连续控制器离散化方法
第五章数字控制器的离散化设计方法
第五章数字控制器的离散化设计⽅法第五章数字控制器的离散化设计⽅法数字控制器的连续化设计是按照连续控制系统的理论在S 域内设计模拟调节器，然后再⽤计算机进⾏数字模拟，通过软件编程实现的。
这种⽅法要求采样周期⾜够⼩才能得到满意的设计结果，因此只能实现⽐较简单的控制算法。
当控制回路⽐较多或者控制规律⽐较复杂时，系统的采样周期不可能太⼩，数字控制器的连续化设计⽅法往往得不到满意的控制效果。
这时要考虑信号采样的影响，从被控对象的实际特性出发，直接根据采样控制理论进⾏分析和综合，在Z 平⾯设计数字控制器，最后通过软件编程实现，这种⽅法称为数字控制器的离散化设计⽅法，也称为数字控制器的直接设计法。
数字控制器的离散化设计完全根据采样系统的特点进⾏分析和设计，不论采样周期的⼤⼩，这种⽅法都适合，因此它更具有⼀般的意义，⽽且它可以实现⽐较复杂的控制规律。
5.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所⽤的数学⼯具是微分⽅程和拉⽒变换；⽽离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所⽤的数学⼯具是差分⽅程和Z 变换，完全采⽤离散控制系统理论进⾏分析，直接设计数字控制器。
计算机采样控制系统基本结构如图5.1所⽰。
图中G 0(s)是被控对象的传递函数，H(s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是⼴义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数， R(z)是系统的给定输⼊，C(z)是闭环系统的输出，φ(z)是闭环系统的脉冲传递函数。
零阶保持器的传递函数为：se s H Ts--=1)( （5-1）⼴义被控对象的脉冲传递函数为：[])()()(0s G s H Z z G = （5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为：图5.1 计算机采样控制系统基本结构图)()()()()(z G z D z E z C z W == （5-3）闭环系统的脉冲传递函数为：()()()()()1()()C zD z G z z R z D z G z Φ==+ （5-4）误差的脉冲传递函数为：()1()()1()()e E z z R z D z G z Φ==+ （5-5）显然 )(1)(z z e Φ-=Φ（5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为：)](1)[()()(z z G z z D Φ-Φ= （5-7）如果已知被控对象的传递函数G 0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)，由上式可以得到离散化⽅法设计数字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出⼴义被控对象的脉冲传递函数G(z)。
离散化 Pid 模糊控制算法
论文标题: 设计PID ，离散化，模糊化控制器PID 控制器设计一 PID 控制的基本原理和常用形式及数学模型具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称PID 控制器。
这种组合具有三种基本规律各自的特点，其运动方程为：dt t de dt t e t e t m K K K K K dp ti p p )()()()(0++=⎰相应的传递函数为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=S S s K K K d i p c 1)(D S S S K K K d ip 12++∙=二 数字控制器的连续化设计步骤假想的连续控制系统的框图1 设计假想的连续控制器D（s）由于人们对连续系统的设计方法比较熟悉，对由上图的假想连续控制系统进行设计，如利用连续系统的频率的特性法，根轨迹法等设计出假想的连续控制器D（S）。
2 选择采样周期T香农采样定理给出了从采样信号到恢复连续信号的最低采样频率。
在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般有零阶保持器H（s)来实现。
零阶保持器的传递函数为3将D（S）离散化为D（Z）将连续控制器D（S）离散化为数字控制器D（Z）的方法很多，如双线性变换法，后向差分法，前向差分法，冲击响应不变法，零极点匹配法，零阶保持法。
双线性变换法然后D（S）就可以转化离散的D（Z)三Matlab仿真实验直接试探法求PID根据这个框图，求出该传递函数的P=0.35 I=0 D=0根据⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=S S s K K K d i p c 1)(D D （Z ）=0.35 T=0.01数字连续话PID 控制器设计MA TLAB 仿真框图实验结果 没有经过调节的结果为结果分析一阶阶跃信号的幅值选择为5经过数字连续化PID控制器后，对比图形发现，结果变得非常稳定，没有发现超调量，而没有经过PID控制的图形发生了超调变化达到稳定的时间变得更长。
二离散化控制器的设计离散系统设计是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法。
第5章数字控制系统的连续——离散化设计
1 lim[s s0 s
10s 1 s1
]
lim[(z
z 1
1)
z
z
1
K
z
z 0.9048] z 0.3679
K z 6.6397
因此
D(z) 6.6397 z 0.9048 z 0.3679
