等差数列第二课时教案
4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
三、合作探究
目录 思考2： 公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均
匀分C布ON在TE直NT线S f(x)＝dx＋(a1－d)上吗？.
分析：平面直角坐标系中画出f (x) dx (a1 d )的图象 直线上描点（1，f (1）），（2，f (2)),...,(n, f (n),..., 可得：{an}的图像是点（n, an )组成的集合，所以这些点 均匀分布在直线f (x) dx (a1 d )上。
三、合作探究
目录 思考3： 任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k
＋b，CO…NT，ENfT(nS)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公
差为____.
分析：an f (n) kn b
a1 f (1) k b 则数列{an}公差d an1 an
at 2
, ax2
ap
aq 2
ap aq as at
an
at
T(q)
ap as
S(s,Pa‧s()p,a‧p)
O
s p q M,(N) t n
三、合作探究
等差目数列录性质：
1.已知数列{an}是等差数列，p, q, s,t N *,若p q s t,则ap aq as at
解： a1 a3 2a2 , a1 a2 a3 3 3a2 3, a2 1 2a29 a28 a30 , a28 a29 a30 165 a29 55 a1 a30 a2 a29 55 1 56
五、课堂小结 等差数列与一次函数关系：
公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布 在直线 f(x)＝dx＋(a1－d)上.
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标知识与技能目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，能够运用等差数列的性质解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
二、教学重点等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的性质。
三、教学难点等差数列通项公式的理解和运用，等差数列性质的推导和应用。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，从而达到对等差数列知识的理解和运用。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾等差数列的定义和性质，引出本节课的内容——等差数列的通项公式。
2. 自主学习：学生自主学习等差数列的通项公式，理解公式的含义和运用。
3. 案例分析：教师给出几个等差数列的实例，引导学生运用通项公式解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论等差数列的性质，总结出等差数列的性质。
5. 课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
6. 课后作业：布置适量的课后练习，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过问题驱动、案例分析和小组讨论等多种教学方法，使学生掌握了等差数列的通项公式和性质。
在教学过程中，注意引导学生主动探究、合作交流，培养了学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
但也发现部分学生在理解等差数列通项公式时存在困难，需要在今后的教学中加强针对性辅导。
六、教学内容本节课将继续深入学习等差数列的相关知识，主要包括等差数列的前n项和公式、等差数列的求和方法以及等差数列在实际问题中的应用。
七、教学过程1. 复习导入：通过复习上节课所学的等差数列的通项公式，引导学生自然过渡到本节课的学习内容。
2. 自主学习：学生自主学习等差数列的前n项和公式，理解公式的含义和运用。
3. 案例分析：教师给出几个等差数列的前n项和实例，引导学生运用公式解决问题。
4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
例5：
证明：
aq a1 (q 1)d,
as a1 (s 1)d, at a1 (t 1)d,
所以 ap aq 2a1 (p q 2)d,
as at 2a1 (s t 2)d,
(2)d= - .
-
跟踪训练：.若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差d为( )
A.35
B.53
C.-35
D.-53
解析:∵a7-a2=5d, ∴5d=3,d= 35. 答案:A
跟踪训练：在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )
A.-9
B.-8
C.-7
D.-4
解法二:根据已知条件a2+a3+a23+a24=48及a2+a24=a3+a23=2a13, 得4a13=48,故a13=12.
