2011年丰台区中考一《数学》模试题及答案
丰台中考一模数学试题及答案解析(3)
丰台中考一模数学试题及答案解析（3）总结：话题作文与学期梳理
课程特色:
以写作问题为纲，以解决中高考语文写作问题和讲授踩分词为主，每节课仍会讲解2—3篇阅读题，作为对应练习和提高。
学习时，要求学生熟记理解每一讲的”地图内容”，以便考试时融会运用。
适合学员
想扎实写作基础，稳固提高作文水平的初中生
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《中学语文知识地图—中学必考文学常识一本通》
第十五章：学期课程融汇与升华
课程特色:
以解决阅读问题为纲，融会踩分词和阅读答题要求，进行专题训练，侧重点分为两个方面，一是结合《中学语文知识地图踩分词》进行阅读答题运用，二是答题结构与题型，每节课中以阅读概括能力、理解表述能力、判定分析。
北京市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题六 统计
市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题六 统计（昌平区一模）2．据昌平交通局网上公布，地铁昌平线（一期）2011年1月4日出现上班运营高峰，各站进出站约47600人次. 将47 600用科学记数法表示为 A ．50.47610⨯ B ．247610⨯ C ．44.7610⨯ D ．54.7610⨯ 答案：C6．在“爱的奉献”为地震灾区捐款活动中，某班以小组为单位的捐款额（单位：元）分别为10，20，15，15，21，15，在这组数据中，众数及中位数分别是A ．15，10B ．15，15C ．15，20D ．15，16 答案：B（大兴区一模）2．截止到2011年4月9日0时，小客车指标申请累计收到个人申请491671个，第四轮摇号中签率接近28比1. 将491671用科学记数法表示应为 A ．4101671.49⨯ B ．51091671.4⨯ C ．61091671.4⨯ D ．710491671.0⨯ 答案：B4．某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：M ）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为A ．150人B ．300人C ．600人D ．900人 答案：B（某某区一模）2．2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了0.000 001 6 秒，将0.000 001 6用科学记数法表示为A ．16×10-7B ．1.6×10-6C ．1.6×10-5D ．0.16×10-5答案：B5．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：答案：D（东城区一模）2.根据国家统计局的公布数据，2010年我国GDP 的总量约为398000亿元人民币. 将398000用科学记数法表示应为A. 398×103B. 0.398×106C . 3.98×105D. 3.98×106答案：C5.甲、乙、丙、丁四名学生10次小测验成绩的平均数(单位：分)和方差如下表：市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题六 统计市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题六 统计选 手 甲 乙 丙 丁 平均数方差0.270.15选 手甲乙 丙丁则这四人中成绩最稳定的是 A.甲 B 答案：B（房山区一模）2． 2010年某某世博会共有园区志愿者79965名。
2011年初三数学各区一模试题分类汇编—圆的综合复习
A FCOBM圆的综合复习（东城一）20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ； （2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．（西城一）21．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝32， 求△ACF 的面积．（海淀一）20. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF .（1）证明BF 是⊙O 的切线;（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.（朝阳一）21．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．（昌平一）20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．AE C B DOF图1图2A（丰台一）20．在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长．（门头沟一）20．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD．（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径AB的长；（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（房山一）20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若AB=5，求AE的长．（怀柔一）19. 如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作DE ⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：△DFC是等腰三角形.。
北京市2011年中考数学一模试题精选汇编：函数
yx8642OS 3S 2S 1P 1P 2P 3P 4y =12x北京市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题三 函数（2011年昌平区一摸） 5． 函数y =1x -中，自变量x 的取值范围是A ．1x ≥B ．1x ≤C ．1x >D ．1x ≠答案：A（2011年昌平区一摸） 12．如图，在函数12y x=（x ＞0）的图象上，有点1P ，2P ，3P ，…，n P ，1n P +，若1P 的横坐标为a ，且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2， 过点1P ，2P ，3P ，…，n P ，1n P +分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ， 则1S = ， 1S +2S +3S +…+n S = ．（用n 的代数式表示）答案：6，121nn +（2011年昌平区一摸）23． 已知二次函数22(1)(31)2y k x k x =---+．（1）二次函数的顶点在x 轴上，求k 的值；（2）若二次函数与x 轴的两个交点A 、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k 为整数时，求A 、B 两点的坐标. 答案：解：（1）方法一∵二次函数顶点在x 轴上，∴2-4=0b ac ，且0a ≠即()()22314210a k --⨯-=，且2-10k ≠=3k（2）∵二次函数与x 轴有两个交点，∴2-40b ac ＞，且0a ≠．即2-30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行．∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数∴1222-1+-3-1+-3-42====-1-1-1+1k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（）2222-1--3-1-+3+21====-1-1-1-1k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（）当=0k 时，可使1x ，2x 均为整数，∴当=0k 时，A 、B 两点坐标为(-10)，和(20)， （2011年朝阳区一摸） 8．已知二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有 A ．最大值 1 B ．最大值2 C ．最小值0 D ．最小值41- 答案：（2011年朝阳区一摸） 9．在函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是______． 答案：2-≠x（2011年朝阳区一摸）16．如图，一次函数y=kx +2的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数xmy =的图象的一个交 点为A （2，3）．（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，若点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于18，求P 点的坐标． 答案： 解：（1）把A （2，3）代入xmy =，∴m=6. ∴xy 6=. 把A （2，3）代入y=kx+2， ∴322=+k . ∴21=k . ∴.221+=x y （2）令0221=+x ,解得x=-4，即B （-4，0）. ∵AC ⊥x 轴，∴C（2，0）. ∴ BC=6.设P(x,y)， ∵S △PBC =y BC ⋅⋅21=18， ∴y 1=6或y 2=-6. 分别代入xy 6=中， 得x 1=1或x 2=-1.∴P 1（1，6）或P 2（-1，-6）答案： (1)证明：∵()()()131422+⨯-⨯--=∆m m()042≥+=m∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点. (2)m ＜-1且m≠-4.(3)解：令()013)2(2=++-+-=m x m x y ， 解得x 1=m+1，x 2=-3.可求得顶点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-44,222m m P . ①当A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ABC PAO S S ∆∆=，∴()()()()13421441212+⨯--=+⨯+m m m m 解得16-=m .∴45182---=x x y .②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得()()()[]13421443212+-⨯+=+⨯⨯m m m . 解得58-=m . ∴595182---=x x y .（2011年大兴区一摸） 6．下列图形中，阴影部分面积为1的是答案：DO A ．x y 1 1 （1，2） O B ．x y 1 3(0)2y x x =≥ O C ．x y1 1(0)y x x => O D ．xy21y x =-1-（2011年大兴区一摸）8. 如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图像与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：d=5－35x(0≤x≤5)，则结论：① AF= 2 ②BF=4 ③ OA=5 ④ OB=3，正确结论的序号是 A ．①②③ B ①③ C ．①②④ D ．③④ 答案：B（2011年大兴区一摸） 9．函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．答案：1≥x（2011年大兴区一摸） 16．已知直线b x k y 1+=与双曲线xk y 2=相交于点A （2，4），且与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线和双曲线的解析式。
