自适应辛普森法积分算法推导
利用simpson公式计算积分
利用simpson公式计算积分一、Simpson公式简介。
1. 公式形式。
- Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分。
对于积分∫_a^bf(x)dx，Simpson公式为：∫_a^bf(x)dx≈(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]。
2. 公式推导原理。
- Simpson公式是基于二次函数插值推导出来的。
它假设被积函数f(x)在区间[a,b]上可以用一个二次函数y = Ax^2+Bx + C来近似表示。
- 通过对这个二次函数在区间[a,b]上进行积分，得到∫_a^b(Ax^2+Bx + C)dx=(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]（这里f(a)=Aa^2+Ba + C，f((a + b)/(2)) = A((a +b)/(2))^2+B((a + b)/(2))+C，f(b)=Ab^2+Bb + C）。
二、利用Simpson公式计算积分的步骤。
1. 确定积分区间[a,b]- 首先要明确被积函数f(x)的积分区间[a,b]，这是使用Simpson公式的基础。
例如，如果要计算∫_1^3x^2dx，这里a = 1，b=3。
2. 计算f(a)、f((a + b)/(2))和f(b)- 对于上述例子f(x)=x^2，则f(1)=1^2=1，f((1 + 3)/(2))=f(2)=2^2=4，f(3)=3^2=9。
3. 代入Simpson公式计算。
- 将a = 1，b = 3，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9代入Simpson公式∫_a^bf(x)dx≈(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]，得到：- ∫_1^3x^2dx≈(3 - 1)/(6)[1+4×4 + 9]=(2)/(6)(1 + 16+9)=(2)/(6)×26=(26)/(3)。
自适应Simpson积分算法(MATLAB及C++实现代码)
自适应S i m p s o n积分算法(M A T L A B及C++实现代码)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）(计算数学课用)在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了∫41+x2xx=x 1成立，所以可以通过数值积分来求π的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++即可运行)/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/#include<iostream>#include<cmath>int n=0; 写积分函数文件：function y =f(x)y=4./(1+x.^2);end2.编写Simpson 迭代函数文件function y = Simpson( A,B,e,S )h=(B-A)/2;S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));if abs(S-S1-S2)<10*e y= S1+S2;else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2); endend3.编写脚本调用文件ticclear;a=0; b=1; %积分区间e=; %误差容限h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b))); %第一次Simpson积分值t=Simpson(a,b,e,S) %最终自适应方法积分值abs(pi-t) %实际误差e %设置的误差容限toc %返回所用时间亲测可用。
这两个代码本质上是一样的。
我先用C++语言写好，然后又换用成MATLAB语言。
自适应Simpson积分算法(MATLAB及C++实现代码)
自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）(计算数学课用)在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了成立，所以可以通过数值积分来求的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++6.0即可运行)/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/#include<iostream>#include<cmath>int n=0;//设置全局变量n,用来记录最高迭代次数，避免递归一直进行下去。