跟踪训练3： 在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=( )
A.100
B.90
C.95
D.20
解析:在等差数列{an}中, ∵a2+a8=10, ∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5. ∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90. 答案:B
③
④ ank ank 2an
跟踪训练1.(多选题)在等差数列{an}中,下列关系式不成立的是( )
A.a1+a8=a3+a5
B.a2+a7=2a5
3.2等差数列(第二课时)
等差数列(第二课时)【学习目标】1．认识和理解等差数列的性质，掌握运用等差数列性质进行各种运算的技巧．2．掌握如何处理等差数列的公共项问题．3．会用等差数列的知识解决简单的实际应用问题．【学习障碍】1．如何通过等差数列的运算性质，深刻认识等差数列的规律和特点，进而灵活快捷地进行运算是学生普遍感到困难的地方．2．公共项问题是数列的难点问题．由于解决该问题所涉及的知识学生相对薄弱，对能力的要求相对较高，学生往往不得要领或产生错误解法．【学习策略】Ⅰ．学习导引深入研究等差数列的性质，就能从不同角度分析有关等差数列的解题思路，“深入”才能“浅出”．下面是等差数列常用的性质：如果{a n }是公差为d 的等差数列，那么(1)a n ＝a m ＋(n －m )d ．(d ＝m n a a mn --)．(2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；反之不一定成立．特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ＋a n ＝2a p ，即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．(3)公差为d 的等差数列{a n }，其子数列a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(m ∈N *)也成等差数列，公差为md ．(4)公差为d 的等差数列{a n }中，任意等间距的截取项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含m 项，每段间距(每段对应项的项数差)为k ，则新公差为原公差的km 倍．即新的等差数列公差为kmd ．当k ＝m 时，新数列为连续相同个数的项的和构成的等差数列，其公差为m 2d ．(5)数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)是公差为λd 的等差数列．证明：(1)∵a m ＝a 1＋(m －1)d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ．∴a n －a m ＝(n －m )d ，即a n ＝a m ＋(n －m )d ．(2)∵a m ＋a n ＝［a 1＋(m －1)d ］＋［a 1＋(n －1)d ］＝2a 1＋(m ＋n －2)d ．同理，a p ＋a q ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ．∴a m ＋a n ＝a p ＋a q ．反之，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔(m ＋n －2)d ＝(p ＋q －2)d ．在d ≠0时，应该有m ＋n ＝p ＋q ；在d ＝0时，不一定有m ＋n ＝p ＋q ．(3)该条性质是第(4)条性质的特例．(4)设相邻两段间距为k ，每段含m 项，则相邻两段的对应项的差为kd ，m 个对应项的差的和为mkd ．(5)(λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd ．∴{λa n ＋b }是公差为λd 的等差数列．Ⅱ．知识拓宽等差数列的计算问题是数学中最古老的问题之一，它的历史可以追溯到三四千年以前的古埃及．约在公元前1700年成书的莱因德(Rhi nd )《纸草算书》中已载录了两个等差数列问题．一个问题是，今有10袋麦子分给10个人，使每个人依次递减81袋，那么第一个人分得多少？在《纸草算书》上不仅有正确的答案，而且还有一个非常巧妙的解法：假设最后1人分得1袋，则各人所得依次为,813,814,815,816,817,89,810,811,8121．其总和为8125，此问题中的总数10多845．于是，为保证相邻两项的差仍为81，只须所设数列的第一项减少845÷10(＝169)，这样求得第一个人分得1169袋．类似这样按级递减分物的等差数列问题，在巴比伦晚期泥板中也有出现．我国古代数学专著很早就涉及了等差数列问题．除了《周髀算经》中记载的等差数列在研究和制定节气方面的应用之外，约在公元前50年成书的《九章算术》中也有几个关于等差数列的问题．如均输章的第19题：今有竹九节，下三节容4升，上四节容3升，中间三节均容(容积自上而下的均匀增加)，问是多少．书中给出了准确的解答．对等差数列问题的深入研究是从《张丘建算经》(约5世纪)开始的．在张丘建之后，天文学家把等差数列计算应用到了历法计算方面．唐代天文学家一行(683～727)在《大衍历》中计算行星在n 天内运行的弧长S n ，应用的公式是S n ＝n (a 1＋21-n d )，其中a 1是第一天行星运行的弧长，d 是逐日多行的弧长．而在已知a 1，d ，S n ，求天数n 时，一行的算法是n ＝]28)2([21121d d a d S d d a n --+-，这是关于n 的二次方程n 2＋d S n d d a n 221=⋅-的一个根．Ⅲ．障碍分析1．怎样用等差数列的性质解答等差数列问题？［例1］已知具有20项的等差数列(1)如果奇数项的和为100，偶数项的和为140，求公差d ；(2)如果前3项的和是20，末3项的和是60，求它的公差d ．解：(1)由已知a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝100， ①又a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝140 ②②－①：(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 20－a 19)＝10d ＝40，∴d ＝4．