丰台中考一模数学试题及答案解析(1)
丰台中考一模数学试题及答案解析（1）总结：话题作文与学期梳理
课程特色:
以写作问题为纲，以解决中高考语文写作问题和讲授踩分词为主，每节课仍会讲解2—3篇阅读题，作为对应练习和提高。
学习时，要求学生熟记理解每一讲的”地图内容”，以便考试时融会运用。
适合学员
想扎实写作基础，稳固提高作文水平的初中生
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《中学语文知识地图—中学必考文学常识一本通》
第十五章：学期课程融汇与升华
课程特色:
以解决阅读问题为纲，融会踩分词和阅读答题要求，进行专题训练，侧重点分为两个方面，一是结合《中学语文知识地图踩分词》进行阅读答题运用，二是答题结构与题型，每节课中以阅读概括能力、理解表述能力、判定分析。
2011丰台区高三一模数学试题(含答案)理科
y C y x2y x =(1,1)B丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学（理科）2011.3 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤2．6的展开式中常数项是 (A) -160(B) -20(C) 20(D) 1603．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 2(C)(D)4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或-1 (B) 3或1(C) 3 (D) 1 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C)③④ (D) ②③6．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)-(D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为(A)12(B)13(C) 14(D)168．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是(A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ， 点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 10．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方 程为 ，渐近线方程为 ．11．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．12．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ． 13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为___天．14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 1315 17 19 …… 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．BAαxy O（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =12AD =1，CD（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：P A // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．PABCD QM18.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．35- 10．221432x y -=，y =± 11．212．25413．16天（15.9天给满分） 14．n 2-n +5 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π ， （或写成A是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 22x x =++ ……………………7分1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分） …………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是PABCD QM23． ……………………11分 又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． ……………………13分16.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ……………………1分∵BC ∥AD 且BC =12AD ，即BC //AQ ． ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // P A ……………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，…………………3分 ∴ P A // 平面MBQ ． ……………………4分（Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD//BQ ． ……………………6分∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面P AD ⊥平面ABCD 且平面P AD ∩平面ABCD=AD ， ……………………7分∴BQ ⊥平面P AD ． ……………………8分∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面P AD ． ……………………9分 另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC = DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°即QB ⊥AD ． ……………………6分∵ P A =PD ， ∴PQ⊥AD ． ……………………7分∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………8分∵ AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD ． ……………………9分 （Ⅲ）∵P A =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．C∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．……………10分（不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，P ，B，(1C -分设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC =，∴(1))(x t x y ty z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴1t x t y z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩……………………12分 在平面MBQ 中，QB =，(1t QM t =-+， ∴平面MBQ法向量为(3,0,)m t =．……………………13分∵二面角M -BQ -C 为30°， c o s 303n m n m︒⋅===+ ∴3t =． …………………14分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分则P (A )=111114444256⨯⨯⨯=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分P (B )33341-A =2565= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P (C )222444111*********()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=．…7分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=，3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．（各1分）故取球次数ξ的分布列为139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …13分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥， ∴2'()1f x x ax =++． (1)分∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-， ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩， ……………………3分∴1=a ，611-=b ． （各1分） ……………………5分（Ⅱ）'()()ax f x g x e =21axx ax e ++=()x R ∈．'()g x =22(2)(1)()ax ax ax x a e a x ax e e +-++2[(2)]axx ax a e -=-+-． ……………………7分①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞． ……………………9分②当a >时，令'(g x =，得x =或2x a a=- ……………………10分（ⅰ）当20a ->，即0a <时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞；……11分（ⅱ）当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤， 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减； ……12分（ⅲ）当20a a-<，即a >()g x 在22(,0)a a-上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a --∞上单调递 ………13分综上所述，当0a =时，()gx 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞， 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >()g x 的单调递增区间为22(,0)a a-，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a--∞．