初等数论整除练习题
第一章 数的整除性 第四节 最大公因数1
初等数论（4）（第一章数的整除性第四节最大公因数（1））定义1 整数a1，a2， ，a k的公共因数称为a1，a2， ，a k的公因数。
不全为零的整数a1，a2， ，a k的公因数中最大的一个叫做a1，a2， ，a k的最大公因数，记为（a1，a2， ，a k）。
由于每个非零整数的因数的个数是有限的，所以最大公因数是存在的，并且是正整数。
如果（a1，a2， ，a k）=1，则称a1，a2， ，a k是互质的；如果（a i , a j）=1，1 ≤i ≤k，1 ≤ j ≤k，i≠ j，则称a1，a2， ，a k是两两互质的。
显然，由a1，a2， ，a k两两互质可以推出（a1，a2， ，a k）= 1，反之则不然，例如（2，6，15）=1，但（2，6）= 2。
定理1 下面的等式成立：（ⅰ）（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）（a，1）=1，（a，0）=|a|，（a，a）=|a|；（ⅲ）（a，b）=（b，a）；（ⅳ）若p是质数，a是整数，则（p，a）=1或p∣a；（ⅴ）若a = bq + r，则（a，b）=（b，r）。
证明（ⅰ）我们先证明a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。
设d是a1，a2， ，a k 任一公因数，由定义d∣ a i，i = 1，2，……，n。
因而d∣| a i | ，i = 1，2，……，n。
故d是|a1|，|a2|， ，|a k|的一个公因数,同样的方法可证|a1|，|a2|， ，|a k|的任一个公因数都是a1，a2， ，a k的一个公因数.即a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。
由此可直接得（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）显然。
（ⅴ）如果d∣a，d∣b，则有d∣r = a -bq，反之，若d∣b，d∣r，则d∣a = bq + r。
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
数论习题-整除练习1
整除练习1：某个六位数23456A是9的倍数，求A的值。
【详解】能被9整除，其数字和是9的倍数；2+3+4+5+6+A=20+A；大于20小于30且是9的倍数只有27；所以A=7；2：某个七位数2008ABC能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数ABC是多少？【详解】能被8整除，必然被2、4整除；能被9整除，必然被3整除；能被8和9整除，一定能被6整除；可以认为能够同时被5、7、8、9整除；被5整除，C只能是0；被9整除，B+C为8或17；被7整除，先割去末位的0形成2008AB六位数，再用截位法，得到6AB；被8整除且末位是0的ABC必须是40的倍数；分别检验24组3位数，满足被7整除和后2位的数字和是否8或7；只有440符合要求；3：形如123434…...34，有n个34，能被11整除的最小自然数中的n等于几？【详解】奇数位上的数字和是4n+2,偶数位上的数字和是3n+1，它们差是n+1能被11整除时n+1=11，所以n最小是104：两个四位数A275和275B，如果他们的乘积能被72整除，求A和B。
【详解】考虑到72=8*9，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B=2；四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16，不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A必须是9的倍数，其各位数字之和A+2+7+5= A +14，能被9整除，所以A=4；5：用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？【详解】被11整除的数的特征是：奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差能被11整除。
因为1、2、3、4这几个数字的和之差不可能大于11，因此要被11整除，只能是奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差等于0。
所以1和4必须同是奇数位上的数字或者同时偶数位上的数字，这样才能满足以上要求。
当1和4都是奇数位上的数字时，这样的四位数有：1243、1342、4213、4312；当1和4都是偶数位上的数字时则为：2134、3124、2431、3421。
小升初专练-数论问题-数的整除特征通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（ ）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（ ）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（ ）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（ ）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（ ）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（ ）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（ ）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。
R《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答
第一章 整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a 是m 得倍数．证明： 12,,n a a a 都是m 的倍数。
存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m又12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n n q a q a q a 1122n n q p m q p m q p m1122()n n p q q p q p m即1122n n q a q a q a 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n (1)(2)(1)(1)n n n n n n又(1)(2)n n n ，(1)(2)n n n 是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n从而可知3|(1)(21)n n n3．若00ax by 是形如ax by （x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ．证： ,a b 不全为0在整数集合 |,S ax by x y Z 中存在正整数，因而有形如ax by 的最小整数00ax by,x y Z ，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by则00()()r x x q a y y q b S ，由00ax by 是S 中的最小整数知0r00|ax by ax by00|ax by ax by （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b 00|(,).ax by a b 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by 故00(,)ax by a b4．