偏微分方程的数值离散方法

•
非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。
12
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式
u
是和守恒律
n 1 j
u
n 1 j
~n t ~ n f 1 f 1 j j x 2 2
• 两层格式
– Crank-Nicolson格式、P-C格式、LaxWendroff格式、MacCormack 格式 – Runge-Kutta方法 – 时空全守恒：如Godunov格式、centralupwind格式、CESE方法
• 多层格式
– Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后 三点隐格式
~n
1 J 2
~ t f n 1 t
J 2
再对n求和 :
j J n 1 j
~ x u x f k
j J k 0
N
1 J 2
~ t f k 1 t
k 0 J 2
N
可以看成是积分

x J 1 / 2
u ( x, t n 1 )dx
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
uin 1 uin 1 n c (ui 1 uin ) 0, c 0 (1) t x
设 c t x 误差的基本解uin An eikxi uin 1 An 1eikxi uin1 An eikxi1 代入(1) : u n 1 uin (uin uin1 ) An 1eikxi An eikxi ( An eikxi An eikxi1 ) 满足稳定性要求的 amplificat ion factorG An 1 G n 1 A
x x
1)u
x x
u j 1 (e
1)u
(2)等价于： u 1 2 3u 2 1 2u 1 4u u 1 2u 1 2 3u t t c x c t 2 3 3 2 4 (3) t 2 6 24 x t t x x 6 2 x
1 1 un un j j
•
定义
~ t ~ n f 1 f n1 j x 2 j 2
则为守恒型差分格式。 ~ 其中 f n 1 称为数值通量，它是 2l个变量的多变量函数：
j
~n ~ n n f 1 f (u n j l 1 , u j l 2 , , u j l ),
1 8 符合War min g Hyett 稳定性判别条件 . why CFL 1 for scheme(2) ?
4 c 2 t (3c 2 t 2 x 2 )
7
3.1.4 差分方法的理论基础
• 相容性，稳定性，收敛性 • 等价性定理 • Fourier稳定性分析
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3.1.4 差分方法的理论基础（续）


(2)
1 un un j j t t t
u 1 2 2u 1 3 3u t t t 2! t 2 3! t 3
(e
1)u u 1 2 2u 1 3 3u x x x 2! x 2 3! x 3
u j 1 u j x (e
（三）偏微分方程的数值离散方法
• 3.1 有限差分法 • 3.2 有限体积法 • (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限 解析，边界元，特征线）
1
3.1 有限差分法
• • • • • • 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
•
1
称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
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3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
u d f 0 t i 1 xi
对于一维单个守恒律： u f (u ) 0 t x 其差分格式如果具有如 下形式
9
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）
G 1 e ikx 1 (coskx i sin kx) 1 (1 cos kx) i sin kx kx 2 G 2 1 (1 cos kx) 2 sin 2 kx 1 4 (1 ) sin 2 , 2 G 1 if 1
x J 1 / 2
x J 1 / 2
u ( x,0)dx u ( x
0
t n1
J
u( x 1 , t ) dt
2 0
t n1
J
1 2
, t )dt
该积分代表离散的守恒 律。完全对应于连续的 守恒律：
u ( x, t )dx f (u ( x, t ))dt 0
j
2
~ f 满足相容性条件: ~ f (u, u , u ) f (u )
2
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3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J jJ jJ
u u
x J 1 / 2 jJ
n 1 j
x
j J
u x f
n j jJ 0 j
p 1

(1) p 2 p 1k 2 p 1
p 0
格式稳定的充分必要条 件是
(1) p 2 p k 2 p 0, k
p 1

偶次项系数满足 : 对于（2）：
(1) p 2 p 0 1 6
1 c， 2 0, 3 c(c 2 t 2 x 2 )
16
3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Lax-Wendroff 格式
一步LW格式
u u c 0 t x u 2 t 其中 c x
n 1 i
u
n i

(u
n i 1
u )
n i 1
2
2
(uin1 2uin uin1 ),
O(t 2 , x 2 )
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3.1.6 偏微分方程的全离散方法
• 对差分格式的一般要求：
– 有精度、格式稳定、求解效率高
• 特殊要求
– 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍 流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 (正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度 等)
• 主要指非定常方程的时间离散
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3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
Fourier稳定性 : ikx ikx 2 ikx A A 1 (e e ) (e 2 e ikx ) 2 2 An 1 G n 1 i sin kx 2 (coskx 1) A G 1 1
n 1 n
2
3.1.1 模型方程的差分逼近
3
3.1.2 差分格式的构造
4
3.1.3 差分方程的修正方程
• • • 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett方法：
u u c 0 (1) t x 1 1 1 un un u j 1 u j 1 2 u j 1 2u j u j 1 j j 2 2 T aylor 展开
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3.1.6.1 两层格式
• Crank-Nicolson格式
u u c 0 t x uin 1 uin c u n u n 1 ( )0 t 2 x x uin 1 uin c 1 n 1 (uin1 uin1 uin 1 ui 1 ) 0 t 4x
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
•
差分方程(2)写成算子的形式：
5
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
(e
t t x x x 1 1 x x x 1)u (e x e x )u 2 e 2 e u 2 2
(4)
记算子 则
(e (e
t
t
t
t
u 1 2 2u 1 3 3u t t t 2! t 2 3! t 3 2u 1 1 3u 1 1 1 4u 1) 2 t 2 2 t 3 3 2 t 4 4 t t 6 2 2 t 2 2 1) t 3u 1 4 4u 1) t 1 t t 3 2 t 4

4 Au n 1 B n
1 n 1 uin 1 ui

4
1 n uin 1 ui

4
( uin1 uin1 ) Bin
unconditio nal stable
• • • •
Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法
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3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Lax-Wendroff 格式
两步LW格式பைடு நூலகம்
u f 0 t x u
1 2 1 i 2 n
(uin uin1 ) / 2 t / 2
1 n n ( fi 1 fi ) 0 x
1 1 n n uin 1 uin 1 2 ( f 1 f 1 2 ) 0, i t x i 2 2
3 3
(e (e 可以将t
t
t
t
t
1) 4 t 4

4u t 4
t 表示成(e t 1) l 的级数 t l
t 1 1 3 t t bl e 1 , b1 1, b2 , b3 , b3 t l 1 2 3 8 最后得到 1 x x x t 1 x t bl e x e x 2 e x 2 e x t bl e 1 2 t l 1 2 即有 u ku 2 p 1u 2 pu k k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x x x p 0 p 1 l l