（“综上所述”要求一定要写出来）19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为……2分∴1c =，a =22b =． ……3分W 的方程是22132x y +=． …………4分（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=． ……6分所以122632kx x k +=-+ …………7分∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MN y k k k x m m k +==---+． ………9分 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥， ∴222132332k k k m k +=---+ 即 232k m k =-+ …10分 当0k =时，0m =； ……11分当0k ≠时，212323k m k k k=-=-++]126,0()0,126[⋃-∈． ……13分 故所求m 的取范围是]126,126[-． ……14分 （可用判别式法）20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2510C =； ………3分（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =-当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-=故||i a +||i b ||i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|++|(,)d u v = ………8分（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k =123(,,)n v b b b b =…… ∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个． ∴21(,)nk k d u v =∑ =1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+---|++|+| =12n n - ……13分∴21(,)n kk d u v =∑=12n n -．法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个∴21(,)nk k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ++++ 21(,)n k k d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n nn Cn C n C C --+-+-++ 两式相加得 21(,)n kk d u v =∑=12n n -（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2011年北京中考数学一模试卷图形与证明题汇编
OD CBA （昌平区一模）7.如图，已知，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上， ∠ABC =50°，则∠D 为A ．50°B ．45°C ．40°D ． 30° 答案：C８．已知：如图,在等边三角形ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 是MN 上任意一点，CD 、BD 的延长线分别与AB 、AC 交于F 、E ，若116CE BF += ，则等边三角形ABC 的边长为A. 81B. 14C. 21D.1答案： C11．如图，已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =6，则菱形ABCD 的面积为 . 答案： 2416．如图，已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，联结EF ．若∠A =∠D ，∠OEF =∠OFE ，求证：AB =DC ．答案：证明：∵E F OB OC 、分别是、的中点，∴OB =2OE ，OC =2OF . ∵,OEF OFE ∠=∠ ∴OE =OF . ∴OB =OC . ∵,,AOB DOC A D ∠=∠∠=∠ ∴△AOB ≌△DOC . ∴AB =DC .19．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，BC =2cm . (1)求∠CBD 的度数；ODCABEFN MC B A ED F O F A B CD E(2)求下底AB 的长. 答案：解：∵AD BD ⊥,∴︒=∠90ADB . ∵︒=∠60A , ∴︒=∠30ABD ∵AB ∥CD ,∴︒=∠=∠30CBD ABD ∵BC=CD, ∴︒=∠=∠30CBD CDB ∴︒=∠60ABC . ∴ABC A ∠=∠.∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴AD=BC =2.在中，︒=∠90ADB ，︒=∠30ABD ， ∴AB=2AD=4.20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长． 答案：1）答：BD 和⊙O 相切.证明：∵OD ⊥BC ,∴∠OFB =∠BFD =90°, ∴∠D +∠3=90°.∵∠4=∠D =∠2, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠OBD =90°, 即OB ⊥BD .∵点B 在⊙O 上， ∴BD 和⊙O 相切.(2) ∵OD ⊥BC ,BC =8,∴BF =FC =4.∵ AB =10,∴OB =OA =5.在Rt △OFB 中, ∠OFB =90°, ∵OB =5,BF =4,∴OF =3.∴tan ∠1=34=OF BF . 3214FODBCE AD CBA在Rt △OBD 中, ∠OBD =90°, ∵tan ∠1=34=OB BD , OB =5, ∴320=BD 24． 已知， 点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：PA =PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当 3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图3补全图形，并求OP 的长. 答案：解：（1）在OB 上截取OD =OA ，连接PD ， ∵OP 平分∠MON ，∴∠MOP =∠NOP ． 又∵OA =OD ，OP =OP ，∴△AOP ≌△DOP ． ∴PA =PD ，∠1=∠2． ∵∠APB +∠MON =180°，∴∠1+∠3=180°． ∵∠2+∠4=180°， ∴∠3=∠4． ∴PD =PB ． ∴PA =PB ． （2）∵PA =PB ，∴∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠APB =180°，且∠3+∠4+∠APB =180°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4．∴∠2=∠4． ∵∠5=∠5， D 1234AO PB M N T51243T NMBP OA CCA O PB M N T 图1 图2 图3 TN MB P O A∴△PBC ∽△POB ． ∴33P S =∆∆=POB S BC PB PC ． （3）作BE ⊥OP 交OP 于E ，∵∠AOB =600，且OP 平分∠MON ， ∴∠1=∠2=30°． ∵∠AOB +∠APB =180°，∴∠APB =120°．∵PA =PB ， ∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7，∴∠3+∠4=∠7=(180°-30°)÷2=75°． ∵在Rt △OBE 中，∠3=600，OB =2 ∴∠4=150，OE =3，BE =1 ∴∠4+∠5=450， ∴在Rt △BPE 中，EP =BE =1 ∴OP =13+（朝阳区一模）11．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =40°， 点D 是弧BAC 上一点，则∠D 的度数是______． 答案：50°18．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长． 答案： 解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. 在矩形ABCD 中，DC=AB=5. ∴CE=DC-DE=2. 设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+.解得23=x .即FC=23.21．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．7612435EC AO PB M NTEO BHC ADF40︒OA BC D(第11题图)答案：（1）证明：∵OC ⊥AB ，CD ∥BA ，∴∠DCF=∠AHF=90°.∴CD 为⊙O 的切线.（2）解：∵OC ⊥AB ，AB ＝8，∴AH=BH=2AB =4.在Rt △BCH 中，∵BH=4，BC=5， ∴CH=3.∵AE ∥BC ，∴∠B=∠HAF. ∴△HAF ≌△HBC. ∴FH=CH=3，CF=6.连接BO ，设BO=x ，则OC=x ，OH=x-3. 在Rt △BHO 中，由()22234x x =-+，解得625=x ∴611=-=OC CF OF . 23．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，34tan =∠CAD ，CA =CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y .（1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 答案：解：（1）∵AD ∥BC ，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD.∴tan ∠ACB =tan ∠CAD=34. ∴34=BC AB . ∵AB=8， ∴BC=6. 则AC=10过点C 作CH ⊥AD 于点H ，∴CH=AB=8,则AH=6.FCBDAEEO BH C ADF∵CA=CD, ∴AD=2AH=12.（2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D. ∵∠FEC=∠ACB ，∠ACB=∠CAD ， ∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D ， ∴∠1=∠2.∴△AEF ∽△DCE.∴AECDAF DE =，即x -1210y -10x =. ∴1056101y 2+-=x x .（3）若△EFC 为等腰三角形.①当EC=EF 时，此时△AEF ≌△DCE ，∴AE=CD. 由12-x=10，得x=2.②当FC=FE 时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE ， ∴CE=AE=12-x.在Rt △CHE 中，由()()2228612+-=-x x ，解得311=x ③当CE=CF 时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE ，此时点F 与点A 重合，故点E 与点D 也重合，不合题意，舍去 综上，当△EFC 为等腰三角形时，x=2或311=x . 7．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm 答案：A答案：（1）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠1 =∠F ． ∵点E 是AB 的中点，321FEB CA D∴BE=AE.在△BCE 和△AFE 中， ∠1=∠F ，∠3=∠2， BE=AE ，∴△BCE ≌△AFE. （2）相等， 平行. （大兴区一模）3．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB∥DE， 若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则AB 的长为 A ．332 B ．316 C ．310 D ．38答案：A7．