double pi=3.141592653589793238462643;//设置近似精确值，用以比较double e1=0.00001;//设置误差容限为10^-5double f(double);//要积分的函数double Simpson(double,double,double,double);//迭代函数using namespace std;//主函数int main(){double a=0,b=1,t,h,S;//积分区间h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2));//第一次Simpson公式积分值t=Simpson(a,b,e1,S);cout<<"积分值为："<<t<<endl;cout<<"最大迭代次数为："<<n<<endl;cout<<"设置误差容限为"<<e1<<"\n误差为:"<<pi-t<<endl;return0;}//子函数1（积分函数）double f(double x){return4/(1+x*x);}//子函数2（迭代函数）double Simpson(double A,double B,double e,double S){double h,S1,S2;h=(B-A)/2;n++;//统计迭代次数if(n>500){cout<<"方法有误，跳出递归"<<endl;return0;}S1=h/6*(f(A)+f(A+h)+4*f(A+h/2));//在[A,(A+B)/2]区间上计算Simpson积分值S2=h/6*(f(A+h)+f(B)+4*f(A+3/2*h));//在[(A+B)/2，B]区间上计算Simpson积分值if(fabs(S-S1-S2)<15*e)return S1+S2;//如果满足误差容限要求，就以S1+S2作为此时对应区间上的函数的近似值elsereturn Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);//递归调用}MATLAB版：（两个函数文件加一个脚本文件）1.编写积分函数文件：function y=f(x)y=4./(1+x.^2);end2.编写Simpson迭代函数文件function y=Simpson(A,B,e,S)h=(B-A)/2;S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));if abs(S-S1-S2)<10*e y=S1+S2;else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);endend3.编写脚本调用文件ticclear;a=0;b=1;%积分区间e=0.0000001;%误差容限h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b)));%第一次Simpson积分值t=Simpson(a,b,e,S)%最终自适应方法积分值abs(pi-t)%实际误差e%设置的误差容限toc%返回所用时间亲测可用。
自适应(梯形和Simpson)算法报告
高等数值分析大作业1.问题描述用自适应梯形和Simpson 公式计算积分:33110010sin x dx x使其误差不超过-610。
要求：算法；程序代码；计算结果和必要分析说明。
2.算法分析自适应积分方法可以利用有限的计算量，针对数值变化的剧烈程度自动地在不同区间上选择不同的步长，使计算误差尽可能高，或者使得在不同的区间上都能达到指定的精度。
对于任意一个计算区域，首先要判断在当前的步长下能不能达到指定的精度。
如果达到指定的精度，那么该区域的积分就利用相应的公式计算出来；如果达不到，则步长需要减半，即原来的区域要一分为二，继续判断在该步长下是否达到要求。
如果达不到，步长继续减半；如果达到要求，计算该区域积分后输出。
梯形算法需要区域首尾两个点，步长减半后区间一分为二，产生三个点（两个区域端点和一个中点）。
这三个点分别记为a ，(a+b)/2，b 。
利用a 和b 的梯形算法计算结果记为S ，利用分区间的梯形算法计算结果记为L+R 。
理论上，L+R 的精度要高。
根据误差来判断是否继续细分区间，根据计算步长的关系可以得到下面的区间关系图。
图1 积分区间的步长关系很明显，采用递归调用的方法可以逐步对每一个达到误差要求的区间求积分，把所以区间积分值累加就是最终的结果。
这一过程表述为：最开始就将区间等分（两个端点和一个中点），先判断积分的误差精度，如果达到要求就把该积分累加，否则等分区间，分为左右两个区间再次积分，积分后继续判断误差。