(2)a 1＋a 2＋a 3＝20，a 18＋a 19＋a 20＝60，∴(a 20－a 3)＋(a 19－a 2)＋(a 18－a 1)＝40．17d ＋17d ＋17d ＝40，∴d ＝5140．点评：本题应用了上面的性质(1)．［例2］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式．思路一：利用等差数列的通项公式求解．解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎨⎧=+⋅+⋅+=+++++.28)12()7()2(,12)12()7()2(111111d a d a d a d a d a d a当d ＝53时，a 1＝－51，a n ＝－51＋(n －1)·;545353-=n 当d ＝－53时，a 1＝541，a n ＝541＋(n －1)·(－53)＝－53n ＋544思路二：把a 3，a 8，a 13看作一个整体，再利用性质(2)解题．解法二：由于a 3＋a 13＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故可得a 8＝4．代入已知得⎩⎨⎧=⋅=+,17,8133133a a a a 解得⎩⎨⎧==,7,1133a a 或⎩⎨⎧==.1,7133a a 由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝531017313313=-=--a a ． 故a n ＝a 3＋(n －3)·53＝5453-n ． 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得a n ＝－54453+n ． 误区点评：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 13＝12及a 3·a 8·a 13＝28是无法算出a 3，a 8，a 13的具体值的．［例3］已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：c b a b c a a c b +++,,也成等差数列． 思路：由于等差数列各项乘以或加上一个常数所得数列仍成等差数列(性质(5))，结合本题特征，可考虑用据此性质证明．证明：∵c b a 1,1,1成等差数列， ∴),(1),(1),(1c b a c c b a b c b a a ++++++ 即1,1,1++++++c b a b c a a c b 成等差数列． ∴c b a b c a ac b +++,,成等差数列． 点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用统一量法转化为a 、d ，同时也要注重对其性质的运用．2．怎样求解两个等差数列的公共项问题？［例4］已知两个等差数列：5，8，11，…； ①3，7，11，…． ②它们的项数均为100项，试问它们有多少个彼此具有相同数值的项．思路一：从分析两个数列共同项组成的新数列的特征入手进行解题．解法一：设两个数列共同项组成的新数列为{c n }，易知c 1＝11，又数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，公差为3；而数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1，公差为4．∴数列{c n }仍为等差数列，且公差为d ＝12．故数列{c n }的通项公式为c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．又a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1≤302，得n ≤25.25所以已知两数列有25个共同的项．思路二：由数列①易得a n ＝3n ＋2．由数列②易知a m ＝4m －1，其中1≤n ，m ≤100．依题意有a n ＝a m ，即3n ＋2＝4m －1．∴n ＝34m －1．由于n 、m 均为自然数，必有m ＝3t ，t ∈N *，即n ＝4t －1．∴⎩⎨⎧≤-≤≤≤10014110031t t 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤41013100t t 也即1≤t ≤4101． 由于t 是正整数，故最大的t 值是25，所以两数列共有25个数值相同的项．误区点评：本题易出现的误解是：令a n ＝b n ，也即3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3，故两数列中具有相同数值的项只有一项(即11)．上述错误在于误认为，两个数列相同数值的项数也应当相同，而这是题中没有要求的．Ⅳ．思维拓展［例5］已知数列a n 为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ．(p ≠q )，求a p ＋q ．思路：本题可先转化为a 1和d 去探索，也可利用等差数列中任2项a n 和a m 的关系a n＝a m ＋(n －m )d 进行求解，还可利用一次函数图象解答．解法一：∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d∴⎩⎨⎧=-+=-+p d q a q d p a )1()1(11 ① 两式相减，得(p －q )d ＝q －p ，∵p ≠q ，∴d ＝－1．代入①，有a 1＋(p －1)(－1)＝q ．∴a 1＝p ＋q －1故a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)·(－1)＝0．解法二：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，∵p ≠q ，∴d ＝－1故a p ＋q ＝a p ＋［(p ＋q )－p ］d ＝q ＋q (－1)＝0．解法三：不妨设p ＜q ，由于等差数列中，a n 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p ，a p )，(q ，a q )，(p ＋q ，a p ＋q )共线．设△ABE ∽△BCF ，得FC BF EB AE =， ∴q q p m p p q p q -+-=--)(．∴1＝p mp -，得m ＝0，即a p ＋q ＝0．点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用其定义，转化为求a 、d ，同时也要注重对其有关简单性质的使用，因为这往往有助于解题过程的简化．