如图3，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的弧DE 上，若OA=3，∠1=∠2,则扇形ODE 的面积为A.3π2B. 2πC.5π2D. 3π 答案：D11．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠ACE ＋∠BDE ＝ ． 答案： 90o .15．已知，在△ABC 中，DE ∥AB ，FG ∥AC ，BE=GC.求证：DE=FB.答案：证明：∵DE ∥ABG FE DCB A 21E DCBAOE∴∠B=∠DEC又∵FG∥AC∴∠FGB=∠C∵BE=GC∴BE+EG=GC+EG即BG=EC在△FBG和△DEC中∴△FBG≌△DEC∴DE=FB19．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.答案：解：联结DG∵EF是CD的垂直平分线∴DG=CG∴∠GDC=∠C, 且∠C =45°∴∠DGC=90°∵AD∥BC,∠A=90°∴∠ABC=90°∴四边形ABGD是矩形∴BG=AD=8∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45°∴BE=BG=8∴AE=AB+BE=12+8=2020．如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处.请你判断∠x+∠y的度数，并加以证明.答案：∠x+∠y=45°.证明：如图，以AG所在直线为对称轴，作AC的轴对称图形AF，连结BF，∵网格中的小正方形边长为1，且A、B、F均在格点处，∴AB=BF=13，AF=26.∴222BFABAF+=∴△ABF为等腰直角三角形，且∠ABF=90°∴∠BAF=∠BFA=45°∵AF与AC关于直线AG轴对称，∴∠FAG=∠CAG.GFE DCB A又∵AG ∥EC ， ∴∠x =∠CAG . ∴∠x =∠FAG. ∵DB ∥AG ， ∴∠y =∠BAG.∴∠x +∠y=∠FAG+∠BAG =45°.23．在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2，E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于F. （1） 求OA ，OC 的长；（2） 求证：DF 为⊙O ′的切线；（3）由已知可得，△AOE 是等腰三角形.那么在直线BC 上是否存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P 与⊙O ′的位置关系，如果不存在，请说明理由. 答案： （1）解：在矩形ABCO 中，设OC=x ，则OA=x +2， 依题意得，x(x+2)=15.解得.5,321-==x x （不合题意，舍去） ∴ OC=3 ，OA =5 .（2）证明：连结O ′D ，在矩形OABC 中，∵ OC=AB ，∠OCB =∠ABC ，E 为BC 的中点，∴△OCE ≌△ABE . ∴ EO=EA .∴∠EOA =∠EAO . 又∵O ′O = O ′D ，∴ ∠O ′DO =∠EOA =∠EAO . ∴ O ′D ∥EA . ∵ DF ⊥AE ， ∴ DF ⊥O ′D .又∵点D 在⊙O ′上，O ′D 为⊙O ′的半径，y xO 'F EDCBAO∴ DF 为⊙O ′的切线. （3）答：存在 .① 当OA=AP 时，以点A 为圆心，以AO 为半径画弧，交BC 于点1P 和4P 两点，则△AO 1P 、△AO 4P 均为等腰三角形. 证明：过1P 点作1P H ⊥OA 于点H ，则1P H =OC=3， ∵ A 1P =OA=5，∴ AH =4，OH=1. ∴1P （1,3）.∵1P （1,3）在⊙O ′的弦CE 上，且不与C 、E 重合， ∴ 点1P 在⊙O ′内. 类似可求4P （9,3）.显然，点4P 在点E 的右侧， ∴点4P 在⊙O ′外.② 当OA=OP 时，同①可求得，2P （4,3），3P （-4,3）. 显然，点2P 在点E 的右侧，点3P 在点C 的左侧因此，在直线BC 上，除了E 点外，还存在点1P ， 2P ，3P ，4P ，它们分别使△AOP 为等腰三角形，且点1P 在⊙O ′内，点2P 、3P 、4P 在⊙O ′外. 24．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角． (1)当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CDAB ，大小关系是CD AB ； (2)当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立，证明你的结论． 答案：解：（1）答：如图1，C D∥AB ，CD <A B ．（2）答：C D <A B 还成立．证法1：如图2，分别过点D 、B 作BC 、C D 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DCBF 为平行四边形． ∴.,FB DC BC FD == ∵ AD =B C ，∴ AD =FD ．DCBA作∠ADF 的平分线交A B 于G 点，连结GF ． ∴ ∠ADG =∠FDG ． 在△ADG 和△FDG 中 ∴ △ADG ≌△FDG ．∴ AG =FG ． ∵在△BFG 中，BF BG FG >+． ∴ .DC BG AG >+ ∴ DC <A B ．证法2：如图3，分别过点D 、B 作A B 、AD 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DABF 为平行四边形． ∴ .,BF AD AB DF == ∵ A D =B C ， ∴ B C =BF ．作∠CBF 的平分线交DF 于G 点，连结C G ． 以下同证法112．.将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为 ，那么第n(n 为正整数)个图中，挖去的所有三角形形的面积和为 （用含n 的代数式表示）.(3)若该公司购买全部门票共花了36000元，试求每张田径门票的价格． 答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛25681)43(4或， n）（431-. 22．一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）： 请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积. 要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B 点重合； （2）写出画图步骤；（3）写出所画的平行四边形的名称. 答案：解：D 'D CBA图2DCBA（1）过点C作射线CE（不过A、D点）；（2）过点B作射线BF∥CE，且交DA的延长线于点F；（3）在CE上任取一点G，连结BG；（4）过点F作FE∥BG，交射线CE于点E.则四边形BGEF为所画的平行四边形.（东城区一模）3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70?，∠C＝40?，则∠E等于A . 30° B. 40° C. 60° D . 70°答案：A4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边的中点．若DE=2，则AB的长度是A．6 B．5C．4 D．3答案：C6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A．11πB．10πC．9πD．8π答案：D8. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止．设点△的面积为y，当yR运动的路程为x，EFR取到最大值时，点R应运动到A．BC的中点处 B．C点处C ．CD 的中点处 D ．D 点处答案：B16. 如图，在四边形ABCD 中， AC 是∠DAE 的平分线，DA ∥CE ，∠AEB =∠CEB . 求证：AB=CB .答案：证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. 又∵AD ∥EC ， ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴AE=CE. 在△ABE 和△CBE 中， AE=CE ， ∠AEB=∠CEB ， BE=BE ，∴△ABE ≌△CBE. ∴AB=CB. Com]18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．（1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．答案：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，ABCD E2 31ABCDEF∴∠B=∠D.又Q AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD. ∴∠BAE=∠DAF.（2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5.又∵∠BAE=∠DAF ， ∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53.在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57． 20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ； （2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．答案：（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . ∴AD ＝DC . （2）∵DE 为⊙O 切线，∴OD ⊥DE∴四边形MBED 为矩形. ∴DE ∥AB. ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1.连接OB.在Rt △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2.解得 OB=25 .22. 如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.M O AB C D E小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形.设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值. （1）请你帮小萍求出x 的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1 图2答案：解： （1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =.（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG 中，可求，433EG =. ∴△EFG 的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=833 （房山区一模）4．如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ?AB ，垂足为点E ， 联结OC ，若OC=5，AE=2，则CD 等于GF EDCBAO E DC BA（4题F OE D C BA（20题A ．3B ．4C ．6D ．8 答案：D11．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上， DE//BC ，若AD ：AB=3：4， DE=6，则BC= ________． 答案： 8；15．