图2 程序流程图3.计算结果3.1梯形公式采用复合梯形公式可以得到下面的计算结果：3.2 自适应法不论是采用梯形公式还是辛普森公式，它们的自适应算法总体都是一样的。
唯一的区别是，辛普森法需要多算一个中点的函数值，以及各函数值的系数不同。
都是自适应算法，梯形公式和辛普森公式得到的结果如下表。
3.3结果分析积分表达式为：33110010sin x dx x ⎰被积函数：310010f ()sin x x x =简单地讨论一下被积函数的性质。
辛普森法则公式举例
辛普森法则公式举例好的，以下是为您生成的关于“辛普森法则公式举例”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森法则的家伙，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决不少复杂的计算问题。
先来说说啥是辛普森法则吧。
简单来讲，辛普森法则是一种用于数值积分的方法。
比如说，我们要计算一个曲线下面的面积，但是这个曲线的形状又很奇怪，不好直接算，这时候辛普森法则就派上用场啦。
给您举个例子哈。
假设我们有一个函数 f(x) = x² + 2x + 1 ，要计算它在区间 [0, 2] 上的面积。
我们把区间 [0, 2] 分成 n 等份，这里为了简单，咱就先分成 2 等份吧，那每个小区间的长度就是 1 。
然后计算每个区间端点和中点的函数值。
在区间 [0, 1] ，端点是 0 和 1 ，中点是 0.5 。
f(0) = 1 ，f(1) = 4 ，f(0.5) = 1.75 。
在区间 [1, 2] ，端点是 1 和 2 ，中点是 1.5 。
f(1) = 4 ，f(2) = 9 ，f(1.5) = 5.25 。
接下来，就可以用辛普森法则的公式来计算啦。
面积≈ （区间长度 / 3 ）× [ (f(x₀) + f(xₙ)) + 4 × (f(x₁) + f(x₃) +... + f(xₙ₋₁)) + 2 × (f(x₂) + f(x₄) +... + f(xₙ₋₂)) ]在这里，区间长度是 2 ，n = 2 。
所以面积≈ （2 / 3 ）× [ (1 + 9) + 4 × (4 + 5.25) + 2 × 1.75 ] 。
经过计算，就可以得到这个函数在区间 [0, 2] 上的近似面积啦。
我记得有一次，我给班上的学生讲这个辛普森法则。
有个调皮的小家伙，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂了，我感觉我的脑袋要转不过来了。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来，你会发现它其实就像玩游戏一样有趣。
变步长辛普森公式
变步长辛普森公式
变步长辛普森公式是一种用于数值积分的方法，它的特点是在求解积分时可以自适应地调整步长，从而提高计算的准确性。
下面我将以人类的视角来描述一次使用变步长辛普森公式求解积分的过程。
现在，假设我要求解函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，也就是求解∫[a, b] f(x)dx。
为了使用变步长辛普森公式，我首先需要将区间[a, b]等分成若干个小区间，每个小区间的长度为h。
然后，我会使用辛普森公式来近似计算每个小区间上的积分。
辛普森公式的基本思想是将每个小区间近似成一个抛物线，然后计算抛物线下的面积。
具体而言，我会选择每个小区间的三个点，分别是起点、终点和中点。
这三个点将抛物线完全确定下来，我可以使用抛物线的面积公式来计算积分的近似值。
为了提高计算的准确性，我会对每个小区间进行递归处理。
首先，我会计算整个区间[a, b]上的积分近似值，然后将区间等分成两半，分别计算左半边和右半边的积分近似值。
如果左半边和右半边的积分近似值之和与整个区间的积分近似值之差小于某个阈值，那么我就认为计算结果是准确的，否则就继续递归处理左半边和右半边。
通过这样的递归处理，我可以自适应地调整步长，从而在保证计算准确性的前提下，尽可能减少计算量。
这就是变步长辛普森公式的优势所在。
总结一下，变步长辛普森公式是一种用于数值积分的方法，它可以自适应地调整步长，提高计算准确性。
通过将区间等分成若干个小区间，然后使用辛普森公式来近似计算每个小区间上的积分，最后通过递归处理不断调整步长，得到最终的积分近似值。
这种方法在数值计算中广泛应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
simpson积分公式外推公式
一、概述Simpson积分公式是数值积分中一种重要的数值积分方法，它通过对被积函数进行二次插值来得到近似积分值。
而在实际应用中，我们经常会遇到对高阶导数的积分，而Simpson积分公式只适用于对二阶导数的积分。
