弹塑性力学第05章
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弹塑性力学第05章
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
-vzw （5-1） y
x
u x
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚
v y
方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式
x x 2w 2z
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
y
y
E
1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
z 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
第五章 薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。
弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理
假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是 可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
弹塑性力学习题集
第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。
图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。
第五章弹塑性力学问题的提法优秀课件
在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力， 应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状 态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力， 应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状 态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)
σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
弹塑性力学-05厚壁圆筒ppt课件
u(1 2 E )r 2r2 b s b2(12)r2 =1/2
u 3r 2 s
4Er
精选课件PPT
18
五、位移分量（平面应变状态）
2. 弹塑性阶段：
（2） 塑性区：a r r
ez 0 ,q 0 ,er eq 0
连续条件：
du u 0 dr r
u C r
ue rrup rr
C(1 2 E )r22 b s b2(12)r2
一内外半径比为一内外半径比为bbab的封闭厚壁圆筒受内压的封闭厚壁圆筒受内压p和扭矩和扭矩tt同时作用该材料服从同时作用该材料服从misesmises屈服条件求内外表面同时达到屈服条件求内外表面同时达到屈服时的屈服时的tp试比较内半径为试比较内半径为aa外半径为外半径为2a2a的单层两层四层八层的单层两层四层八层厚壁圆筒的弹性极限压力和塑性极限压力
3ei 2i
z
m
假设2
εz 0
zm1 3rqz
z m12r q
精选课件PPT
22
❖几何方程： （轴对称问题）
du
u
εr
, dr
εθ
r
εz 0
εr
εθ
ez
0,1
2
du u 0 dr r
du dr
u
r
lu n lr n C u C r
C ε r r2
C εq r2
εz 0
εq
r
q
s
2
rb22
12lnrr
精选课件PPT
11
三、全塑性分析
r ＝b
pl
s
lnb a
ps
2
1rb22
2lnra
塑性极限压力
u 3r 2 s
4Er
精选课件PPT
18
五、位移分量（平面应变状态）
2. 弹塑性阶段：
（2） 塑性区：a r r
ez 0 ,q 0 ,er eq 0
连续条件：
du u 0 dr r
u C r
ue rrup rr
C(1 2 E )r22 b s b2(12)r2
一内外半径比为一内外半径比为bbab的封闭厚壁圆筒受内压的封闭厚壁圆筒受内压p和扭矩和扭矩tt同时作用该材料服从同时作用该材料服从misesmises屈服条件求内外表面同时达到屈服条件求内外表面同时达到屈服时的屈服时的tp试比较内半径为试比较内半径为aa外半径为外半径为2a2a的单层两层四层八层的单层两层四层八层厚壁圆筒的弹性极限压力和塑性极限压力
3ei 2i
z
m
假设2
εz 0
zm1 3rqz
z m12r q
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22
❖几何方程： （轴对称问题）
du
u
εr
, dr
εθ
r
εz 0
εr
εθ
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0,1
2
du u 0 dr r
du dr
u
r
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C ε r r2
C εq r2
εz 0
εq
r
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2
rb22
12lnrr
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11
三、全塑性分析
r ＝b
pl
s
lnb a
ps
2
1rb22
2lnra
塑性极限压力
弹塑性力学
0
1
1/cos 1/ 2θ
δ /δe
5.2 理想弹塑性材料的简单桁架
三、卸载
卸载符合弹性规律。 则由式(5.33)得 卸载符合弹性规律。设荷载变化为∆P ，则由式 得
∆P ∆σ 2 = σs, Pe ∆ε 2 = ∆σ 2 / E , ∆P ∆σ 1 = σ s cos 2 θ Pe ∆ε1 = ∆σ 1 / E
σ
B A
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
σs
O