（本小题满分5分）如图，A 、B 、C 三点 在同一条直线上，AB=2BC ，分别以AB ，BC 为边做正方形ABEF 和正方形BCMN ， 联结FN ，EC ． 求证：FN=EC答案：证明：在正方形ABEF 和正方形BCMN 中 AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90° ∵ AB=2BC∴ EN=BC ∴△FNE ≌△EBC ∴FN=EC 19．（本小题满分5分）在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长． 答案：解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ∵CP ∥AB ，∴四边形DEFC 是矩形∵在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，CD=2∴AF=CF=12AB=3∴EF=CD=2,DE=CF=3 ∴AE=1在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴AD=1020．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、ACAB CDE （11题F E P D CB AOF EDC BA于点D 、E ，联结EB 交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长． 答案：解：（1）联结AD∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1分∵AB=AC ，∴CD=BD ∵OA=OB ，∴OD//AC ∴OD ⊥BE（2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5, DE=5 ∴AC=AB=5, BC=2DE=25,在△ABE 、△BCE 中，∠CEB=∠AEB=90°，则有2222AB AE BC EC -=- 设AE=x, 则()()22225255x x -=--解得：x=3 ∴AE=3方法二：∵OD ⊥BE ，∴BD=DE ，BF=EF设AE=x,∴OF=12x ，在△OBF 、△BDF 中，∠OFB=∠BFD=90° ∴2222BD DF OB OF -=-∵DE=5，AB=5， ∴22225151(5)()()()2222x x --=- 解得：x=3， ∴AE=3 方法三：∵BE ⊥AC AD ⊥BC,E CP B A B’CA B P D∴S △ABC =21BC ·AD=21AC ·BE, ∴BC ·AD=AC ·BE∵BC=2DE=25，AC=AB=5∴BE=4 , ∴AE=3 25．（本小题满分7分） 已知：等边三角形ABC（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°． 试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想；（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°． 求证：PA+PD+PC ＞BD答案：猜想：AP=BP+PC （1）证明：延长BP 至E ，使PE=PC ，联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC∴△CPE 为等边三角形∴CP=PE=CE ，∠PCE=60°∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ，∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE ， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE∴△ACP ≌△BCE∴AP=BE ∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC（2）方法一：在AD 外侧作等边△AB ′D 则点P 在三角形ADB ′外∵∠APD=120°∴由（1）得PB ′=AP+PD 在△PB ′C 中，有PB ′+PC ＞CB ′，∴PA+PD+PC ＞CB ′∵△AB ′D 、△ABC 是等边三角形∴AC=AB ，AB ′=AD ，∠BAC=∠DA B ′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB ′+∠CAD CABP 图1C B AP D图2AB CD E FOD C BA A BC D E F即：∠BAD=∠CAB ′ ∴△AB ′C ≌△ADB∴C B ′=BD ∴PA+PD+PC ＞BD方法二：延长DP 到M 使PM=PA ，联结AM 、BM ∵∠APD=120°， ∴△APM 是等边三角形， ∴AM=AP ，∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，∠BAC=60° ∴△AMB ≌△APC ∴BM=PC在△BDM 中，有DM + BM ＞BD ， ∴PA+PD+PC ＞BD （丰台区一模）11．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ． 答案：619.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE. (1) 求证：四边形BECF 是菱形；(2)当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？答案：解：⑴∵ EF 垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° 又∵ ∠ACB=90°∴EF ∥AC∴E 为AB 中点， 即BE=AE ∵CF=AE ∴CF=BE ∴CF=FB=BE=CE∴四边形是BECF 菱形.⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF 是正方形.20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB 上.ED CBAO FE DCB A 321（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB =BD =2,求CE 的长． 答案：（1）直线FC 与⊙O 的位置关系是_相切_； 证明：联结OC∵OA=OC ，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90° ∴∠3=∠2∴OC ∥AF ，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC 与⊙O 相切 （2）在Rt △OCD 中，cos ∠COD=OC 1OD2∴∠COD=60°在Rt △OCD 中，CE=OC ·sin ∠COD=3 22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90o ．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；图1图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．答案：解：（1）（2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相等 ；………4’(3) 不相等 ．15. 已知：如图，∠B=∠D ，∠DAB=∠EAC ，AB=AD ． 求证：BC=DE ． 答案：证明：∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE =∠EAC+∠BAE∵即∠DAE=∠BAC 在△DAE 和△BAC 中∴BC=DE（燕山区一模）3．已知一个等腰三角形有两边的长分别为2和5，则它的周长为A．7 B．9C．12 D．9或12答案：C10．已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm、3cm，当它们相切时，圆心距O1 O2= ．答案： 1cm或5cm11．已知△ABC中，D、E分别是两边AB和AC的中点，若△ABC的面积是8cm2，则四边形BCED的面积是 cm2．答案：615．已知：如图，点D在AB的延长线上，AB＝DE，∠A＝∠CBE＝∠E. 判断△ABC和△BDE是否全等？并证明你的结论.答案：全等证明：∵∠CBE =∠E，∴ BC∥DE.又∵点D在AB的延长线上，∴∠CBA=∠D.在△ABC和△EDB中,又∵∠A=∠E, AB=DE,∴△ABC≌△EDB.21．如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切.（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由.（2）若AB=5， BC=4，求⊙O的半径.答案：⑴是理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D.联结OD，则OD⊥AB于D. 作OF⊥AC于F，∵AE是底边BC上的高，D F∴AE也是顶角∠BAC的平分线.∴OF=OD=r为⊙O的半径.∴⊙O与AC相切于F.又∵⊙O与BC相切，∴⊙O是△ABC的内切圆.⑵ ∵OE ⊥BC 于E ，∴点E 是切点，即OE=r. 由题意，AB=5，BE=21AB=2， ∴ AE=222-5=21.∵Rt △AOD ∽Rt △ABE ， ∴BEOD AB OA =，即2r 5r -21=.解得，r=7212.∴ ⊙O 的半径是7212.24．已知：如图，等边△A BC 中，AB=1，P 是AB 边 上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ， 垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.（1）设BP=x ，AQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长； （3）当点P 和点Q 不重合，但线段PE 、FQ 相交时，求它们与线段EF 围成的三角形 周长的取值范围.24.答案：⑴∵△ABC 是等边三角形，AB=1. ∴∠A=∠B=∠C=60°, BC=CA=AB=1. 又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°, BP=x.∴BE=21x, CE=1-21x, CF=21-41x,AF=1-(21-41x)=21+41x.∴AQ=21AF=21(21+41x),∴ y=81x+41.⑵由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+.41x 81y 1,y x 得x =32.∴当点P 和点Q 重合时，x =32，∴EF=3CF=3(21-41x)=33.⑶设线段PE 、FQ 相交于点M ，易证△MEF 是等边三角形，且当点P 和点A 重合时，EF 最短为43.∴ 433≤ m ＜3.25．已知：如图，在梯形ABCD 中，∠BCD=90°， tan ∠ADC=2，点E 在梯形内，点F 在梯形外，0.5CDABCE BE ==，∠EDC=∠FBC ，且DE=BF ． （1）判断△ECF 的形状特点，并证明你的结论； （2）若∠BEC=135°，求∠BFE 的正弦值． 答案： 答案：⑴是等腰直角三角形. …………………………………………1分证明：作AH ⊥CD 于H ，∵梯形ABCD 中，∠BCD=90°，tan ∠ADC=2，即∠ADC ≠90°.∴ AB ∥CD ，AH=BC ，AB=CH. 又∵0.5CDAB=，即CH+DH=2AB=2CH ∴ DH=CH ，CD=2DH. ∵ tan ∠ADC=DHAH=2， ∴ AH=2DH=CD=BC. 