弹塑性力学第五章
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工程弹塑性力学-第五章
在e＝0处与s轴相切
s A 理想刚塑性模型
只有两个参数A和n，因而也不可能 准确地表示材料的所有特征。但由 于解析式比较简单，而且n可以在较 大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
s /s1
有三个参数，能较 好地代表真实材料， 数学表达式简单。
（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。
ln ln
ln(1 ln
l0 ) ln(1 e ) e
e2
e3
e4
L
(5.22)
l0
l0
234
e
1.6 1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
(a) 理想刚塑性模型
s
(b) 线性强化刚塑性模型
s
ss
ss
e
O
s ss, 当e 0时
特别适宜于塑性极限载荷的分析。
e
O
s ss E1e , 当e 0时
5.2 应力应变简化模型
3. 一般加载规律
s (e ) Ee[1w(e )]
(5.12)
w(e ) 其中，w(e )
0,
Ee
(e ) , Ee
ss’’
’
B
B’
’
等向强化’：
OABB’’
随动强化： OABB’
5.2 应力应变简化模型
例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 –ss 0，材料符
合线性随动强化规律，强化模量E’E/100，试求出对应的应变路径。
第5章 弹塑性本构模型理论
?r3321??????232221??????op表示p点应力矢量的大小p为应力空间上一点代表某一应力状态过p点作与等倾线相垂直的面即为平面???32131???????oq??321321313?????????????rr由mioqr?331????平面上法向应力即为令????m3?????23212322212231??????????????oqoppq??????2222323122132231qj??????????????平面上的剪应力为令???qj3222??应力洛德角1?2?3?p?qr洛德参数313122???????????毕肖甫常数3132???????b洛德角??312332tan31312???????b????????洛德角与偏应力不变量之间的关系23232333sinjj????应变与应变增量ji??333231232221131211??????????????????zzyzxyzyyxxzxyx??????????????????212121212121??????????321??????应变状态体积应变增量321???????????v偏差应变增量????????3vijijijee?????应变张量不变量3211???????i偏差应变不变量3231212??????????i3211?????i01??j??232221121eeej??????????1233123213222271?????????????????j体积应变321???????v广义剪应变????????2123223122132?????????????应变洛德角??3131232tan???????????2增量弹塑性理论?弹性增量理论?以弹性模型与泊桑比表达????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvve????????????????????????1221000000122100000012210000001110001110001112111?以剪切模型与体积模量表达?????????????????????????????????????????????????????????
弹塑性力学-第五章
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
4、弹性系统的总势能
EP = U+V
总势能=应变能+外力势能
§5-4 弹性体的变形能和外力势能 1.几点提示 1.几点提示
保守力？有势力？保守力的势能？ 保守力？有势力？保守力的势能？ 保守力做功与路径无关
应变能或变形势能: 应变能或变形势能: 外力作用下，对弹性体做功， 外力作用下，对弹性体做功， 弹性体因发生变形而存储能量。（ 。（这个能量石经由 弹性体因发生变形而存储能量。（这个能量石经由 内力做功转化而来的） 内力做功转化而来的）
（2）应变能密度的一般形式（在我们这门弹性力学的范围内）
平面问题应变能密度
（3）应变能密度是坐标的函数 对于一个弹性体来讲，每一点都有自己的应变能密度，如果这些应变 能密度是连续的，那么它们就是坐标的函数。
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能（内力势能） 应力的功和形变势能（能
2、应力的功和形变势能（内力势能） 应力的功和形变势能（内力势能）
（7）.形变势能 U 的性质
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
3、弹性体上的外力功和外力势能
（取u = v = 0或者无变形状态时的外力功和势能为零点）
外力克服弹性力做功，转化为弹性势能， 就好像外力克服重力做功，转化为物体的重力势能。
§5-4 弹性体的变形能和外力势能 1.几点提示 1.几点提示
应变能密度: 应变能密度: 单位体积内的应变能。 单位体积内的应变能。 2、应力的功和形变势能
（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看 成是作用于微小单元上的“外力”。
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能
弹塑性力学第05章
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
-vzw （5-1） y
x
u x
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚
v y
方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式
x x 2w 2z
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
y
y
E
1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
z 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
第五章 薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。
[工学]第五章 弹塑性模型理论
![[工学]第五章 弹塑性模型理论](https://img.taocdn.com/s3/m/2794070ecfc789eb172dc8bc.png)
第五章 弹塑性模型理论5.1 概述弹塑性理论可以分为两种，塑性增量理论和塑性全量理论。
塑性增量理论又称塑性流动理论，塑性全量理论又称塑性形变理论。
在塑性增量理论中，将物体在弹塑性变形阶段的应变ij ε分为两部分：弹性应变e ij ε和塑性应变p ij ε。
塑性应变增量ij d ε的表达式为e p ij ij ij d d d εεε=+ (5.1.1)式中，弹性应变增量d e ij ε可以用广义虎克定律计算，塑性应变增量d p ij ε可以根据塑性增量理论计算。
塑性增量理论主要包括三部分：（1） 屈服面理论；（2） 流动规则理论；（3） 加工硬化（或软化）理论。
在塑性形变理论中是按全量来分析问题的。
它在盈利状态和相应的应变状态之间建立一一对应的关系。
塑性形变理论实质上是把弹塑性变形过程看成是非线性弹性变形过程。
严格说，在弹塑性变形理论的应用是有条件的。
严格讲，只有在等比例加载条件下，应用塑性变形理论可以得到精确解。
所谓等比例加载是指在加载过程中，各应力分量是按同一比例增加的。
严格的等比例加载是很难满足的，在土工问题中可以说是不可能的。
在简单加载条件下应用塑性形变理论分析有时也可以取得较好效果。
近些年来建立的土体弹塑性模型大部分是根据塑性增量理论建立的。
本章主要介绍塑性增量理论，在最后一节简要介绍塑性形变理论。
5.2 屈服面得概念首先讨论理想弹塑性材料。
理想弹塑性材料受力到什么程度才开始发生塑性变形呢？在简单拉伸时，问题是很明显的。