O’
ε
σ s’
B’ B’’
σs’’
应力－ 5.1 应力－应变的简化模型
σ
3.反向加载应力-应变简化模型 反向加载应力反向加载应力
1). 等向强化模型 拉伸和压缩时的屈服极限相等
B A
σs
(5.16)
| σ |= ψ ( ∫ | d ε |)
(5.34)
A(1 + 2 cos3 θ ) = Pe / σ s (5.30),(5.31)变为 变为
P P σ 2 = σ s , σ 1 = σ s cos 2 θ Pe Pe
(5.33)
5.2 理想弹塑性材料的简单桁架
二、弹塑性阶段（ P > Pe） 弹塑性阶段（
（塑性流动阶段） 塑性流动阶段）
p
2). 随动强化模型 拉伸和压缩的弹性范围不变
O
O’ ε
塑性应变按绝 对值进行累积
σ s’
B’ B’’
σs’’
| σ − H (ε ) |= σ s
p
例：线性强化的情形
(5.17)
| σ − cε p |= σ s
等向强化： 等向强化：OABB’’ 随动强化： 随动强化：OABB’
弹塑性力学讲稿课件
详细描述
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
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x yx zx 0 x y z xy y zy 0 （c） x y z xz yz z 0 x y z
如体力分量FZ及下表面上的 面力不等于零，对簿板来说， 可以归入板上表面的面力， 这样处理只会影响次要应力 σ z，于是板上、下表面的 静力边界条件为：
zx zy
E 2 1 2
E 2 1 2
2 h2 2 z w 4 x 2 2 h 2 z w 4 y
2
（5-4）
z
Eh 1 z 1 2 6 1 - 2 h
w u -z x
w v -z y
（5-1）
由此可见，应变分量ε x,ε y,γ xy也是沿板厚呈线性分布， 在中面为零，在上、下板面处达极值。
二、薄板中的应力分量表示式 • 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为
E x y 2 1 E y x y 2 1 E xy xy 21
§5-3 薄板弯曲的微分方程
• 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满 足和微分方 程。薄板弯 曲的小挠度 问题，是以 挠度w作为 基本未知函 数求解的， 属位移解法。
建立绕度w所需要满足的基本方程
• 先考察板中边长为dx和dy而高为h的矩形 微分单元体的平衡，为了便于表示，将 内力标在单元体中面的四条边上，其中， 弯矩及扭矩按右手法则用矩矢表示，横 剪力用力矢表示，如图5-5所示。上面作 用有横向分布荷载q。 • 对于图5-5所示的空间一般力系，六个平 衡条件中有三个方程ΣFx=0，ΣFy=0，
zx z h
这里q为薄板单位面积 内的横向荷载。
0 2 zy z h 0 2 z z h 0 2 z z h q 2
（d）
将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边 界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
基尔霍夫假设
• （2）与σx，σy ， τxy等相比，σz很小，在计算变形时可 以略去不计。 • （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方 向的位移，即 • （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y） • 根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零， 即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y） 称为挠度函数。 • 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论， 属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析 计算中，已得到广泛的应用。
第五章 薄板的小挠度弯曲
• • • • • §5-1 基本概念与计算假定 §5-2 薄板内力 §5-3 薄板弯曲的基本方程 §5-4 边界条件 §5-5 四 边 简 支 矩 形 薄 板 的 重 三 角 级 数 解 (Navier解) • §5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) • §5-7 圆形薄板的弯曲
Fsx Fs y q0 x y
（5-10）
对过板单元中心而与y轴及x轴平行的直线取力矩的平衡方 程，化简以后，略去微量，得到 M yx M x Fsx x y （5-11） M xy M y Fs y x y
式（5-10）和式（5-11）即为内力表示的平衡微分方程， 将式（5-11）代入式（5-10），又可得到用弯矩、扭矩及 荷载表示的平衡微分方程：
• 下面要建 立这些合 成内力与 挠度之间 的关系。
M x z x d z
M y z y dz
h 2 h 2
h 2 h 2
阴影微分面单位宽度上的正应力和 切应力的主矢量分别为σxdz，σydz 和τxy=τyxdz。由于σx ，σy ，沿板厚 按线性规律分布，以及分布的反对 称特性，所以，它们在板的全厚度 上的主矢量为零。 构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表 示它们在单位宽度内的力偶矩
3
z 2 2 w （5-5） h
式（5-4）就是切应力τ xz和τ yz与挠度w的关系 式，它们表明，剪应力τ xz和τ yz沿板厚方向呈抛物 线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应 力沿梁高方向的变化规律相同。 σ z沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。
三、薄板横截面上的内力表示式
§5-1 基本概念与计算假定
• 板 、板面、板边 、板厚 • 薄膜 • 薄板：当板厚与板面内 最小特征尺寸之比在 1/80～1/5之间时 • 厚板 • 挠度 • 小挠度问题：挠度与板 厚之比小于或等于1/5 • 大挠度问题