在△EDC 和△FBC 中， 又∵∠EDC=∠FBC ，DE=BF ， ∴△EDC ≌△FBC. ∴CE=CF, ∠ECD=∠FCB. ∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°, ∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°.∴△ECF 是等腰直角三角形. ……………H第19题3题图第5题图AOPC B⑵ ∵ 在等腰Rt △ECF 中，∠ECF=90°， ∴ ∠CEF=45°，CE=22EF.又∵∠BEC=135°，=0.5 ，∴ ∠BEF=90°，EFBE =42. 不妨设BE=2，EF= 4，则BF=18.∴sin ∠BFE=BFBE =182=31. （延庆县一模）5．如图是一张矩形纸片ABCD ，cm 10AD =，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若cm BE 6=， 则DC 的长是A ．cm 4B ．cm 6C ．cm 8D ．cm 10答案：A11．如图,⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点P 在劣弧AB 上,ABP ∠ο22=,则BCP ∠的度数为_____________. 、答案： ο3819. 已知如图：直角梯形ABCD 中，BC AD //，ο90=∠BAD ，26CD ==BC ，1312sin =C , 求：梯形ABCD 的面积；答案：解：过点D 做E BC DE 于点⊥，CD=26 在DCE Rt ∆中，26DECD DE 1312sin ===C ∴DE=24∴由勾股定理得：CE=10∴BE=CD-CE=16∵ο90=∠BAD ，E BC DE 于点⊥ ∴DE//B C ∵BC AD //∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=16∴5042DEBC AD S ABCD =+=）（20．如图，ABC ∆是等腰三角形，AC AB =，以AC 为F C DOFEDBA C直径的⊙O 与BC 交于点D ，AB DE ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，1=BE ，求A cos 的值． 答案：证明：（1）连结AD ，OD ∵AC 是直径 ∴BC AD ⊥ ∵AB=AC∴D 是BC 的中点 ∵O 是AC 的中点 ∴AB //OD ∵AB DE ⊥ ∴DE OD ⊥∴DE 是⊙O 的切线（2）由（1）可知，AE OD //∴AE ODFA FO =∴BE AB ODAC FC OC FC -=++ ∴14242-=++FC FC ∴FC=2 ∴AF=6∴21cos ==AF AE A 15．如图，AE AB =,AC AD =,EAC BAD ∠=∠, DE BC ，交于点O . 求证：AED AB C ∠=∠. 答案： 证明: ∵EAC BAD ∠=∠∴DAC EAC DAC BAD ∠+∠=∠+∠ 即: EAD BAC ∠=∠ 在EAD BAC ∆∆和 ∴EAD BAC ∆≅∆ ∴AED AB C ∠=∠ （西城区一模）7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB的长等于（）．A．9 B．12 C ．633+ D．18 答案：D8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）.A．32 B．6 C．32D．23答案：B10．如图，甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上，当小明从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为米．答案: 816. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF. 求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF.答案：证明：如图2.（1）∵BF平分ABC∠，∴ABF CBF∠=∠．在△ABF与△CBF中，∴△ABF≌△CBF．∴AF CF=．（2）∵AF CF=，∴FCA FAC∠=∠．∵AF∥DC，∴FAC DCA∠=∠．图2∴ FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠． 20．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．（1）求BN 的长；（2）求四边形ABNM 的面积. 答案：解：如图3．（1）由题意，点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '=3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =． （2）∵ 正方形ABCD ，∴ AD ∥BC ，o 90A ∠=．∵ 点M ，N 分别在AD ，BC 边上， ∴ 四边形ABNM 是直角梯形． ∵ '5BN B N ==，9BC =，∴ 4NC =．图3∴ 4sin 15∠=，4tan 13∠=． ∵ 1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，∴ 31∠=∠． ∴ 4sin 3sin 15∠=∠=．在Rt △ DB P '中，∵90 D ∠=︒，6DB DC B C ''=-=，4sin 35DB PB '∠=='， ∴ 152PB '=． ∵ 9A B AB ''==，∴ 32A P AB PB ''''=-=． ∵ 43∠=∠， ∴ 4tan 4tan 33∠=∠=．在Rt △ A MP '中，∵ 90 A A '∠=∠=︒，32A P '=，4tan 43A M A P '∠=='， ∴2A M '=．…………………………………………………………………4分∴1163()(25)9222ABNM S AM BN AB =+⨯=⨯+⨯=梯形．…………………5分21．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BFA ＝32， 求△ACF 的面积．答案：（1）证明：连接BO ．（如图4） ∵ AB ＝AD ，∴ ∠D ＝∠ABD ．∵ AB ＝AO ，∴ ∠ABO ＝∠AOB ．又∵ 在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝180°，∴ ∠OBD ＝90°．∴ BD ⊥BO ．∵ 点B 在⊙O 上，∴ BD 是⊙O 的切线 ． （2）解：∵ ∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ， ∴ △ACF ∽△BEF ． ∵ AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∴ ∠ABC ＝90°．∵ 在Rt △BFA 中，∠ABF ＝90°，cos ∠BFA ＝32=AF BF ，∴ 24()9BEF ACFS BF S AF ∆∆==． 又∵ BEF S ∆＝8 ，∴ ACF S ∆＝18 ．25．在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数；（2）若3AC BD =，3CD AE =，求∠APE 的度数. 答案：解：（1）如图9，∠APE= 45 °.图42）解法一：如图10，将AE 平移到DF ，连接BF ，EF ．则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF ． ∵ 3AC BD =，3CD AE =， ∴ 3=BD AC ，3==DF CDAE CD ． ∴ AC CD BD DF=．∵ ∠C =90°，∴ 18090BDF C ∠=︒-∠=︒． ∴ ∠C=∠BDF ． ∴ △ACD ∽△BDF ．∴ 3AD AC BF BD==，∠1=∠2．∴ 3EF AD BF BF==．∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ． ∴ BF ⊥EF ．∴ 在Rt △BEF 中，3tan 3BFBEF EF∠==．∴ ∠APE =∠BEF =30°．解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，图10图9∠1+∠2=90°．∵ 在Rt △AEF 中，3tan 33AE AE AF CD ∠===， 在Rt △BDF中，3tan 13BD BD DF AC ∠===，∴ 3130∠=∠=︒．∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD =∠EFB ．又∵ 32DFAF BFEF ==， ∴ △ADF ∽△EBF ． ∴ ∠4=∠5．∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴ ∠APE =∠3=30°． （通州区一模）6．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA ⊥PB ，则OP 的长为（ ）A ．42 B ．4 C ．22 D ．2答案：C16．已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =. 答案：证明：ΘCD AE ⊥，CD BF ⊥ 在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC . ∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）.图11F E DCB A（3）按要求应该由哪位同学担任学生会干部职务，请你计算出他的最后得分.20．已知，如图，矩形ABCD 绕着它的对称中心O 按照顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE ，连接AF ，CE . 请你判断四边形AFED 是我们学习过的哪种特殊四边形，并加以证明.答案：解：判断：等腰梯形 证明：连结AO 、DO依题意可知：︒=∠=∠60DOE AOD , AO=OD=OE=OF ΘEF 是矩形的对角线∴点F O E 、、在一条直线上，∴DOE AOD AOF ∆∆∆、、都是等边三角形， 且AOF ∆≌AOD ∆ ≌DOE ∆()SAS ADO ∠=DOE ∠=︒60∴EF AD //,且EF AD ≠ ∴四边形AFED 是等腰梯形21．如图在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2，0)，以点A 为圆心，2为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，C 为⊙A 上一点，P 是x 轴上的一点，连结CP ，将⊙A 向上平移1个单位长度，⊙A 与x 轴交于M 、N ，与y 轴相切于点G ，且CP 与⊙A 相切于点C ，60CAP ∠=︒. 请你求出平移后MN 和PO 的长.答案：解：（1）过点A 作x AH ⊥轴，垂足为H ，连结AM ΘAM =2,AH =1,根据勾股定理得：MH=3, ∴MN=32 （2）ΘCP 是⊙A 切线，且︒=∠60CAP∴满足要求的C 有两个：C 1、C 2如图，︒=∠6011AP C 或︒=∠6022AP C 当︒=∠6011AP C 时，C 1GyC 2BAB A OyxOFDECB AΘ CP 是⊙A 切线， ∴11P AC ∠=︒90,21=AC在H AP Rt 1∆中，AH =1, 41=AP 同理可求152=H P∴2152+=OP∴OP 的长是215-或215+（顺义区一模）7．如图，ABC △内接于圆O ，50A =o ∠，60ABC =o∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC 于点E ，连结DC ，则BEC ∠等于A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．