5.1连续域设计离散化方法
效离散控制器，只有全部计算机数字仿真结果都满意时， 设计才算完成。 • 由于双线性变换法、预修正双线性变换法及零极点匹配法 具有较好的特性，通常会给出满意的结果，所以在设计时 应当是首先选用的。 • 应用举例 • 应用举例
等效连续传递函数： D e(s)D dc(s)esT/2
设计时常近似为
esT/2
1
1sT / 2
图4-2计算机控制系统等效连续结构
数字算法D(z)的等效
传递函数
6
7
2) 各种离散化方法
• 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数 D(z) 。
• “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
T 22 2jcso in s(( D D T T//2 2))jT 2tan2 D T
z域角频率
19
3 双线性变换法(Tustin变换 )
2) 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
3) 频率畸变：双线性变换的一对 一映射，保证了离散频率特性不产 生频率混叠现象，但产生了频率畸变。
图4-11双 线性
s D(
1
1 ) A
相当于在原系统传递函数s
D(z) D(s)
s
1
z1
处引入一个比例因子：
tan(1T/2) z1
22
4 修正双线性变换
2 .主要特性
• 该方法本质上仍为双线性变换法，具有双线性变 换法的各种特性。
• 由于采用了频率预修正，故可以保证在ω1处连续 频率特性与离散后频率特性相等，但在其他频率 处仍有畸变。
28
29
5.2 数字PID控制器设计
• PID控制是控制系统中应用最广泛的一种控制规律。 • 在现代计算机控制系统中，PID控制算法将由计算
机软件实现。由于计算机软件的灵活性，利用计 算机实现PID控制具有许多优点。 • 本节主要内容
1 数字PID基本算法 2 数字PID控制算法改进 3 PID调节参数的整定
9
1.一阶向后差分法
1) 离散化公式
•实质是将连续域中的微分用一阶向后差分替换．
D(z) D(s) s1z1 T
D (s) U (s)/E (s) 1 /s
t
du(t)/dte(t),u(t)0e(t)dt
d u ( t)/d t { u ( k T ) u [ ( k 1 ) T ] } /T •相当于数学中的矩形积分法，即以
z
1
2 T
s
2
17
梯形积分法
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•变换也是z变换的一种近似
z
e (Ts / 2) e (Ts/2)
z1T2s 1T2s
s 2 ( z 1) T ( z 1)
2.主要特性
1） s平面与z平面的映射关系
•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
z
1 1
T
2 T
2
s s
1
24
5 零极点匹配法
2. 主要特性
1) 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增 益匹配，因此工程上应用不方便。
2) 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一 定稳定。
3) 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可 获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。
3. 应用
• 主要用于将连续控制器离散时，要求在某些特征 频率处，离散前后频率特性保持不变的场合。
• 例5-4
23
5 零极点匹配法
1. 离散化方法
特点
k (s zi)
D (s)m
(sp i) n
z esT
k 1 (z e ziT) D (z) m (z e p iT)(z 1 )n m
m
•零、极点分别按 z esT 匹配。
25
26
6 其他方法
1. z变换法（脉冲响应不变法）
D(z)D(z) ZZD D(s()s)
• 可以保证连续与离散环节脉冲响应相同。 • 由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混
叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
2. 带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
1esT
D(z)Z
•若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m
因子。
•确定D(z)的增益k1的有三种方法：
--按右式来匹配
D(s)s0D(z)z1
--若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
D(s)sD(z)z1
• --也可选择某关键频率ω1处的幅频相等，即
D(j1) D(ej1T)
变换的频 率关系
图4-12双线性变换频率特性失真
A
2 T
tanDT
2
当采样频 率较高
DT
足够小
A
2DT
T2
D
20
3 双线性变换法(Tustin变换 )
4) 双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s)s0D(z)z1 5)双线性变换后D(z)的阶次不变，
且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
3.应用
D(ej1T)D(j1)
1 A
2
1 tan 1T
T2
Tustin变换式
s 2 z 1 T z1
为实现上述要求，需将D(s/ω1) 平移到D(s/ωA)处，再做Tustin
s A 1T 2，zz 1 1tan( 1T 1 /2)zz 1 1
