连续系统模型的离散化处理方法
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
控制系统仿真及MATLAB语言--第四章 连续系统的离散化方法
t2 0.2, y2 y1 1 0.1y1 0.9 0.91 0.819 t10 1.0, y10 y9 1 0.1y9 0.4628
t3 0.3, y3 y2 1 0.1y2 0.8191 0.1 0.819 0.7519
状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：
h xk +1 xk (K 1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 K 1 Axk Bu (tk ) K 2 A(xk h K 1 ) Bu (tk h ) 2 2 K A (x h K ) Bu (t h ) k 2 k 3 2 2 K A(x hK ) Bu (t h) k 3 k 4 y k +1 Cxk +1
41常微分方程的数值解法数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数xt问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间ab中取若干离散点求出微分方程在这些时刻的近似值这种方法的几何意义就是把ftx在区间tk1内的曲边面积用矩形面积近似代替
第四章 连续系统的离散化方法
4.1
常微分方程的数值解法
h xk 1 xk h f k ( ftk ' f xk ' f k ) 2!
f 'tk f 'xk 等各阶导数不易计算，用下式中 ki的线性组合代替
xk 1 xk h ai ki
i 1
r
线性组合
r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下 式表示 i 1
ki f (tk b1h, xk hb2 k j ) , i 2,3
将 f tk b1h,xk hb2k1 在点 tk , xk 展成Taylor级数
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
tustin离散化方法
Tustin方法（也称为Bilinear变换或双线性变换）是一种用于将连续时间系统（模拟系统）离散化为离散时间系统的方法之一。
它是一种广泛使用的数值方法，尤其适用于将连续时间系统转换为数字控制系统。
Tustin方法的离散化步骤如下：1. 连续时间系统：首先，考虑一个具有传递函数H(s)的连续时间系统，其中s是复变量。
传递函数通常具有以下形式：H(s)=N(s) D(s)其中，N(s)和D(s)是多项式，表示系统的分子和分母。
2. 替换s：使用Tustin方法，我们将s替换为离散时间z上的特定映射。
Tustin方法使用双线性变换：s=2Tz−1 z+1其中，T是采样时间。
3. 替换H(s)：将s替换为上述表达式，得到离散时间系统的传递函数：H(z)=N(2Tz−1z+1) D(2Tz−1z+1)4. 优化H(z)：通常，为了方便分析和实现，可以对H(z)进行代数化简，例如通过因式分解或部分分数展开。
5. 数字实现：将H(z)转换为数字控制系统的形式，例如差分方程或脉冲响应。
示例：假设有一个连续时间系统的传递函数为：H(s)=s+1s2+3s+2采样时间T为 0.1 秒，应用Tustin方法：s=2Tz−1 z+1将其代入传递函数，进行代数化简，最终得到离散时间系统的传递函数。
这就是Tustin方法的基本过程。
它是一种将连续时间系统转换为离散时间系统的常用方法，具有一定的数值稳定性和频率响应特性。
在数字控制系统设计中，经常使用这样的方法来进行系统离散化。
2.6 连续时间系统状态方程的离散化
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
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2018/11/27
3
一、派德近似公式（PADE）
px e qx m 1 n 2
x
e
x
1 1 x 3 2 2 1 x 1 x 3 3 2!
4
2018/11/27
二、简单替换法
当m=0，n=1，x=TS时，e-（-TS）=1+TS
即Z=1+TS 这是一种简单替换方法，又称欧拉映射法。
2018/11/27
13
2 典型环节离散相似模型
A
B
C
积分环节 一阶环节 二阶环节
2018/11/27
14
三、时域离散相似法原理
1 状态方程的离散相似法描述
t Axt But x xt e x0 e
At t 0 At
得到一个“等效”的离散化模型， 以后每一步计算都在这个离散化模型基础上 进行，原来的模型不再参与计算 这种方法，得到了简化的模型，便于在计算 机上求解，且使计算速度加快
2018/11/27
2
4.1替换法
基本思想：设法找到S域到Z域的某种映射关
系，将G（S）转换成G（Z），再进行Z的反变 换，求得差分方程，据此便可以快速求解 S域到Z域的最基本映射关系是：Z=eTS（T— 采样周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很 麻烦，则将Z=eTS作简化处理
2018/11/27
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B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
kT u u KT u
p T e
T 0
AT A
Bd
kT xkT T T xkT m T U kT p T U k xk 1 T xk m T U k p T U
AT
AT
Bu d 离散形式
2018/11/27
16
A 当输入函数u（KT）在两采样 点间保持不变时
T e
AT T AT A
m T e
0
Bd
xKT T T xKT m T U KT x(k 1) T xk m T U k
2018/11/27 18
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出…… 此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系
数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2018/11/27
19
2 典型环节的离散状 z Gh s G s u z 1 z sa z ex p ( a T ) 1 TS e z 1 z s z 1 1 Tz 2018/11/27 11 s*s ( z 1)( z 1)
yz G z zGh s G s u z k 1 e G s Gh s sa s aT k 1 e G z Z域离散相似模型 aT a z e
TS
Z反变换得差分模型
y n 1 e
2018/11/27
aT
k aT y n 1 e u n a
12
主要步骤
A
画出连续系统结构图 B 加入虚拟采样开关，选择合适的信号重 构器 C G（S）与Gh（S）串联，z变换—G（Z） D Z反变换—差分方程 E 根据差分方程编制仿真程序
如果要求进行实时仿真，或要求计算工作速
度快时，能在一个采用周期内完成全部计算 任务，这就需要一些快速计算方法。 数值积分法：将微分方程转换成差分方程， 这中间是一步步离散，每一步离散都用到连 续系统的原模型，这样的速度就慢了。
2018/11/27
1
本章方法：先对连续模型进行离散化处理，
2018/11/27 9
Y（t）的近似能否精确复现y（t）
取决于u（t）的近似能否精确地复现u（t）
仿真精度主要取决于采样周期Ts的大小、
信号重构器的特性 两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
2018/11/27
10
二、Z域离散相似方法
2018/11/27
8
一、基本思路
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与
给定的连续系统中的信息流相似 设一个连续系统，u（t）-输入，y（t）-输 出 在I/O端人为地加上两个采样开关，信号重构 器（滤波器）--虚拟 重构器所能保持和延续的规律是不可能与原 来的输入信号u（t）完全一致的
举例
2018/11/27
5
三、双线性替换法
1 替换关系：
TS 1 2 Z TS 1 2
2( Z 1) S T ( Z 1)
Y (S ) 1 G(S ) U ( S ) s * s 3s 2
2018/11/27 6
2 高阶系统双线性替换计算机程序的自动实现 3 双线性替换性能评价：
稳定性
精度
保持模型的阶次不变
频率特性近似 G（S）的稳定增益不变 具有串联性 高阶系统能程序实现
2018/11/27 7
4.3 离散相似法系统仿真
离散相似法:将连续系统的G(S)模型进行离散,
得到各环节的离散化模型,再对等价的离散化 模型进行仿真计算 特点:按环节进行离散,每计算一个步长,每个 环节都独立按输入计算输出,非线性环节也易 包含进去的-可对含非线性环节的连续系统 进行仿真.
Bu d
2018/11/27
15
xkT e x0 e
AkT kT 0
AkT
bu d e
AkT T
xkT T e
AkT T
x0
T 0
kT T
0
Bu d
xkT T e xkT e