当应力等于屈服应力σs 时，塑性变形开始产生。
σs 值是可以在拉伸试验应力-应变曲线上找到的。
然而在复杂应力状态时，问题就不是这样简单了。
一点的应力状态由六个应力分量确定。
在复杂应力状态下，显然不能任意选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。
因此需要在应力空间或应变空间来考虑这一问题。
在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间、p 、q （或σm ，σ1-σ3）应力平面、以及132σσ+，132σσ-应力平面等。
弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章塑性理论
硬化材料:
加卸载准则
理想塑性材料:
5.3 流动法则
流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比 例关系。塑性理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定。在应力 空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。所 以流动规则也叫做正交定律。这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变 增量的方向是惟一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的 应力增量的方向无关，亦即
5.2 屈服准则
屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
f (ij , k) 0
k为状态参数，与硬化/软化参数有关
5.2 屈服准则
弹性 f (ij , k) 0 塑性 f (ij , k)=0 ? f (ij , k)>0
f f T f T k 0
k
5.2 屈服准则
➢压硬性 ➢等压屈服特性 ➢剪胀性 ➢应变软化特性 ➢与应力路径相关性
5.1 基本原理
塑性理论的基本概念：
1、屈服准则（Yield criterion ） 屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
2、硬化（软化）规律（Harding/Softening rule） 硬化规律是确定加载过程中屈服面位置和大小变化的规律。
3、流动准则（Flow rule） 流动准则用来确定塑性加载过程中塑性应变增量的方向。
不硬化
5.4 硬化规律
等向强化 是指屈服面以材料中所
作塑性功的大小为基础在尺寸上 扩张。
随动强化 假定屈服面的大小保持不变而仅 在屈服的方向上移动，当某个方向的屈服 应力升高时，其相反方向的屈服应力应该 降低。
在随动强化中，由于拉伸方向屈服应力的 增加导致压缩方向屈服应力的降低，所以在 对应的两个屈服应力之间总存 的差值，初 始各向同性的材料在屈服后将不再是各向同f (σ, Ro ) 0
第五章弹塑性力学问题的提法优秀课件
在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力， 应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状 态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力， 应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状 态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
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由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线 性微分（代数）方程，可以证明这个原理成立。
对于非线性问题，此原理不能应用。
2020/5/6
24
§5-4 线弹性力学的几个原理
4.2 解的唯一性定理
线弹性体在给定体力、面力和约束条件下
而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变 及位移的解是唯一的 ——解的唯一性定理。
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
2020/5/6
17
§5-2 位移法
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
上式代入平衡微分方程，得到位移法 的基本方程
G(ui, j u j,i ), j ijuk,kj fi 0 在V上
或
G2ui ( G)u j, ji fi 0 在V上
2020/5/6
34
§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题1 正六面体不受体力作用， 但各表面受均匀压力p作用。 （右图） 这个问题为（相当）静水 压力问题。 采用应力法及逆解法。
猜应力：x=y=z=-p，xy=yz=zx=0；
2020/5/6
35
§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解是否为真解?它须满足平衡微分 方程和应力表示变形协调方程、是否满足力 的边界条件。
2020/5/6
14
§5-2 位移法
位移法求解思想：
选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij
均看成是由ui导出的未知函数，这样15
个方程中某些方程成为的ui ij ij
关系式。
2020/5/6
15
§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知
函数ui
应 变 kl 用 ui 物理方程
或 ui 0
ui ui' ui''
在Su无位移（齐次边界条件）
在弹性体无外力作用、表面无位移（无支
座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）
应力、无变形。，则 ij=0，ui=0, ij=0
所以第一组解和第二组解相等。
2020/5/6
28
§5-4 线弹性力学的几个原理
唯一性定理的好处是无论用什么方法求解， 只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定 是问题的真解。
2020/5/6
19
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。 这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操 作上有时较难处理。
2020/5/6
20
§5-3 应力法
如果将ij 作为基本未知量，力的边界条 件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知
函数求解基本方程。
选取ij 为基本未知函数，而 ij 和ui 均看成 是由ij 导出的未知函数，这样15个方程中某些 方程成为的 ij ij ui 关系式。
应力解代入平衡微分方程（无体力时）：
ji,j=0 满足
应力解代入应力表示的变形 协调方程（无体力时）：
ij,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足 。
2020/5/6
36
§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解代入力的边界条件： 可验证应力解满足力的边界条件。(作业)
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力
ji,j+fi=0
在V上
2 ij
1
1
Θ，ij
1
ij
f k ,k
(
fi, j
f
j,i )
在V上
力的边界条件
X i n j ij
在S上
2020/5/6
23
§5-4 线弹性力学的几个原理
4.1 叠加原理
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组 外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生 的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作 用所产生的效果之和。