110︒ 答案：C 16 已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =； 答案： 证明： ∵ CD AB ⊥∴ 90BDC CDA ∠=∠=︒ ∵ 45ABC ∠=︒∴ 45DCB ABC ∠=∠=︒ ∴ DB DC = ∵ BE AC ⊥ ∴ 90AEB ∠=︒ ∴ 90A ABE ∠+∠=︒ ∵ 90CDA ∠=︒ ∴ 90A ACD ∠+∠=︒ ∴ ABE ACD ∠=∠ 在BDF ∆和CDA ∆中 ∴BDF ∆≌CDA ∆ ∴BF AC =19．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数；（2）求△'C DE 的面积．答案：解：(1) 过点D 作DF BC ⊥于F . ∵ AD BC P , 90B ∠=︒, AD AB =, ∴ 四边形ABFD 是正方形.C'ED CBA E ABC DO∴4DF BF AB === , 3FC = 在Rt DFC ∆中， ∴ '5C D =∵ AD FD =,90A DFC ∠=∠=︒, 'C D CD =∴ 'AC D FCD ∆≅∆∴ 'ADC FDC ∠=∠ , '3AC FC ==∴ ''''90ADF ADC C DF FDC C DF C DC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵ 'C DE CDE ∠=∠ ∴ '45C DE ∠=︒(2) 设 EC x = ， 则7BE x =- ，'C E x = ∵'3AC = ∴'1BC = 在Rt 'BEC ∆中22(7)1x x -+= 解方程，得 257x =∴ '11255014722777C DE CDE S S EC DF ∆∆==⋅=⨯⨯==20. 已知：如图，AB 是O e 的直径，BC 切O e 于B ，AC 交O e 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O e 的切线；(2) 若3cos 5A =， O e 的半径为5， 求DP 的长.答案：（1） 证明：连结OP 和BP∵AB 是O e 的直径，BC 切O e 于B ， ∴ 90APB ∠=︒ , AB BC ⊥ , ∴ 90ABC ABP PBC ∠=∠+∠=︒OPCD BAOPCD BA在Rt BPC ∆中，D 为BC 边的中点 ∴ BD PD = ∴ BPD PBD ∠=∠ ∵ OB OP = ∴OPB OBP ∠=∠∴ 90OPD OPB BPD OBP PBD ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即 PD OP ⊥∴DP 是O e 的切线 (2) 连结OD 在Rt ABC ∆中∵ 3cos 5A =， O e 的半径为5∴ 50cos 3AB AC A ==∵ OA OB =, DC DB = ∴ 12523OD AC ==在Rt OPD ∆中24． 已知：如图，等边△ABC 中，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ．（1）猜想：线段AE 、MD 之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72，求tan ∠BCP 的值． 答案：（1）猜想：2AE MD = 证明：∵ △ABC 是等边三角形，点D 为BC 边的中点，∴ 2AB BC BD ==ABDCPO∵ ∠BAE ＝∠BDF , ∠ABE ＝∠DBM∴ ABE ∆∽DBM ∆ ∴2AE ABDM DB== 即 2AE MD = （2）解：如图， 连接EP 由（1）ABE ∆∽DBM ∆ ∴2BE ABBM DB== ∴2BE BM =∵MP BM = ∴ 2BP BM =∴ BE BP =∵ 60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴EBP ∆为等边三角形 ∴ EM BP ⊥∴ 90BMD ∠=︒ ∴90AEB ∠=︒在Rt △AEB 中，AB ＝7，AE ＝72∴ BE =21=22AE -AB ∴ 3tan 2BAE ∠=∵ AB CB = ，BE BP = ，∠ABE ＝∠DBM∴ ABE CBP ∆≅∆ ∴ BCP BAE ∠=∠ ∴ tan BCP ∠=3tan 2BAE ∠=（石景山区一模）3．已知：如图，m l ∥，等边ABC △的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹锐角为︒20，则α∠的度数为 A ．︒60 B ．︒45 C ．︒40 D ．︒30 答案：C6．已知：⊙O 的半径为2cm ，圆心到直线l 的距离为1cm ，将直线l沿垂直于l 的方向平移，使l 与⊙O 相切，则平移的距离是第3题图l20︒mBAαCA ．1 cmB ．2 cmC ．3cmD ．1 cm 或3cm 答案：D8．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH -，P ，Q 分别为棱FB ，GC 上QPHG FEDC BA的点，且12,2FP PB GQ QC ==，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH --裁剪并展开，得到的平面图形是A ．一个六边形B ．一个平行四边形C ．两个直角三角形D ． 一个直角三角形和一个直角梯形 答案：B11．已知：如图，AB ，BC 为⊙O 的弦，点D 在AB 上，若4=OD ，10=BC ，︒=∠=∠60B ODB ，则DB 的长为 ． 答案： 615．如图，在△ABC 中，BC AB ⊥，AC BE ⊥于E ，点F 在线段BE 上，21∠=∠，点D 在线段EC 上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△AFD ≌△AFB ． （1）DF ∥BC ； （2）DF BF =． 答案：情况一、添加条件：DF //BC证明: ∵ DF ∥BC∴ C FDE ∠=∠ ∵BC AB ⊥,AC BE ⊥∴︒=∠+∠=∠+∠90EBC C EBC ABF∴C ABF ∠=∠ ∴ADF ABF ∠=∠ 在ABF ∆和ADF ∆中∴AFD ∆≌AFB ∆ 第11题图 21F A B CDE情况二、添加条件：DF BF = 证明：过点F 作AB FG ⊥于G∵ AC BE ⊥,21∠=∠∴ EF FG =在BGF Rt ∆和DEF Rt ∆中∵⎩⎨⎧==DFBF EF FG ∴BGF Rt ∆≌()HL DEF Rt ∆∴EDF GBF ∠=∠ 在ABF ∆和ADF ∆中 ∴AFD ∆≌AFB ∆ 19．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD AB CDA BCD =︒=∠︒=∠，，6090，4,2AB DF ==，求BF 的长．答案：解：如图，过A 作AH ⊥FC 于H则四边形ABCH 为矩形AB CH AH BC ==,∵60,4CDA AD AB ===o ∠∴AH ==︒60sin AD 23，HD ==︒60cos AD 2 ∴CF =CH +HD +DF =4+2+2=8， ∴BF =22219BC CF +=20．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ． （1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若33sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径． 答案：解：(1)直线BE 与⊙O 相切证明：联结OE在矩形ABCD 中, AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ∵OE OD =∴∠OED =∠ODE 又∵∠ABE =∠DBC ∴∠ABE =∠OED∵矩形ABDC ,∠︒=90A ∴︒=∠+∠90AEB ABE ∴︒=∠+∠90AEB OED ∴︒=∠90BEOG 21F A BCDE O FEDC BA∴直线BE 与⊙O 相切 (2) 联结EF 方法1：∵四边形ABCD 是矩形,2=CD ∴︒=∠=∠90C A ,2==CD AB ∵∠ABE =∠DBC ∴=∠CBD sin 33sin =∠ABE ∴32sin =∠=CBDDCBD在AEB Rt ∆中,可求2=AE ∴勾股定理求得6=BE在BEO Rt ∆中，︒=∠90BEO 设⊙O 的半径为r 则()()222326r r -=+∴r =23 方法2：∵DF 是⊙O 的直径 ∴︒=∠90DEF∵四边形ABCD 是矩形∴︒=∠=∠90C A ,2==CD AB ∵∠ABE =∠DBC∴=∠CBD sin 33sin =∠ABE设x BD x DC 3,==，则x BC 2= ∵2=CD ∴22=BC∵ABE CBD ∠=∠tan tan∴AB AEBC DC =∴2222AE = ∴2=AE∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠︒=90FED ∴AB EF // ∴321==BD DFO FEDCBA∴⊙O 的半径为23 22．在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE 与正方形EFCD 的位置如图所示．（1）请你按下列要求画图： ① 联结BD 交EF 于点M ；② 在AE 上取一点P ，联结BP ，MP ，使△PEM 与△PMB 相似； （2）若Q 是线段BD 上一点，连结FQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足BD FR 21=，则QRFQ的值为_____________． 答案：（1）如图所示 （2）1、32或2 （平谷区一模）3．如图，已知AB ∥CD ，∠C =35°，BC 平分∠ABE ，则∠ABE 的度数是A ．17.5°B ．35°C ．70°D ．105° 答案：C8．如图，AB 是O ⊙的直径，弦2cm BC =，F 是弦BC 的中点， 60ABC ∠=°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为()(03)t s t <≤，连结EF ， 当BEF △是直角三角形时，t （s ）的值为 A ．47B ．1C ．47或1D ．47或1 或49答案D ：11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ， ∠C =60°， 如果⊙O 的半径为2，那么OD = ．答案：115．已知：如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，． 求证：△ABC ≌DEF ． 答案：证明：AC DF Q ∥，P MFEDC B AEB CDAABOD C EAB CFE D。