有必要对Simpson积分公式进行外推，得到可以对高阶导数进行积分的外推公式。
二、Simpson积分公式的推导Simpson积分公式是通过对被积函数进行二次插值，然后再进行数值积分得到的。
具体推导过程如下：1. 对被积函数进行二次插值设被积函数为f(x)，在区间[a, b]上进行二次插值，得到插值函数为p(x)，则有：p(x) = Ax^2 + Bx + C其中A、B、C为插值函数的系数，需要通过三个点的数值来确定。
2. 求取插值函数的积分对插值函数p(x)进行积分，得到：∫p(x) dx = ∫(Ax^2 + Bx + C) dx求得∫p(x) dx = (A/3)x^3 + (B/2)x^2 + Cx3. 将插值函数的积分代入数值积分公式根据插值函数的积分，可以将数值积分公式进行改写，得到Simpson 积分公式：∫f(x) dx ≈ (b-a)/6 * [f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]三、Simpson积分公式的外推Simpson积分公式仅适用于对二阶导数的积分，而在实际应用中，我们往往需要对高阶导数进行积分。
有必要对Simpson积分公式进行外推，得到可以对高阶导数进行积分的外推公式。
1. 对Simpson积分公式进行推广我们可以通过对插值函数的次数进行升级，从而得到可以对高阶导数进行积分的外推公式。
具体推导过程如下：a) 三次插值若我们对被积函数进行三次插值，得到插值函数为：p(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D其中A、B、C、D为插值函数的系数，需要通过四个点的数值来确定。
b) 求取插值函数的积分对插值函数p(x)进行积分，得到：∫p(x) dx = ∫(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) dx求得∫p(x) dx = (A/4)x^4 + (B/3)x^3 + (C/2)x^2 + Dxc) 将插值函数的积分代入数值积分公式根据插值函数的积分，可以将数值积分公式进行改写，得到三次Simpson积分公式：∫f(x) dx ≈ (b-a)/8 * [f(a) + 3*f((2a+b)/3) + 3*f((a+2b)/3) + f(b)]2. 推广至更高阶类似地，我们可以通过对插值函数的次数继续升级，得到可以对更高阶导数进行积分的外推公式。
辛普森(simpson)公式
辛普森(Simpson)公式是用于数值积分的重要方法之一，它可以更精确地计算定积分的值。
由于其高精度和易于理解的特点，辛普森公式被广泛运用于科学计算和工程领域。
本文将对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行详细介绍。
一、辛普森公式的原理辛普森公式是利用多项式的插值思想来逼近定积分的值。
其基本原理是将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近，然后对所有区间上的二次多项式进行积分，最终得到整个函数的积分值。
辛普森公式的精度比较高，尤其适合于二次或四次多项式的积分计算。
二、辛普森公式的推导在区间[a,b]上进行积分，将区间等分成n段，每段长度为h=(b-a)/n。
设被积函数为f(x)，则辛普森公式的推导过程如下：1. 计算积分区间的分割点首先需要计算各个分割点的横坐标 xi(i=0,1,2,...,n)，即xi=a+ih(i=0,1,2,...,n)。
2. 计算每个分段上的积分值对于每个小区间 [xi-1,xi]，可以采用三点插值公式来逼近积分值：∫f(x)dx≈h/3*(f(xi-1)+4f((xi-1+xi)/2)+f(xi))3. 求和计算总的积分值将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间[a,b]上的定积分值。
经过以上推导，可以得到辛普森公式的表达式为：∫f(x)dx≈h/3*(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn))三、辛普森公式的应用辛普森公式在数值积分中有着广泛的应用，尤其适用于被积函数光滑而且二次可微的情况。
在实际工程和科学计算中，经常需要对曲线和曲面进行积分计算，而辛普森公式可以提供比较精确的积分结果。
在概率统计学、信号处理、图像处理等领域，辛普森公式也被广泛运用。
在概率密度函数的计算中，可以利用辛普森公式来对密度函数进行积分，从而得到概率分布的特征参数。
辛普森公式作为一种数值积分的方法，具有计算精度高、易于编程实现等特点，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。