2020/5/6
38
§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 E
2 )
x
c3 y
c2 z
1
v
p(1 E
2 )
y
f2 (z, x)
p(1 2 )
E
y
c1 z
c3 x
2
w
p(1 2 )
E
z
f1 ( x,
y)
p(1 2 )
E
z
c2 x c1 y 3
2020/5/6
表示
应 力 kl 用 ui
表示
kl 用ui 表示
用ui表示的平衡 微分方程
用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
2020/5/6
16
§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示）
应变用位移表示
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
线性各向同性材料的应力用位移表示：
2020/5/6
2
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
1.1.1 平衡微分方程（3个）
体力与应力之关系：指标符号表示 ji,j+fi=0
11
x1
21
x2
31
x3
f1
01
12
x1
22
x2
32
x3
f2
0
13
x1
23
x2
33
x3
f3
0
2020/5/6
3
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
第五章 线弹性力学问题的基本解 法和一般性原理
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
§5-2 位移法 §5-3 应力法
§5-4 线弹性力学的几个原理
§5-5 线弹性力学的几个简单 问题的求解
2020/5/6
1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内 力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律， 从而导出了待求物理量（应力、应变、位移） 所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2 x
z 2
2 z
x 2
2 zx
xz
2020/5/6
6
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
( yz zx xy ) 2 2 x
x x y z yz
( yz zx xy ) 2 2 y
y x y z zx
( yz zx xy ) 2 2 z
z x y z yx
2020/5/6
11
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题； 当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
2020/5/6
12
§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
2020/5/6
5
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
指标符号表示
ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik 0
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y 2 z 2 yz
z 2 y2 zy
2020/5/6
33
§5-4 线弹性力学的几个问题的求解
4.3 逆解法和半逆解法
逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足 方程的一组解，然后代入边界条件检 验，判断是否为正确解。
半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和 位移状态分布趋势的判断，假设能满 足部分边界条件和域内方程的未知函 数，并由其它边界条件和域内方程导 出其余未知函数。
即合力、合力矩为零）所引起的应变，在远离 作用区的地方可以忽略不计，如下图。
P
P
P
P
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P/A
P/A
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§5-4 线弹性力学的几个原理
因此，作用在弹性体局部面积上的力系 可以用作用在同一局部面积上的另一静力等 效力系来代替。圣维南原理以利于求解实际 问题，但解答在原局部区域内是不能用。
Y l xy m y n zy n112 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n113 n2 23 n3 33
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
ui ui 在 Su 上
uu vv ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
指标符号表示
ij
(1
E
)
ij
E
ij
kk
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的
方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
X l x m yx n zx n111 n2 21 n3 31
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题2 等截面柱体在自重作用下
z
y
对于非线性问题，此原理不能应用。
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§5-4 线弹性力学的几个原理
4.2 解的唯一性定理
线弹性体在给定体力、面力和约束条件下
而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变 及位移的解是唯一的 ——解的唯一性定理。
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
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§5-2 位移法
ij G(ui, j u j,i ) ijuk,k
上式代入平衡微分方程，得到位移法 的基本方程
G(ui, j u j,i ), j ijuk,kj fi 0 在V上
或
G2ui ( G)u j, ji fi 0 在V上
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题1 正六面体不受体力作用， 但各表面受均匀压力p作用。 （右图） 这个问题为（相当）静水 压力问题。 采用应力法及逆解法。
猜应力：x=y=z=-p，xy=yz=zx=0；
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解是否为真解?它须满足平衡微分 方程和应力表示变形协调方程、是否满足力 的边界条件。
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§5-2 位移法
位移法求解思想：
选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij
均看成是由ui导出的未知函数，这样15
个方程中某些方程成为的ui ij ij
关系式。
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§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知
函数ui
应 变 kl 用 ui 物理方程
或 ui 0
ui ui' ui''
在Su无位移（齐次边界条件）
在弹性体无外力作用、表面无位移（无支
座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）
应力、无变形。，则 ij=0，ui=0, ij=0
所以第一组解和第二组解相等。
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§5-4 线弹性力学的几个原理