（4）仿真检验
Gd (z)
(1
z 1 )Z[ 1 s
1 ] s(10s 1)
0.04837(z 0.9678) (z 1)(z 0.9048)
D(z) K z1 (z 1)z
(z e T )2
当R(s) 1 时，u(t) 0
u(t) lim sR(s)D(s)
t s0
s
t
当R(s) 1 时，u(t) 1
当R(z)
s
2
z
t
时 ，u(k) 0
u(k) lim(z 1)R(z)D(z)
k
z 1
z 1 k 当R(s) Tz 时 ，u(k) K z1T
(1 e T )2
(1 e T )2 (z 1)(z 1)
K z2 2T D(z) 2T
(z e T )2
(3)匹 配 到z ：D(z) K z1 (z 1)(z )
(z e T )2
要 求T 1s， 1时 ，D( j ) D(e jT ) j 0.50
(1 j)2
(t)
h(t) (t) *(t)
h*(t)
D(s)
D(z)
分析脉冲不变法特点：D(s) 与 D(z)之间的近似关系。
➢ 由设计准则知，二者的脉冲响应在采样点取相同值； ➢ D(s)与D(z)极点按Z变换定义z=esT一一对应 ； ➢ 若D(s)稳定，其极点位于S左半平面，则其D(z)必稳定，
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。
以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
z e sT 零、极点分别按
D( s)
s
D( z )
z 1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
D( j1 ) D(e j1T )
14
5. 零极点匹配法
(2)主要特性
① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。 ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。
13
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
T (1 z 1 ) U ( z) 2 1 D( z ) 2 ( z 1) E( z) 1 z 1 T ( z 1)
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理(总44页)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March目录第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节 c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第5章数字控制系统的连续——离散化设计-PPT精品文档
说明： 连续——离散化设计是一种近似的设计方法：
由D(s)到D(z)的转换是一种近似过程； 在设计中，没有考虑保持器对系统的影响。（零保带来T/2
的相位滞后，使系统闭环性能变坏。因此连续——离散化设 计的系统，要求有较小的采样周期T。） 本章重点： 1. 由D(s)到D(z)的多种近似方法。 2. 检验所设计的数控系统的性能。
改进的双线性变换为 D (z) D (s)
(z 1) 0 s tg ( T/ 2) (z 1) 0
5.3 匹配Z变换（又称零极点匹配、根匹配）
设计准则：直接将D(s)的零极点由Z变换 z=esT 映射到Z 平面上，成为D(z)的零极点。
K ( s z K ( z z s i) z i) 1 1 D ( s ) ni D ( z ) ni ( sp ( zp i) i)
1( t )
D(s)
u(t )
1( t )
1 * (t )
u * (t )
D(z)
分析保持器等效法的特点：
D(s)与D(z)极点按Z变换定义一一对应 若D(s)稳定，D(z)稳定；
z=esT；
D(z)与T有关；
D(s)与D(z)频率特性不同； D(s)与D(z)零点不是按
z=esT 一一对应的。
设计准则为： 波 使 器 D ( s 模 ) 和 拟 数 滤 字滤 D ( z ) 波 在所要求的频 有 率 相 点 同 上 的 具 频率特性 即 D ( s )sj D ( z )z T。 0 0 ej
2 T 0 2 ( ej 1 ) T 0 j A 0 A j T 0 tg ( T /2 )2 T ( e 1 ) 0
第5章 数字控制系统的 连续——离散化设计
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阶跃不变性方法实际上就是零阶采样保持，即对C(s)进行零阶
采样保持。
存在的问题：
C(s)的极点 s i
影射为Cd(z)的极点 z eiT
，没有一个简单的从C(s)的零点映射到Cd(z)零点的关系。
（1）、C(s)中不稳定的零点可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)稳定的零点。 （2）、 C(s)中无零点，可能经过零阶采样保持后变为 Cd(z)不稳定的零点。
双线性近似法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内；不改变模 拟控制器的稳定性
后向差分法把左半S平面映射到Z平面的单位圆内的一个区域内， 稳定的模拟控制器总能映射成稳定的离散控制器，但有可能把 不稳定的模拟控制器影射成稳定的离散控制器
前向差分法把左半S平面映射到Z平面的Z=1的左平面中，一个 稳定的模拟控制器可能影射不稳定的离散控制器。
'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping.
