偏微分方程的离散化方法4经典.ppt
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偏微分方程的数值离散方法
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
13
3.1.6 偏微分方程的全离散方法
• 对差分格式的一般要求：
– 有精度、格式稳定、求解效率高
• 特殊要求
– 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍 流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 (正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度 等)
• 主要指非定常方程的时间离散
14
3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）
j
2
~ f 满足相容性条件: ~ f (u, u , u ) f (u )
2
11
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J jJ jJ
u u
x J 1 / 2 jJ
n 1 j
x
j J
u x f
n j jJ 0 j
16
3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Lax-Wendroff 格式
一步LW格式
u u c 0 t x u 2 t 其中 c x
n 1 i
u
n i
(u
n i 1
u )
n i 1
2
2
(uin1 2uin uin1 ),
O(t 2 , x 2 )
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
总目录
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
总目录 本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
偏微分方程数值解PPT课件
t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧
偏微分方程的离散化方法4
P
3
PPP
P
4
PPP
P
5
PP
P
1P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
2
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
Pi
n 1,
j
)
n1/ 2
P P i1, j
n1/ 2 i 1, j
P n1 i, j
Pn i, j
2x 2
2x
t
四、边界条件的处理
（一）、内边界条件处理
定产条件：即井以一定产量 q 生产。如在网格（i，j）上有一口井，产量 q，
则可在渗流方程左边加上产量相，生产井 q 为负，注水井 q 为正。
偏微分方程的离散化方法课件
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
偏微分方程离散差分式差分方法等
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
~n
1 J 2
~ t f n 1 t
J 2
再对n求和 :
j J n 1 j
~ x u x f k
j J k 0
N
1 J 2
~ t f k 1 t
k 0 J 2
N
可以看成是积分
x J 1 / 2
u ( x, t n 1 )dx
Fourier稳定性 : ikx ikx 2 ikx A A 1 (e e ) (e 2 e ikx ) 2 2 An 1 G n 1 i sin kx 2 (coskx 1) A G 1 1
n 1 n
•
1
称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
u d f 0 t i 1 xi
第四章离散化的基本方法
u ( x )i, j
ui1, j ui1, j 2x
O(x)2
(6)
二阶“中心差分”
总结：
ui1, j ui, j
x
O(x)
一阶“向前差分”
u ( x )i, j
ui
,
j
ui1, j x
O(x)
一阶“向后差分”
ui1, j ui1, j
x
x2 2
最初的估计 斜率的影响 曲率的影响
举例说明
8
Nanjing University of Technology
有限差分基础
考虑函数 f (x) sin 2 x
在x＝0.2处，f(x)＝0.9511。如图中1点。
取Δx＝0.02，f(x+Δx)=f(0.22)=0.9823 图中点2
)i
,
j
(x)
(
2u x2
)i
,
j
(x)2 2
(
3u x3
)i
,
j
(x)3 6
(4)
解得：
(
u x
)i
,
j
ui, j
ui1, j x
O(x) (5)
一阶“向后差分”
11
Nanjing University of Technology
有限差分基础
对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造2阶精度。直接 用（2）式减去（4）式得到：
ui2, j
O(x)4
越高精度在计算过程中是不是就越好呢？
缺点：需要更多的网格信息，所以计算每一步时间步 或者空间步需要更多时间。
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13
z
r
.精品课件.
混合网格
14
二、有限差分法----导数的差商逼近
P lim P(x x) P(x)
x x0
x
P lim P(x) P(x x)
x x0
x
P lim P(x x) P(x x)
x x0
2x
P
前差商 后差商 中心差商
.精品课件.
x
15
函数 P(x+Δx)利用 Talor 公式逼近导数
.精品课件.
4
P
离散时间
.精品课件.
t
5
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
12
上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' (x) P(x x) 2P(x) P(x x) O(x 2 ) x 2
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P( x
x)
，
2P x 2
Pi1
2Pi x 2
Pi1
(用节点位置)
i
.精品课件.
18
1、 一种常用二阶差商处理方法
2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是 相等的，反之称为不等距网格。
.精品课件.
6
3、网格类型 常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
.精品课件.
7
y
x
无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格
.精品课件.
8
z
x y
.精品课件.
局部网格加密
9
.精品课件.
10
模拟区网格图（井位、边界、断层）
.精品课件.
11
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
.精品课件.
12
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
.精品课件.
Pn i 1
2Pin x 2
Pn i 1
P n1 i
Pi n
t
P n1 i
(1 2 )Pin
(
Pn i1
Pn i1
)
，
t x
2
，截断误差：O(t
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
x1,
y, t) x1
u( x,
y, t)
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2 2
u(x, y, t) u(x x2 , y, t) x2
x x
x
Δx
Δx1 Δx2
.精品课件.
19
三、有限差分方程的建立
1、抛物型方程：一维不稳定渗流方程：
2 P x 2
P t
（1）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在 点（i，n）的差分方程。
2
2
.精品课件.
16
1、 一阶前差商
P P(x x) P( x) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
x
2、 一阶后差商
P P(x) P( x x) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一阶中心差商
P P( x x) P(x x) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
.精品课件.
20
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x 2 )
P P( x x / 2) P( x x / 2) ，P Pi1/2 Pi1/2 忽略截断误差 O((x / 2)2 )
x
x
x i
x
.精品课件.
17
1、 二阶差商
将方程(*)正负相加,可得: P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
k
u
k
u
x
k
x
x x x1 2 x
x x x2 2
， x
1 2
(x1
x2
)
u u(x x1, y, t) u(x, y, t) ， u u(x, y, t) u(x x2 , y, t)
x x x1
x1
x x x1
x2
2
2
k
u
k x x1 2
u(x
.精品课件.
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
.精品课件.
3
离散空间
偏微分方程的 离散化方法
.精品课件.
1
一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微 分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分 法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的， 并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的 均质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计 算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变 差些。 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
P(x x) P(x) xP(x) x 2 P(x) x3 P(x) x 4 P (4) (x)
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x / 2)2 P(x) (x / 2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x) O(x)