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自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导
1. 引言
在数学和工程领域中，积分算法是一项重要的计算工具，用于求解曲
线下的面积、求解定积分等问题。
辛普森法是一种常用的数值积分方法，而自适应辛普森法则是在辛普森法的基础上进行改进的一种算法。
本文将对自适应辛普森法积分算法进行推导和解析，帮助读者深入理
解该算法的原理和应用。
2. 自适应辛普森法积分算法概述
自适应辛普森法是一种数值积分方法，通过对被积函数进行区间划分，利用辛普森公式进行数值积分。
在每个小区间上计算辛普森公式的近
似值，然后根据精度要求和误差估计值来决定是否对当前区间进行进
一步的划分，从而实现自适应性。
该算法的优点是能够适应被积函数
的不规则性，同时具有较高的数值积分精度。
3. 自适应辛普森法推导
下面，我们将对自适应辛普森法进行推导。
假设被积函数为f(x)，要计算区间[a, b]上的定积分∫f(x)dx。
我们将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n。
利用辛普森公式对每个小区间进行数
值积分：
∫f(x)dx ≈ (h/6) * (f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b))
将所有小区间上的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。
我们计算近似解的误差估计值，如果误差估计值大于预设的精度要求，就对误差较大的小区间进行进一步划分，重复以上步骤，直到满足精
度要求为止。
4. 自适应辛普森法的应用与优点
自适应辛普森法在实际应用中具有广泛的应用价值。
该算法能够适应
被积函数的不规则性，对于具有较大波动的函数能够给出较为精确的
数值积分结果。
由于该算法具有自适应性，能够根据不同函数的特点
进行区间划分和积分计算，因此适用于多种类型的函数积分计算。
5. 个人观点与总结
自适应辛普森法作为一种数值积分方法，不仅具有较高的数值积分精度，同时也具有较强的适应性和灵活性。
在工程实践中，我曾经使用
自适应辛普森法对复杂函数进行积分计算，取得了较为满意的结果。
我认为，深入理解和掌握自适应辛普森法的原理和推导过程，对于提
高数值积分计算的准确性和效率具有重要意义。
自适应辛普森法作为一种重要的数值积分算法，对于解决工程和科学
计算中的复杂积分问题具有重要的意义。
通过深入学习和理解该算法
的原理和推导过程，我相信能够为今后的工程实践和科学研究提供更
多有益的帮助。
自适应辛普森法作为一种重要的数值积分算法，其原
理和推导过程为我们提供了一种求解定积分的有效方法。
在现实生活
和工程实践中，我们经常会遇到各种复杂的函数和曲线，需要求解其
曲线下的面积或者进行积分计算。
而自适应辛普森法恰好满足了这些
需求，能够给出较为精确的数值积分结果，具有很高的实用价值。
除了在工程和科学计算中的应用，自适应辛普森法也广泛应用于实际
生活中的各种领域。
比如在医学领域，需要对患者的病情进行数值积
分分析，以确定合适的治疗方案和药物剂量；在经济学领域，需要对
不同投资标的的收益进行数值积分计算，以制定最优的投资策略。
自
适应辛普森法的灵活性和适应性使得它能够应用于各种不同的领域，
为问题的求解提供有力的支持。
在实际应用中，了解自适应辛普森法的原理和推导过程是非常重要的。
通过深入学习和理解该算法，我们能够更好地掌握其使用方法和注意
事项，从而提高积分计算的准确性和效率。
我们还可以根据实际情况
对算法进行适当的调整和优化，以获得更好的计算结果。
对于工程师、科研人员和其他从事数值积分计算工作的人来说，掌握自适应辛普森
法的原理和应用具有重要的意义。
与此值得注意的是，自适应辛普森法作为一种数值积分方法，仍然存
在一些局限性和需要改进的地方。
比如在处理极端不规则函数时，该
算法可能需要进行大量的区间划分和积分计算，导致计算量较大和耗时较长。
对于高维函数积分计算，自适应辛普森法的应用也面临一定的挑战。
对于特定类型的函数和问题，我们可以结合其他数值积分方法来进行综合计算，以获得更好的结果。
自适应辛普森法作为一种重要的数值积分算法，在求解复杂函数定积分和曲线下的面积等问题中具有重要的应用价值。
通过深入学习和理解其原理和推导过程，我们能够更好地掌握其使用方法和注意事项，为工程实践和科学研究提供更多有益的帮助。
我们也需要不断地完善和优化该算法，以满足不同领域和不同类型问题的实际需求。
相信随着科学技术的不断发展和进步，自适应辛普森法将发挥越来越重要的作用，为我们解决更多复杂的数值积分计算问题提供有力的支持。