一般地有，设等差数列{a n }中，a m ＝p ，a n ＝q ，(m ≠n )，则a k ＝n m k m q n k p --+-)()(．对此，有兴趣的读者不妨给予证明．Ⅴ．探究学习在等差数列{a n }中对于任意的m ，n ∈N *，若a n ＋a m ＝a n ＋m 且a 1＝1问数列{a n }是一个怎样的数列？答案：解：∵a n ＋a m ＝a n ＋m∴a 1＋(n －1)d ＋a 1＋(m －1)d ＝a 1＋(n ＋m －1)d又∵a 1＝1，代入上式化简得d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ．【同步达纲练习】一、选择题1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于A ．0B ．37C ．100D ．－372．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39．则a 3＋a 6＋a 9的值是A ．39B ．20C ．19.5D ．333．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450．则a 2＋a 8的值等于A ．45B ．75C ．180D ．3004．设x ≠y ，若数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，b 3，…，b n ，y 都是等差数列，则1212b b a a --为A ．n mB ．11++n mC ．m nD ．11++m n二、填空题5．一个等差数列中，a 15＝33，a 25＝66，a 35＝______________．6．设{a n }是等差数列，则+⋅+⋅322111a a a a …＋n n a a ⋅-11可化简为______________．7．已知数列{a n }中，a 1＝3，111--n n a a ＝5(n ≥2)，则a n ＝______________．三、解答题8．已知：lo g a b 、－1、lo g b a 成等差数列，且a ，b 为一元二次方程：x 2－cx ＋d ＝0的两根，求c ，d 的取值范围．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 提示：设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2， ∵(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100．2．D 提示：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2，a 4＋a 6＝2a 5，a 7＋a 9＝2a 8．∴(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)∴a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33．3．C 提示：∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5 ∴由已知可得：a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180．4．D 提示：设前一等差数列公差为d 1，后一等差数列公差为d 2，则：y ＝x ＋(m ＋1)d 1，y ＝x ＋(n ＋1)d 2， 于是：)1()1(21++n d m d ＝1．∴1121++=m n d d 即：111212++=--m n b b a a二、5．99 提示：∵a 25是a 15和a 35的等差中项．∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99． 6．n a a n ⋅-11提示：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵)11(1111n n nn a a d a a -=⋅-- ∴n n a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅-13221111 ＝)]11()11()11[(113221n n a a a a a a d -+⋅⋅⋅+-+-- ＝n n na a n a a d n d a a d ⋅-=⋅-⋅=-1111)1(1)11(1 7．14153-n 提示：由已知：{n a 1}是等差数列， ∴314155)1(311-=⋅-+=n n a n ，∴a n ＝14153-n三、8．由已知得：log a b ＋log b a ＝－2． 即b a a b lg lg lg lg +＝－2．从而有(l ga ＋l gb )2＝0，l ga ＝－l gb ＝l g b 1． ∴a ·b ＝1，而c ＝a ＋b ，d ＝ab ＝1， 因a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1． a ＋b ≥2ab ＝2．又a ≠1，b ≠1． 故不等式不取等号，所以，c ＞2，d ＝1．。
4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
B [由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b，∴数列{2an}的公 差为2d．]
学以致用：
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10， ∴a5＝5．]
学以致用：
所以等差数列通项公式也可以表示为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
等差数列中的主要方法： 1．等差数列的判定方法
(1)定义法: an1 an d(常数) (n N)
(2)中项法: 2an1 an an2
(3)通项公式判定: an a1 (n 1)d 等差数列的通项公式是关于n的一次函数
2、在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,
则a2+a8 =（ ）
3、在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,
则a3+a15=（ ）
学以致用：