变换.因为
•传递函数D(s)，修正双线性变换为
D(s/A)
1 D(s)s2 0.8s1
稳定性判断：要求 (0)10.8TT2 1
D(z)s201.8s1s(z1)/T
。 ( 1 ) 1 ( 2 0 .8 T ) ( 1 0 .8 T T 2 ) 0
( 1 ) 1 ( 2 0 .8 T ) ( 1 0 .8 T T 2 ) 0
T2
z2(20.8T)z(10.8TT2)
1 T2
T12 2图4-8 向前差分法的映射关系
2) 若D(s)稳定，采用向前差分 法离散化，D(z)不一定稳定。 只有采用较小的采样周期T，方 能保证D(z)稳定。
15
2 一阶向前差分法
3. 应用
• 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。
• 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例5-2 试用向前差分法离散下述传递函数
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
注意：不同的离散化方法特性不 同. D(z)与D(s)相比，并不能保持 全部特性，并且不同特性的接近
程度也不一致。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
1
2
计算机控制系统
5.1 连续域-离散化设计
1) 连续域—离散化设计原理与步骤 2) 各种离散化方法
3
1) 连续域—离散化设计原理与步骤
4
•De(s)中的3个环节可近似描述如下：
① A/D输出与输入关系：
系统低通特性
R*(j)T 1n R(jjns) 采样频率较高
R*( j)1R( j)
T
s
D(s)
• 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。 • 保证连续与离散环节阶跃响应相同。 • 具有z变换法的一系列缺点，应用亦较少。
27
7 连续域--离散化方法小结
• 等效的离散控制器的暂态特性和频率特性与连续控制器相 应特性相比均有畸变，没有一个能够完全逼真。
• 畸变程度与采样频率、截止频率、系统的最高频率有关. • 如采样频率相对系统截止频率或最高频率取得较高，如大
T 2
1 T2
j j
T
2
T
2
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
sj
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
z
2
1 1
T 2 T 2
2 2
T
2
T
2
2 2
18
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•双线性变换将
--整个s平面左半部到z平面单
D(e jT ) s 0 2
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好
的特性，工程上应用较为普遍。
2) 2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要
用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散
• 例化5。-3
21
4 修正双线性变换
1. 离散化方法
• 预修正的目的是满足在某个选 定的关键频率ω1上:
14
2. 一阶向前差分法
2. 主要特性
1) s平面与z平面映射关系
•只有当D(s)的所有极点位于 左半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
z 1 T s (1 T ) j T
z2(1T)2(T)2
令 z 1 （单位圆）
1(1T)2(T)2
z12 1(1T)2(T)2 2 4(1T)2(T)2
11
1.一阶向后差分法
② 由上述映射关系可见，若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
③ 变换前后，稳态增益不变。
连续域-离散化设计讲解
3. 一阶差分近似法
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
连续控制器的离散化
离散化方法：
K s ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) 4. 零极点匹配法： D( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
z1T z2T zmT ( n m 1)
K z ( z e )( z e ) ( z e )( z 1) D( z ) ( z e p1T )( z e p2T ) ( z e pnT )
5. 双线性变换法：
D( z ) D( s )
2 1 z 1 s T 1 z 1
R(s) L[ (t)] 1
D(z ) Z[D(s)R(s) ] Z[D(s)]
4、无串联性 Z[D (s)D (s)] Z[D (s)]Z[D (s)] 1 2 1 2
例：已知 D(s)
解：
3 ，T=0.01s，求 D(z ) s2
3 1 D(z) Z [ ] 3 s2 1 e 20.01z 1
1 0.951 1k 1 0.607
解得
k 8.02
例： D(s)
s 2 ，T=1s，按 ω 1 求增益，求 D(z ) (s 1)
D(jw) jω (j ω 1) 2 0.5
ω 1
(z 1)(z 1) D(z ) k (z e T )2
ω 1
T=1s，求 D(z )
T D(s) 1 s Tz e 1 D(z ) (1 z 1 )Z[ ] (1 z 1 )Z[ ] (1 z ) 2 s s (s 1) (z eT )2
第八章 连续域-离散化设计讲解