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
Fs y Fsx dx dy Fsx dy Fs y dy dx Fs y dx qdxdy 0 Fsx x y
ΣMz=0已经满足。现要从其余三个方程导得内力所必须满 足的平衡微分方程。由ΣFz=0，有
化简后约去dxdy，得
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σ x，σ y和τ xy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
次要应力分量
• 按假设，σ z，τ xz和τ yz应为零，实际上， 它们只是远小于σ x，σ y和τ xy的次要的 应力分量，对于它们所引起的变形可略 去不计，但对于维持平衡，它们不能不 计。为了求得它们，现考虑不计体力的 平衡微分方程：
第五章 薄板的小挠度弯曲
• 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方 向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳 现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载 作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空 间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性， 要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解 非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。 下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯 曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承 情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯 曲问题。
x
2w 2 w 2 2 x y Ez 2 w 2 w 2 2 y 1 2 y x Ez 2 w xy 1 xy Ez x 1 2
• 与材料力学中梁的弯曲应 力和横向切应力公式相似。
12M x x z h3 12M y y z h3 12M xy xy yx z 3 h 6 Fsx h 2 2 xz 3 4 z h 2 6 Fsy h 2 yz 3 4 z h
M xy z xy dz
M yx z yx dz
h 2 h 2
h 2 h 2
2w 2w M y D 2 2 y x （5-6） 2w M xy M yx D1 xy 2w 2w M x D 2 2 x y
一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式
u x 根据上述第一假设，由几何方程知（a）式 x 成立. v y y 由式（a）的第三式可知，在板内所有的点， w 位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故 z 0 z 板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。 v u 再由式（a）的第五、第六式，有 （a） xy x y u w v w z x z y w v yz 0 y z w w u -z f1 x, y v -z f 2 x, y x y u w xz 0 z x 由第三个假设：（u） =0和（v） =0
§5-2 薄板内力
• 根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的 平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将 薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分 量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。 下面就来建立这些基本关系式。 • 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 • 二、薄板中的应力分量表示式 • 三、薄板横截面上的内力表示式
可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有
z=0
z=0
u x x v 式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚 方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 z w 0 z 下表面处位移最大。 v u (a) xy 利用式（a）的第一、第二和第四式， x y 得应变分量的表示式 w v yz 0 2w 2w 2w y z x 2 z y 2 z xy 2 z xy x y u w xz 0 （5-2） z x
h 2 h 2
h 2y 分 别 表 示 垂 直 于 x 轴 和y 轴 的 板的横截面单位 宽 度 上 的 弯矩 ， M x y ， M yz 分 别 表 示这两个截面单位宽度上的扭矩，而 和 为这两个 横 截面单位宽度上 的 横 剪 力 ，它 们 统 称 为 板 的 内 力 。 弯矩和扭矩的量 纲 为 [ 力 ]， 横 向 剪 力 的 量 纲 为 [ 力 ]·长 度 ] -1 。按 弹 性 力 学 关 于 应 力 分 量 指 向 的 规 定 ， [ 弯 矩M x ，M y 以使 板 横 截 面 上 z > 0的 一 侧 产 生 正 号 的 正 应力σ x ，σ y 时为 正 ； 扭 矩 M x y ， M yz 使 板 横 截 面 z > 0的 一侧产生 正 号 的 剪 应 力 时 为 正 ； 横 剪 力 ， 使 板截面产生正号 的 剪 应 力 时为 正 ， 如 图 5 - 4 。 由式（ 5- 3） 、 式 （ 5- 4 ）与 式 （5 - 6） 、 式 （ 58 ）比较后可以看 出 ， 应 力 分 量 又 可 通 过 相 应 的 内 力 表 示为