1．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{2an}是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确
例3、已知数列的通项公式为 an pn，其q 中 p，q是常数，那么这种数列是否一定是等 差数列？
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够解决与等差数列相关的一些实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的前n项和公式5. 等差数列的实际应用问题三、教学重点与难点1. 重点：等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式。
2. 难点：等差数列的实际应用问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解等差数列的概念、性质、公式。
2. 通过例题讲解等差数列的实际应用问题。
3. 引导学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力。
五、教学过程第一课时：等差数列的定义与性质一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的概念。
2. 引导学生思考等差数列的特点。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的定义。
2. 引导学生总结等差数列的性质。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的定义与性质。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
第二课时：等差数列的通项公式与求和公式一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的定义与性质。
2. 引导学生思考等差数列的通项公式和求和公式。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的通项公式。
2. 讲解等差数列的前n项和公式。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的通项公式和求和公式。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结。
2. 引导学生思考等差数列的实际应用问题。
教学评价：通过课堂讲解、练习和小组讨论，评价学生对等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
六、教学目标1. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 理解等差数列的图像和特点。
3. 能够运用等差数列的知识解决一些综合性的数学问题。
七、教学内容1. 等差数列的图像和特点2. 等差数列的实际应用问题3. 等差数列的综合训练八、教学重点与难点1. 重点：等差数列的图像和特点，以及实际应用问题的解决。
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
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教学目标1. 知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算.以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.b a A +=2 同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的关系.问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，……数列2： 30，25,20，15,10,5，……数列3： 8,8,8,8,8,8，……引导学生观察，得到等差数列的一个性质.性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3：在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+一定成立吗?特别地,k n m 2=+,则k n m a a a 2=+成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
给出结论，上述等式在等差数列中一定成立.性质3: 在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+.三、 即时巩固学生自主完成作业，老师讲评问题4：已知等差数列}{n a 中,15741=++a a a ，45642=⋅⋅a a a ,求数列}{n a 的通项公式.参考答案: 解：4712a a a =+∴1534741==++a a a a由此得到54=a 又45642=⋅⋅a a a ，∴962=a a即9)2)(244=-+d a d a （9)25)(25=-+∴d d （得2±=d当2=d 时，32)4(4-=-+=n d n a a n当2-=d 时，n d n a a n 213)4(4-=-+=5：学生自主探究得出结论，老师辅助指点问题5：已知}{},{n n b a 是等差数列，公差分别为21,d d .βαλ，，是常数,则}{},{n n n b a a βαλ+,是等差数列吗?如果是,公差分别为多少? 参考解答:}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列,公差分别为211,d d d βαλ+ 性质4:}{},{n n b a 是等差数列，则}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列.四、 归纳提升引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善1. 等差中项的定义与应用2. 等差数列的性质性质1：若d >0,则}{n a 是递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列.性质2：d m n a a m n )(-+=;mn a a d m n --= 性质3: 在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+. 