唯一性定理的好处是无论用什么方法求解， 只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定 是问题的真解。
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。 这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操 作上有时较难处理。
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§5-3 应力法
如果将ij 作为基本未知量，力的边界条 件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知
函数求解基本方程。
选取ij 为基本未知函数，而 ij 和ui 均看成 是由ij 导出的未知函数，这样15个方程中某些 方程成为的 ij ij ui 关系式。
应力解代入平衡微分方程（无体力时）：
ji,j=0 满足
应力解代入应力表示的变形 协调方程（无体力时）：
ij,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足 。
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
应力解代入力的边界条件： 可验证应力解满足力的边界条件。(作业)
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力
ji,j+fi=0
在V上
2 ij
1
1
Θ，ij
1
ij
f k ,k
(
fi, j
f
j,i )
在V上
力的边界条件
X i n j ij
在S上
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§5-4 线弹性力学的几个原理
4.1 叠加原理
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组 外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生 的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作 用所产生的效果之和。
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 E
2 )
x
c3 y
c2 z
1
v
p(1 E
2 )
y
f2 (z, x)
p(1 2 )
E
y
c1 z
c3 x
2
w
p(1 2 )
E
z
f1 ( x,
y)
p(1 2 )
E
z
c2 x c1 y 3
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表示
应 力 kl 用 ui
表示
kl 用ui 表示
用ui表示的平衡 微分方程
用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
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§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示）
应变用位移表示
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
线性各向同性材料的应力用位移表示：
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
1.1.1 平衡微分方程（3个）
体力与应力之关系：指标符号表示 ji,j+fi=0
11
x1
21
x2
31
x3
f1
01
12
x1
22
x2
32
x3
f2
0
13
x1
23
x2
33
x3
f3
0
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3
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
第五章 线弹性力学问题的基本解 法和一般性原理
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
§5-2 位移法 §5-3 应力法
§5-4 线弹性力学的几个原理
§5-5 线弹性力学的几个简单 问题的求解
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1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内 力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律， 从而导出了待求物理量（应力、应变、位移） 所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2 x
z 2
2 z
x 2
2 zx
xz
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
( yz zx xy ) 2 2 x
x x y z yz
( yz zx xy ) 2 2 y
y x y z zx
( yz zx xy ) 2 2 z
z x y z yx
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题； 当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
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§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
指标符号表示
ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik 0
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y 2 z 2 yz
z 2 y2 zy
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§5-4 线弹性力学的几个问题的求解
4.3 逆解法和半逆解法
逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足 方程的一组解，然后代入边界条件检 验，判断是否为正确解。
半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和 位移状态分布趋势的判断，假设能满 足部分边界条件和域内方程的未知函 数，并由其它边界条件和域内方程导 出其余未知函数。
即合力、合力矩为零）所引起的应变，在远离 作用区的地方可以忽略不计，如下图。
P
P
P
P
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P/A
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§5-4 线弹性力学的几个原理
因此，作用在弹性体局部面积上的力系 可以用作用在同一局部面积上的另一静力等 效力系来代替。圣维南原理以利于求解实际 问题，但解答在原局部区域内是不能用。
Y l xy m y n zy n112 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n113 n2 23 n3 33
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
ui ui 在 Su 上
uu vv ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
指标符号表示
ij
(1
E
)
ij
E
ij
kk
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的
方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
X l x m yx n zx n111 n2 21 n3 31
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§5-5 线弹性力学的几个问题的求解
例题2 等截面柱体在自重作用下
z
y