he 0
h
he
1
y
2 E ss 2h E11 b s EE dy 22bby dy 1y sy 1y s 1 3 Eh E Eh E e h
利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就
可确定梁在该截面的弯曲曲率
2、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解
具有一个对称轴截面求解的基本思想 截面上力的平衡条件
A
x
dA 0
例题 等腰三角形截面截面中性层位置求解. 顶部、底部、全部达到屈服时中心轴y距底边 的高度
线性强化材料：
y g g s e E1 s E1 s E1 E1 s 1 E E
s
Ehe
Eh e he 弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比： k h
得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：
e 已知弹性极限状态下梁曲率：
s
he M = 3-2 h Me
e
M = 3-2 k Me
2 M 1 e 3 Me 2 k
具有该类求解特点的问题有：
①圆形截面杆的弹塑性扭转问题； ②轴对称和球对称的问题； ③简单桁架问题。
简单梁的弹塑性弯曲问题的特点： 在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函 数和方程式的数目相等。 求解的特点： 结合边界条件及力的平衡条件可直接 求出应力分布；
应变和位移则根据物理关系和几何的 连续方程求出。
2 d v 得： 2 dx
s
M Eh 3-2 Me
d 2v 2 dx
s
M Eh 3 1 M p
得弹塑性区挠度函数： v x (
s
M x Eh 3 1 M p
dx )dx ax b
悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移
4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解 求解基本思想： ①找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点 ②根据M分布——求解完全弹性区内挠度 弯曲分布已知时，可直接通过 在弹性区：
M>or<Me
判断
M=EIv"
成立
M v x = dx dx cx d EI ③根据M分布——求解弹塑性区内挠度
④根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件 求得待定参数
思路： A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系
M he =h 3-2 Me
M he =h 3 1 M p
B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系 d 2v s he s he 1 s 弹塑性区： s 2 E Ehe dx Ehe
得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系
he M = 3-2 h Me
该公式的用途之一： 已知梁截面上的弹塑性弯矩数据
——可直接确定截面上的弹性区与塑
性区的交线，进而求得截面上的应力分布
得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系
②梁的曲率与弯矩的关系 梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关
d 2v 1 M= EI 2 = EI 系： d x
bH We 6
2
h
s
2 s e EH
（2）塑性极限状态 ①塑性极限状态下弯矩值——塑性极限弯矩 M p 2 M p bh s Wp s W p 塑性断面剖面模数
s
Wp bh
2
②塑性极限状态下梁曲率ຫໍສະໝຸດ h 0 p e
s
Eh
梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰” 塑性铰 与通常铰的区别： *塑性铰上作用有大小保持为 M p 的弯矩； *塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。
第六章 梁的弹塑性弯曲
6.1 简单梁弹塑性弯曲问题
一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样 在数学上总能归结为， 一个偏微分方程组的边值 问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的 偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难， 所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确 解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。
梁弹塑性弯曲的基本假定条件： ①平断面假定条件； ②不考虑纤维层之间的挤压应力； ③在弹性区： x 在塑性区：
x
呈线性关系；
仅考虑应力
x 对屈服条件的影响
x x e
对于理想弹塑性材料 x E
x s x e
6.2 梁的弹塑性纯弯曲问题 截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时， 截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现 三种情况： （具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）
2 e
he
h h
e
e
E1 2 h3 he 2 he2 2 h b s h b s E 3 he 3 3
2
s
Ehe
y
s
Ehe
3、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性区的判断
矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的 关系
2 1 he 2 M bh s 1 3 h
he =0
he =h
x=0
l x= 3
当x=l/3时截面完全处于 弹性工作状态
M Mp
2 x 1
l2
Mp
M he =h 3 1 M p
x=0.577l x=0.577l
he =0
he =h
x he = 3h l
x=0
x= l 3
此时截面完全处于 弹性工作状态
he M = 3-2 h Me
M he = 3 1 M h p
当梁的弯矩分布已知时， 可通过上式求出核高沿杆件的分布
简支梁 极限情况：
M Mp 1 x
Mp
l
x= l 3 x= l 3
M he =h 3 1 M p
x he =h 3 l
x s
s
he he
s
Mp
Me
x s
弹性极限状态 弹塑性状态
塑性极限状态
（1）弹性极限状态
2 2 M e h b s We s 3
s
①弹性极限状态下弯矩值——弹性极限弯矩
We
2 2 We bh 3
②弹性极限状态下梁曲率——ke
h
1 Me e Eh We
2 1 he 2 bh s 1 3 h
he
2 2 e
h
he h
2 2 弹性极限状态 M=M e bh s 3
he 0 塑性极限状态 M=M p bh2 s
3M e b s h = 2
2
he M = 3-2 h Me
例题 已知理想弹塑性材料制成的悬臂梁（如图），设集中载荷 作用于梁的自由端处，而梁的截面是矩形。若杆件处于极 限工作状态，而弯矩小于 M e的线段长度为 xe ，试求自由 端处的挠度值 P h
弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点 矩形截面
是矩形截面形状固有的性质 定义：
2 2 2 M e bh s M p bh s 3
Mp Me
Wp We
——截面形状系数
它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设 计时梁截面的强度比。 显然：矩形截面的形状系数=1.5 形状系数仅与截面形状相关。
其他截面形状系数
s
（3）梁弹塑性状态分析
he he
y
弹性核的高度he
M 2 b ydy 2 b ydy
0
he
h
he
弹性区：0
y he
yh
塑性区：he
s
y s he
①弹塑性状态弹塑性弯矩
2h y 2 2 2 b ydy b s h s he ss dy M= 2 b hb he 0 3 e