若a ，b 是任意二整数，且0b ，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b bb b 则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使122q q b a b 成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b 则令,22q qs t a bs a b，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t若0b 则令,22q qs t a bs a b，则同样有2b t ()ii 当q 为奇数时，若0b 则令11,22q q s t a bs a b，则有若 0b ，则令11,22q q s t a bs a b，则同样有2b t，综上所述，存在性得证．下证唯一性当b 为奇数时，设11a bs t bs t 则11()t t b s s b 而111,22b bt t t t t t b矛盾 故11,s s t t 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d 是a ，b 的任一公因数， d |a ，d |b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b(,)n a b rd |1a bq 1r ， d |122b r q r ，, ┄d |21(,)n n n n r r q r a b ,即d 是(,)a b 的因数。
初等数论_习题解答
初等数论 习题及作业解答P17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。
1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：1226,1226454,a b a b =++++=12261226454,b b ++++=(121)454122626390,b +=---=b =30, 被除数a =12b +26=360+26=386.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。
2．证明：(1) 当n ∈Z 且39(09)n q r r =+≤<时，r 只可能是0,1,8;证：把n 按被9除的余数分类，即：若n=3k, k ∈Z ，则3327n k =, r=0；若n=3k +1, k ∈Z ，则3322(3)3(3)3(3)19(331)1n k k k k k k =+++=+++,r=1；若n=3k －1, k ∈Z ，则33232(3)3(3)3(3)19(331)8n k k k k k k =-+-=-+-+,r=8. (2) 当 n ∈Z 时，32326n n n -+的值是整数。
证 因为32326n n n -+=32236n n n -+，只需证明分子3223n n n -+是6的倍数。
32223(231)(1)(21)n n n n n n n n n -+=-+=--(1)(21)n n n n =--++=(1)(2)n n n --+(1)(1)n n n -+.由k ! 必整除k 个连续整数知：6 |(1)(2)n n n --,6 |(1)(1)n n n -+.或证：2!|(1)n n -, (1)n n -必为偶数.故只需证3|(1)(21)n n n --.若3|n, 显然3|(1)(21)n n n --；若n 为3k +1, k ∈Z ，则n －1是3的倍数，得知(1)(21)n n n --为3的倍数；若n 为3k －1, k ∈Z ，则2n －1=2(3k －1)－1=6k-3, 2n －1是3的倍数.综上所述，(1)(21)n n n --必是6的倍数,故命题得证。
《初等数论》习题集
第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
初等数论：数的整除性
此时 2b-1=
k
0，3 ，或
2
3k
，这都是不可能的，
所以
k
3
|
2b
1。
17
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 6. 写出不超过 100 的所有的素数。 解： 将不超过 100 的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
若 n 2s，由上式知 n 22， 因为 n 2 > 2，这是不可能的，所以 n 2 | s。
10
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 2. 设 A = { d1, d2, , dk }是 n 的所有约数的集合，
则B
={dn1
,
n d2
,,
n dk
}也是
n
的所有约数的集合。
8
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
推论. 任何大于 1 的合数 a 必有一个不超过 a 的素约数。
证明：使用定理 2 中的记号，有 a = d1d2，
其中 d1 > 1 是最小的素约数，
所以
d2 1
a。证毕。
9
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 1. 设 r 是正奇数，证明：对任意的正整数 n，有
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初等数论整除练习题
初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和整数的性质。
在初等
数论中，整除是一个重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就
是能够被另一个数整除的数称为这个数的倍数。
在初等数论中，整除的性质和应用非常广泛。
下面我将通过一些练习题来帮助
大家更好地理解和应用整除的概念。
1. 练习题一：判断是否整除
题目：判断以下数能否被2整除：12、17、20、25、30。
解析：能否被2整除就是判断一个数是否为偶数。
偶数的特点是个位数为0、2、4、6、8。
因此，我们可以逐个判断这些数的个位数是否满足这个条件。
答案：12、20、30可以被2整除，17、25不能被2整除。
2. 练习题二：最大公约数
题目：求以下两组数的最大公约数：（a）12和18；（b）24和36。
解析：最大公约数是指能够同时整除两个数的最大正整数。
我们可以通过列举
两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数，再从中找出最大的那个。
答案：（a）12和18的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以最大公约
数为6。
（b）24和36的公约数有1、2、3、4、6、8、12，其中最大的是12，所以最大公约数为12。
3. 练习题三：最小公倍数
题目：求以下两组数的最小公倍数：（a）8和12；（b）15和20。
解析：最小公倍数是指能够同时被两个数整除的最小正整数。
我们可以通过列
举两个数的倍数，然后找出它们的公共倍数，再从中找出最小的那个。
答案：（a）8和12的倍数有8、16、24、32、40、48，其中最小的是24，所
以最小公倍数为24。
（b）15和20的倍数有15、30、45、60、75、90，其中
最小的是60，所以最小公倍数为60。
4. 练习题四：素数判断
题目：判断以下数是否为素数：13、21、29、35、41。
解析：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的自然数中只有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41等为素数。
我们可以逐个判断这些数
是否能被这些素数整除。
答案：13、29、41是素数，21、35不是素数。
初等数论中的整除是一个非常重要的概念，它不仅在数论中有着广泛的应用，
也在其他数学分支中发挥着重要的作用。
通过以上练习题的训练，我们可以更
好地掌握整除的性质和应用，提高数学解题的能力。
总结起来，初等数论中的整除是一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
通过练习题的训练，我们可以更好地理解和应用整除的概念，提高数学解题的
能力。
希望大家能够通过学习初等数论，更好地理解和应用整除的知识。