第八章 连续域-离散化设计8.1设计的基本原理7.4)(109z 811实现：章、：域设计控制器（离散）章）连续域离散化（章）现代控制理论（反馈控制理论：域设计控制器（连续）z D s ⎪⎭⎪⎬⎫→⎩⎨⎧连续域－离散化设计方法：D(s)→ D(z)控制器软件的实现过程：1）根据被控对象的传递函数)(s G ，按连续系统的分析与设计方法设计)(s D稳（稳定性）：稳定裕度（幅值裕度和相角裕度） 准（稳态误差）：位置、速度和加速度误差系数 快（动态性能指标）：谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比最小拍：在离散系统中，调节时间的长短以采样周期个数表示，一个采样周期称一拍，调节时间最短的系统称最小拍2）根据系统特性和要求选T （9章） 3）D(s)→ D(z)4）标准)(s D 与)(z D 性能对比 5）由)(z D 求差分方程，编软件程序 6）系统调试8.2冲击响应不变法（Z 变换）一、定义：○1)()]([z D s D Z =； 二、特性：1频率坐标变换是线性（T ωω→）变换 说线性不妥，有超越函数e∑+∞-∞=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D sT j )(1)(*)(ωωωωω s ω太小易混叠，应提高s ω2若)(s D 稳定，则)(z D 稳定3)(s D 与)(z D 的冲击响应相同冲击响应为)(t δ，其拉氏变换为1)]([=t L δ，若输入为冲击响应，则1)]([)(==t L s R δ)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ==若不为冲击响应，则)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ≠=4无串联性)]([)]([)]()([2121s D Z s D Z s D s D Z ≠注意：若保持增益不变，根据∑+∞-∞=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D sT j )(1)(*)(ωωωωω 则)]([)(*s D TZ z D = 三、例题例：已知23)(+=s s D ，T=0.01s ，求)(z D 解：101.02113]23[)(-⨯--⨯=+=z e s Z z D 例：已知2)1()(+=s ss D ，T=1s ，求)(z D解：])1([)(2+=s sZ z D21211222212111)()()()(][d d ])1()1[(d d ])1()1[(d d lim ])()[(d d lim )!1(1T T T s sT sT sT s sTs sT sT s sTq i q q p s i e z TZe e z e z sZTe e z e z zs s e z zs s s s e z zs s s s e z zs F p s s q R i ----=-=-=--→--→---=-+-=-=-++=-++=---=8.3阶跃响应不变法一、定义（1） （2） （3）这种方法的思想是先将模拟控制器)(s D 近似为加零阶保持器的系统，再将该系统用Z 变换方法离散化为数字控制器)(z D 。
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
连续域-离散化设计
r(t)
e(t) T
e(k)
u(k)
u(t)
y(t)
D(z)
T
H0(s)
G(s)
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法
二、特性： 特性：
连续控制器的离散化
Z[D(s)] = D(z)
1、频率坐标变换是线性（ ω → ωT）变换 、频率坐标变换是线性（ 2、若 D(s) 稳定，则 D(z) 稳定 、 稳定，
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法 2. 阶跃响应不变法 3. 一阶差分近似法
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法：
Ks (s + z1)(s + z2 )(s + zm ) 零极点匹配法： 4. 零极点匹配法： D(s) = (s + p1)(s + p2 )(s + pn )
s
稳定域
jω
z
σ
极点
Pi
e
piT
D(s) 与 D(z) 的冲击响应相同 3、 、
冲击响应为δ(t) ，其拉氏变换为 L[δ (t)] = 1 若输入为冲击响应 L[δ (t)] = 1
D(z) = Z[D(s)R(s)] = Z[D(s)]
4、无串联性 Z[D (s)D (s)] ≠ Z[D (s)]Z[D (s)] 、 1 2 1 2
例：已知 D(s) = 解：
3 ，T=0.01s，求 D(z) ， s+2
3 1 D(z) = Z[ ] = 3× s+2 1 e 2×0.01 z 1
第5章数字控制系统的连续——离散化设计
1 lim[s s0 s
10s 1 s1
]
lim[(z
z 1
1)
z
z
1
K
z
z 0.9048] z 0.3679
K z 6.6397
因此
D(z) 6.6397 z 0.9048 z 0.3679
（4）仿真检验
Gd (z)
(1
z 1 )Z[ 1 s
1 ] s(10s 1)
0.04837(z 0.9678) (z 1)(z 0.9048)
D(z) K z1 (z 1)z
(z e T )2
当R(s) 1 时，u(t) 0
u(t) lim sR(s)D(s)
t s0
s
t
当R(s) 1 时，u(t) 1
当R(z)
s
2
z
t
时 ，u(k) 0
u(k) lim(z 1)R(z)D(z)
k
z 1
z 1 k 当R(s) Tz 时 ，u(k) K z1T
(1 e T )2