1 z eaT
Cd
(1)
1
kd eaT
C(0) 1 kd
1 eaT
Cd
(z)
1 eaT z eaT
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following:
y[(k 1)T ] y(kT ) T [u((k 1)T ) u(kT )] 2
y(kT ) T z 1 u(kT ) 2 z 1
1 T z 1, s 2 z 1
s 2 z 1
T z 1
Cd
(z)
C(s)
C( 2 T
z z
1) 1
（3）若C(s)的极点数与零点数之差 d 1 即C(s)有d个无限零点 s
映射为Cd(z)的d-1重零点z=-1，另一个映射成 z （4）确定Cd(z)的增益，使满足Cd(1)=C(0)，即静态增益相等
C(s) k (s b1)(s b2 ) (s bm ) (s a1)(s a2 ) (s an )
T
zT
z 1 1 sT
s z 1 zT
z 1 Cd (z) C(s) C( zT )
3、塔斯廷（Tustin）近似法
Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y(s) 1 u(s) s
y[(k 1)T ] y(kT ) (k 1)T u( )d kT
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
(1) 使
和
具有相同的响应特征。
脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同
(2) 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
T z 1
2
2
2
z
2 aT
1
2
1 aT
Cd (z)
的极点为
2 1 aT
, (T : 0 ,
1 1)
2
稳定
4、零极点匹配法
（1）C(s)的所有极点 s ai 映射为Cd(z)的极点 z eaiT （2）C(s)的所有有限零点 s bi 映射为Cd(z)的零点 z ebiT
实际使用时常常使用双线性法和后向差分法。
例：分别用前向差分、后向差分、Tustin法对 C(s) a ,(a 0)
sa
进行离散化
（1）前向差分
a
aT
Cd (z) z 1 a z 1 aT
T
Cd (z) 的极点为 1 aT
稳定条件为 T 2
a
（2）后向差分
Cd (z)
s : dx(t) x((k 1)T ) x(kT ) z 1 x(kT )
dt tkT
T
T
z 1 sT
s z 1 T
Cd
(
z
)
C
(
s
)
C
(
z T
1)
（2）后向差分法
s : dx(t) x(kT ) x((k 1)T ) z 1 x(kT )
dt tkT
例：
C(s)
1 (s 1)(s2
s 1)
取采样周期T=0.1，经过零阶采样保持后得到
Cd
(
z)
104 z3
(1.585z 0.8z2
2 6.029z 1.434) 2.62z 0.8187
具有两个零点：-0.3549，-0.255
2、微分近似法 （1）前向差分法
模拟(连续)控制器系统 计算机(离散)控制器系统 离散控制器等效控制系统
采用连续与离散控制器的系统系阶越响应的区别
a z 1 a
aTz z 1 aTz
aT z aT 1 z 1
zT
aT 1
Cd (z)
的极点为
1 aT 1
稳定
（3）Tustin法
Cd (z)
a 2 z 1 a源自(z 1) aT 2(1 aT )z ( aT
1)
aT
1
2 aT
z 1 aT 1
The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
例：已知某系统被控对象的传递函数为 P(s) 1 要求设计控制器，使满足性能指标： s(s 2) ①闭环稳定 ②过渡过程时间Ts≤3s ③阶跃响应超调量δ≤5% 设计满足上述要求的数字控制器D(Z)（取采样周期 T=0.2秒，采用双线性近似法）
Cd (z)
kd
(z
1)d 1(z eb1T )(z eb2T ) (z ea1T )(z ea2T ) (z
(z ebmT ) eanT )
注：d=n-m，当 d 1 ，才有 (z 1)d 1 项
上例中，
C(s) a sa
Cd (z) kd
The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by
SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).
解： 模拟控制器设计过程略，得到的模拟控制器为：
D(s) 16 s 2.1 s8
双线性近似法得到数字控制器为：
D(z)
差分方程为：
16
10 z 1 2.1 z 1
10 z 1 8 z 1
10.76
z z
0.65 0.11
u(k) 0.11u(k 1) 10.76e(k) 7.02e(k 1)