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北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）2011.3一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合2,{|560},U U R A x x x C A ==-+≥那么=（ ）A ．(|23)x x x <>或B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x x ≤≥或D ．{|23}x x ≤≤ 2．“a=2”是“直线2010ax y x y +=++=与直线平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量,a b 的夹角为60,||4,||3,||a b a b ︒==+则= （ ）A ．37BC ．13D4．记集合22{(,)|4}{(,)|20,0}A x y x y B x y x y y =+≤=+-≤≥和集合表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为（ ）A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 5．如图所示，O 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是 （ ）C BAC16．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是 A ．-1 B ．i-1 C ．0 D ．-i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ有下列四个命题： ①若,,;m m βαβα⊂⊥⊥是②若//,,//m m αβαβ⊂则；③若,,,n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则；④若,,,m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥则。
其中正确命题的序号是 （ ） A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③8．若函数()f x 满足条件：当121212,[1,1]x x ∈-≤时,有|f(x )-f(x )|3|x -x |成立，则称()f x ∈Ω。
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——培根百日质量活动知识答题1.公司的质量方针是：持续改进、创一流品质，竭诚服务、让顾客满意2.质量信息的特征为：价值性、适时性、正确性、等级性、可追索性3.质量是一组固有特性满足要求的程度4.质量改进是致力于增强满足质量要求的能力5.质量改进包括：防守型改进进攻型改进6.质量问题处理时一般遵循二个原则：一是必须坚持三不放过原则二是执行逐级上拆原则7.QC小组分为：管理型、现场型、攻关型、服务型四种类型8.质量改进的措施有：纠正措施、预防措施9.对策表又叫措施计划表，是针对质量问题的主要原因而制定的应采取措施的计划表10.流程图是将一个过程的步骤用图的形式表示出来的一种技术11.质量改进是质量管理的一部分，致力于增强满足质量要求的能力12.质量改进消除系统性的问题，对现有的质量水平在控制的基础上加以提高，使质量达到一个新的水平，新的高度13.质量改进是通过不断采取纠正和预防措施来增强企业的质量管理水平14.质量问题是以质量损失的形式表现出来的，大多数损失往往是由几种不合格引起的，这些不合格往往是又是由少数原因引起的15.质量管理的发展，大致经历了质量检验阶段、统计质量控制阶段、全面质量管理阶段三个阶段。
16.管理体系文件分为以下四个层次：一、管理手册；二、程序文件；三、管理制度和作业指导书；四、记录。
17.质量管理八项原则分别是：以顾客为关注焦点、领导作用、全员参与、过程方法、管理的系统方法、持续改进、基于事实的决策方法、与供方互利的关系。
18.质量管理体系对公司的意义是：公司实施质量管理的必备条件；使公司得到发展；是拓展市场的基础；提高公司产品质量水平和能力19.PDCA的模式分别是指：策划、实施、检查、处置20.管理评审应该由总经理来主持二、判断题1.（×）质量管理体系审核是指有资格的第三方对组织质量管理体系的符合性、有效性、充分性进行的系统的检查活动。
2.（√）在企业中，实施质量改进的主体可以是员工个人，也可以是团队3.（√）诚信是企业参与市场竞争最基本的商业道德4.（×）当生产过程处于受控状态时，产品质量就不会发生波动。
5.（×）全面质量管理强调“始于识别顾客的需要，终于满足顾客的需要”。
其中，顾客指的就是组织外部的最终顾客。
6.（×）运用控制图，可以找出质量问题的主要原因7.（√）项目小组的负责人应有能力寻求管理者对项目的支持和承诺。
8.（×）纠正即为纠正措施9.（√）质量记录应予以妥善保存，以提供符合标准要求和质量管理体系有效运行的证据10.（√）产品实现策划的时机应包含新产品的实现策划以及产品变更策划11.（×）按照标准的约束力分类，标准可以分为国家标准和企业标准12.（×）企业的社会责任是指企业依法经营，不生产伪劣产品三、单选题1.公司共有几个程序文件（C ）A 20个B 24个C 34个D 30个2.以下关于质量方针和质量目标，哪句正确？（D）A 质量目标为质量方针提供框架B 质量目标要易于达到C 质量方针必须要在各个职责和层次上进行分解D 质量目标必须是业务计划的一部分3.第三方审核是指：（ C ）4. A 内部审核 B 由顾客或客户进行的审核C 由独立机构进行的审核D 由供应商进行的审核5.质量手册中可不包括（ A ）A质量方针和质量目标 B程序或其引用C过程顺序和相互关系户 D删减细节与合理性6.过程监视和测量的目的是（ D ）A证实产品满足要求 B证实质量管理体系有效运行C证实过程具备实现预期结果的能力 D 以上所有都对7.员工必须了解哪些内容（D）A质量目标 B产品安全性C不合格品对客户的后果 D以上所有都对8.朱兰的质量管理三部曲是指（C）A 质量策划、质量组织、质量控制B 质量组织、质量领导、质量控制C 质量策划、质量控制、质量改进D 质量组织、质量控制、质量改进9.确定企业的使命、愿景、制定质量战略是企业保持战略竞争力的前题，主要在质量管理的（D）原则中体现出来A持续改进 B与供方互利的关系C以顾客为关注焦点 D领导作用10.通常把（B）当作全面质量管理活动的“第一道工序”A标准化工作 B质量教育培训C质量信息工作 D计量工作11.贯彻（A_）的原则是现代质量管理的核心思想。
A预防为主 B质量体系认证C产品质量监督检查 D质量检验四、多选题1.质量管理中常用的5W1H包括有（BC）A人、机、料、法、环 B采取措施的时间C采取对策的地点 D分析质量问题的地点2.通常来说，QC小组的特点包括（ABD）A自主性 B群众性 C趣味性 D科学性3.在精益管理中，下列哪些行为被认为是典型的浪费？（AD）A过度生产 B由操作人员完成过程检验C返修 D停机等待4.在全面质量管理中，“顾客”的概念包涵（ACD）A产品购买者 B上道工序员工C下道工序员工 D产品的最终用户5.全面质量管理的基本要求是（ A B D ）A 全过程的质量管理B 全员的质量管理C 全方位的质量管理D 全企业的质量管理6.下面哪些属公司管理体系正常运作所应具备的条件（ A.B.C ）A 适宜性B 充分性C 有效性7.下列属于对不合格品的外围方式有A 返工B 返修 C让步接收 D 降级E 改作它用F 拒收 G报废8.过程检验中发现不合格品处置先后顺序为A、按处置建议落实B、标识、隔离C、开具不合格品处置单D、跟踪验证E、不合格品的评审F、不合格品记录的保存第一章质量管理概述第三节方针目标管理1. 什么是方针目标管理？答：方针目标管理是公司为实现以质量为核心的中长期和年度经营方针目标，充分调动员工积极性，通过公司各部门的自我控制与协调，以达成目标的一种科学管理方法。
2. 目标管理的一个中心是什么？答：一个中心：以公司的总经营目标为中心，统筹安排公司的全部活动。
3. 目标管理遵循的八个步骤是什么？答：公司质量目标的管理遵循八个步骤：1) 公司质量目标的制定；2) 质量目标的展开；3) 措施的制定；4) 目标的实施；5) 实施过程的控制和诊断；6) 目标实施情况的考核与评价；7) 激励措施的制定、实施及评价；8) 目标管理的总结和提高。
4. 质量目标展开应注意的方面是什么?答：质量目标展开应注意如下几个方面：1) 各个分目标的实施应能保证总目标的实现；2) 目标展开不但要有指标性内容，还必须有工作性内容，即要提出具体实现措施；3) 要注意各分目标之间时间上的协调和平衡，要同步进行以免出现时差而影响实现公司总目标的进程；4) 应充分考虑完成各自分目标所需要的条件及限制因素；5) 所制定的措施应是可控制的和可检查的；6) 下级的目标和措施应得到上级的承认；7) 具体措施内容应明确，有责任人、监督人、监督办法、计划进度、完成时间等。
5. 什么是KPI？答：KPI是关键绩效指标（KPI-Key Performance Index），KPI通过对内部流程的关键参数进行设置、分析，衡量流程绩效的一种目标式量化管理指标，是过程管理的基础。
当KPI未能达到目标值时过程拥有者要采取纠正措施，持续地改进过程。
6. “批量质量事故”的定义是什么？答：指产品造成批量不良，给公司造成了较大的经济损失或在用户处造成严重不良影响而出现的质量问题7. 自工程不良率的定义是什么？答：公司产品从原材料投入至交付给顾客进货检验之前因本公司原因产生的废品价值与本期公司销售收入的百分比率。
8. 康明斯装机纳入不良率（ATPU）的定义是什么？答：当期供康明斯装车产品在康明斯进货检验开始至整车出售之前发生不合格品与当期所供康明斯产品总量的比率9. 零件一次交检合格率的定义是什么？答：为当期零件在本车间内按生产路线工序制造完成后转下序前交检合格批次与本期内总交检批次（含重复交检批次）的比率10. 总成一次交检合格率的定义是什么？答：为当期总成交检合格批次与本期内总交检批次（含重复交检批次）的比率第二章质量体系管理基础1. 质量管理体系对公司有什么意义?答：质量管理体系对公司的意义是：1) 公司实施质量管理的必备条件；2) 质量管理体系是拓展市场的基础.；3) 提高公司产品质量水平和能力；4) 质量管理体系可使公司得到发展。
2. 质量管理体系对员工有什么意义?答：质量管理体系对员工的意义是：1) 质量管理体系是每个员工赖以生存的基础（公司生存的基础）。
2) 质量管理体系的维持、改进是每个员工的职责和义务。
3. 质量管理体系对顾客(客户)有什么意义?答：质量管理体系对顾客的意义是使顾客相信公司产品质量是可信赖的.4. 质量管理体系评价的活动方式有哪些？答：质量管理体系评价的活动方式可以有多种，如质量管理体系审核、质量管理体系评审和自我评价。
公司质量体系评价通过内、外部体系审核、年度管理评审等方式进行。
5. 质量管理体系审核分哪几类？答：质量管理体系审核分：内部审核和外部审核两大类。
内部审核，有时称第一方审核，用于内部目的，由组织自己或以组织的名义进行，可作为组织自我合格声明的基础。
外部审核包括通常所说的“第二方审核”和“第三方审核”。
第二方审核由组织的相关方（如顾客）或由其他人员以相关方的名义进行。
第三方审核由外部独立的组织进行。
这类组织提供符合要求的认证或注册。
当质量和环境管理体系被一起审核时，这种情况称为“一体化审核”。
当两个或两个以上审核机构合作，共同审核同一个受审核方时，这种情况称为“联合审核”。
6. 改进和持续改进的区别是什么？答：改进是指为改进产品的特征及特性和/或提高用于设计、生产和交付产品的过程的有效性和效率所开展的活动。
持续改进是增强满足要求的能力的循环活动。
第二节顾客满意1. 顾客满意是什么？答：顾客对所需产品满足其要求和期望程度的意见，是顾客在消费后感受到满足的一种心理体验第三节质量成本1. 质量成本分类是什么，其如何定义？答：预防成本、鉴定成本、内部损失成本、外部损失成本。
1) 预防成本：用于预防不合格品与故障等所支付的费用.2) 鉴定成本：评定产品是否满足规定的质量要求所支付的费用。
3) 内部损失成本：产品交货前因不满足规定的质量要求所损失的费用。
4) 外部损失成本：产品交货后因不满足规定的质量要求，导致索赔、修理、更换或信誉等所损失的费用。
第四节APQP1. APQP是什么？答：APQP是产品质量先期策划和控制计划（Advanced Product Quality Planning and Control plan），其研究对象是用来确定和制定确保某产品使顾客满意所需的步骤。
2. A PQP有哪几个阶段？每个阶段的里程碑是什么？答：APQP分五个阶段：1) 第一阶段：计划和确定项目，其里程碑是合同批准和签订；2) 第二阶段：产品设计和开发，其里程碑是按照样件控制计划的要求试制成功样件，并得到批准；3) 第三阶段：过程设计和开发，其里程碑是按照试生产控制计划的要求通过试生产；4) 第四阶段：产品和过程确认，其里程碑是通过PPAP5) 第五阶段：反馈、评定和纠正措施。