性质4：}{},{n n b a 是等差数列，则}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列. 五、 课后延续1. 回顾本课程的学习过程，整理学习笔记.2. 完成作业39p 4补充题目:在等差数列}{n a 中,1053=+a a ,2697=+a a ,求6,a d . 板书设计备用问题 1.【___全国卷】如果等差数列}{n a 中，12543=++a a a ，那么 7654321a a a a a a a ++++++ （）教后反思等差数列说课稿鸡西一中王健一、教材分析1、教材的地位和作用：本节课《等差数列》是《高中数学第一册》第三章第三课时第一课时的内容，是在学生学习了数列的有关概念和数列的通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入学习，它是函数学习的继续，可以说是特殊的函数。
通过数列的学习可以巩固和加深对函数的理解，同时也利用数列的知识特点，帮助学生建立归纳总结能力，数列是进一步学习数列的极限等内容的前提条件。
等差数列对数列的知识进一步深入和拓广，通过等差数列的学习，可以增强学生归纳总结能力，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
2、教学目标：（1）、知识目标：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；并能用公式解决一些简单实际问题。
（2）、能力目标：培养学生分析、归纳、推理的能力；在掌握函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
培养学生的知识、方法迁移能力。
（3）、情感目标：创设情境，引起学生的兴趣，并引导学生探索研究知识，通过探究学习培养学生勇于探索的科学态度及创新精神，激发兴趣。
3、教学重点和难点：重点：等差数列的概念及通项公式。
难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）从函数、方程的观点看通项公式二、学情分析：因为数列知识是函数之后的内容，且对于高中阶段的学生来说，解决问题的能力比较强，知识含量较丰富，且他们的智力已到了一定阶段，可以说数列的学习对于他们并不是困难问题。
况且我在授课时，注重引导、启发、研究和探讨等方式符合高中学生心理发展特点，所以，通过数列学习一定能促进他们思维能力的进一步发展，激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动。
三、学法指导结合本节课特点，我采用讲解结合和分组讨论的方法指导学生自主学习，把课堂还给学生，充分调动学生的积极性，本着以学生为主体以教师为主导的教学思想，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、.教学程序设计本节课的教学过程由（一）回顾数列概念并引入新课（二）新课探究，推导公式（三）应用举例（四）练习反馈（五）归纳小结（六）课后作业六个教学环节构成。
（一）引入课题1.复习回顾：从函数观点看数列，回顾函数概念。
2. 利用粉笔如图堆放，共放7层，自上而下分别有4、5、6、7、8、9、10根粉笔。
写成数列：4，5，6，7，8，9，10①3.某公共汽车上，左一排座位号：2，6，10，14，18，22，26写成数列：2，6，10，14，18，22，26②引导学生观察：数列①、②有何规律?引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.(二). 新课探究，推导公式1. 等差数列的概念．如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。
注意： ①它是每一项与它的前一项的差（从第2项起）必须是同一个常数。
②公差可以是正数、负数，也可以是0。
所以上面的①、②都是等差数列，他们的公差分别为1、4。
［练习一］判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项1a 和公差d ，如果不是，说明理由。
（1）0，0，0，0…… （2）-1，1，-1，1，……（3）5，9，13，17，21…… （4）2，4，8，16，32，……通过观察上面数列师生一起探求等差数列通项公式：如果等差数列｛n a ｝首项是1a ，公差是d ，那么根据等差数列的定义可得：2a -1a =d ，3a -2a =d ，4a -3a =d …… n n a a -+1 = d (n ≥1)所以：2a =1a +d 3a =1a +2d 4a =1a +3d ……［提出问题］： 如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列的通项公式如何表示？强调： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明。
(三)．例解应用例题在等差数列｛an ｝中，已知6a =10，13a =31，求首项1a 与公差d 。
［说明］等差数列通项公式中的1a 、d 、n 、n a 这4个量之间的关系。
当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
(四)．练习反馈 强化目标若数列{n a } 是等差数列,若n b = n a +m ，试证明：数列{n b }是等差数列. 证明:设等差数列{n a }的公差为dn b -1-n b -1 = (n a +m )-( 1-n a +m )= n a - 1-n a = d (常数)∴{n b }是等差数列反思：通过练习巩固等差数列的概念并培养学生的计算速度、计算能力和归纳总结能力。
(五)．归纳小结 提炼精华让学生反思、归纳、总结。
培养学生的概括能力、表达能力。
通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式。
(六)．课后作业练习册：第25页填空题五、板书设计3.2等差数列1、定义2、数学表达式3、等差数列的通项公式例题：（略）练习：（略）作业 ：（略）本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，突出了重点，同时还给学生留有作题的地方。
本节课还运用了以学生为主体，以教师为主导的教学思想。
把大部分时间还给学生，有助于培养学生自主探究的能力。