(1 e T )2 (z 1)(z 1)
K z2 2T D(z) 2T
(z e T )2
(3)匹 配 到z ：D(z) K z1 (z 1)(z )
(z e T )2
要 求T 1s， 1时 ，D( j ) D(e jT ) j 0.50
(1 j)2
(t)
h(t) (t) *(t)
h*(t)
D(s)
D(z)
分析脉冲不变法特点：D(s) 与 D(z)之间的近似关系。
➢ 由设计准则知，二者的脉冲响应在采样点取相同值； ➢ D(s)与D(z)极点按Z变换定义z=esT一一对应 ； ➢ 若D(s)稳定，其极点位于S左半平面，则其D(z)必稳定，
连续型数据的离散化处理
将连续型数据进行离散化处理是为了将其划分为若干个离散的区间或类别，这样有助于简化数据分析、模型建立和可视化。
离散化可以通过分箱（binning）等方法来实现。
以下是一些常见的连续型数据离散化的方法：
等宽离散化：
将数据的值范围划分为等宽的区间，每个区间的宽度相同。
这样可以简化数据，但可能无法很好地捕捉数据的分布特征。
等频离散化：
将数据划分为每个区间包含近似相同数量的数据点的区间。
这有助于保持每个区间中数据点的均衡性，但可能导致一些区间的宽度不一致。
聚类离散化：
使用聚类算法（如K均值聚类）将数据点划分为若干个簇，每个簇对应一个离散化的类别。
这种方法可以更好地捕捉数据的分布特征，但需要选择合适的聚类数。
自定义分位数离散化：
根据数据的分位数（如四分位数）将数据划分为多个类别。
这种方法能够较好地反映数据的整体分布，并且可以根据具体需求调整分位数的数量。
决策树离散化：
使用决策树算法对连续型数据进行离散化。
决策树的分裂点可以被用作离散化的边界，将数据划分为不同的类别。
离散化的选择通常取决于具体问题的要求以及对数据的理解。
在进行离散化处理时，需要注意选择合适的方法，并确保离散化后的数据仍然能够保持原始数据的主要特征。
离散化后的数据可以用于构建分类模型、降低计算复杂度、提高模型的可解释性等方面。
连续 离散化方法
连续离散化方法离散化是将连续数据转换为离散数据的过程。
在实际应用中，离散化可以用于数据预处理、数据分析、特征工程等领域。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 等宽离散化（等距离散化）：等宽离散化是将连续数据按照固定的宽度划分成若干个区间，使得每个区间中的数据数量大致相等。
具体步骤如下：a. 确定划分的区间个数，可以根据经验或统计方法确定。
b. 计算最大值和最小值之间的距离（width）。
c. 根据区间个数和width计算每个区间的宽度，即划分的区间宽度。
d. 根据宽度将数据进行划分，并将每个数据映射到对应的区间。
等宽离散化的优点是简单易懂，适用于数据范围较小且不太关注具体分布的情况。
但缺点是可能导致数据量不均匀，对于数据分布不均匀的情况效果较差。
2. 等频离散化：等频离散化是将连续数据按照固定的数量划分为若干个区间，使得每个区间中的数据数量相等。
具体步骤如下：a. 确定划分的区间个数，可以根据经验或统计方法确定。
b. 计算每个区间应包含的数据数量，即总数据样本数量除以区间个数，得到每个区间应包含的数据数量。
c. 将数据按照从小到大的顺序进行排序。
d. 按照每个区间应包含的数据数量将数据进行划分，并将每个数据映射到对应的区间。
等频离散化的优点是对数据分布不均匀的情况有较好的表现，同时能保证每个区间中的数据数量相对平均。
但缺点是对于数据总量较少的情况可能会导致区间过小，不够有意义。
3. KMeans离散化：KMeans离散化是根据KMeans聚类算法将连续数据聚类为若干个簇，每个簇内的数据属于同一离散化区间。
具体步骤如下：a. 确定划分的区间个数，即聚类的簇个数。
b. 使用KMeans算法对数据进行聚类，将数据分配到不同的簇中。
c. 根据每个簇的数据计算簇的中心点或代表点作为离散化的分割点。
d. 将数据通过计算与分割点的距离将其映射到对应的离散化区间。
KMeans离散化的优点是能够较好地反映数据的分布情况，同时根据簇的中心点进行划分可以保证区间的连续性。
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
z e sT 零、极点分别按
D( s)
s
D( z )
z 1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
D( j1 ) D(e j1T )
14
5. 零极点匹配法
(2)主要特性
① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。 ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。
13
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
T (1 z 1 ) U ( z) 2 1 D( z ) 2 ( z 1) E( z) 1 z 1 T ( z 1)
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
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数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
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离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
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精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。